2024年江苏省南京市九年级中考数学一模模拟预测题（含答案解析）

2024年江苏省南京市九年级中考数学一模模拟预测题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.2024的倒数是（）

AB—C.2024D.-2024

'2024'2024

2.下列计算中，结果正确的是（）

A.a2+a3=a5B.a2,a3=u6C.=a6D.cr'4-a2—a

3.若加=JF7,则机的取值范围是（）

A.3<m<4B.4<m<5C.5<m<6D.6<m<7

4.表示数瓦。的点在数轴上的位置如图所示，下列选项中一定成立的是（）

abc

-2-1012

ab

A.a+b>b+cB.a-ob-cC.ab>bcD.—>—

cc

5.当今0时，函数y=ar+l与函数y=3在同一坐标系中的图象可能是（）

x

6.如图，将矩形ABC。沿针折叠，使顶点。恰好落在边的中点C上，若AB=4,

BC=S,贝!JtanN毋C'的值为（）

815

C.D.

1717

二、填空题

7.若式子正工在实数范围内有意义，则x的取值范围是一

11

8.若方程x2-3x-1=0的两根为xi、X2,则丁+『的值为

9.计算我-4的结果是.

10.设和三是关于x的方程一一3无+左=0的两个根，且玉=2々，则欠=

11.如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若Nl=55。，则/2的度数为1

12.圆锥底面的半径为5cm,高为12cm,则圆锥的侧面积为cm2.

13.如图，正比例函数、=辰与反比例函数y=&的图像交于A,8两点.若AC〃x轴,

BC〃y轴，则SABC=______________

14.如图，五边形ABCDE是正五边形，hllh,若Nl=20。，则/2=

试卷第2页，共6页

15.如图，在菱形ABC。中，AC,5。相交于点O,£是CQ的中点，连接OE.若OE

=5,30=12,则AC=.

16.如图，已知二次函数y=o?+"+c（QwO）的图象，且关于犬的一元二次方程

ox?+b%+c—帆=。没有实数根，有以下结论：@b2-4ac>0;®ubc<0；③相v—3；

④3a+〃>0.其中正确结论的序号有.

解答题

2—x>0

17.解不等式组5x+l1,并写出不等式组的整数解.

-------+l>x

2

b1

18.化简

a2-b2Ja+b*

x-2x

19.解方程:——=11--------

x2—1x—1

20.如图，在菱形ABC。中，E、尸分别是3。、QC的中点.

B

⑴求证NAEF=NAFE；

(2)若菱形ABC。的面积为8,则△曲的面积为.

21.为了解双减政策实施以来同学们的学习状况，青岛市某校调研了七、八年级部分学

生完成作业的情况.从七、八年级中各抽取20名学生作业完成时间数据(单位：分钟)

进行整理和分析，共分为四个时段(x表示作业完成时间，x取整数)：A.x<60；

B.60<^<70；C.70<x<80；D.80<x<90,完成作业不超过80分钟为时间管理

优秀，下面给出部分信息：

八年级作业时间情况条形统计图

70,75,75,78,78,80,82,85,85,88

八年级抽取20名学生中完成作业时间在C时段的所有数据为：72,75,74,76,75,

75,78,75

七、八年级抽取学生完成作业时间统计表:

年级平均数中位数众数

七年级7275b

八年级75a75

根据以上信息，解答下列问题：

(1)«=—，b=—；

(2)若要绘制七年级作业时间情况扇形统计图，在“60分钟”对应的圆心角为.

(3)请补全条形统计图；

试卷第4页，共6页

(4)该校七年级共有学生400人，八年级共有学生300人，估计七、八年级时间管理优秀

的学生共有多少人？

22.图①是2022年北京冬季奥运会自由式滑雪大跳台和单板滑雪大跳台的比赛场馆，

别名“雪飞天我们画出一个与它类似的示意图②，其中出发区ER起跳区cr＞都与

地面AB平行.助滑坡OE与着陆坡AC的长度之和为80m.已知E尸到AB的距离是CD

到AB的距离的3倍，ZA=30°,M为CO延长线上一点，ZEDM=31°.求EE到A8

的距离.(参考数据：sin37°~0.60,cos37°~0.80,tan37°~0.75.)

