广东省四校联考2024届高三年级上册期末数学试题 解析版

广东省华附深中省实广雅四校联考2024届高三上学期期末数学试题

阅卷入

得分

1.已知全集(/=/?,集合45满足(力CB),则下列关系一定正确的是()

A.A=BB.BQA

C.An=0D.(CuA)(IB=0

2.已知复数Z满足(1+i)Z=1-i,贝以2。24=()

A.iB.-1C.1D.-i

3.直线%+2y+3=0关于直线y=-久对称的直线方程是()

A.x+2y—3=0B.2x+y—3=0C.x—2y—3=0D.2%+3y+3=0

4.已知向量五在石方向上的投影向量的模为鱼，向量石在弓方向上的投影向量的模为1,且0+3)1(2/-

3b)，则@b)=()

A.30°B.45°C.60°D.135°

5.若椭圆%：马+胃=l(a>b>0)的离心率为1则双曲线小耳—当=1的离心率为()

a乙bNba乙

A.浮B.苧C.V3D.V5

6.在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为凡且某个车轮上的点P刚好

与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离S,则此时P到铁轨上表面的距离为()

qqqq

A.R(1+COSR)B.R(l—COSR)C.2Rsin-^D.Rsin^

7.若(l—c)e。=(1—c)仇b=1,则a,b,c的大小关系为()

A.c<a<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c

8.数列｛a3的前n项和%，且°=8味1+平二+71若%=1,则()

2a

ann-l一

A.a<S2O24<3B.2<S2Q24<2

C'<5*2024<2

D.1<S2O24V2

阅卷人

二、多选题

得分

9.下列结论正确的是()

A.若a>b,c〉d，贝!Jac2>bd2

B.若。。2>儿2,则a>b

C.是，>1,b>1”成立的充分不必要条件

D.若a>b>1,贝！JZogab<loga+1(b+1)

10.已知圆Ci：x2+y2=1,圆C2：(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),P、Q分别是圆射与圆C2上的点，则

()

A.若圆Ci与圆。2无公共点，贝10<丁<4

B.当丁=5时，两圆公共弦所在直线方程为6%-8y-1=0

C.当r=2时，贝IJPQ斜率的最大值为—4

D.当r=3时，过P点作圆C2两条切线，切点分别为力，B,贝吐APB不可能等于当

11.已知函数/(%)=一3%2,满足/(%)=k%+b有三个不同的实数根%1，%2，贝U()

A.若左=0,则实数b的取值范围是一4<bV0

B.过y轴正半轴上任意一点仅有一条与函数y=/(x)-1相切的直线

C.%1%2+X2X3+xlx3=k

D.若、i，%2，％3成等差数列，则左+b=—2

12.已知正四面体0-ABC的棱长为3,下列说法正确的是()

A.若点P满足而:光力+y赤+z反，且％+y+z=l,贝!J|而|的最小值为连

B.在正四面体。-4BC的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体体积可能为虚

10

C.若正四面体。-43。的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相

等，则此距离为需

D.点Q在所在平面内且|Q0|=2|QA|,则Q点轨迹的长度为等5兀

阅卷人

三、填空题

得分

2

13.双曲线»y21的渐近线方程.

14.已知等差数列｛a九｝的前71项和为5九(?1EN*),=4,ay=10,则S九的最小值为.

15.已知函数/(x)=sin2(3久一软3>0)的最小正周期为2兀，且/'(久)在［0,加上单调递减，在［2m,

等]上单调递增，则实数血的取值范围是.

16.在同一平面直角坐标系中，M,N分别是函数/(久)=一，—源+4x-3和函数g(%)=Zn(ax)-ture久图

象上的动点，若对任意a>0,有|MN|2加恒成立，则实数m的最大值为.

阅卷人

四、解答题

得分_________

17.已知数列的前n项和%满足Si+^+-+^=n.2n.

(1)求｛时｝的通项公式；

(2)求数歹U｛等的前71项和G

18.在9道试题中有4道代数题和5道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.

(1)求在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率；

(2)若抽4次，抽到X道代数题，求随机变量X的分布列和期望.

19.已知函数/'(x)=axex(a*0),g[x｝——%2.

