2023-2024学年江西省宜春市丰城市高三年级上册开学考试数学试题（附答案）

o

2023_2024学年江西省宜春市丰城市高三上册开学考试数学试题

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.已知集合,=W°V3},8={x[l<x<4},则/0人（）

A{x|l<x<3}B{引0<x<4}

C{x|l<x<3}D{^10<x<4}

O

—1\/—1

而2a>b>0”是“a6”的（）

抑

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知函数/@）=/-（26-4户+3在上不单调，则实数6的取值范围是（）

0000

A.（f1卜]3，+。）B（1,3）c.（Tl）D.（一4）。*#）

喙

f（x）=--------

4.函数4一"-4、的部分图象大致为（）

O

教

1x2+3

OA.y=X+xB.片仁

y=sinx+———0<x<—

Qy=ex+e~xDsinx12

M（M+1）

6.已知数列｛%｝满足：%+电=0,%+2+（T）22=2,则数列包｝的前100项的和为

（）

A.50B.98c.10°D.皿

O

e'+l,x<0

7.已知函数怔-4x+->0,g（x）=/-办+1,若”g（/，））有6个零点,则0

的取值范围为（）

3

AI??BS3C（3，+叫DB-

—b=1n—c=—

8.已知。二。8,8,8,则Q,力，0的大小关系为（）

A.c<a<bB.a<c<bc.c<b<aD.b<c<a

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9.记S"为等差数列｛“"｝的前"项和，则（）

A.S6=2S4-S2B.$6=3区-邑）

S2^4^6

C.S%S—筋,$60一又，成等差数列D.万，4,不成等差数列

QX-I

10.已知函数一1+"+2,且满足/（%+）（加-2）>4,则实数用的取值可能为

（）

A.-3B.-2C.1D.2

H.设函数/（X）是定义在（°，+"）上的函数，并且满足下面三个条件：①对正数x,y都有

/（xy）=/（x）+/（y）；②当x>l时，"x）>°；③/⑹=3,则下列说法不正确的是（）

AiI

C,不等式/（x）+/（x-3）<2的解集为｛x|-l<x<4｝

Jo"

D.若关于x的不等式/（履）+/*一苫）*2恒成立，贝匹的取值范围是「9_

12.已知方程2e21n2x-3exlnx+x2=°（e为常数），下列说法正确的有（）

A.X=e为方程实根B.21n3<31n2

C.方程在（°，1）无实根D.方程所有实根之和大于3e

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）

13.若命题？：“VxeR,2*-2x-2N0,,,贝为

y=—x3-x2+(1+V3AX-2

14.设点尸是曲线.317上的任意一点，曲线在点尸处的切线的倾斜角为

a,则a的取值范围是.(用区间表示)

15.已知函数<'，若。，，eR,。+方=2022,则

/(a+22)+f(b-2044)=.

16.己知定义在色+动的函数/(X)的导函数为,(X),且满足了'6)>2/3-'

/(1)=e+/,则不等式/(Inx)>x2+x的解集为.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算)

17.已知命题?：关于x的方程办+2/_“_6=0有实数根，命题+

(1)若命题R是真命题，求实数。的取值范围；

(2)若〃是夕的必要不充分条件，求实数的取值范围.

,、。幺工强工&上,an..2/7+3

18.已知数列包｝满足222232"2"

(1)求数列｛"'｝的通项公式；

JS<1

⑵记数列Uq+J的前〃项和为为证明.”2

19.己知函数/(x)="°g2H.

⑴求"x)在12'」上的最大值;

(2)设函数/(X)的定义域为/,若存在区间/三/,满足：对任意网€“，都存在％e。,使得

/(网)=/色)，则称区间A为了CO的“「区间，，.已知‘3一现"1万'2_,若/-为

函数/(x)的，，:T区间，，，求。的最大值.

20.已知函数/(")="+1-xMx的图像在》=1处的切线与直线x-y=°平行.

⑵若对任意的“"（0,+8）,且…都有一…＞见…）,求实数加的取值范

围.

/(x)=x+—

21.已知函数%

s

什/0)=3,求X+J_

(1)右x的值;

⑵设g（x）=小＞2相），若对任意江小2],由）-g（x*I恒成立，求实数.的取值

范围.

22.已知函数

（1）讨论函数/（X）的单调性;

（2）若函数/（x）有两个零点为，%2,且占＜彳2,曲线夕=/（》）在这两个零点处的切线的交点的

横坐标为心，证明：m＜a.

