2024年高中数学会考试题及答案

1.已知集合M={x[—l<x<2},N={x|y=«},则MuN=()

A.{x\x>-l}B.{x|0<x<2}C.{x|-l<x<2}D.{x|x>0}

2.命题“Vx>0,*2+3*-2>0”的否定是()

A.三元40,X2+3X-2<0B.3X>0,X2+3X-2<0

C.V%<0,X2+3X-2>0D.VX>0,X2+3X-2<0

3.使“a>b”成立的一个充分不必要条件是()

A.B.a3>b3

ab

C.a2>b2D.ac2>be2

x-3,x>0

4.设函数f(x)hI,”⑴*<0,若f(x)是奇函数，则加(-1)=()

A.-4B.-2C.2D.4

足不等式犷(x)<0的x的取值范围是()

试卷第1页，共4页

A.(-3,0)。(3,+oo)

B.(-3,0)50,3)

C.(-co,-3)u(3,+oo)

D.(f-3)。(。,3)

7.已知函数"x)=r+依+6(a》eR)的值域为[0,+8),若关于x的不等式/⑺<。的解

集为（加,加+8）,则实数c的值为（）

A.4B.8C.12D.16

8.已知定义在R上的函数满足〃x+y）=〃x）+）（y）+2J（l）=2,且当彳>0时,

/W>-2,则不等式/（尤2+x）+〃l-2尤）>8的解集为（）

A.{尤|彳<-2或无>1}

B.{%1元<-1或x>2}

C.{x|-l<x<2}

D.{尤|-2<x<l}

二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的

四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分,

不选或有错选的得0分.

9.已知集合河=卜1,1,2,4},N={1,2,4,16},请根据函数定义，下列四个对应法则能构

成从M到N的函数的是（）

A.y=2xB.>=忖C.y=x+2D.y-X2

10.下列不等式中正确的是（）

a+b

A.x—22B.\[ab<

X2

x2+55

11.图①是某大型游乐场的游客人数X（万人）与收支差额y（万元）（门票销售额减去

投入的成本费用）的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游

乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正

确的是（）

试卷第2页，共4页

A.图①中点/的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元

B.图①中点8的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡

C.图②游乐场实行的措施是降低门票的售价

D.图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用

12.已知函数〃力曰/菖办+而.乩给出下列命题，其中是真命题的是()

A.存在oeR,使得〃切为偶函数

B.若/(0)=〃2),则的图象关于x=l对称

C.^a2-b<0,则/(尤)在区间&+8)上单调递增

D.若a「b>k(k>0),则函数刈尤)=〃尤)-左的图像与x轴有四个交点

三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数/(x)=j2尤-3+—1的定义域用区间表示是___.

x-2

14.已知函数/(尤)=2%+3,g(x)=3x-左(心R).若/(g(%))=g"(切恒成立，贝IJ

k=.

15.已知函数卜龙是减函数，则实数〃?的取值范围是___.

[x-5,X>1

16.已知正实数x，y满足3d+7孙+2/=3,则9x+8y的最小值为.

四、解答题:本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.

17.设U=R,A={x|x2-4.r+3<0},B=,C={x|a<x<a+l,aeR}.

(1)分别求AcB,A口(JB)；

(2)若=求实数。的取值范围.

18.已知函数/(尤)=/+2*+。.

⑴当。=6,尤e[-2,3]时，求已x)的值域;

试卷第3页，共4页

(2)若不等式/(%)<0的解集中恰有五个整数，求实数a的取值范围.

19.某单位打算投资研发生产两种文创产品.经过调查，投资/产品的年收益与投资额

成正比，其关系如图①，投资2产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如

图②.(注:收益与投资额单位:万元).

(1)分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；

(2)该单位现有100万元资金，全部用于两种产品的研发投资，问:怎样分配资金能使一

年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？

20.函数〃同=胃是定义在(-2,2)上的奇函数，且〃1)=(

⑴确定的解析式；

⑵判断在(-2,2)上的单调性，并用定义证明；

⑶解关于f的不等式/。-1)+/⑺<0.

21.已知。，b,c都是正数.

⑴若a+b+c=l,证明：-+—+->9；

abc

(2)若Q+/?=1,求［4+；］［匕+:)的最小值.

