2023年全国新高考II卷数学试卷及答案

高考

2023年新课标全国II卷数学

一、单选题

1.在复平面内，（l+3i）（3-i）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.设集合/={0,-。},B={l,a-2,2a-2},若/=B,贝!|。=().

2

A.2B.1C.-D.—1

3.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,

拟从初中部和IWJ中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200

名学生，则不同的抽样结果共有（）.

A.C加C短种B.C%.C品种

c.c：3c菰种D.C%C北种

_l

4.若/(x)=(x+“)lnJ为偶函数，则。=().

2x+l

A.-1B.0C.yD.1

2

5.已知椭圆C:?+/=l的左、右焦点分别为耳，F2,直线＞=X+与C交于A,B两点,

若△KN3面积是△耳面积的2倍，则加=（）.

V2_2

ABc----U.

-t-T-3-3

6.已知函数〃x）=*-lnx在区间（1,2）上单调递增，则a的最小值为().

A.e2B.eC.JD.e-2

7.己知a为锐角，cosa=匕咨，则sin1=(

).

42

八3—^5B-]+V^《3-石口-1+V5

.88.44

8.记S“为等比数列｛%｝的前。项和，若其=-5,$6=2电，则醺=（).

A.120B.85C.-85D.-120

二、多选题

试卷1

高考

9.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为。，AB为底面直径，44P8=120。，PA=2,点C在

底面圆周上，且二面角P-/C-。为45。，贝|().

A.该圆锥的体积为兀B.该圆锥的侧面积为46无

C.AC=26D.△P/C的面积为6

10.设。为坐标原点，直线7=-百(x-l)过抛物线C：/=2pxS>0)的焦点，且与C交于

M,N两点，/为C的准线，则().

Q

A.p=2B.\MN\=-

C.以MN为直径的圆与/相切D.为等腰三角形

11.若函数/(x)=alnx+§+/(aH0)既有极大值也有极小值，则().

A.bc>0B.ab>0C.b1+8ac>0D.ac<0

12.在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为

«(0<«<1),收到0的概率为1-&；发送1时，收到0的概率为£(。<£<1),收到1的概

率为1-0.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，

三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时,

收到的信号即为译码三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收

至U1,0,1,则译码为1).

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到I,0,1的概率为(1-&)(1

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,。，1的概率为£(1-£)2

C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为£(1-⑨?+(1-£)3

D.当0<a<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方

案译码为0的概率

三、填空题

13.已知向量心B满足卜-*5卜+4=悔-可，则问=.

14.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,高为3

的正四棱锥，所得棱台的体积为-

15.已知直线/：x-叼+1=0与G>C:(x-l?+/=4交于A,B两点，写出满足""BC面积

试卷2

高考

Q

为］〃的m的一个值______.

16.己知函数〃x)=sin®x+0),如图A,B是直线y=1■与曲线了=/(x)的两个交点，若

四、解答题

17.记的内角4民。的对边分别为a,6,c,已知。8C的面积为由，。为8c中点,

且=1.

JT

(1)^Z.ADC=—,求tan5；

⑵若〃+°2=8,求仇c.

18.已知｛。“｝为等差数列，"=数，记叫(分别为数列｛%｝，也｝的前。项

和，邑=32,4=16.

(1)求｛七｝的通项公式;

(2)证明：当〃>5时，Tn>Sn.

19.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经

试卷3

高考

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值C,将该指标大于C的人判定为阳性，小于

或等于C的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为0(c)；

误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为式C).假设数据在组内均匀分布，以事件发生

的频率作为相应事件发生的概率.

(1)当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率4(c)；

(2)设函数〃c)=p(c)+q(c),当ce[95,105]时，求/(c)的解析式，并求〃c)在区间[95,105]

的最小值.

20.如图，三棱锥/-BCD中，DA=DB=DC,BDVCD,AADB=ZADC=60°,E为BC

的中点.

(1)证明：BC^DA-,

(2)点F满足/=也，求二面角。-43-尸的正弦值.

21.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为卜2石,0),离心率为右.

(1)求C的方程；

(2)记C的左、右顶点分别为4，4，过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点，M在

第二象限，直线"4与私交于点P.证明:点尸在定直线上.

22.(1)证明：当0<x<l时，x-x2<sinx<x;

(2)已知函数/(x)=cosax-ln(l-/),若％=()是/(%)的极大值点，求。的取值范围.