(1)求/(%)的单调区间;

(2)当久>0时，/(%)与。(久)有公切线，求实数a的取值范围.

20.如图，在棱长为2的正方体2BCD-EFGH中，点M是正方体的中心，将四棱锥M-BCGF绕直线CG逆

时针旋转a(0<a<兀)后，得到四棱锥M-BCGF-

(1)若a=],求证：平面MBF1平面MBR;

(2)是否存在a,使得直线M'F'1平面MBC,若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

21.在AABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,4B边上的高设为八，且a+b=c+儿

(1)若c=3h,求tcmC的值;

(2)求cosC的取值范围.

22.已知椭圆C：马+4=l(a>b>0)的两焦点分别为Fi，F2,C的离心率为多椭圆上有三点

ab幺

Q、R、S,直线QR、QS分别过Fi，F2,的周长为8.

(1)求C的方程;

（2）设点Q（%o，y。），求△QRS面积S^QRS的表达式（用为表不）.

答案解析部分

L【答案】C

【知识点】子集与真子集；集合间关系的判断；子集与交集、并集运算的转换

【解析】【解答】解：由集合间的基本关系可得A£B,

A、当4为B的真子集时，不成立，故A错误；

B、当/为B的真子集时，也不成立，故B错误；

C、Xn(CyB)=0，恒成立，故C正确；

D、当A为B的真子集时，不成立，故D错误；

故答案为：C.

【分析】根据已知条件易得ACB,再进行选择即可.

2.【答案】C

【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算；共轨复数

2

【解析】【解答】解:1-i_(1-Q

1+i(1+0(1—i)

得Z=3z2024=j2024=,4=i

故答案为：C.

【分析】先根据复数的除法运算求出2,再确定复数Z=i,根据产的周期性求结果.

3.【答案】B

【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程

【解析】【解答】解：K+2y+3=0图象如下图所示,

由图可知，点4(-3,0)关于直线y=-久称的点为B(0,3),

直线x+2y+3=0与直线y=—x的交点为C(3,—3),

33)

.♦.关于直线y=—%称的直线方程BC为：y=-~^0%+3,即2%+y-3=0.

故答案为：B.

【分析】作出图象，找出一个对称点和直线久+2y+3=0与直线y=-久的交点，即可求出称直线的方

程.

4.【答案】B

【知识点】数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量的投影向量

【解析】【解答】解：由题可得《网一所以博=鱼.

网网

I回

因为④+份1(2a-3b)，所以m+b)■(2a-3b)=0)

一2一

所以—31bl2—\a\\b\cos(a,b)=0，所以2坨—3—图■cosQ,b)=0,

即cos(肩向=孝,可得自力=45。.

故答案为：B.

【分析】根据投影向量的模长公式计算出曷=鱼,再由向量垂直关系列出方程，求出cosM，B)=孝，得

到夹角.

5.【答案】A

【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质

【解析】【解答】解：在椭圆「高+4=1(。>/?>0)中，离心率」2一j」

abyja22

.*.4b2=3a2,在双曲线r2：马一马=1中，

ba

...双曲线的离心率62=。2y2=阜

1b23

故答案为：A.

【分析】通过椭圆的离心率得出a,b之间的关系，即可求出双曲线的离心率.

6.【答案】B

【知识点】弧度制、角度制及其之间的换算；扇形的弧长与面积

【解析】【解答】解：当列车行驶的距离为S时，则车轮转过的角度所对应的扇形弧长为S,

••・车轮转过的角度为右P点的初始位置为Po,设车轮的中心为。，当标(0夕)

时，作PQlOPo，垂足为Q,如图,

cccc

则。Q=OP-cos)=Reos*,；.P到铁轨表面的距离为PoQ=R-R-cos*=R(1-cos引;

当标(J,7T)时，PMLMP0,作。N1PM,垂足为N,如图，

贝i」PN=OP-sin(1-1)=-Rcos^,

P到铁轨表面的距离为PM=MN+PN=R-Reos*=R(1-cos6

同理可得当会在其它范围时，点P到铁轨上表面的距离均为R(1-cos%.