①

23.甲、乙两种商品的进价分别为55元/千克、15元/千克，每千克甲商品比乙商品售

价多60元，售出甲商品20千克与售出乙商品60千克所获得的利润相等.

(1)求甲、乙商品的售价；

(2)某超市计划同时购进甲、乙两种商品共120千克，且购进甲商品的数量不大于乙商品

数量的2倍.要使两种商品销售完后获得的总利润最大，应购进甲、乙两种商品各多少

千克？

24.如图，在必AABC中，ZC=90°,3。平分NABC,与AC交于点。，DE±DB,垂

足为。，与42交于点E,经过8,D,E三点的。。与3c交于点?

(1)求证AC是。。的切线；

(2)若BC=3,AC=4,求。。的半径.

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-N+6x+c与x轴分别交于点A(-1,0)

和点8,与y轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式及对称轴；

(2)如图1,点。与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若N3PD=90。，求点P

的坐标;

(3)点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等

边三角形时，请直接写出点M的坐标.

图1备用图

26.图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一,在研究三角形的旋转过程中,

发现下列问题：如图1,在ABC中，AB^AC,NBAC=a,MN分别为AB、BC边

上一点，连接跖V,且MV//AC,将ABC绕点B在平面内旋

图2

(1)观察猜想

则黑的值为

ASC绕点B旋转到如图2所示的位置，若@=60。,

⑵类比探究

若a=90。，将ABC绕点3旋转到如图3所示的位置，求篝的值・

(3)拓展应用

若a=90。，M为A3的中点，AB=4,当AMLBN时，请直接写出CN的值.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.A

【分析】

本题考查了倒数.乘积是1的两数互为倒数.据此解答即可.

【详解】解：2024的倒数是高，

2024

故选：A.

2.D

【分析】根据同类项的定义、同底数累的乘法和除法，以及累的乘方解答即可.

【详解】解：A、/和/不是同类项，不能运算，故A错误；

B、a2>a3=a5>故B错误；

C、（叫丁故c错误；

D、a3jra2=a,故D正确

故选：D.

【点睛】此题考查了同类项的定义，同底数哥的乘法，募的乘方及积的乘方，以及同底数累

的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

3.B

【分析】估算出J万的范围即可.

【详解】解：；16<17<25

/.4<717<5

.*.4<m<5

故选:B

【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题

的关键.

4.C

【分析】

根据点在数轴上的位置，确定出大小关系，再根据不等式的性质进行判断即可.

【详解】解：由图可知：a<-l<fe<0<l<c,

A、a+b<0,b+c>0,a+b<b+c,选项错误，不符合题意；

B、a-c<b-c,选项错误，不符合题意；

答案第1页，共19页

C、ab>O>bc,选项正确，符合题意;

D、选项错误，不符合题意；

CC

故选C.

【点睛】本题考查实数与数轴.不等式的性质.根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，

是解题的关键.

5.C

【分析】根据反比例函数和一次函数的性质，结合图象分析判断即可得到正确答案.

【详解】解：•・•当〃>0时，过一、二、三象限，经过点（0,1）,y=@过一、三象

限；当〃<0时，产QX+1过一、二、四象限，y=@过二、四象限.

X

.•・选项A：y=ax+l,a>0,经过点（0,1）,但>=色的〃<0,不符合条件；

选项B：y=ax+\,a<0fy=@的〃<0,但不经过点（0,1）,不符合条件；

x

选项C：产"+1,〃>0,经过点（0,1）,y=@的〃>0,符合条件；

x

选项D：y=ax+l,a>0,y=@的。>0,但y=ox+l不经过点（0,1）,不符合条件.

故选：C.