试卷4

高考

新高考二卷参考答案

1.(2023•新高考II卷•1•★)在复平面内，(l+3i)(3-i)对应的点位于()

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

答案：A

解析：(l+3i)(3-i)=3-i+9i-3i2=6+8i,所以该复数对应的点为(6,8),位于第一象限.

2.(2023•新高考H卷•2•★)设集合/={0,-a},3={l,a-2,2a-2},若贝Ua=

()

2

(A)2(B)1(C)-(D)-1

3

答案：B

解析：观察发现集合A中有元素0,故只需考虑B中的哪个元素是0,

因为OeN,A三B,所以OeB,故。一2=0或2a-2=0,解得：a=2或1,

注意0不能保证月£8,故还需代回集合检验，

若a=2,则4={0,-2},5={1,0,2},不满足不合题意；

若a=l,则/={0,-1},5={1,-1,0},满足故选B.

3.(2023•新高考II卷・3・十)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分

层随机抽样作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高

中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有()

(A)c：〉cC种(B)种(C)C：jC北种(D)种

答案：D

解析:应先找到两层中各抽多少人，因为是比例分配的分层抽取，故各层的抽取率都等于总

体的抽取率，

设初中部抽取X人，KIJ—=--—,解得尤=40,所以初中部抽40人，高中部抽20

400400+200

人，

故不同的抽样结果共有C禽•C北种.

0y—1

4.(2023•新IWJ考H卷•4•★★)若/(x)=(x+a)ln----为偶函数，则。=()

2x+l

(A)-1(B)0(C)-(D)1

2

答案：B

解法1：偶函数可抓住定义/(-\)=/(X)来建立方程求参，

-2x-12r-1

因为/(%)为偶函数，所以/(f)=/(x)，即(―x+Q)ln，^」=(x+〃)ln三」①，

-2x+12x+l

H1——1[2x+1.,2x—1J[2x—1/A、GZg

而In------=In-----=ln(-----)1=-In-----,代入①得

—2x+12x-12,x+12x+1

2Y-1

(-x+6z)(-ln----)=(x+a)ln——,

2x+l2x+l

化简得：x-a=x+a,所以。=0.

解法2:也可在定义域内取个特值快速求出答案，

上二〉00(2x+l)(2x-l)>0,所以x<――或%>—,

2x+122

因为/(x)为偶函数，所以/(T)=/⑴，故(-1+Q)ln3=(l+Q)lng①，

而ln§=ln3i=—ln3,代入①得：(―l+a)ln3=—(l+a)ln3,解得：a=0.

试卷5

高考

丫2

5.(2023•新高考H卷•5•★★★)已知椭圆C:§+/=1的左、右焦点分别为月，

直线y=x+m与。交于4B两点，若M45的面积是转面积的2倍，则加=()

(A)-(B)—(C)(D)--

3333

答案：C

解析：如图，观察发现两个三角形有公共的底边AB,故只需分析高的关系，

作片G，N8于点G,工/，N3于点/,设AB与x轴交于点K,由题意，

曰期MG

=2,

Sj^AB\-\F2I\

Ffi=2,由图可知坐KGsA/^KZ,所以H=fg=2,故⑶K|=2禺K|,

所以

\FiK\\F2r

又椭圆的半焦距°="1=行，所以上£|=20=2也，从而|巴耳=中片闾=半,

故|OK|=|。刈-闺K|,所以K([>0),代入y=x+机可得0=+机，解得：

V2

m=----.

3

6.(2023•新高考II卷•6•★★★)已知函数f(x)=aex-Inx在区间(1,2)单调递增，则a

的最小值为()

(A)e2(B)e(C)e-1(D)e-2

答案：C

适析：/(x)的解析式较复杂，不易直接分析单调性，故求导，

由题意，f\x)=ae--,因为/㈤在(1,2)上/,所以r(x)20在(1,2)上恒成立，即

X

aex-->0①，

X

观察发现参数。容易全分离，故将其分离出来再看，不等式①等价于令

xe

g(x)=xex(1<x<2),

则g'(x)=(x+l)e，>0,所以g(x)在(1,2)上/,又g(l)=e,g(2)=2e?,所以

g(x)e(e,2e2),

故'因为。1在(1,2)上恒成立，所以。21=。，故a的最小值为

g(x)xe2eexee

7.(2023•新高考H卷•7•★★)已知a为锐角，cos@'+亚,则sin?=()

42

试卷6

高考

(A)三好(B)士或(C)三好(D)-1+V5

884-4-

答案：D

名力士匚1c-2a1+逐.23-V5

用牛祈：cosa=1—2sm——=--------=>sin—=---------，

2428

此式要开根号，不妨上下同乘以2,将分母化为4"

而卜1・2a6—2A/5(A/5—I)2rr.aV5—1

所以sin—=----------=-----------,故sm一=±------，

2164224

又a为锐角，所以4w(0,l，故sin4=®1.