故答案为：B.

【分析】将实际问题建模转化为圆的弧长与圆心角、半径之间的关系，就圆心角的范围进行分类，借助

于直角三角形计算即得.

7.【答案】A

【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数

最大(小)值

【解析】【解答】解：由(1—c)e。=(1—c)仇b=1,

易知e。〉。，所以1一<?>0,故c<l,

所以e。=Inb=2一，

1—c

令f(x)=(1-x)ex(x<1),则f'(K)=-xex>

当久<。时，/(x)>0-当0<久<1时，f'(x)<0,

所以/(久)在(-8,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，

所以H久)<f(0)=1,即e/l-X)<1(%<1),

所以占(久<1)，当且仅当久=0时取等号，

如图，作出函数y=ex,y=lnx,y=的图象如图所示:

由图可知，可知c<a<b.

故答案为：A.

【分析】由题意可得e。=Inb="p构造函数/'(无)=(1-%)ex(x<1),利用导数求出函数/'(久)的最

值，作出函数、=〃/=仇久,y=告的图象，结合图象即可得解.

8.【答案】D

【知识点】数列的求和；数列与不等式的综合；数列的通项公式

【解析】【解答】解：由白=4+京+*=(京+2)+匿^(*+2),

1111

可得南2帝+2今鬲一帝22,又由=i,

111111

故府21+(“-1)义2=271-10即*2<(2TI—1)(2TI—3)=2(茄B一声I)

［乙"Ln)

当71>2且71EN*时，

111111313

-++,

«1<=CZ1+«2+-+an<1+2(1-3+35-"2^=3一而H=2-2(2n-l)<2

所以1<52024<*

故答案为：D.

【分析】先把即适度放缩至可以裂项求和的形式，从而求出前n项和的范围，再进行判断.

9.【答案】B,D

【知识点】利用不等式的性质比较大小；指、对数不等式的解法

【解析】【解答】解：A、若取a=3,b=1,c=1,d=-2,贝ijac?=3,bd2-4,故A项错误；

B、因c2N0,又由a。？>加2知c2>0,故由不等式的性质易得B项正确；

C、当a=4/=凯寸，满足ab>L但b<L

故推不出a>l,b>1,即“ab>1”不是“a>l,b>1”成立的充分条件，故C项错误；

D、由换底公式，logb=罂，。+仲+1)=畸曲因a>b>L先证当皿>。时，必有卜普

成立.

即r+rb+m_2_(b+m)a—(a+*b_僧(。一+-rzb/b+m

出a+zna~(a+m)a-(a+m)a>n"寸B：£<a+m

因a>b>1,有Ina>\nb>O,ln^^>0,

a

,,1blnb+ln^-^)吗也仇空*ln(b+l},,.

故，。9鹏=成n<lna+ln^=而E<而E=无扁=l°9a+^+】)'故口项正确•

故答案为：BD.

【分析】判断与不等式有关结论的正确与否，一般可考虑以下方法：①取反例说明不成立，②利用不等

式性质推理得到命题为真，③通过作差法判断.

10.【答案】B,C

【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定；相交弦所在直线的方程

【解析】【解答】解：A、当两圆内含时，r可以无穷大，故A不正确；

B、当r=5时两圆相交，两圆的方程作差可以得公共弦的直线方程为6久-8y-1=0,故B正确；

C、当r=2时如图所示：

由平面几何知识可知CD=4,伸==专，

所以可得tm/q4c=l，tan^PAC=1普普7=芋，5=一品否=一右

即PQ斜率的最大值为-务故C正确；

点P在Pi位置时「心=4<3Vz乙4Ple2>p

点P在P2位置时P2c2=6>3显/BP2c2<p

所以中间必然有位置使得NBP4=号故D错误.

故答案为：BC.

【分析】根据两圆位置关系，数形结合逐项分析验算.

1L【答案】A,B,D

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】解：由/(%)=3%2—6%=3x(%—2)，

故/(乃在(一8,0)和(2,+8)上单调递增，在(0,2)上单调递减，且/(0)=0,/(2)=-4.

