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文档简介
2024年江苏省南京市九年级中考数学一模模拟预测题
学校:姓名:班级:考号:
一、单选题
1.2024的倒数是()
AB—C.2024D.-2024
'2024'2024
2.下列计算中,结果正确的是()
A.a2+a3=a5B.a2,a3=u6C.=a6D.cr'4-a2—a
3.若加=JF7,则机的取值范围是()
A.3<m<4B.4<m<5C.5<m<6D.6<m<7
4.表示数瓦。的点在数轴上的位置如图所示,下列选项中一定成立的是()
abc
-2-1012
ab
A.a+b>b+cB.a-ob-cC.ab>bcD.—>—
cc
5.当今0时,函数y=ar+l与函数y=3在同一坐标系中的图象可能是()
x
6.如图,将矩形ABC。沿针折叠,使顶点。恰好落在边的中点C上,若AB=4,
BC=S,贝!JtanN毋C'的值为()
815
C.D.
1717
二、填空题
7.若式子正工在实数范围内有意义,则x的取值范围是一
11
8.若方程x2-3x-1=0的两根为xi、X2,则丁+『的值为
9.计算我-4的结果是.
10.设和三是关于x的方程一一3无+左=0的两个根,且玉=2々,则欠=
11.如图,将三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若Nl=55。,则/2的度数为1
12.圆锥底面的半径为5cm,高为12cm,则圆锥的侧面积为cm2.
13.如图,正比例函数、=辰与反比例函数y=&的图像交于A,8两点.若AC〃x轴,
BC〃y轴,则SABC=______________
14.如图,五边形ABCDE是正五边形,hllh,若Nl=20。,则/2=
试卷第2页,共6页
15.如图,在菱形ABC。中,AC,5。相交于点O,£是CQ的中点,连接OE.若OE
=5,30=12,则AC=.
16.如图,已知二次函数y=o?+"+c(QwO)的图象,且关于犬的一元二次方程
ox?+b%+c—帆=。没有实数根,有以下结论:@b2-4ac>0;®ubc<0;③相v—3;
④3a+〃>0.其中正确结论的序号有.
解答题
2—x>0
17.解不等式组5x+l1,并写出不等式组的整数解.
-------+l>x
2
b1
18.化简
a2-b2Ja+b*
x-2x
19.解方程:——=11--------
x2—1x—1
20.如图,在菱形ABC。中,E、尸分别是3。、QC的中点.
B
⑴求证NAEF=NAFE;
(2)若菱形ABC。的面积为8,则△曲的面积为.
21.为了解双减政策实施以来同学们的学习状况,青岛市某校调研了七、八年级部分学
生完成作业的情况.从七、八年级中各抽取20名学生作业完成时间数据(单位:分钟)
进行整理和分析,共分为四个时段(x表示作业完成时间,x取整数):A.x<60;
B.60<^<70;C.70<x<80;D.80<x<90,完成作业不超过80分钟为时间管理
优秀,下面给出部分信息:
八年级作业时间情况条形统计图
70,75,75,78,78,80,82,85,85,88
八年级抽取20名学生中完成作业时间在C时段的所有数据为:72,75,74,76,75,
75,78,75
七、八年级抽取学生完成作业时间统计表:
年级平均数中位数众数
七年级7275b
八年级75a75
根据以上信息,解答下列问题:
(1)«=—,b=—;
(2)若要绘制七年级作业时间情况扇形统计图,在“60分钟”对应的圆心角为.
(3)请补全条形统计图;
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(4)该校七年级共有学生400人,八年级共有学生300人,估计七、八年级时间管理优秀
的学生共有多少人?
22.图①是2022年北京冬季奥运会自由式滑雪大跳台和单板滑雪大跳台的比赛场馆,
别名“雪飞天我们画出一个与它类似的示意图②,其中出发区ER起跳区cr>都与
地面AB平行.助滑坡OE与着陆坡AC的长度之和为80m.已知E尸到AB的距离是CD
到AB的距离的3倍,ZA=30°,M为CO延长线上一点,ZEDM=31°.求EE到A8
的距离.(参考数据:sin37°~0.60,cos37°~0.80,tan37°~0.75.)