2424

8.（2023•新高考H卷•8•★★★）记5“为等比数列应｝的前"项和，若其=-5,

=215,,贝1]$8=()

(A)120(B)85(C)-85(D)-120

答案：c

解法1：观察发现显，\，以的下标都是2的整数倍，故可考虑片段和性质，先考虑q

是否为7,

若｛%｝的公比q=-l,则/==0,与题意不符，所以qw-l,

故$2，S.-S2,S6-S4,$8-$6成等比数列①，条件中有£=2电，不妨由此设个未知

数，

设S2=m,贝U$6=21m，所以S4-S2=-5-m,S6-S4=21m+5,由①可得

(s4-s2y=s2(s6-s2),

所以(-5-"。2=加(21"2+5),解得：〃7=-1或*,

4

若m=-l.贝ljS2=-1,S4-S2=-4,S6-S4=-16,所以^-^=-64,故

Ss=S6-64=2bn-64=-85；

到此结合选项已可确定选C,另一种情况我也算一下，

若m=—,贝!I5,=—->0,而

424

2

$4=a1+%+%+%=%+出+%/+a2q=（%+?）（1+屋）=邑。+/），

所以S”与S2同号，故S,〉。，与题意不符；

综上所述，m只能取-1,此时Sg=-85.

解法2：已知和要求的都只涉及前“项和，故也可直接代公式翻译，先看公比是否为1,

若｛6｝的公比4=1,贝!J$6=6%w21s2=42%,不合题意，所以qwl,故—?）=—5

i-q

①，

又$6=2电，所以.（l_q6）=21-"«q2）,化简得：1一/=21。一/）②，

1-q\-q

又1—夕，=1—（，）3=（］一32）（］+夕2+,4）,代入②可得：（］_/）（］+g2+/）=2］（］_乌2）③,

两端有公因式可约，但需分析1-92是否可能为0,已经有0W1了，只需再看q是否可能等

于-1,

若g=_l,则S4=%"E=0,与题意不符，所以#-1,故式③可化为

1-（-1）

1+=21,

整理得：/+^2_20=0,所以/=4或-5（舍去），故要求的

试卷7

高考

%（1-力=%口-（4）］_255%④

\-q1-q1-

只差」了，该结构式①中也有，可由片=4整体计算它，

1-夕

将，=4代入①可得尔＞')=一5,所以上代入④得$8=一255*」=-85.

\-q1-q33

9.(2023•新高考II卷•9•★★★)(多选)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为

底面直径，/APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上，且二面角0-ZC-O为45°,则

()

(A)该圆锥的体积为万

(B)该圆锥的侧面积为46万

(C)AC=2也

(D)AP/C的面积为百

答案:AC

解析：A项，因为P/=2,ZAPB=120。,所以44尸。=60°,OP=APcosZAPO=1,

OA=AP-sinN4Po=由,从而圆锥的体积产=；S/z=；x%xxl="，故A项正确；

B项，圆锥的侧面积S=乃〃=7TX75x2=2百万，故B项错误；

C项，要求AC的长，条件中的二面角P-/C-。还没用，观察发现P/C和都是等

腰三角形，故取底边中点即可构造棱的垂线，作出二面角的平面角，

取AC中点Q,连接PQ,OQ,因为O/=OC,PA=PC,所以NC_L。。，AC1PQ,

故/尸0。即为二面角尸-/C-O的平面角，由题意，/2。。=45。，所以。0=。尸=1,

故加=JOT_eg=g,所以"=2/0=2收，故C项正确；

D项，PQ=^OP2+OQ1=V2,所以Svug/C,POngxZ亚x亚=2,故D项错误.