A、当/(%)=b有三个不同的实数根%时如图所示：

-4<b<0,故A正确，

B、y=/(%)—1=x3—3x2—1=[(%—1)+I]3—3[(x—1)+I]2—1=(%—l)3—3(%—1)—3关于点

(1,—3)中心对称，

且中心对称点处的切线方程为y=-3%,

结合图象可知：当且仅当、<0时，符合题意，所以B正确，

由于方程/(%)=kx+b有三个根%

所以工3—3x2—kx—b={x—%!)(%—%2)(x—%3)，展开可知%1%2+%2%3+%1%3=一鼠C不正确；

由%3—3%2—kx—b=(X—%1)(%—%2)(x—欠3)展开可知%1+%2+%3=3,

当%成等差数列时％1+%2+%3=3%2,所以％2=1，

2x

在炉—3%—kx—b=(x-%!)(%—x2)(-%3)中，令'=L得1—3—k—b=0,

所以/c+b=—2,D正确.

故答案为：ABD.

【分析】求导得函数单调性、极值，得出函数图象草图，数形结合判断曲线与直线相交、相切问题.

12.【答案】A,C,D

【知识点】球内接多面体；平面与平面平行的性质；共面向量定理；点、线、面间的距离计算

【解析】【解答】解：建系如图所示：

A、因为点P满足丽=久力f+y赤+z反且久+y+z=1,

可知点P是平面ABC上的一点.

又因为正四面体。-4BC是棱长为3,

3

则三角形ABC外接圆半径满足2R=.nR=百，

Sln3

故点。到平面ABC的距离为J32-R2=V6>

故I赤I的最小值为点。到平面4BC的距离，即为遍，故A正确；

B、将正四面体放入到正方体中，则正方体的棱长为竽，

因为正四面体。-ABC的体积为立方体的体积减去四个小三棱锥的体积：

(|V2)3-4xJx|x(|V2)3=竽，

而正四面体。—ABC四个面的面积都是卓X3?=华，

44

设正四面体。—ABC的内切球半径为4x[x¥r=平，解得2r=整，

3442

因为正四面体Q-OEF在正四面体。-4BC的内部，且可以任意转动，

所以最大正四面体Q-DEF外接球直径为孚，

因此最大正四面体Q-DEF外接球也是棱长为孝的正方体的外接球，

所以正四面体Q—DE/七体积最大值为(¥)_以痘，故B不正确.

壁)-4X-g-=12<10

C、在正方体ZQBOi-AiCBi。内，过。作平面。。1人2，分别交ZB,AJ于点G,X2,

过C作平面CC/2，分别交AB,BO1于点B2,且平面。。遇2〃平面CQ4,

由正四面体。-ABC的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，

且每相邻平行平面间的距离均相等，

其中平面0。1&和平面CC1B2为中间的两个平面，

易知心为4Q的中点，为为。声的中点，

因为正方体一是棱长为竽，

所以。3竽㈤2=^，。遇2T（孥）+（*=空，

所以点4到。遇2的距离为峋册累=需，

所以每相邻平行平面间的距离为印，故c正确；

D、建立如图所示的空间直角坐标系，

设点Q（%,%z），A（竽,o,o）,。（0,0,竽）,B（0,竽,0）,C（竽，竽,竽），

22

由IQO|=2|QA|可得久2+y2+Q42）=4（%—42）+y2+z2,

L2

化商可得（％-2/）2+y2+（z+半）=4'

可知点Q的轨迹是平面力BC与以叭2金,0,-孝）点为球心，2为半径的球的截面圆上，

AB=（—挈，挈,0）,前=（0,挈,好），

设平面4BC法向量为记=（%,y,z）,贝!!

布•记=一竽X+竽y=0,方•万=等丫+竽z=0，

取％=l,y=1,Z=一1,则记=（1,1,-1）,~AM=（乎,0,^?）

所以点M点到平面ABC的距离为国船=*苧，

截面圆的半径为卜2—凰=掣所以截面圆周长为字兀,故D正确.

故答案为：ACD.

【分析】根据空间向量共面的结论可判断P是平面ABC上的一点，即可利用勾股定理求解四棱锥的高判断

A,根据正四面体与其外接球内切球以及所在的正方体的关系即可求解B,根据面面平行的性质即可求解

C,根据球的截面性质即可求解D.