【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的图象性质.牢记性质内容并能结合图象灵活应用

是解题关键.

6.B

17

【分析】设b=x,由折叠的性质可知：BF=8-X9CF=X,利用勾股定理解％=

1715

进一步求出3尸=8-二二二，再利用正切定义求解即可.

44

【详解】解：设CV=x,则由折叠的性质可知：BF=8-x,CF=x,

・・・。'是AB边的中点，AB=4,

・・・BC=2,

,：NFS。'=90。，

BF2+C'B2=C'F2,即（8-域+2?=（x）2,解之得x=?,

答案第2页，共19页

BC28

.tanZBFC=——=

…BF适一运,

故选：B.

【点睛】本题考查矩形中折叠的性质，勾股定理，正切的定义，解题的关键是利用折叠的性

质表示出：BF,CF,再利用勾股定理求出8尸的长.

7.x>2

【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件,

要使7n■在实数范围内有意义，必须无-220,

x>2.

故答案为：x>2

8.-3

【详解】解：因为x2-3x-l=0的两根为XI,X2,

所以玉+%2=3，玉工2=-1

11玉+%_3_

--1--二------=—=—3

X]x2xrx2-1

故答案为：-3

9.述

2

【分析】先化为最简二次根式，再进行计算即可.

【详解】解：^,-^-=2^--=—,

V222

故答案为：巫.

2

【点睛】本题考查二次根式的计算，二次根式的化简，解决问题的关键是化简二次根式.

10.2

【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3,求出该方程的两个根，再利用两根之积

得到左的值即可.

【详解】解：由根与系数的关系可得：占+X2=3,攵x?=k,

X]=2X2,

3X2=3,

答案第3页，共19页

=1,

/.Xj=2,

左=1x2=2;

故答案为：2.

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对

于一元二次方程以2+bx+c=0(aw0),其两根之和为两根之积为£.

aa

11.35

VZ3=180°-Zl=l80°-55°=125°,

・••直尺两边互相平行，

.•.Z2+90°=Z3,

.\Z2=125o-90o=35°.

故答案为35.

12.65%

【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别

是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长.

【详解】

解：圆锥的母线长为：752+122=13(cm),

圆锥的侧面积为：gx2x力xl3=6力(cm)

故答案为：65%.

13.10

【分析】

根据正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，得到AB两点关于原点对称，设点

则：进而求出点C的坐标，利用面积公式进行求解即可.

答案第4页，共19页

【详解】解：•••正比例函数，=依与反比例函数y=之的图像交于A8两点,

X

•**A5两点关于原点对称，

设：A["!]'则：

・・・AC〃x轴，3C〃y轴，

AClI,ZABC=90°,

BC=——,AC=2a,

：.S=-AC-BC=--2tz—=10；

由ARC22a

故答案为：10.

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用.熟练掌握正比例函数与反比例函数的

图象均关于原点对称，是解题的关键.

14.56°

【分析】过点3作交DE于点H,根据正多边形的性质可得NA4E=NABC=108。,

从而得到N84G=52。，再由可得NABH=NR4G=52。，然后根据//〃以即可求解.

【详解】解：如图，过点B作交DE于点H,

,：五边形ABCDE是正五边形,

.（5-2）x180°

・•・ZBAE=ZABC=——』---二108°

5

VZ1=2O°,

・•・ZBAG=180o-108°-20o=52°,

：.ZABH=ZBAG=52°,

：.ZCBH=56°,

VZ7//Z2,

：.BH//l2,

答案第5页，共19页

：.Z2=ZCBH=56°.

故答案为：56°

【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和，平行线的性质和判定，熟练掌握正多边形的内

角和定理，平行线的性质和判定定理是解题的关键.

15.16

【分析】根据菱形的性质和已知条件可得。E是MADOC斜边上的中线，由此可求出。C

的长，再根据勾股定理可求出0C的长，即可求得AC的长.