1.B

【分析】根据并集的知识确定正确答案.

【详解】，U8=={X|0WX<4},

故选：B

2.A

【分析】根据充分必要条件的概念求解.

11b-anii

【详解】由a>6>。，得。bab，即。6,

但若。石，取"则a>〃>。不成立，

-1</-1

所以“a>b>0”是“a6”的充分不必要条件；

故选:A.

3.B

【分析】根据二次函数的对称轴和定义域的关系，列式求解.

【详解】函数/3=x2-(2b-4)x+3的对称轴x=/,_2,

因为函数/(x)在QU)上不单调，

所以一1<6-2<1,得1<6<3.

故选：B

4.A

【分析】先判断函数的奇偶性，再根据x趋于正无穷时函数值大于0可得到答案.

f(_(_X)_—"\

【详解】因为八"一4'-4、一⑴，又函数的定义域为{小*。},故/(x)为奇函数，排

除CD；

根据指数函数的性质，了=4、在R上单调递增，当x>°时，x>-无，故4T<4、，则/(x)<°,

排除B.

故选：A.

5.C

【分析】根据基本不等式，逐项判断，即可得出结果.

1、C1

V—XH—22X——

【详解】对于A选项，当x>°时，x,当且仅当x,即x=l时，等号成立；

1

y=x+—=<-2_x=--

当》<。时,x,当且仅当x即x=T时，等号成立；故

A错误;

22

X+3X+211=VX2+2+^-1——>2

lx2+2J无2+2\]x2+2

对于B选项,6+2,当且仅当

'+26+2,即Jf+2=1时,取等号，而J-+2=l显然不成立;函数取不到最小值

2,故B错误；

对于C选项，了="+"*22,当且仅当e'=eT,即x=°时，等号成立；故C正确;

0<x<£y=sinx-1----->2A/sinx------2

对于D选项，因为2,所以°<sinx<l,又sinxVsinx,当且仅

1

sinx-----.

当sinx,即sinx=l时，等号成立，但sin"l,故D错误；

故选C

本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式，并注意取等号的条件即可，属于常考题型.

6.C

【分析】根据对〃的分类讨论，令”=123,4可得名+%=4,%+&=0,进行归纳可得规律

。*+。*=0,a«->+a«=4(^eN，),再进行求和即可得解.

n(n+l)

［详解］由“2+(-1)2%=2,%+的=0,

令〃=1、2、3、4,a〃+2+(Tp-%=2,

可得%=2,%-％=2,

两式相加可得“3+%=4,%+&3=2,%+%=2,

两式相加4+%=0,%-%=2,%-。6=2=%+［=4,

进行推论归纳可得%=+%j=0,%+%=4(斤—*),

所以，对任意的丘N*,a4k一3+。4"2+%+%=4,

所以，数列｛""｝的前100项的和为4x25=100.

故选：C.

7.B

【分析】作出函数/（X）图象，进行分析，g（x）=x2-ax+l最多有两个零点，根据/（x）最多

4个零点，用数形结合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果.

【详解】由题可得函数图象，当先=°或2（上＜3时，/（*）=上有两个解；

当0＜上＜1时，/00=后有4个解；当1＜左《2时，有3个解；

当人＞3时，/（》）=后有1个解；

因为g（x）=x2_G+l=0最多有两个解.

因此，要使＞=g（/（x））有6个零点，则g（x）=，-"+1=°有两个解，设为勺，忆

则存在下列几种情况：

①“x）=勺有2个解，/«）=勺有4个解，即占=。或2＜匕＜3,0＜右＜1,显然g（°）/°,

g(o)>ofl>0

g(l)<02—a<0

g(2)<0

5—2a<0510

a

.g(3)>。G2'T

则此时应满足即10-3a〉0,解得

②"x）=左有3个解，/（"）=内有3个解,设左〈右即1＜匕＜2,1＜色42,

g(l)=2-a>0

g(2)=5-2a>0

A=a2-4>0

1＜-＜2

则应满足〔2，无解，舍去,

综上所述，。的取值范围为眸3

故选：B.

方法点睛：解决复合函数零点个数问题的时候，常用数形结合分析，分析各种情况后，往往会

用到零点的存在性定理或根的分布情况来确定参数的取值范围.

8.D

【分析】构造'（x）=e'-（龙+1）,x<0,求导得到其单调性，结合得到

“,'；构造g（x）=lnx-（l）,x>l,求导得到其单调性，结合g（l）=。得到

,91

In—<—

88,即6<c,从而得到答案.