13.【答案】y=±^X

【知识点】双曲线的简单性质

2

【解析】【解答】・・•双曲线苧—y2=i的a=2,b=l,焦点在x轴上

而双曲线与-鸟=1的渐近线方程为y=±-x

cta

双曲线1_y2=1的渐近线方程为y=±lx

故答案为y=±

【分析】由双曲线的简单性质代入数值即可得出答案。

14.【答案】-2

【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；数列与函数的综合

【解析】【解答】解：设等差数列｛%｝的公差为d,由题意得：严:靠,解得：的=-2,d=2,

十Ou—1U

22

贝！Js葭=na1+九(31)d=—2n+n(n—1)=n—3n=(n—1)—5，

因nCN*,故当n=1或九=2时，Sn的最小值为一2.

故答案为：-2.

【分析】建立关于首项和公差的方程组，求解后代入等差数列的前n项和公式，配方即得.

15.【答案】［1,与］

【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式；函数y=Acos(3x+<|>)的图象与性质

27Td

【解析】【解答】解：由/⑺=s出2(3%_$=「COS(产一丁)的最小正周期为2兀,得3=1,

则f(x)==c°s(">+1=|c°s(x+羽+甘，

因当一狂久W争寸，OWX+找兀，此时函数y=cos(x+刍单调递减，即/㈤在［_，等上单调递

减；

当"WKW号时，n<x+^<2n,此时函数、=cos(无+刍单调递增，即/(%)在俘，踏上单调递增.

由题知f(x)在［0,加上单调递减，在［2犯争上单调递增，故须使<血*飞/解得me专,李,

故答案为:由绚

【分析】由倍角公式将函数降幕，由题设求出3的值，再根据后续条件，考查所得函数在相应区间上的单

调性，比较区间的包含关系计算即得.

16.【答案】等—1

【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的一般方程；圆的切线方程

2

【解析】【解答】解：由y=/(%)=-V-%+4%-3,整理得(X-2)2+V=i(y<

即M在圆心(2,0),半径为1的半圆上.

xx+lnax

g(x)=ln(ax)—axe=In(ax)—e(),

令以尢)=x-ex,xER,则//(%)=1—e~又h'(0)=1一e0=0，

所以，当久e(-8,o)时，八’(久)>o，则八(无)为单调递增，

当KC(0,+8)时，<o>则%(%)为单调递减，

综上可知，力(久)在久=0处取得极大值，也是最大值，且/i(0)=0-e。=-1,

x+lnaxx

于是久+ln(ax)—e()<—1,即g(x)=In(ax)-axe<-x—1,

当且仅当久+In(ax)=0时，等号成立，

所以曲线g(久)的一条切线为y=-x-1,

如图所示：

数形结合可知，当MN分别为对应切点，且MN与两切线垂直时|MN|取得最小值,

即|MN|的最小值为圆心到直线y=-久-1的距离减去半径，

一一|2+0+1|._3V2.

即|MN|的最小值为J?y—1一—之L

过圆心(2,0)与y=-x-1垂直的直线方程y=x-2,

(x+ln(ax)=0a=2eJ

所以，当且仅当y=£—2即<久=/时取到最小值.

(y=_%_13

(y=-2

综上所述，|MN|2当^一1，而|MN|2m恒成立，

所以加〈挈_1，则血的最大值为攀一1.

故答案为：萼—1.

【分析】由y=—/+4%—3得(%-2)2+y2=l(y<0),g(%)=in(ax)—axex-In(ax)—

xx

ex+\n(ax)9指对同构令h(%)=x—e,xeRf利用导数求得最大值，并得到g(%)=in(ax)—axe<

-x-1,进而利用数形结合法可知，|MN|的最小值为圆心到直线y=-%-1的距离减去半径，再求出等

号成立的条件，从而得到实数m的最大值.