【详解】解：,•,菱形ABC。对角线AC与2D交于点。，

：.DO±CO,D0=B0=-BD=6,

2

是。C边上的中点，

：.OE=-DC,

2

：.DC=10,

.，•0C=DC1-DO1=8，

：.AC=2OC=16,

故答案为：16.

【点睛】本题考查了三角形中位线的性质、菱形的性质等知识点.掌握菱形的对角线互相垂

直是解题的关键.

16.①③④

【分析】由抛物线与x轴有两个不同交点，可判断①；根据抛物线的开口方向、对称轴及与

y轴交点的位置，可得出。>0、b<0、c<0,进而即可得出abc>0,即可判断②；由抛

物线y=o%2+bx+c与直线y=-3有一个交点，即可判断③；由。>0、b=-2a,可得出

3a+b=a>0,即可判断④.

【详解】解：抛物线与x轴有两个交点，

AA=b2-4ac>0,①正确；

抛物线开口向上，对称轴为直线x=i,与y轴交于负半轴，

b

。>0,——=1,。<0,

2a

:.b=一2〃<0,

/.abc>0,②错误;

答案第6页，共19页

方程or?+&v+c-,〃=0没有实数根，

：.m<-3,③正确；

fl>0,b=-2a,

：.3a+b=a>0,④正确.

故答案为：①③④.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及抛物线与x轴的交点，观察函数图象,

逐一分析四条结论的正误是解题的关键.

17.-1,0,1.

【分析】先求出不等式组的解集，然后再确定整数解.

2-x>0®

【详解】解：5x+l,©

I2

由①得：x<2

由②得xN-1

所以不等式组的解集为：-lWx<2

则不等式组的整数解为：-1,0,1.

【点睛】本题考查了解不等式组并确定整数即，其中解不等式组是正确解答本题的关键.

【详解】解：原式=(a+6)(a_.+R=(q+6)(a_6),丁=力

先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简.

19.x=—

2

【分析】

本题考查解分式方程，涉及因式分解、解分式方程等知识，先对分式分子分母因式分解，再

去分母化为整数方程求解即可得到答案，熟练掌握分式方程解法，注意分式方程验根是解决

问题的关键.

【详解】

r—9xx—21x

解：由「二】一口得EF»一

去分母得x-2=(x+l)(x-1)-x(x+l),

答案第7页，共19页

去括号得x-2=£—1—%2—x,

合并同类项得2%=1,

(x+l)(x-l)=f1+lY1-lU-1^O,

检验：当x时,

…:是分式方程的解.

20.(1)见解析

(2)3

【分析】(1)由四边形ABC。是菱形，即可求得/B=ND,又由E、尸分别是3。、

0c的中点可证得8石=。/，根据SAS,即可证△/得从而得证.

(2)连接AC、BD,交于点。，AC交EF于点G,根据菱形性质可得菱形面积公式，然后根

据三角形中位线定理得跖与BD关系，最后根据三角形面积公式代入计算可得答案.

【详解】(1)证明：•・,四边形A5CD是菱形，

・・・A8=AD,BC=DC,/B=ND,

■:E、产分别是3C、的中点，

ABE=-BC,DF=-CD,

22

：.BE=DF,

在△ABE和△AZ)厂中

AB^AD

</B=/D,

BE=DF

：.AABE^AADF(SAS)；

：.AE=AFf

：.ZAEF=ZAFE.

(2)连接AC、BD,交于点O,AC交所于点G,

答案第8页，共19页

:四边形ABC。是菱形，

：.AO^OC,菱形ABCD的面积为：-ACBD^S,

2

;点E、尸分别是边BC、CD的中点，

J.EF//BD,EF=；BD,

J.ACLEF,AG=3CG,

设AC=a,BD=b,

—ab=S,即ab=16,

2

11133

s_EF-AG=-x-bx-a=—ab=3.

由=222416

故答案为：3

【点睛】此题考查的是菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，能够利

用三角形面积公式得到答案是解决此题关键.