【详解】构造力G）=e'-（x+l）,x<0,则〃（x）=e'T<。在S，0）上恒成立,

故〃（x）=e'-（x+1）在（-8,0）上单调递减，又“0）=e。-1=0,

故18）,故8,

构造g（x）=lnx_（xT）,x>l,

则一x（在（L+00）上恒成立，故g（x）=lnx-。-1）在（1，+8）单调递减，

£（1）-1111-0-0g（g]<g（0）=0In--—<0In—<—

又U.U,⑶，故88，即88,

故6<c,

综上：b<c<a

故选：D

构造函数比较大小是常考内容，以下时常用的不等式放缩，ev>ex,e->x+l,

iii,rii

ir<n'iIn—<——1-：<ln—+1<—

n一l人XX,1+x1尤）X等，观察要比较的式子结构，选择合适的

不等式.

9.BCD

【分析】利用等差数列求和公式分别判断.

n（n-\）d

S„=a,nH——------

【详解】由已知得2,

A选项，$6=6%+151,$4=4%+63,$2=2q+",所以2s彳-邑=6q+11"w$6,人选项错

误；

B选项，3（54一52）=6%+15"=》,：6选项正确；

C选项,$2“=2am+〃（2〃-l）d=2am+（2〃2_"AS4ll=4ain+2n（4n-l）d

22

S6n=6axn+3n(6n-1)(7S4n—S2n=2a1n+(6H—n^dS6n—S4n=2a1n+^1On—n^d则

2

S2+S6n-S4n=4%几+(12n-2n^d=2124几十(6〃？一=2(^S4n-S2n)

C选项正确；

S、2。[+ddSA4al+6d3,S66ax+15(757

....------------6Z,H-----------=-----------=Q]H----d—ClyH----Cl

D选项，222,442662,则

—+—=26Z.+3<7=2x—

264,D选项正确；

故选：BCD.

10.AD

/\_C_I

【分析】令队"一E+则g（x）=/（x）一2.讨论g（x）的奇偶性和单调性，由

/（叫+/（加-2）＞4得gW）＞g（2-加），由g（x）的单调性得小＞2-切,解出实数加的取值

范围即可得到答案.

【详解】令式则g（x）="x）-2,因为

z\z\e'—1e-A—1cx—11—e'

）+N（f）=-------FexH------------ex=--------F-------=0

v7v7ex+le-x+le%+lex+l,

所以g（x）为奇函数.又因为g"）-le'+l+ex,所以根据单调性的性质可得g（x）为增函数.

因为/"）+/（/一2）＞4,所以/（/）-2+/（加-2）-2＞0,等价于gM）+g（加-2）＞0,

即g（刃2）＞_g（机_2）=g（2一S），

所以小＞2-"?,即加+加-2＞0,解得小＜一2或/77＞1,

所以实数加的取值范围为（一叫一2川（1,+%.

故选：AD

11.ACD

【分析】利用赋值法求I判断A,B,判断函数的单调性，利用单调性化简不等式,

判断CD.

【详解】因为对正数为》都有/（孙）=/（'）+/&）,

所以〃lxl）=/（l）+/（l）,

所以/⑴=°,A错误;

由已知/（2x2）=/（2）+/（2）,/（8）=/（4）+/（2）,/（8）=3

所以《"I又小可=飞）+壮I,

所以心Sj,

所以⑷，B正确，

任取两个实数2々€（0，+°°）,且不<彳2,则

/伍）-/（王）=/卜：］-/（%）=/（七））=/［三］

三>1

因为0<%<%2,所以项,

又当X>1时，小）>°,所以/if

所以/（3）-/（%）>0,故/（々）>/（当），

所以函数/（X）在（°，+°°）上单调递增，

又不等式/3+/。-3）<2可化为

/（X）+-3）</（2）+/（2）,X>0,X-2>0；

所以小（x3）］</（4）,工>2,（此时已经可以判断c错误）

所以f_3x_4<0,X>2,

解得-1<X<4,且无>2,

故2<x<4,c错误；

不等式“2+/*-x）W2可化为

/出（3-切4/（4）

，kx>0,3-x>0,

所以丘（3-x）44Ax>0,3-x>0

当人=0时，依=0,/⑺没有意义，不满足要求，（此时已经可以判断D错误）,

4

k<----

当后>。时,工(3-1)，0<x<3,

由已知，_工(3X)_min,0<X<3,

x(3-x}=3x-x2=-fx-—+—efo,—

当0<x<3时，V7I2)4I4」

0<W

所以

k>4

若4<0,贝I］X<O且x(3-x),

,「Jx（3-x）

由已知，LV—max,

x（3-x）—3x-1x—|H—G（_co,0）

当x<0时，I2）4,又左<0,

所以不存在人满足条件，

fo,—

所以％的取值范围是I9」，D错误，

故选：ACD.