17.【答案】(1)解：由已知:S"学+…+曾=展2"

当n>2时Si+学+…+=(n-1)-2n-1

n-1

两式相减可得：Sn=n(n+l)-2,n>2,

又n=1时，Si=%=2满足上式，

所以Sn=471+1)-2"-1,n>1.

n2

Sn_r=n(n-l)-2~,n>2.

n-2

an=Sn—Sn_i=n(n+3)2,n>2

又71=1时，劭=2满足上式，

则。„=n(n+3)2n~2

(2)解：由⑴可得:臂=(n+3)•252,

n2

则7n=4・2-1+5•2°+…+(n+3)•2~,

即2〃=4•20+5•21+…+(n+3)・2-1,

1

n-1-1

两式相减可得：一〃=2+2。+2]+…+2n-2-(n+3)-2=2+异灵——(n+3)2n--

(n+2)-2f

即7n=(n+2)-i-1.

【知识点】数列的求和；数列的通项公式；通项与前n项和的关系

【解析】【分析】(1)根据已知Sn等式迭代得S-1等式，两式相减确定Sn，再求斯.

(2)用错位相减求和法求数列的前n项和.

18.【答案】(1)解：记4-表示事件“第i次抽到代数题”，i=1,2,…，9.

方法一：由条件概率公式可得P(&I乙)=%孕

C同

~~2~5x4

所以第一次抽到几何题的条件下，第二次抽到代数题的概率为今

41

-=-

方法二：已知第一次抽到几何题，这时还剩余代数题和几何题各四道，因此PQ42I五)82

(2)解：由题意，随机变量X的可能取值为：0,1,2,3,4;

21

U—C5c4—40一20

P（X=

P（x=°）=芯=,,c9

7212

_八_C5c4_60_10c5c4_20_10

Pp(Xx—2)一尸一这一五，-3)--4--126-63-

「°d1

P(X=4)=5J__J_

vJ4126,

cr9

X的分布列为

X01234

P52010101

126632163126

所以E(X)=0xT|g+lx|j+2x^+3x1|+4xT|g=^

【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率

【解析】【分析】(1)利用条件概率的公式求解，或者利用缩小事件空间的方法直接求解;

(2)先确定X的所有取值，由超几何分布求出各自的概率，写出分布列，利用期望的公式可得期望.

19.【答案】(1)解：由函数/'(>)=。久靖(。70),可得/(%)=a(x+1)的

当a>0时，可得％e(-8,-1)时，/(%)<0>/'(久)单调递减,

X6(-1,+8)时，/(%)>0，/(%)单调递增;

当aVO时，可得xe(-oo,-1)时，/'(%)>0，/(%)单调递增,

%G(-1,+8)时，/(x)<0，/(%)单调递减

(2)解：设公切线与y=f(%)和y=g(%)的切点分别为(%「ateX1>),(/?,—炉)，

X1X1%1

可得k==a(%i+l)e,可得切线方程为y—ate=a(xt+l)e(x—刈),

tX1X1X1X1

即y=a(%i+l)ex1+ate—a(蜉+t)e,即y=a(%i+l)ex—ax^e

由g(%)=一x?,可得g'(%)=一2x,则k=2b,所以切线方程为y=-2bx+b2

所~以｛(—2b三=a二(%i+/l)e%i，可得,…六4x?K->°)，

设以久)=丁黑；，(/>0),可得八6)==呼丁),

(x+1)ex(x+1)ex

当0<%<1时，h'(%)>0，h(%)单调递增；

当％>1时,//(%)<0，九(%)单调递减,

所以，当久=1时，函数/l(x)取得极大值，极大值为八⑴=:,

又由当％T。时，h(X)T0；当％T+8时，/l(x)T0,

所以0<八(久)］,所以0<—a］时，即实数a的取值范围为［一；，0)

【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【分析】（1）/（%）=a（x+1）^,对a分类讨论确定导数在不同区间正负号，即可求得函数的单

调区间；

（2）设公切线与y=/（吗和了=。（久）的切点分别为（久i，at〃i）,（b,一块），根据导数的几何意义求得切线方

程，

转化为—。=（久（久1>0），设八（久）=利用导数求得函数以吗的单调性与极值，得出

函数八（久）的值域，即可求解.

20.【答案】（1）证明：若a=],则平面DCGH、平面C夕PG为同一个平面.