①
23.甲、乙两种商品的进价分别为55元/千克、15元/千克,每千克甲商品比乙商品售
价多60元,售出甲商品20千克与售出乙商品60千克所获得的利润相等.
(1)求甲、乙商品的售价;
(2)某超市计划同时购进甲、乙两种商品共120千克,且购进甲商品的数量不大于乙商品
数量的2倍.要使两种商品销售完后获得的总利润最大,应购进甲、乙两种商品各多少
千克?
24.如图,在必AABC中,ZC=90°,3。平分NABC,与AC交于点。,DE±DB,垂
足为。,与42交于点E,经过8,D,E三点的。。与3c交于点?
(1)求证AC是。。的切线;
(2)若BC=3,AC=4,求。。的半径.
25.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-N+6x+c与x轴分别交于点A(-1,0)
和点8,与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式及对称轴;
(2)如图1,点。与点C关于对称轴对称,点P在对称轴上,若N3PD=90。,求点P
的坐标;
(3)点M是抛物线上位于对称轴右侧的点,点N在抛物线的对称轴上,当BMN为等
边三角形时,请直接写出点M的坐标.
图1备用图
26.图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一,在研究三角形的旋转过程中,
发现下列问题:如图1,在ABC中,AB^AC,NBAC=a,MN分别为AB、BC边
上一点,连接跖V,且MV//AC,将ABC绕点B在平面内旋
图2
(1)观察猜想
则黑的值为
ASC绕点B旋转到如图2所示的位置,若@=60。,
⑵类比探究
若a=90。,将ABC绕点3旋转到如图3所示的位置,求篝的值・
(3)拓展应用
若a=90。,M为A3的中点,AB=4,当AMLBN时,请直接写出CN的值.
试卷第6页,共6页
参考答案:
1.A
【分析】
本题考查了倒数.乘积是1的两数互为倒数.据此解答即可.
【详解】解:2024的倒数是高,
2024
故选:A.
2.D
【分析】根据同类项的定义、同底数累的乘法和除法,以及累的乘方解答即可.
【详解】解:A、/和/不是同类项,不能运算,故A错误;
B、a2>a3=a5>故B错误;
C、(叫丁故c错误;
D、a3jra2=a,故D正确
故选:D.
【点睛】此题考查了同类项的定义,同底数哥的乘法,募的乘方及积的乘方,以及同底数累
的除法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
3.B
【分析】估算出J万的范围即可.
【详解】解:;16<17<25
/.4<717<5
.*.4<m<5
故选:B
【点睛】本题考查了无理数的估算,无理数的估算常用夹逼法,用有理数夹逼无理数是解题
的关键.
4.C
【分析】
根据点在数轴上的位置,确定出大小关系,再根据不等式的性质进行判断即可.
【详解】解:由图可知:a<-l<fe<0<l<c,
A、a+b<0,b+c>0,a+b<b+c,选项错误,不符合题意;
B、a-c<b-c,选项错误,不符合题意;
答案第1页,共19页
C、ab>O>bc,选项正确,符合题意;
D、选项错误,不符合题意;
CC
故选C.
【点睛】本题考查实数与数轴.不等式的性质.根据点在数轴上的位置,判断式子的符号,
是解题的关键.
5.C
【分析】根据反比例函数和一次函数的性质,结合图象分析判断即可得到正确答案.
【详解】解:•・•当〃>0时,过一、二、三象限,经过点(0,1),y=@过一、三象
限;当〃<0时,产QX+1过一、二、四象限,y=@过二、四象限.
X
.•・选项A:y=ax+l,a>0,经过点(0,1),但>=色的〃<0,不符合条件;
选项B:y=ax+\,a<0fy=@的〃<0,但不经过点(0,1),不符合条件;
x
选项C:产"+1,〃>0,经过点(0,1),y=@的〃>0,符合条件;
x
选项D:y=ax+l,a>0,y=@的。>0,但y=ox+l不经过点(0,1),不符合条件.