22.设函数/⑴二色一词+26(Q,6£R).

(1)当°=-2,6=时，解方程/(丁)=0；

⑵当6=0时，若不等式/(龙)42元在xe［0,2］上恒成立，求实数。的取值范围；

⑶若。为常数，/(无)=。在区间［0,2］上有解，求实数匕的取值范围.

试卷第4页，共4页

1.A

【分析】求出y=G的定义域，再结合并集概念即可求解.

【详解】N=,|y=«}={%|%N0},所以MDN={X[%>-1}.

故选：A

2.B

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.

【详解】命题“V%>0,4+3%一2>0”为全称量词命题,

其否定为：3x>0,X2+3X-2<0.

故选：B

3.D

【分析】根据充分不必要条件的意思和不等式的性质可得答案.

【详解】只有当同号时才有!<[na>6,故A错，

ab

a3>b3<^>a>b故B错，

/推不出显然错误，

22

ac>be^a>bJ而反之不成立，故D满足题意，

故选：D.

4.D

【分析】利用函数奇偶性求函数值.

【详解】•.•函数”X)为奇函数，

"(-!)=-〃1)=-(1-3)=2,

当…时’/⑶f⑶*⑴=2小)

m(-l)=2/(-l)=4,

故选：D.

5.D

【分析】根据题意，由条件求得幕函数的解析式，再由累函数的单调性以及奇偶性即可得到

结果.

【详解】设幕函数为〃x)=/,由累函数的图像经过点/{2,可得[=2。，

答案第1页，共14页

解得a=-4,所以〃％)=无上则其定义域为｛x|xw。｝,

因为〃T)=(_X)T=XY=〃X),则函数为偶函数，故AB错误；

又因为〃x)=P,-4<0,则当x>0时，单调递减，故C错误，D正确；

故选：D

6.C

【分析】结合抽象函数的奇偶性，单调性和/(3)=0,画出简图，求解即可.

【详解】因为函数/(刈是定义在R上的奇函数，且/(工)在(f,0)上单调递减，/(3)=0,

所以Ax)在(0,+8)上单调递减，且/■(-3)=0,

当x>0时，由对'(x)<0得/(x)<0,即无>3,

当％vO时,由4*(%)〈。得upX<-3,

当％=0时，4>(%)=0不合题意，

所以满足不等式对3<。的元的取值范围是(f,-3)u(3,+8),

故选：C.

7.D

2

【分析】由题意可得公=/-46=0,即6=幺，所以不等式〃x)<c可化为，

4

22

X2+ax+———c<0,且加和机+8是方程X2+ox+———c=0的两个根，再利用韦达定理求解

44

即可.

【详解】:函数/(%)=%2+6+纵〃乃£!<)的值域为［0,+8),

2

「•A=/_4Z?=0,b=—,

4

2

不等式人>)<。可化为/+依+幺-。<0,

答案第2页，共14页

---不等式/(x)<c的解集为("?,"z+8),

2

「•根和机+8是方程兀2+依+幺一c=0的两个根，设玉=〃2,x2=m+8,

4

・i-I?

..F+%2=_Q，石％2=--------c,

|机+8-机|='（-a）。_-cj=8,角军得c=16.

故选：D.

8.B

【分析】利用赋值法可得/©）=10,再结合单调性的定义可知/（x）在定义域在R上单调递

增，对不等式整理可得/（V-x+l）＞/（3）,结合单调性分析求解.

【详解】因为〃x+y）=〃x）+〃y）+2,〃l）=2,

令x=y=l,则f（2）="l）+/⑴+2=6,

令x=2,y=l,M/（3）=/（2）+/（l）+2=10,

令X=X2，y=X1，且西＞尤2，则f（占）=/（*2）+/（百一%）+2,

整理得〃%）-/伍）=/（%-尤2）+2,

因为%＞尤2，则为一々＞0，可得/（西-龙2）＞-2,

所以“不）-/（工2）=/（为-*2）+2＞。，即/（M）＞/（马），

可知/（无）在定义域在R上单调递增,

又因为/（丁+*）+〃1-22＞8,即/（炉+*）+〃1-2彳）+2＞10,

可得+X+1_2*＞43）,即/（X2-X+1）＞/（3）,

结合在定义域在R上单调递增，可得/_彳+1＞3,解得x＜-l或x＞2,

所以不等式/（必+m+〃1-2》）＞8的解集为何x＜T或x＞2}.

