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文档简介
2024届湖北十一校高三第二次联考数学试题+答案
数学试题
诩加:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合〃={%,2+3%—10V。},N=|=>/x-1|,则〃()
A.[0,2)B.[l,2)C.[-5,2)D.(-5,2)
Z已知i为虚数单位,复数z满足|z+2"=园,则)的虚部为()
A.-lB.lC.iD.-i
3.若tan(a—9)=2,贝IIsin2a=()
3344
A.—B.——C.-D.—
5555
4已知向量满足H=W=3,则q.(a+3)=()
1^21—2]———11一
A..—aB.—dC.—(<24-b)
5.如图,A是平面a内一定点,5是平面a外一定点,且48=4五,直线48与平面a
所成角为45°,设平面a内动点〃到点4,3的距离相等,则线段的长度的最小值为
()
A.4B.2V2
D*
C.2
2
(二+心-1).(1-切6的展开式中/的系数是-2,则实数a的值为(〉
A.OB.3G.-lD.-2
7.平面直角坐标系x。中,已知点4(-cr,0),8(。,0)其中。>0,若圆(x-a+iy+
(^一。一2)2=,上存在点/>满足用.而=3/,则实数。的取值范围是(〉
1
一,+8D.[l,+a>)
2
8.若对于任意正数X》,不等式“。+加工)之4111少一令恒成立,则实数£1的取值范围是()
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符
合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得。分.
9.若X-N(100,L5?),则下列说法正确的有()
A.P(^<100)=-B,E(Jf)=1.5
2
C.P[X<101.5)=P[X>98.5)D.P(97<X<101.5)=P(98.5<X<103)
io.如图所示的数阵的特点是:每行每列都成等差数列,该数列一共有〃行〃列G>100),
生表示第,行第)列的数,比如%=7,454=21,则()
234567・・・
3$791113•••
471Q131619・•・
5913172125•••
6H162]2631
713192$3137•・•
•・・•«•・・••••・・♦・•・
A.%,=50B.数字65在这个数阵中出现的次数为8次
D.这个数阵中七个数的和s=KI”l)2
C.a=zxj+1
(j4
数学试题第2页(共6页)
11.用平面a截圆柱面,圆柱的轴与平面a所成角记为。,当6为锐角时,圆柱面的截线
是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示,将两个大小
相同的球嵌入圆柱内,使它们分别位于a的上方和下方,并且与圆柱面和a均相切.下列结
论中正确的有()
A.椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B.椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距QQ相等
C.所得椭圆的离心率e=cos6
D.其中GG2为椭圆长轴,R为球9半径,有
0
R=AG1•tan—
(第11题图)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
x+l,x<0
12.己知函数f(x)h,则关于x的不等式的解集为.
ln(x+l),x>0
13.在矩形45CD中,AB=4,BC=6,分别是5G4D的中点,将四边形4BEF沿
Sy=77,则S1co=
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
15.(13分)在平面四边形43CD中,AB=45,AC=3t,BC=2-J1.
⑴求cosN8a的值;
勺求4D的长.
(2)若cos/.BCD=一2'C0S—DC
XJ
Jrt4?J|ya•BT
16.(15分)如图所示,平面ZCFEJ■平面4BCD,且四边形ZCFE是矩形,在四边形4B8
中,ZZDC=120°,2ZB=2/Z>=2CD=5C=6.
(1)若的=2而,求证:/〃//平面ADR.
3.
(2)若直线跳'与平面/BCD所成角为巴,求平面与平面5C"所成锐二面角的余弦
6
值.
(第16题图)
17.(15分)2023年12月30号,长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点
火起飞,随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道,发射任务获得圆满完成,此次
任务是长征系列运载火箭的第505次飞行,也代表着中国航天2023年完美收官。某市一调
研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度,随机的从本市大学生和高中生中抽
取一个容量为"的样本进行调查,调查结果如下表:
关注度
学生群体■oit
关注不关注
17
大学生-w--n
210
高中生
3
Tn
附:
a0.10.050.0250.010.001
2.7063.8415.0246.63510.828
,其中〃=a+b+c+d.
(a+£>XC+d)(a+cX&+d)
(1)完成上述列联表,依据小概率值a=0.05的独立性检验,认为关注航天事业发展与学生
群体有关,求样本容量〃的最小值;
(2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注,举办了一次航天知识闯关比赛,包含三个
问题,有两种答题方案选择:
方案一:回答三个问题,至少答出两个可以晋级;
方案二:在三个问题中,随机选择两个问题,都答对可以晋级.