21.(1)75,78

⑵54

(3)见解析

(4)545

【分析】

（1）根据中位数、众数的意义求解即可；

（2）用360。乘以“60分钟”所占的百分比，即可；

（3）按给出数据计算出8时段的数据然后补全即可；

（4）分别求出求出七，八年级时间管理优秀的人数，再相加即可.

【详解】（1）

解:将八年级抽取20名同学的完成作业时间按从小到大的顺序，第10,11个数均在C时段,

而C时段的所有数据为：72,75,74,76,75,75,78,75,

答案第9页，共19页

按从小到大排列为：72,74,75,75,75,75,76,78,

则第10,11个数均为75,所以中位数。=芸工=75.

2

将七年级抽取20名同学的完成作业时间出现次数最多的是78分,因此众数是78分，即b=78,

故答案为：75,78,

（2）

3

解：在“60分钟”对应的圆心角为360。*二=54。；

20

故答案为：54

（3）

解：八年级B时间段人数为：20-3-8-3=4（人），

补全频数分布直方图如下：

八年级作业时间情况条形统计图

解：七年级作业管理为优秀所占的比例为引，八年级作业管理为优秀所占的比例为法，

所以七、八年级作业管理为优秀的人数为400X£+300X^=545（人），

2020

答：七、八年级时间管理优秀的大约有545人.

【点睛】

本题考查条形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握中位数、众数、平均

数的计算方法是正确解答的前提.

22.EP到的距离为45米

【分析】过点C作CGJ_AB,交AB于点G,设AC的长度为x米，则。E的长度为（80-x）

米，根据直角三角形的性质得CG='x,根据三角函数得EM=0.6.（80-尤），根据斯至IJA8

2

答案第10页，共19页

的距离是CD到AB的距离的3倍得3CG=EM+CG,解得x=10,即AC=10,则CG=5,

即可得.

【详解】解：如图所示，过点C作CGJ_AB,交A8于点G,

设AC的长度为x米，则。E的长度为(80-x)米，

由题意得，CG=^AC=!尤，EM=AC-sin37°=0.6.(80-x),

一一—22

^\3CG=EM+CG,

31

—x—0.6*(80—x)+—x

22

x=30,

・・・AC=30,

：.CG=15,

・・・所到AB的距离为:3x15=45(米).

【点睛】本题考查了三角函数，直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，掌握三角函数

和直角三角形的性质.

23.(1)甲、乙商品的售价分别为85元和25元

⑵购进甲商品80千克，乙商品40千克，获得的利润最大

【分析】

(I)设甲、乙商品的售价分别为x，y元，根据题意，列出方程组进行求解即可；

(2)设购进甲商品。千克，总利润为w,根据题意，列出一次函数关系式，利用一次函数

的性质，进行求解即可.

【详解】(1)解：设甲、乙商品的售价分别为x，y元，由题意，得：

120(x-55)=60(y-15)'解得：［y=25；

答：甲、乙商品的售价分别为85元和25元;

(2)设购进甲商品〃千克，则购进(120-a)千克乙商品,

答案第11页，共19页

由题意，得：fl<2（120-0）,

解得：a<80；

设总利润为w,贝hW=（85-55）G+（25-15）（120-A）,

整理，得：w=20a+1200,

V20>0,w随着。的增大而增大，

...当a=80时，卬的最大值为20x80+1200=2800元；

即：购进甲商品80千克，乙商品40千克，获得的利润最大.

【点睛】本题考查二元一次方程组实际应用，一元一次不等式的应用、一次函数的实际应

用.找准等量关系，正确的列出方程组和函数关系式，是解题的关键.

24.⑴证明见解析.

【分析】（1）连接OD,根据垂直的定义得到/即8=90。，根据角平分线的定义得到

=ZDBC,根据等腰三角形的性质得到根据平行线的性质得到

90°,根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）解根据平行线的性质得到/ABC,根据勾股定理和相似三角形的性质即可得

到结论.