故选：B.

9.BD

答案第3页，共14页

【分析】根据函数的概念逐一判断即可.

【详解】A,集合M中-1在集合N中没有对应元素，故A不选.

B,由函数的定义集合”中的每一个元素在集合N中都有唯一元素与之对应，故B可选；

C,集合M中1、4在集合N中没有对应元素，故C不选.

D,由函数的定义集合M中的每一个元素在集合N中都有唯一元素与之对应，故D可选；

故选：BD

10.CD

【分析】根据题意，由基本不等式的运算，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】当x<0时，彳+：=-卜)+卜£|卜一2/(-力15=-2,当且仅当x=-l时，等

号成立，故A错误;

当a<0,6<0时，4ab>^~,故B错误；

因为、+*=任+1)+*一止2，(/+1)・六一1=1,当且仅当仁+1)="时，即

x=0时，等号成立，故C正确；

%2+5/11

因为丁=,-24=、*+4+J24,令，丸+4=兀322,所以y=r+2

由双勾函数的性质可得，且>=/+；在［2,+00)为增函数，

所以当r=2时，y=r+；有最小值，最小值为2+g=g,故D正确；

故选：CD

11.ABD

【分析】根据一次函数图象，结合实际场景理解描述实际意义即可.

【详解】A：图①中N的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，正确；

B：图①中8的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，正确；

C：图②游乐场实行的措施是提高门票的售价，错误；

D：图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，正确.

故选：ABD

12.ACD

【分析】A选项，根据函数奇偶性定义得到A正确；B选项，可举出反例；C选项，由根的

答案第4页，共14页

判别式得到〃(x)NO恒成立，^f(x)=\x2-2ax+b\=x2-2ax+b,得到单调性；D选项，画

出的图象，转化为/(x)与y=3。〈々〈4一人的交点个数问题，数形结合得到答案.

【详解】A选项，当”=0时，〃尤)=,+4，定义域为R,

则八-对二卜4+^卜产+万卜/⑴，故/(尤)为偶函数，A正确；

B选项,〃0)=网，f(2)=\4-4a+b\,

若4a—b—4=%,即Z?=2a—2,不妨设a=0,则b=—2,

此时/(》)=--2|,满足〃0)=〃2)=2,

但〃切的图象不关于x=l对称，B错误；

C选项，^g(x)=x2-2ax+b,若/一。<o,即△=4/-46<0,

故人(x)20恒成立,故=|尤-2办+"=犬-2办+6,

对称轴为x=a,故/(x)在区间［a,+°°)上单调递增，C正确；

D选项，若a?-b>k(k>6,贝！］g(x)=Y-2依+6中△=44一46>0,

函数最值为6-左，画出g(x)=/-24无+匕的图象，如下：

则画出的图像，如下:

答案第5页，共14页

函数/7(x)=〃x)-左的图像与x轴的交点个数，即为与y=30<々<1-6的交点个

数，

显然有四个交点，故M尤)=〃尤)-左与x轴有四个交点，D正确.

故选：ACD

3_

13.[-,2)u(2,+oo)

【分析】直接由解析式求得X范围，表示为区间即可.

[2x-3>0^>-

【详解】由"X)解析式得，c八，解得2,

[尤-2工0-c

,[xN2

3

所以广(X)的定义域为勺⑵52,+8),

3

故答案为：勺，2)52,+℃).

14.-6

【分析】根据给定条件，代入计算即可求解.

【详解】函数解x)=2x+3,g(x)=3x-*R),由/(g(x))=g(〃x)),

得2(3x—幻+3=3(2x+3)—左，化简整理得一2k+3=9—左，解得％=-6.

故答案为：-6

15.[-2,-1)

【分析】分段函数单调递减，需满足每一段上均单调递减，且分段处左端点值大于等于右端

点值，得到不等式，求出答案.