已知小华同学答出三个问题的概率分别是3,22,小华回答三个问题正确与否相互独立,
432
则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大?(说明理由)
f,1
18.(17分)已知椭圆〃:F+4F=l(a>b>°)的离心率为:,4B分别为椭圆的左顶
ab2
点和上顶点,片为左焦点,且&的面积为孝.
(1)求椭圆〃的标准方程:
(2)设椭圆M的右顶点为C.P是椭圆M上不与顶点重合的动点.
3
⑴若点P(l,£),点。在椭圆”上且位于x轴下方,直线尸。交x轴于点斤,设&4EF和
3
△CQ尸的面积分别为S「S2,若S]-S2=:,求点。的坐标:
QD若直线4B与直线CP交于点。,直线3尸交x轴于点N,求证:2华川一砧为定值,
并求出此定值(其中柘心设分别为直线0N和直线。。的斜率)•
数学试题第5页.(共6页)
19・我们知道通过牛顿莱布尼兹公式,可以求曲线梯形(如图1所示阴影部分)的
j'/(x>&,(/(x)>0)
面积力=«,其中=尸。)一尸(。),尸'(x)=/(x).如果
平面图形由两条曲线围成(如图2所示阴账部分),曲线G可以表示为y=f(x),曲线。2
可以表示为'=6(x),那么阴影区域的面积N=J:"(x)-工(喇右,.其中
J:(AW-Z(切粒=J:E(工)办一J:fl(x)成.
(1)如图3,连续函数y=/(x)在区间[-3,-2]与[2,3]的图形分别为直径为1的上、下
半圆周,在区间[-2,0]与[0,2]的图形分别为直径为2的下、上半圆周,设万(%)=J;f[t}dt,
(2)在曲线/(X)=/(X20)上某一个点处作切线,使之与曲线和X轴所围成的面积为3,
XA
求切线方程;
(3)正项数列{伉}是以公差为d("为常数,d>0)的等差数列,4=1,两条抛物线
+—y="+2-6GM)记它们交点的横坐标的绝对值为q,两条抛物线
4,2+1
SsS,4
围成的封闭图形的面积为S”,求证:—L+—+,,,+-2-<T-
%a2a„3
教学诚题第6页(共6页)
2024届高三湖北H■—校第二次联考
数学参考答案及评分细则
命题学校:鄂南高中命题人:李环宇易红艳汪勇谋审题人:鄂南高中雷松柏
黄石二中万莲艳
题号1234567891011
答案ABBCADDCACDACABC
l,M=(-5,2),AA=[0,+oo)MPI^=[O,2)
选:A
2.^z=a+bi,(a,beR),由|z+2z[=目,a+(b+2)i|=|a+bi\,
a2+(b+2)-=a2+b-,解得6=-1,.・二的虚部为—b=l
选:B
,(tancr-12tana3
3.由tan|a==2,得tantz--3,..sin2a=
I4)1+tana1+tan2a5
选:B
一一3-2
4.由,=3得向量a1的夹角为60°,a-{a+b)=a-■a・b——\ci\
g(a+B)2=g(a+2a*b+b)=-1a2
选:C
5.由题意得,动点河的轨迹是线段48的中垂面与平面答凝
可得线段AM的最小值为4行义也=4
:
6.x2C°+ax•C;(r)+(-l)-C;,所以x2
选:D
7.设尸(x,y),-:PAPB=3a2,得P得轨迹方程为圆by2=4a2,所以圆C和已
/+2a+520
知圆相交即可,圆心距々一八三|0C]W+4,其中6=。,4=2a,得4
74-2Q-520
得
选:D
1
8.参变分离得砂Nu(ln(-lnx)-x,/.«>—(Inj-lnx)--,/.a>—In-
yyyy
设/=上,得42皿匚,/£(0,+00),设g(x)=@±4,xe(0,+oo),求导讨论单调性,可
XtX
得q2—
e~
选:C
9.X〜N(100,1.52)可知期望为100,方差为1S,
c选项尸(X<〃+£)=尸(X〉〃一b)正确
D选项尸(〃-2cr<X<〃+cr)=P(〃-cr<X<〃+2cr)正确
选:ACD
10.第z•行是以为为首项,以。+1)为公差的等差数列,
.,.旬=%]+(/—1)•i=(Z,+1)+(7—1)•Z,=Z,•J+1,C正确
可知A正确,对于B选项
615243342516
at-=i-j+1=65,i-j=64=2°x2=2x2=2x2=2x2=2x2=2x2=2x2°
故共出现7次,B错误
对于D选项,令〃=1,2,检验可知错误.