故选:C.
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的图象性质.牢记性质内容并能结合图象灵活应用
是解题关键.
6.B
17
【分析】设b=x,由折叠的性质可知:BF=8-X9CF=X,利用勾股定理解%=
1715
进一步求出3尸=8-二二二,再利用正切定义求解即可.
44
【详解】解:设CV=x,则由折叠的性质可知:BF=8-x,CF=x,
・・・。'是AB边的中点,AB=4,
・・・BC=2,
,:NFS。'=90。,
BF2+C'B2=C'F2,即(8-域+2?=(x)2,解之得x=?,
答案第2页,共19页
BC28
.tanZBFC=——=
…BF适一运,
故选:B.
【点睛】本题考查矩形中折叠的性质,勾股定理,正切的定义,解题的关键是利用折叠的性
质表示出:BF,CF,再利用勾股定理求出8尸的长.
7.x>2
【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件,
要使7n■在实数范围内有意义,必须无-220,
x>2.
故答案为:x>2
8.-3
【详解】解:因为x2-3x-l=0的两根为XI,X2,
所以玉+%2=3,玉工2=-1
11玉+%_3_
--1--二------=—=—3
X]x2xrx2-1
故答案为:-3
9.述
2
【分析】先化为最简二次根式,再进行计算即可.
【详解】解:^,-^-=2^--=—,
V222
故答案为:巫.
2
【点睛】本题考查二次根式的计算,二次根式的化简,解决问题的关键是化简二次根式.
10.2
【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3,求出该方程的两个根,再利用两根之积
得到左的值即可.
【详解】解:由根与系数的关系可得:占+X2=3,攵x?=k,
X]=2X2,
3X2=3,
答案第3页,共19页
=1,
/.Xj=2,
左=1x2=2;
故答案为:2.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系,解决本题的关键是牢记公式,即对
于一元二次方程以2+bx+c=0(aw0),其两根之和为两根之积为£.
aa
11.35
VZ3=180°-Zl=l80°-55°=125°,
・••直尺两边互相平行,
.•.Z2+90°=Z3,
.\Z2=125o-90o=35°.
故答案为35.
12.65%
【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算,解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法,特别
是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长.
【详解】
解:圆锥的母线长为:752+122=13(cm),
圆锥的侧面积为:gx2x力xl3=6力(cm)
故答案为:65%.
13.10
【分析】
根据正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称,得到AB两点关于原点对称,设点
则:进而求出点C的坐标,利用面积公式进行求解即可.
答案第4页,共19页
【详解】解:•••正比例函数,=依与反比例函数y=之的图像交于A8两点,
X
•**A5两点关于原点对称,
设:A["!]'则:
・・・AC〃x轴,3C〃y轴,
AClI,ZABC=90°,
BC=——,AC=2a,
:.S=-AC-BC=--2tz—=10;
由ARC22a
故答案为:10.
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用.熟练掌握正比例函数与反比例函数的
图象均关于原点对称,是解题的关键.
14.56°
【分析】过点3作交DE于点H,根据正多边形的性质可得NA4E=NABC=108。,
从而得到N84G=52。,再由可得NABH=NR4G=52。,然后根据//〃以即可求解.
【详解】解:如图,过点B作交DE于点H,
,:五边形ABCDE是正五边形,
.(5-2)x180°
・•・ZBAE=ZABC=——』---二108°
5
VZ1=2O°,
・•・ZBAG=180o-108°-20o=52°,
:.ZABH=ZBAG=52°,
:.ZCBH=56°,
VZ7//Z2,
:.BH//l2,
答案第5页,共19页
:.Z2=ZCBH=56°.
故答案为:56°
【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和,平行线的性质和判定,熟练掌握正多边形的内
角和定理,平行线的性质和判定定理是解题的关键.
15.16
【分析】根据菱形的性质和已知条件可得。E是MADOC斜边上的中线,由此可求出。C
的长,再根据勾股定理可求出0C的长,即可求得AC的长.