答案第6页，共14页

m-2<0

【详解】由题意得+，解得-2W〃z<-l,

m-2>1-5

故实数相的取值范围是[-2,-1)

故答案为：[-2,-1)

16.6&

【分析】由已知得出(3x+y)(x+2y)=3,根据9x+8y=2(3x+y)+3(x+2y),利用基本不等

式求解即可.

【详解】由3炉+7胡+2/=3得，(3x+y)O+2y)=3,

贝!]9x+8y=2(3x+y)+3(元+2y)22j6(3x+y)(x+2y)=2A/6^3=60,

当且仅当2(3x+y)=3(x+2y),即尤=逑,>=述时，等号成立，

510

故答案为：672.

17.(1)AnB=1x|2<x<3},Al=(-<»,3)U[4,+(»)

⑵[2,3)

【分析】(1)先化简集合，再利用集合间的基本运算求解即可.

(2)由可得C=3,然后根据不等式的范围即可得出结果.

【详解】(1)A={x|尤2-4尤+3<。},A={x|l<%<3},

又由土心40,得尤-4)W0且无一4W0,

x-4

/.B=1x|2<x<41,/.AnB=1x|2<A:<31；

因图3=(-o),2).」4,+a)),

4」&3)=(—oo,3)I[4,+oo).

(2).BuC=B,

又C=[〃,a+1],3=[2,4),

[a>2

解得2W〃<3,

[a+l1<4

答案第7页，共14页

所以实数。的取值范围为[2,3).

18.(1)[5,21]

⑵[-8,-3)

【分析】(1)直接根据二次函数解析式即可求得〃工)的值域；

(2)根据二次函数的对称性，由等式/(幻<。的解集中恰有五个整数，则这五个整数必为

-3,-2,-1,0,1,数形结合得出;;解不等式组即可.

【详解】(1)当。=6时，/(X)=X2+2X+6=(X+1)2+5,

/⑺在[-2,-1)上单调递减，在[-1,3]上单调递增，

所以于(X)的最小值为/(-I)=5,最大值为/(3)=42+5=21,

故函数值域为[5,21].

(2)/(彳)=炉+2彳+。在(-<»,-1)上单调递减，在(T,+8)上单调递增，

根据二次函数图像的对称轴性，若/(x)<0的解集中整数解恰有五个，

则这五个整数必为,

所以f(x)存在一个零点七e(1,2],

所以[匕/(12))<纳0即〔183+”心。0解得独一8,-力

答案第8页，共14页

19.(l)/(x)=^x(x>0),g(x)=V2%(x>0),

⑵投资A产品50万元，B产品50万元时，获得最大收益15万元

【分析】(1)设出所求解析式，根据图象把点(1,0.1),(1,夜)分别代入解析式即可得解;

(2)写出收益的表达式，换元后利用二次函数求解即可.

【详解】(1)由题意，设/(x)=勺x,g(x)=k24x,

，左="1)=］，&=g6=&,

"(x)=*x(x20)，g(x)=尤20),

(2)设投资B产品x万元，则投资A产品为100-x万元.

那么，总收益>=/(100-尤)+8(尤)=岑尸+岳(OWxWlOO),

令t=0则丫=也二+"=」。-5同+15,

1010

所以当/=5后，即x=50万元时，收益最大，为展=15万元.

答：投资A产品50万元，B产品50万元时，获得最大收益15万元.

20.(l)/(x)=—xG(-2,2);

4—x

(2)增函数，证明见解析

⑶

【分析】(1)由已知得〃0)=2=0,/⑴=*=；,经检验，求得函数的解析式；

(2)根据函数单调性的定义可证明；

(3)根据函数的单调性和奇偶性建立不等式组，求解即可.

【详解】(1)解：由函数/(》)=签号是定义在(-2,2)上的奇函数，得/(0)=?=0,解得

Z?=0,

a।—JQIcue

经检验，6=0时，=-匚^一〃尤),所以"尤)=言是(-2,2)上的奇

函数，满足题意，

答案第9页，共14页

又〃1)=七=:，解得。=1,

故〃x)=二，尤«-2,2)；

(2)解：函数〃x)在(-2,2)上为增函数.证明如下:

在(-2,2)任取孙无2且不<工2，

(尤2_%)(4+%%2)

贝u/(w)—/(玉)=口一意>0

因为％2—2>0,4+玉%2>。,4一％；>0,4—>0,

所以/(々)一八占)>0,即/(尤2)>/(占)，

所以“X)在(-2,2)上为增函数.