12.ACD

Inx11“、Inx

t——t=-t=—f（x）=

【分析】将方程等价为X,则e或2e,构造函数X,又导数求解单调性,

结合极值点偏移，即可构造函数"（x）=/Qe-x）一/（x）求解.

=。可化为2/竽一3若+1

=0

［详解］方程2e21n2x-3exlnx+x2

即［喏-心*1>0,令,弋,则W或

^/（x）=—/。）=中

令工，》，

令"x）>0=0<x<e,所以"x）在（°，e）单调递增，在伞，+°°）单调递减，

.-./（x）</（e>-/（l）=0,/（3）=—>/（4）=—=—

O—e且〜八）3八）42,所以21n3>31n2,故B错误,

故当0<x<l时，〃x)<°,此时方程在(0,1)无实根，A正确,

lux_1

令x2e的两个根为玉，％2,且王<12,则1<否<e〈X2,2e_Xi〉e,

又了(2e-X1)-/(%)=/(2e-X1)-/(xJ

^H(x)=/(2e-x)-/(x)=^^—^-^(l<x<e)

'S

ln(2e-x)-llnx-1

W(x)=(2e-x)2+x2

则

gi)jL<o

H'(x)接近于往-。

当x无限接近1时,

“、-3+21n(2e-x)3-21nx

772(X)-.......-------j____________

令加(x)=7T(x),则(2e-x)3

-11+61nx<.

n(x)=--(1<x<e),九'(x)=/<，所以“(X)在l<x<e上单调递减,

3-21n(2e-x)3-21nx

故往-葛<丁"

由于2e-x>x,所以〃(2e-x)<〃(x)

一)=一3+2皿2-)+9

=7t(x)-H(2e-x)>0

所以(2er)*

故m(x)="(x)在i<%<e上单调递增,

H'(x)<"'(e)=0,故"(x)在l<x<e上单调递减，故")=。,

即/(2e-x)>/(x),故/(x2)=/(xj</(2e-xj,

x2>e,2e一项>e,x2>2e-占艮0可项+%>2e

Inx_1

又xe时,二e

所以方程所有实根之和大于3e.

故选：ACD

方法点睛：

1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等

式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为

函数的单调性、极(最)值问题处理.

2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要

注意分类讨论和数形结合思想的应用.

3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，

如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

13eR,x2+2x+2<0

【分析】利用全称命题的否定求解即可.

【详解】全称命题的否定步骤为“改量词，否结论”，

所以命题？：“也61<,2，-2X-2*°”的否定为”.土：e1<,*+2苫+2<°

故答案为尹eR,x2+2x+2<°

四工］

【分析】求出导数确定斜率的取值范围，由此得倾斜角的范围.

2

［详解］因为V=丁-2x+l+V3=(x-l)+V3>V3；

所以曲线上点尸处的切线的斜率的取值范围为+8),gptan«>V3(

又ae［O,兀)，

所以夕的取值范围是13'2l

工口

故］3'2人

15.9

【分析】根据题意，由函数的解析式可得〃x)+/(-x)=9,又由。+6=2022,变形可得

f(a+22)+f(b-2044)=/(a+22)+/［-(«+22)］；由此可得答案.

【详解】因为V+e>/,所以正式>闭，所以A'e-x>。,

所以函数/(X)的定义域为R,

又/(%)+f(-%)=InQx2+e-x)+2x+4+ln(V^2+e+x)-2x+4

=ln|(y/x2+e-x)(\lx2+e+力+8=lne+8=9

因a,a+b=2022,

所以/+22)+f(b-2044)=f(a+22)+/(2022-a-2044)=/(a+22)+/(a+22)],

所以/(〃+22)+/(b-2044)=9

故9.

16.（…）

/(x)1

g（x）=

【分析】根据导数不等式构造函数e2je、，求导确定其单调性，则可将不等式

/（山x）＞x2+x化为gOnx）＞g（1）,即可求得不等式解集.