10.(2023•新高考II卷•10•★★★)(多选)设。为坐标原点，直线了=-6(尤-1)过抛

物线C:y2=2.(p＞0)的焦点，且与C交于M,N两点，/为C的准线，贝|()

(A)p=2(B)|〃M=|(C)以/WN为直径的圆与/相切(D)A0MV为等腰

三角形

答案：AC

解析：A项，在y=-6(%-1)中令＞=0可得％=1,由题意，抛物线的焦点为尸(1,0),所以

2

从而p=2,故A项正确；

B项，此处可以由直线MN的斜率求得再代角版焦点弦公式求

sina

但观察发现后续选项可能需要用M,N的坐标，所以直接联立直线与抛物线，用坐标版焦点

弦公式来算，

设”(西,必)，NH，%)，将＞代入丁=4x消去y整理得3x2-10x+3=0,解

试卷8

高考

得：x=1或3,

3

对应的y分别为2：和-2^3,所以图中A/(3,-2A/3),N(；,2：),从而

|A/A^|二玉+'2+P=g+3+2=,

故B项错误；

C项，判断直线与圆的位置关系，只需将圆心到直线的距离d和半径比较，

人=的中点Q到准线/:x=-l的距离=

233211

从而以MN为直径的圆与准线/相切，故C项正确；

D项，M,N的坐标都有了，算出|(W|,|CW即可判断，

10M=打+(-2。。=后,3|=4+(罕)2=浮,

所以UM，I。叫，WM均不相等，故D项错误.

11.(2023,新高考H卷•11•★★★)(多选)若函数/(x)=a\nx+-+-^-(<a0)既有极

xx

大值也有极小值，则()

(A)bc>0(B)ab>0(C)b1+Sac>0(D)ac<0

答案：BCD

解析：由题意，/(x)=q-与一与=竺上第3(x>o),

XXXX

函数/(X)既有极大值，又有极小值，所以/'(x)在(0,+oo)上有2个变号零点，

故方程-far-2c=0在(0,+oo)上有两个不相等实根，

A=(-bp-4a(-2c)>0①(保证有两根)

所以x=-->0②(保证两根同号)由①可得/+8ac>0,故C项正确;

Xl2a

x+x=—>0③(保证两根只能同正)

l2*a

由②可得£<0,所以Q，c异号，从而ac<0,故D项正确；

a

由③可得a,b同号，所以a6>0,故B项正确；

因为a,c异号,a,b同号，所以b,c异号，从而6c<0,故A项错误.

12.(2023•新高考II卷•12•★★★★)(多选)在信道内传输0,1信号，信号的传输相

互独立.发送0时，收到1的概率为a(0<a<l),收到0的概率为1-夕；发送1时，收到0

的概率为£(0</<1),收到1的概率为1-6.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单

次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译

码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次

数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1,则译码为1).()

试卷9

高考

(A)采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(l-a)(l-#)2

(B)采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为尸(1-尸尸

(C)采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为夕(l-〃r+(l-03

(D)当0<a<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输

方案译码为0的概率

答案：ABD

解柝A项，由题意，若采用单次传输方案，则发送1收到1的概率为1-£,发送0收到0

的概率为1-a,

所以依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-夕)(1-々)(1-夕)=(1-。)(1-夕)2,

故A项正确；

B项，采用三次传输方案，若发送1,则需独立重复发送3次1,依次收到1,0,1的概率

为(1-月)夕(1-夕)=力(1-夕)2,故B项正确；

C项，采用三次传输方案，由B项的分析过程可知若发送1,则收到1的个数

X〜8(3/_4)，

而译码为1需收2个1,或3个1,

所以译码为1的概率为P(X=2)+P{X=3)=C；(1—尸了尸+C；(1-£)3=3(1了月+(1一月了,

故C项错误；

D项，若采用单次传输方案，则发送0译码为0的概率为1-1；

若采用三次传输方案，则发送0等同于发3个0,收到0的个数/〜8(3,1-a),

且译码为。的概率为尸(y=2)+尸(Y=3)=C；(l-a)2a+C；(l-a)3=3(l-a)%+(l-a)3,

要比较上述两个概率的大小，可作差来看，

3(1-a)2a+(1-4-(1-a)=(1-«)[3(1-a)a+(1-a)2-1]=(1-a)(l-2a)a,

因为0<a<0,5,所以3(l-a)2a+(l-a)，-(1-a)=(1-a)(l-2a)a>0,

从而3(1—a)~(Z+(1—tz)3>1—,故D项正确.