【详解】解:,•,菱形ABC。对角线AC与2D交于点。,
:.DO±CO,D0=B0=-BD=6,
2
是。C边上的中点,
:.OE=-DC,
2
:.DC=10,
.,•0C=DC1-DO1=8,
:.AC=2OC=16,
故答案为:16.
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质、菱形的性质等知识点.掌握菱形的对角线互相垂
直是解题的关键.
16.①③④
【分析】由抛物线与x轴有两个不同交点,可判断①;根据抛物线的开口方向、对称轴及与
y轴交点的位置,可得出。>0、b<0、c<0,进而即可得出abc>0,即可判断②;由抛
物线y=o%2+bx+c与直线y=-3有一个交点,即可判断③;由。>0、b=-2a,可得出
3a+b=a>0,即可判断④.
【详解】解:抛物线与x轴有两个交点,
AA=b2-4ac>0,①正确;
抛物线开口向上,对称轴为直线x=i,与y轴交于负半轴,
b
。>0,——=1,。<0,
2a
:.b=一2〃<0,
/.abc>0,②错误;
答案第6页,共19页
方程or?+&v+c-,〃=0没有实数根,
:.m<-3,③正确;
fl>0,b=-2a,
:.3a+b=a>0,④正确.
故答案为:①③④.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及抛物线与x轴的交点,观察函数图象,
逐一分析四条结论的正误是解题的关键.
17.-1,0,1.
【分析】先求出不等式组的解集,然后再确定整数解.
2-x>0®
【详解】解:5x+l,©
I2
由①得:x<2
由②得xN-1
所以不等式组的解集为:-lWx<2
则不等式组的整数解为:-1,0,1.
【点睛】本题考查了解不等式组并确定整数即,其中解不等式组是正确解答本题的关键.
【详解】解:原式=(a+6)(a_.+R=(q+6)(a_6),丁=力
先将括号里面的通分后,将除法转换成乘法,约分化简.
19.x=—
2
【分析】
本题考查解分式方程,涉及因式分解、解分式方程等知识,先对分式分子分母因式分解,再
去分母化为整数方程求解即可得到答案,熟练掌握分式方程解法,注意分式方程验根是解决
问题的关键.
【详解】
r—9xx—21x
解:由「二】一口得EF»一
去分母得x-2=(x+l)(x-1)-x(x+l),
答案第7页,共19页
去括号得x-2=£—1—%2—x,
合并同类项得2%=1,
(x+l)(x-l)=f1+lY1-lU-1^O,
检验:当x时,
…:是分式方程的解.
20.(1)见解析
(2)3
【分析】(1)由四边形ABC。是菱形,即可求得/B=ND,又由E、尸分别是3。、
0c的中点可证得8石=。/,根据SAS,即可证△/得从而得证.
(2)连接AC、BD,交于点。,AC交EF于点G,根据菱形性质可得菱形面积公式,然后根
据三角形中位线定理得跖与BD关系,最后根据三角形面积公式代入计算可得答案.
【详解】(1)证明:•・,四边形A5CD是菱形,
・・・A8=AD,BC=DC,/B=ND,
■:E、产分别是3C、的中点,
ABE=-BC,DF=-CD,
22
:.BE=DF,
在△ABE和△AZ)厂中
AB^AD
</B=/D,
BE=DF
:.AABE^AADF(SAS);
:.AE=AFf
:.ZAEF=ZAFE.
(2)连接AC、BD,交于点O,AC交所于点G,
答案第8页,共19页
:四边形ABC。是菱形,
:.AO^OC,菱形ABCD的面积为:-ACBD^S,
2
;点E、尸分别是边BC、CD的中点,
J.EF//BD,EF=;BD,
J.ACLEF,AG=3CG,
设AC=a,BD=b,
—ab=S,即ab=16,
2
11133
s_EF-AG=-x-bx-a=—ab=3.
由=222416
故答案为:3
【点睛】此题考查的是菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理,能够利
用三角形面积公式得到答案是解决此题关键.