【详解】设函数纵~e，,xe（O，+°°）,贝u

22

/Xx)e^-2eV(x)2/(x)1_/(x)-2/(x)+e^

g'(x)=-------4-x------1--=-----Z-----1--=------------

ee2xee2x

因为/'(x)>2/(x)-e,所以_f(x)-2/(x)+e，>0,则函数g(x)在xe(。,+⑹上单调递增,

g(l)=4)-1=e±^-1=lg(lnx)="一4小一！

则“e2ee2e,、)e21nxeln%x2x

/(Mx)1

不等式/(111》)>工2+》可化为/x,即g0nx)>g(l),

所以lnx>l,解得x>e,故不等式得解集为&+00).

故答案为.3+00）

关键点点睛：本题考查了导数与函数的单调性以及构造法的应用，属中等难度题.解决本题的

关键是将含导数的不等式构造函数从而解决函数单调性问题，构造函数需从导数的四则运算与

基本初等函数求导公式入手.

(2)-1(加工0

【分析】（1）依题意命题〃是假命题，即可得到A＜。，从而求出参数。的取值范围;

⑵记"={0-24aW3},"={a|加-14aW加+3},依题意可得口A,即可得到不等式组,

解得即可.

【详解】（1）解：因为命题”是真命题，所以命题。是假命题.

所以方程*~2ax+2a2—a—6=°无实根,

以A=(-2Q)2—4(2/—Q-6)=-4Q?+4a+24<0

即1_"6>0,即("3)(a+2)>0,解得q>3或”-2,

所以实数。的取值范围是(-8,-2)0(3,+◎.

(2)解：由(1)可知。：-24。43,

，己4={Q|-2«Q«3}B={a\m-1<a<m+3}

(m-I>-2

因为〃是4的必要不充分条件，所以BE]A,所以1"+343(等号不同时取得)，

解得-1W加W0,所以实数机的取值范围是TWmWO.

18.⑴"”=-2〃+1

(2)证明见解析

_]3+%+乌+…+宅=^^

211

【分析】(1)根据题意，求得G=T；当〃22时，可得222-2-两式相

减得，得到“"=一2〃+1,进而求得数列{""}的通项公式；

,1,1111、

b=---------b=---------=—(------------------)

(2)令"n得到"ni"+i2212〃+1,结合裂项法求和，求得

S„=-———

24〃+2,即可得证.

,、3+幺+殁+%+…+组

【详解】(1)解：由题意，数列佗/满足222232"2",

当〃=]时，可得+221~2,解得％=T；

3+幺+与+乌+…+宅=纯

当“22时，可得222232-12"一，

c1n2〃+32〃+12〃+3—4〃—2—2〃+1

两式相减得吩=丁一方丁F=2",所以。"-2〃+1,

当力=1时，%=T,适合上式，

所以数列{%}的通项公式为。“=-2〃+1.

(2)解：令“为9+|,由0“=-2”+1,

a(一2〃+1)(—2〃-1)(2〃—1)(2〃+1)2212〃+1

可得n.%+1

S」(1-+-^―)=-(1———)=-———

所以2335572n-\2〃+122n+V24〃+2,

*-------->0s<一

因为〃eN,可得4〃+2,所以2.

1八

—<Q«2]

19.（1）当2时，〃幻的最大值为1；当。>2时，"X）的最大值为142〜

（2）1

【分析】（1）根据条件分2,1<。42和。>2三种情况，判断〃（x）的单调性，然后求出

最大值；

11

一<QV17/、

（3）根据定义分2和1<。42两种情况求出加幻的值域，然后结合“:T区间”的定义和恒

成立思想，求出。的最大值.

【详解】（I）函数/（x）=®g2x1

的图象如图所示,

由题意知，2=1,

—<a<\rln

①若2,则/（X）在2,©上单调递减,

可得/⑶的最大值为-1;

②若1<。42,则/（X）在写,1]上单调递减，在口,幻上单调递增,

=1

可得/⑷"（2）一八2,

所以"X）的最大值为1;

③若。>2,则/（X）在"I上单调递减，在口,旬上单调递增,

可得了⑷,

所以函数的最大值为〃a）="820,

1c

—<a<2

综上，当2时，的最大值为1,

当a>2时,"X）的最大值为bg2a.