连接BH、BF',则M是中点，M是中点，

所以平面MBF与平面重合，平面MHF’与平面重合，

由正方体性质可知BF，平面EFF'H,

因为HF、FPu平面所以，BF1HF,BF1FF',

ZHFF1为二面角H-BF-F，的平面角，

因为HG=FG,乙HGF=』,则ZHFG=同理可得ZF'FG=%

所以所以，平面MBF_L平面M'B'F'

（2）解：假设存在a,使得直线M'F’1平面MBC,

以C为原点，分别以方、DC,次的方向分别为％、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,

则C(0,0,0)、BQ,0,0)、M(l,-1,1),故方=(2,0,0)、CM=(1,-1,1),

设平面MBC的法向量为方=(%,y,z),则工厂y+z=0,

取y=l,得记=(0,1,1)是平面MBC的一个法向量，

取CG的中点P,BF的中点Q,连接PQ、PM,贝IJP(O,0,1),

因为|MG|=|MC|=J/+(-1)2+12=遍,则PMICG,同理可知，PM'1CG,

因为BQ〃CP,BQ=CP,BQ1BC,则四边形BCPQ为矩形，所以，PQ工CG,

于是NMPM，是二面角M-CG-的平面角，

ZMPQ是二面角M-CG-Q的平面角，

“PM，是二面角Q-CG-”的平面角.于是ZMPM=a,

因为由=(1,—1,0),而=(2,0,0),cosNMPQ==晟=:，

因为0<NMPQ<TT,则NMPQ=%所以"PM'=a—$

因为PM1CG,PM'1CG,PMnPM'=P,PM、PM'u平面MP",

所以，67；1平面”「犷，且|ATP|=|MP|=&,

故M(V^cos(a-务y/2sin(a-^),1),同理F'(2cosa,2sina,2),

所以MF=(2cosa-V^cos(a—*),2sina—42sin^a—^),1)>

\S^j2cosa—V2cos(a—^)=2cosa—V2cosacos—yj2sinasin=cosa—sina,

2sina—y/2sin(a—J)=2sina—\[2sinacosy+V2cosasin^=cosa+sina,

444

所以MF'=(cosa-sina,cosa+sina,1)，

若直线MF,J"平面MBC,沅是平面MBC的一个法向量，则MR//沅，

»(cosa—sina=0

即存在AeR,使得M'F'=4沅，贝1Jcosa+s讥a=九

1=A

因为0+A2=(cosa-sina)2+(cosa+sina)2=2,可得#=2,

cosa—sina—0

故方程组cosa+sina=4无解，

、1=A

所以不存在ae(0,兀)，使得直线MF'1平面MBC

【知识点】平面与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及

求法

【解析】【分析】(1)当a=]时，推导出二面角H-BF-尸为直角，结合面面垂直的定义可证得结论成

立;

（2）假设存在a,使得直线MF1平面MBC,建立空间直角坐标系，求出平面的法向量记，将MR

的坐标用a的表达式表示，设沅，可得出关于2、a的方程组，解之可得出结论.

2L【答案】（1）解：由题意,

在△力中，由余弦定理和a+b=c+h可得，.

_a2+b2—c2_(a+h)2—c2—2ah_(c+/i)2—c2_+2ch,

COSC=2ab-=2ab=2ab1=>

又由面积公式可知2abs讥。=ich,ab=

乙乙OLI

得

1+cosCh+2c/i.।hrhr_wbAH1+cosC_7

-LF-二I\二1+5-'出C-3二5"一一6

sinC2ch2csinL0

r.喧C亍C

▽sinC2slcos=tan£,

乂1+cosC=l+2cos2^—1

.C6

••tCLTlq=q

2tan-2x784

•*•tCLTlC~=

2_3613

1—tan21-49

（2）解：由题意及（1）得，

ih1

在△/雨中，1+五=磁.

过3作4B的垂线EB,且使E3=2%，贝!JCE=CB=a,

'-'a+b=c+h>\AE\,即(c+h)2"+4eMA<1,

h4

1<1+五巧

143c

：•1<----不〈万，,•TT<tClXl<1

tan^34z