13.(2023•新高考H卷•13•★★)已知向量a,b满足.=则

网=------

答案：V3

解析：条件涉及两个模的等式，想到把它们平方来看，

由题意，\a--a2+b2-2a-b=3①，

又+W=所以+=修"一6『，a1+b2+2a-b=4«2+b2-4ab,整理得：

a2-2a-b=0,

代入①可得"=3,即时=3,所以同=G.

14.(2023•新高考H卷•14•★★)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,

截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为.

答案：28

解析：如图，四棱锥与相似，它们的体积之比等于边长之比的立方，

故只需求四棱锥9-/蜴。A的体积，

=21^^=(1)3=1所以腺*=跖“4,故所求四棱台的体积

42/p_ABCD2o

V=7yp产一A苗B4C5r〃)1，

2

由题意，Vpr-勺A勺BC9]DUy=—3X2X3=4,所以忆=7X4=28.

试卷10

高考

【反思】相似图形的面积之比等于边长之比的平方，体积之比等于边长之比的立方.

15.（2023,新高考II卷•15•★★★）已知直线x-加歹+1=0与。C:（工一1）2+「=4交于

A,B两点，写出满足“A43C的面积为的m的一个值____.

5

答案：2（答案不唯一，也可填_2或工或-工）

22

解析：如图，设圆心C（l,0）到直线AB的距离为d®>0）,则%BC=：|“斗♦，

Q

注意到|4回也可用d表示，故先由5^^二；求d,再将d用m表示，建立关于m的方程,

又=21尸?—d2=2,4-屋,所以SXBC=义,d=，

Q,---------------Q

由题意，SMBC=三，所以J（4一屋）/结合d>0解得:

p,11+11272241

又d=।-/,所以~j=---=—j=或—j^=^==,解得：加=±2或土一•

2

V1+冽之41+冽2A/1+mA/5J1+加,V52

16.（2023•新高考II卷•16•★★★★）已知函数/（x）=sin（0x+?）,如图，A,B是直线

>4与曲线>=/（x）的两个交点，若陷或，则”上—.

蜂案.

1=1■

2

解法1:同=］这个条件怎么翻译？可用了=；求A,B横坐标的通解，得到|/8|,从而建

立方程求a）,

1rrSTT

不妨设。〉0,令sin（ox+。）=—可得。x+。=——或2左乃+——,其中左£Z,

266

试卷11

高考

jr54.24

由图知力/+0=2左TTH，3XB+（P=2卜兀~----，两式作差得：/（马―％）=—，故

663

2万

XB~XA=~9

3。

iJT'q'TT'TT

又|T45|=X—X=—，所以—=—，解得：。=4,则/(x)=sin(4x+(p),

BA63(o6

再求夕，由图知三是零点，可代入解析式，注意,三是增区间上的零点，且了=smx的

增区间上的零点是2〃乃，故应按它来求。的通解，

所以与+（p=eZ）,从而（p=2〃乃-浮,故/（x）=sin（4x+2njr-浮）=sin（4x-,

所以/（a）=sin（4»-夸）=sin（一杏）=.2/rV3

-sm——二

32

解法2:若注意横向伸缩虽会改变图象在水平方向上的线段长度，但不改变长度比例，则可

先分析=sinx与1，=工交点的情况，再按比例对应到本题的图中来，

.2

如图1,直线>=工与函数y=sinx在y轴右侧的三个/,J,K的横坐标分别为工，—,

266

13%

~6~1

所以叼=也一工=也，|加卜史-2="，凹：|麻1=12故在图2中

663663

।期:忸a=i：2，

因为阿=,所以忸q=(,故用=|四+忸q=],又由图2可知明=7,所以

71

~2

故。=7=4'接下来同解法1.

【反思】①对于函数.-sin(3x+e)(0>O),若只能用零点来求解析式，则需尽量确定零点

是在增区间还是减区间.“上升零点”用。x+0=2〃万来求，“下降零点”用

0X+夕=2〃%+7来求；②对图象进行横向伸缩时，水平方向的线段长度比例关系不变，当

涉及水平线与图象交点的距离时，我们常抓住这一特征来求周期.

17.(2023•新高考II卷•17•★★★)记AA8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

已知A4BC的面积为百，。为BC的中点，且ND=1.

-jr

(1)右Z.ADC=—,求tanB；

3

(2)若/+02=8,求b,c.