21.(1)75,78
⑵54
(3)见解析
(4)545
【分析】
(1)根据中位数、众数的意义求解即可;
(2)用360。乘以“60分钟”所占的百分比,即可;
(3)按给出数据计算出8时段的数据然后补全即可;
(4)分别求出求出七,八年级时间管理优秀的人数,再相加即可.
【详解】(1)
解:将八年级抽取20名同学的完成作业时间按从小到大的顺序,第10,11个数均在C时段,
而C时段的所有数据为:72,75,74,76,75,75,78,75,
答案第9页,共19页
按从小到大排列为:72,74,75,75,75,75,76,78,
则第10,11个数均为75,所以中位数。=芸工=75.
2
将七年级抽取20名同学的完成作业时间出现次数最多的是78分,因此众数是78分,即b=78,
故答案为:75,78,
(2)
3
解:在“60分钟”对应的圆心角为360。*二=54。;
20
故答案为:54
(3)
解:八年级B时间段人数为:20-3-8-3=4(人),
补全频数分布直方图如下:
八年级作业时间情况条形统计图
解:七年级作业管理为优秀所占的比例为引,八年级作业管理为优秀所占的比例为法,
所以七、八年级作业管理为优秀的人数为400X£+300X^=545(人),
2020
答:七、八年级时间管理优秀的大约有545人.
【点睛】
本题考查条形统计图,中位数、众数、平均数以及样本估计总体,掌握中位数、众数、平均
数的计算方法是正确解答的前提.
22.EP到的距离为45米
【分析】过点C作CGJ_AB,交AB于点G,设AC的长度为x米,则。E的长度为(80-x)
米,根据直角三角形的性质得CG='x,根据三角函数得EM=0.6.(80-尤),根据斯至IJA8
2
答案第10页,共19页
的距离是CD到AB的距离的3倍得3CG=EM+CG,解得x=10,即AC=10,则CG=5,
即可得.
【详解】解:如图所示,过点C作CGJ_AB,交A8于点G,
设AC的长度为x米,则。E的长度为(80-x)米,
由题意得,CG=^AC=!尤,EM=AC-sin37°=0.6.(80-x),
一一—22
^\3CG=EM+CG,
31
—x—0.6*(80—x)+—x
22
x=30,
・・・AC=30,
:.CG=15,
・・・所到AB的距离为:3x15=45(米).
【点睛】本题考查了三角函数,直角三角形的性质,解题的关键是理解题意,掌握三角函数
和直角三角形的性质.
23.(1)甲、乙商品的售价分别为85元和25元
⑵购进甲商品80千克,乙商品40千克,获得的利润最大
【分析】
(I)设甲、乙商品的售价分别为x,y元,根据题意,列出方程组进行求解即可;
(2)设购进甲商品。千克,总利润为w,根据题意,列出一次函数关系式,利用一次函数
的性质,进行求解即可.
【详解】(1)解:设甲、乙商品的售价分别为x,y元,由题意,得:
120(x-55)=60(y-15)'解得:[y=25;
答:甲、乙商品的售价分别为85元和25元;
(2)设购进甲商品〃千克,则购进(120-a)千克乙商品,
答案第11页,共19页
由题意,得:fl<2(120-0),
解得:a<80;
设总利润为w,贝hW=(85-55)G+(25-15)(120-A),
整理,得:w=20a+1200,
V20>0,w随着。的增大而增大,
...当a=80时,卬的最大值为20x80+1200=2800元;
即:购进甲商品80千克,乙商品40千克,获得的利润最大.
【点睛】本题考查二元一次方程组实际应用,一元一次不等式的应用、一次函数的实际应
用.找准等量关系,正确的列出方程组和函数关系式,是解题的关键.
24.⑴证明见解析.
【分析】(1)连接OD,根据垂直的定义得到/即8=90。,根据角平分线的定义得到
=ZDBC,根据等腰三角形的性质得到根据平行线的性质得到
90°,根据切线的判定定理即可得到结论;
(2)解根据平行线的性质得到/ABC,根据勾股定理和相似三角形的性质即可得
到结论.