(3)解:因为〃尤)为奇函数所以-/(*)=f(r),

不等式-1)+/(。<0可化为/。一1)<-/(0，即/(r-1)</(-?),

又在(-2,2)上是增函数，所以一2<"1<2,解得

—2<—t<2

所以关于,的不等式解集为

21.(1)证明见解析

【分析】(1)方法一：利用作差法证明即可；方法二：利用乘“1”法及基本不等式证明即可；

(2)方法一：利用基本不等式求出0<浦《；，贝(〃+：，6+[|24(/62+/+/+1),禾|]

用结合二次函数的性质计算可得；方法二：由(°+口[+；]="+；+*:,利用基本不

IQ八b)abab

等式求出的最小值，再由对勾函数的性质求出浦+1的最小值，即可得解.

abab

【详解】(1)方法一：a+b+c^l,且。，b,。都是正数，

答案第10页，共14页

a+b+ca+b+ca+b+c八

=-------+-------+---------9

abc

b+ca+ca+b/

=----+----+------6

abc

bc(b+c)++c)+ab^a+Z?)-6abc

abc

=a3a+6(二)一+«一妨Ng,当且仅当q=b=c=，时取等号,

abc3

以111c

故一十一十—29.

abc

方法二：a-^b+c=l,且。，b,。都是正数,

亡…111

所以一十7+一

abc

—H---F—\-(a+b+c

abc)

23+2、叵+2、空+2\曰=9,当且仅当a=6=c=:时取等号,

\ab\ac\bc3

r^-+-+->9.

abc

(2)方法一："、b都是正数,

:.a+b>2y[ab当且仅当。=b时取等号,

又，a+b=l,所以4ab<1,当且仅当Q=匕=g时取等号，

+^-Aab=4(Q2+1),?+1)=4(«2/?2+a2+Z?2+1

a+b=l,

「.(a+b)2=l,BPa2+b2+2ab=1,

/.4(a2b2++Z?2+1)=4(a2b2-2ab+2)=4^ab-1)2+1],Q<ab<^.

令/'(x)=4/T『+l],其中,

因为〃x)=4[(尤-1>+1]在[0,；上单调递减，

所以〃x)3n"W，所以[a+[]b+「的最小值为子.

方法二:因为，+口(6+口="+4+。+]

卜〃八b)abab

,a,6都是正数,

答案第11页，共14页

.­.-+->2.E^=2,当且仅当2=2,即a=b=：时取等号，

ab\abab2

又a+b=l,

Q<ab=a(l—a}<—,当且仅当〃=6=大时取等号，

令”防，下面即要讨论函数〃/)=£+；,的最小值；

首先,讨论函数“+；在，，上的单调性，

对V0<%<12<；,

W/(^2)-/(^1)=^2+--^1~~=(t2~t1)^-――=(,2_%)[^~~~〈0.

t2%I秘27\印2>

二函数"/)=/+;在]。,[上单调递减.

.•.当.=1，即4=6=!时，/«)=/+1取得最小值1Z.

42v7t4

/.f«+—Y/?4--^>|=6ZZ?+^-+—+-^>^-+2=^,当且仅当〃=b=]时取等号.

八abab442

22.⑴户%或x=4

(2)[0,2]

（3）答案见解析

【分析】（1）直接解方程即可；

（2）不等式〃尤）＜2尤在xe［0,2］上恒成立，即Hx-“|v2x在无目0,2］上恒成立，分情况讨

论x=0时与xe（0,2］时不等式情况，可得参数范围；

（3）分情况讨论分段函数的单调性与最值情况，可得参数范围.

【详解】（1）当a=-2,6=-?时，"无）=,+2，-15,

所以/（巧=卜3『+2/卜15=0,

即13）2+2炉=15或（尤3/+2彳3=一15,

解得尤3=3或*3=-5,

即尤=g或彳=行；

答案第12页，共14页

(2)当人=0时，〃彳)=卜2