选:AC
11.A选项易知正确
B选项,如图可知
G]片=G/,G]g=GXD,GjA+G〔D=GXFX+G冉=(a—c)+(a+c)=2a
.•.002=/D=2。得证
C选项,AOOiK,O片=c,OOj=a,NO。片=6得证
D选项,可知44。1片=4/2。01=2,40/5中,tan'=4d,所以错误.
22R
选:ABC
2
12.(-oo,e-l]13.34%14.-3750
12.当x<0时,x+1«1得x<0,,xW0
当x>0时,ln(x+1)<1得一0<x<e-1
综上:/(》)41的解集为(-叫6-1]
13.由题意,可将三棱锥4-CDE补形成长方体,设长方体外接球半径为火,则
(2R,=32+32+42=34,S球=4万火2=34万
14.••・{}}为等差数列,.••数列{“〃}等差数列
・「Si4=77,「.7(/+/4)=7(%+句)=77
Q]4=ll-qN_Q]11-a-axan-(11-^J
<,…',贝U4=-----!----L=------------
%=11—Q”a”—%=2%]—11137
/.7。]+13〃u=110va^aneN+,经检验q=12,%i=2
则6/=£11^=一1,an=l3-n,S=叱”.“二(25-.)・「..%o=_375o
10"22
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
15.(13分)在平面四边形/BCD中,25=括,/。=3,5。=2血.
3
⑴求cos/BC4的值;
1)Mi
⑵若cosZBCD=——,cosZADC=--—求的长.
135
解:(1)在A48C中,由余弦定理可得:cosZBCA=—————
2AC-BC
/ncA9+8-5V2
/.cosZ.BCA=----------j==—;................5分
2x3x2逝2
(2)sin/ACD=sin(/BCD-ABCA)=sin/BCDcos/BCA-cos/BCDsinZBCA
5V212V217V2
--------1--------------
13213226
sinZADC=yj1-cos2ZADC=-............................9分
5
ACAD
在A4CD中,由正弦定理可得:
sinZADC~sinCD
3ADf255r-
—=—产^AD=——V2................13分
217、历52
526
16.(15分)如图所示,平面/CFEL平面4BC£>,且四边形ZCFE是矩形,在四边形
ABCD中,ZADC=120°,2AB=2AD=2CD=BC=6.
2f
⑴若EN=—求证:幺〃//平面8D尸
3,
:.ZDCA=3O°,AC=3y/3又48=3,BC=6
:.ZCAB^9Q0,ZACB=30°,四边形幺台四是等腰梯形..............3分
4D//BC且/D=]c
:.AO=-AC=-EF=MF二四边形ZOEM是平行四边形..............6分
33
•••AM11OF又AM6面0尸u面瓦加,AM//平面9................7分
(2):平面4C巫,平面/8C。,且四边形4CEE是矩形二平面/8C。
71
建立如图所示空间直角坐标系,由RF与平面N8CD所成角为7,得CF=26…8分
35y3
•••5(0,3,0)C(3AO,O)尸(3。,0,2百)£(0,0,2V3)
BE=(0,—3,26)无=(手,1,0)
BC=(36,-3,0)BF=(373,-3,2a9
分
(0,-3,26)•(x,y.z)=-3y+2cz-0
―)
设平面BED的法向量为〃1=(x,y,z),则<9369
(亏,一],0),(%//)=3%一1歹=0
々=(2百,2,拘11分
设平面BC厂的法向量为〃2=(%//),
(3百,一3,0)-(x,y,z)=3A/3X-3y=0
则|(3A-3,2®(x,y,z)=3技—3y+2任=0
••n2=(1,A/3,0)..............13分
•••cos",叱=撞1..............15分
19
I«iIIn2|
17.(15分)2023年12月30号,长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点
火起飞,随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道,发射任务获得圆满完成,此次
任务是长征系列运载火箭的第505次飞行,也代表着中国航天2023年完美收官。某市一调
研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度,随机的从本市大学生和高中生中抽
5
取一个容量为〃的样本进行调查,调查结果如下表:
关注度
学生群体会计
关注不关注
17
大学生
尸10
嘉中生
J
合计—内
s
附:
a0.10.050.0250.010.001
Xa2.7063.8415.0246.63510.828
n(ad-be)2,
Z2---------------------,其中〃=a+6+c+d.
(a+b)(c+1/)(<7+c)(b+d)
(1)完成上述列联表,依据小概率值a=0.05的独立性检验,认为关注航天事业发展与学生
群体有关,求样本容量〃的最小值?