（2）当时，，（x）在上的值域为（一脸刈，，（x）在［凡2］上的值域为［0,1］,

因为满足：对任意不e",都存在Z©。"使得/（网）=/卜2）,

所以（一噫叫W刈，成立；

为函数/（x）的，，「区间，，,

此时

当1<°V2时，"x）在上的值域为［°』，/（x）在［。,2］上的值域为［晦刈,

当14巧<。时，/（Jf,）</（a）=log2a；所以叫/（x,）g［log2a,l］

即存在再对任意％使得/（国》/（々），

所以［了1不为函数/&）的“「区间”，

所以。的最大值是1.

20.⑴极大值为e+1,无极小值

【分析】（1）根据导数的几何意义求得。=2,再利用导数判断/（X）的单调性和极值；

nx

22加V1-1

（2）由题意分析可得gaA/QAM,在（0,+8）为增函数，进而可得X在x>0恒

成立，构建'/X,利用导数判断其单调性和最值，即可得结果.

【详解】⑴由题意可知/a）=如+1一”曲的定义域为（（），+8）,且/'（x）="-l-Iwc,

可得/（x）的图象在“0/⑴）处的切线斜率为/'（1）="一1,由切线与直线x-y=。平行,

可得a-l=l,即a=2,

=2x+1-xlwc/z(x)=1-lnx

由/«x)>0,可得0<x<e,由/'(x)<°,可得X>e,

则/（X）在3）单调递增，在0+%单调递减，

可得/（x）在x=e处取得极大值为e+1,无极小值.

(2)不妨设网>“2,则再一马>0

若V无1,工2e(O,+(»)内一马2

可得/(X|)-/(X2)>TMX；一机芯，即有/(占)-〃*>f(x2)-mx^

设g(x)=/(x)-s?在(0,+co)为增函数,

即有g'(x)=l一扇-2必20对》>0恒成立,

2加4上巫

可得X在X>°恒成立，

7/、1-lux、Inx-2

令)X,则“(X)的定义域为(°，+"),且

由可得0<x<e2,由可得X>e)

可得'(x)在(。，吟递减，在(e2，+°°)递增，

_J_

则在x=/处取得极小值，且为最小值e2,

c11

2m<——-m<-------

可得e-,解得2e-,

所以实数加的取值范围是

21.(1)18；

⑷*卓｝

⑵

【分析】(1)利用因式分解，凑配法代入计算;

(2)对任意尤”“2叩，2]，卜(再)-8色卜1恒成立,即为时,g(x)max-g(x)min<l；令

t=X+^,则‘小田，g(x)=g),分类讨论确定〃⑷的最大值和最小值，则

科)max-W)min1得。的范围.

/(x)=x+—=3

【详解】(1)由已知X,

,11,111,,

x3+—=(x+-)(x2-l+—)=(x+-)[(^+-)-3]=3X(32-3)=18

所以XXXXX.

(2)对任意为'€[1，2]加(占)-862卜1恒成立，即为xe[1,2]时,g(x)max-g(x)min<l；

g(x)—x1-\—--2Q(XH—)

xx,

_1

令_xX,设14%<工242,则再_/<0,X]X2-l>0

11一（X|一%）（王七—1）

t1-t?=再----%2<0

所以再XxX2,即92,

=1

tX—在[1,2]上是增函数，因此‘©[2，"

所以X

g(x)=h(t)=t2-2at-2=(t-a)2-a2-2Ze[2>j]

5259

①找2时，的）递增，阳而一如二性）一"（2）=「"2_（4_4”2）=3产

a空—<a<2

4,所以4一~；

②"4时，明递减，咐"“i（2）-心”4一一咛一5"2）9

=a—<1

4

小身

4,

所以24.

-<a<—\t-12

③42时，〃⑷在[2,4上递减，在L，2」上递增，W)mm=〃⑷=-。一一2W)皿=限),

9<5

2

/z(2)-A(a)=4-4«-2-(-a-2)<l)l<fl<3,所以^一“<5；

2<Q<95

@时，姐)在如]上递减，在“5」上递增，如焉=〃⑷=-/-2W)max=

5?537Q

/z(—)-h(a)=---5a-2—(-a2-2)<1—<a<—2<a<—

24',22,所以4.

513

[dI—4a«—）

综上，。的范围是4一一4

1

/=X-----

关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是用换元法X把函数g（x）转化为二

次函数〃（'），难点有两个一是换元时注意新元的取值范围，二是根据二次函数的对称轴分类讨

论求函数的最大值和最