【详解】（1）证明：连接O。，

A

:DELDB,

：.ZEDB=9Q0,

.,.BE是直径，点。是BE的中点,

•.•8。平分/48（7,

答案第12页，共19页

：.ZOBD=ZDBC,

°：OB=OD,

：.ZOBD=ZODB,

：.NDBC=NODB,

：.OD//BC,

VZC=90°,

・•・ZADO=90°f

：.ODLAC,

・・・AC经过。。的外端点，

・・・AC是。。的切线；

(2)解：VOD//BC,

：.ZAOD=ZABC,

VZAOD=ZABCfZOAD=ZBAC,

：.AAOD^AABC,

.AOOP

**AB-BC，

•：BC=3,AC=4,

-'-AB=7AC2+BC2=5,

设。。的半径为r,

则OD=OB=r,04=5—r,

.5-r_r

••=一，

53

.15

..r=—,

o

的半径为詈

o

【点睛】本题为圆的综合题，考查了切线的判定、三角形的相似等知识，掌握切线的判定法，

相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.

25.(1)y=-N+2尤+3,对称轴x=l；(2)P(l,1)或(1,2)；(3)M(匕8,拽二1)或

33

9+73-4A/3-1

【分析】(1)利用待定系数法求解即可.

答案第13页，共19页

(2)如图1中，连接8D,设8〃的中点T,连接PT,设P(l,机).求出PT的长，构建

方程求出相即可.

(3)分两种情形：当点"在第一象限时，是等边三角形，过点B作BTLBN交NM

的延长线于T,设N(l,f),设抛物线的对称轴交x轴于E.如图3-2中，当点M在第四

象限时，设N(l,n),过点8作8TL8N交MW的延长线于T.分别利用相似三角形的性

质求出点M的坐标，再利用待定系数法求解.

c=3

【详解】解：(1)把A(T,0),点C(0,3)的坐标代入y=-x2+bx+c,得到

—1—6+c=0'

b=2

解得

c=3

:•抛物线的解析式为y=-N+2X+3,对称轴X=-==1.

—2

(2)如图1中，连接5。，设5。的中点T,连接PT,设尸(1,m).

•・•点。与点C关于对称轴对称，C(0,3),

：.D(2,3),

VB(3,0),

••T(y,—),BD=J(3—2)2+32=^/10,

•：NBPD=90。,DT=TB,

：.PT=^-BD=—f

22

・・・(1--)2+(m--)』(巫)2,

222

解得m=l或2,

：.P(1,1),或(1,2).

(3)当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BTLBN交M0的延长线于T,

答案第14页，共19页

设N(l,/),作"，x轴于点/,设抛物线的对称轴交x轴于E.

图3-1

是等边三角形，

・•・ZNMB=NN3M=60。，

ZNBT=90°f

：.ZMBT=30°,BT=^BN,

・・•NNMB=ZMBT+NBTM=6。。,

：.ZMBT=ZBTM=30°,

：.MB=MT=MNf

'：ZNBE+ZTBJ=90°fZTBJ+ZBTJ=90°,

：.ZNBE=ZBTJ,

■:/BEN=/TJB=90。,

:•△BENS^TJB,

.TJBJBTL

EBENBN

**•BJ=^3tjTJ=2y/^,

：.T（3+括3273）,

•：NM=MT,

.・・〃（4+后,2退+‘）,

22

\•点/在＞=-x2+2x+3上，

...2A/^+'=_（4+A/^）2#4+后

+3,

222

整理得，3P+（4括+2）t-12+473=0,

解得f=-26（舍弃）或2.一2,

答案第15页，共19页

：.M（9一道,捷，

33

如图3-2中，当点〃在第四象限时，设N（l,〃）,过点5作5TL3N交M0的延长线于T.

同法可得7（3-百小-26），M（上叵，匕汉1）,

22

则有H_）2+2x4-^+3,

222

整理得，3层+（2-473）n-12-473=0,

解得”=-26-2或2栏（舍去），

3

:.M（§油,一51）,

33

综上所述，满足条件的点