(2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注,举办了一次航天知识闯关比赛,包含三个
问题,有两种答题方案选择:
方案一:回答三个问题,至少答出两个可以晋级;
方案二:在三个问题中,随机选择两个问题,都答对可以晋级.
已知小华同学答出三个问题的概率分别是3,22,小华回答三个问题正确与否相互独立,
432
则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大?(说明理由)
解:⑴
■
学生!》体生计
人汁不知
11
大学至一.一.g
11
G中生
10)10
—ItyM,.
frit5
6
零假设为“。:关注航天事业发展与学生群体无关
根据列联表中的数据,经计算得到/=25510=女
7n3n3n2n63
ToToT'T
因为依据小概率值a=0.05的独立性检验,认为关注航天事业发展与学生群体有关
所以力2=耳>3.8410”>30.25
由题可知,〃是10的倍数,.1"min=40
321
(2)记小华同学答出三个问题的事件分别Z,8,C,则尸(幺)=牙尸(5)=§,P(C)=a
记选择方案一通过的概率为Px
6=尸(2麻)+尸(疝0+尸(初0+尸(28。)
32131112132117,
——_•—.___।___.__.___।___.—.——।—.__.________]]3
-432432432432—24.........
记选择方案二通过的概率为P2
P2=-P(AB)+-P(BC)+-P(AC)
29
72
,/q>£,.•.小华应该选择方案一15分
xv1
18.(17分)已知椭圆/:+2T=1(。>6〉0)的离心率为一,45分别为椭圆的左顶
ab2
点和上顶点,耳为左焦点,且△儿?々的面积为三.
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)设椭圆/的右顶点为C,。是椭圆〃上不与顶点重合的动点:
3
(i)若点尸(1,2),点。在椭圆〃上且位于x轴下方,直线尸。交工轴于点尸,设△4/)」「和
7
3
△CDF的面积分别为£,邑,若,-S?=Q,求点。的坐标;
(ii)若直线Z8与直线CP交于点Q,直线AP交x轴于点N,求证:2左3-左支为定值,
并求出此定值.
N
题图)
c_1
a2
解:(1)由题意得<1分
i,、卜E
-(a-c)b=——
12、2
解得a=2,c=l2分
22
二•椭圆”的标准方程为乙+工=14分
43
(2)(i)连接尸C
13o3
「DPC=—x4x——S6分
SS[=S4Ape—S&\DPC
222
33-g
••S.DPC—
22-0AOPC
3
OD//PCk8分
OD2
3
y=——x
3?3
直线如的方程为y=—2%,联立'22得覆.-10分
土+J
[43
(其它方法酌情给分)
(ii)设直线0c的斜率为左,则直线QC的方程为:y=k(x-2)
y=k(x-2)
直线4s的方程为>=;-(x+2),由<_V3.。、得
y=^-(x+2)
2(2左+#)4v/
以2k-a11分
8
y=k(x-2)
2
由<xy2得(3+4左2)%2_16左2%+16左2—12=0
—+—=1
[43
c16P-12....2—6-12k
2xp=...........-13分
「3+4左2.3+4左2'3+4左2
—4百左2一12左一3百
.•直线5尸的方程为:〉=
8左2—6
...我-华⑼15分
2k+A/3
8®+121,M
…kQN=-k+—
2(2左+G)2(2左—G)-16G24
2k-也2k+6
"2kQN-kQc=^为定值
17分
19.(17分)我们知道通过牛顿莱布尼兹公式,可以求曲线梯形(如图1所示阴影部分)的
a?7
面积Z=<,其中[/(%[=厂他)一7(。),7(%)=/(%).如果
-£/(X)67X,(/(X)<0).
平面图形由两条曲线围成(如图2所示阴影部分),曲线a可以表示为y=<(x),曲线。2
可以表示为>=人(耳,那么阴影区域的面积Z=J:(力(x)—工,其中
(1)如图3,连续函数y=/(x)在区间[-3,-2]与[2,3]的图形分别为直径为1的上、下
9
半圆周,在区间[-2,0]与[0,2]的图形分别为直径为2的下、上半圆周,设尸(x)=J;/(/W,
求1尸(2)—尸(3)的值;
(2)在曲线/(》)=X2(》20)上某一个点处作切线,使之与曲线和x轴所围成的面积为
求切线方程;
(3)正项数列也}是以公差为d(d为常数,d〉0)的等差数列,4=1,两条抛物线
1
y=bnx+—>=*4+!(〃6乂)记它们交点的横坐标的绝对值为%,两条抛物
b,J%
线围成的封闭图形的面积为色,求证:县+邑
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