【详解】(1)证明:连接O。,
A
:DELDB,
:.ZEDB=9Q0,
.,.BE是直径,点。是BE的中点,
•.•8。平分/48(7,
答案第12页,共19页
:.ZOBD=ZDBC,
°:OB=OD,
:.ZOBD=ZODB,
:.NDBC=NODB,
:.OD//BC,
VZC=90°,
・•・ZADO=90°f
:.ODLAC,
・・・AC经过。。的外端点,
・・・AC是。。的切线;
(2)解:VOD//BC,
:.ZAOD=ZABC,
VZAOD=ZABCfZOAD=ZBAC,
:.AAOD^AABC,
.AOOP
**AB-BC,
•:BC=3,AC=4,
-'-AB=7AC2+BC2=5,
设。。的半径为r,
则OD=OB=r,04=5—r,
.5-r_r
••=一,
53
.15
..r=—,
o
的半径为詈
o
【点睛】本题为圆的综合题,考查了切线的判定、三角形的相似等知识,掌握切线的判定法,
相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.
25.(1)y=-N+2尤+3,对称轴x=l;(2)P(l,1)或(1,2);(3)M(匕8,拽二1)或
33
9+73-4A/3-1
【分析】(1)利用待定系数法求解即可.
答案第13页,共19页
(2)如图1中,连接8D,设8〃的中点T,连接PT,设P(l,机).求出PT的长,构建
方程求出相即可.
(3)分两种情形:当点"在第一象限时,是等边三角形,过点B作BTLBN交NM
的延长线于T,设N(l,f),设抛物线的对称轴交x轴于E.如图3-2中,当点M在第四
象限时,设N(l,n),过点8作8TL8N交MW的延长线于T.分别利用相似三角形的性
质求出点M的坐标,再利用待定系数法求解.
c=3
【详解】解:(1)把A(T,0),点C(0,3)的坐标代入y=-x2+bx+c,得到
—1—6+c=0'
b=2
解得
c=3
:•抛物线的解析式为y=-N+2X+3,对称轴X=-==1.
—2
(2)如图1中,连接5。,设5。的中点T,连接PT,设尸(1,m).
•・•点。与点C关于对称轴对称,C(0,3),
:.D(2,3),
VB(3,0),
••T(y,—),BD=J(3—2)2+32=^/10,
•:NBPD=90。,DT=TB,
:.PT=^-BD=—f
22
・・・(1--)2+(m--)』(巫)2,
222
解得m=l或2,
:.P(1,1),或(1,2).
(3)当点M在第一象限时,△BMN是等边三角形,过点B作BTLBN交M0的延长线于T,
答案第14页,共19页
设N(l,/),作",x轴于点/,设抛物线的对称轴交x轴于E.
图3-1
是等边三角形,
・•・ZNMB=NN3M=60。,
ZNBT=90°f
:.ZMBT=30°,BT=^BN,
・・•NNMB=ZMBT+NBTM=6。。,
:.ZMBT=ZBTM=30°,
:.MB=MT=MNf
':ZNBE+ZTBJ=90°fZTBJ+ZBTJ=90°,
:.ZNBE=ZBTJ,
■:/BEN=/TJB=90。,
:•△BENS^TJB,
.TJBJBTL
EBENBN
**•BJ=^3tjTJ=2y/^,
:.T(3+括3273),
•:NM=MT,
.・・〃(4+后,2退+‘),
22
\•点/在>=-x2+2x+3上,
...2A/^+'=_(4+A/^)2#4+后
+3,
222
整理得,3P+(4括+2)t-12+473=0,
解得f=-26(舍弃)或2.一2,
答案第15页,共19页
:.M(9一道,捷,
33
如图3-2中,当点〃在第四象限时,设N(l,〃),过点5作5TL3N交M0的延长线于T.
同法可得7(3-百小-26),M(上叵,匕汉1),
22
则有H_)2+2x4-^+3,
222
整理得,3层+(2-473)n-12-473=0,
解得”=-26-2或2栏(舍去),
3
:.M(§油,一51),
33
综上所述,满足条件的点
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