解：(1)如图，因为N4OC=工，所以NZQ5=也，

33

(要求tan5,可到中来分析，所给面积怎么用？可以用它求出5根如，从而得到B。)

试卷12

高考

因为。是8c中点，所以心g=25,助，又&BC=VL所以4的=事，

由图可知=L4D-BD-sinZAD2=Lxlx皮）xsinM=，^皮），所以/BD=",故

223442

BD=2,

（此时ZUBZ）已知两边及夹角，可先用余弦定理求第三边AB,再用正弦定理求角B）

在AABD中，由余弦定理，

AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cosZADB=l2+22-2x\x2x（-^）=l,所以43=近，

由正弦定理，———=皿，所以sin8=4P.sin//£>2=>-=£,

sinZADBsin8ABV72V7

由/ADB=可知B为锐角，从而cosB—A/1—sin2B=—9尸，故tanB='汕'=.

32,7cos55

（2）（J有关于be的一个方程，若再建立一个方程，就能求b和c,故把面积和中线都用

b,c表示）

由题意，S^sc=；bcsin/=6，所以besinZ=2退①，

（中线怎样用b,c表示？可用向量处理）

因为D为BC中点，所以屈=g（次+%）,

2AD=AB+AC,故4荷=际+就2+2万•就，

所以，+b2+2cbcosA=4,

将〃+°2=8代入上式化简得6ccos/=-2②，

（我们希望找的是b,c的方程，故由①②消去4平方相加即可）

由①②得匹2sid4+6浦cos,4=16,所以be=4③，

由=8可得（6+c）2-2为=8,

所以6+c=j2次'+8=4,结合式③可得6=c=2.

A

a-6〃为奇数

18.（2023•新高考H卷•18・★★★★）已知｛%｝为等差数列，6"="皿，记

[2%,〃为偶数

S”，7；分别为｛%｝,也｝的前0项和，$4=32,7；=16.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）证明：当〃>5时，Tn>Sn.

解：（1）（给出了两个条件，把它们用%和d翻译出来，即可建立方程组求解q和d）

由题意，凡=4%+61=32①，

4=4+4+”=（%—6）+2a2+（见—6）=%—6+2（q+d）+%+2d—6=4%+4d—12=16（2）,

由①②解得：％=5,<7=2,所以a“=%+（〃—1）（7=2〃+3.

（2）由（1）可得S="（%+%）="（5+2"+3）=〃2+4〃,

"22

（要证结论，还需求7；,由于b按奇偶分段，故求7；也应分奇偶讨论，先考虑”为偶数的

情形）

当〃（">5）为偶数时，T,=h+瓦+…+b”

—（Q]-6）+2^2+（%-6）+2%+•••+（Q〃一1-6）+2a八

试卷13

高考

—(4]+%+，•，+-6x—+2(%+%+•，，+，

因为qM3，…,an-\和。2M4，…”分别也构成等差数列，

n,、

不(%+Q〃T)川(5+2几+1)_/+3〃

所以%+%---a

n-\~-----------------4―2―

代入③化简得：北=日土即一3〃+2乂±±^=£±^,

222

(要由此证7；〉S〃，可作差比较)

所以7；-S.=”?；7〃_(方++)=>o,故?；>S.；

(对于"为奇数的情形，可以重复上述计算过程，但更简单的做法是补1项凑成偶数项，再

减掉补的那项)

3(n+1)27(n+1)

当〃(〃>5)为奇数时，T„=Tn+1-bn+1=^-

2%=3("+1)；7(〃+1)_2(2”+5)=3y"-1。,

所以北-S”="+；-10-(«2+4〃)

n2-3«-10(〃+2)(〃-5),m丁仆

=-2—=-^-->0,故(>S,；

综上所述，当〃>5时，总有[>S,.

19.(2023•新高考II卷•19•★★★)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患

病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该项指标的

频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性，小于

或等于C的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；

误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为式C).假设数据在组内均匀分布.以事件发生

的频率作为相应事件发生的概率.

(1)当漏诊率0(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率4(c)；

(2)设函数/(c)=p(c)+4(c).当ce[95,105]时,求/(c)的解析式，并求/(c)在区间

[95,105]的最小值.

解：(1)(给的是漏诊率，故先看患病者的图，漏诊率为0.5%即小于或等于c的频率为

试卷