2024届湖北十一校高三第二次联考数学试题含答案

2024届湖北十一校高三第二次联考数学试题+答案

数学试题

诩加：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合〃={%,2+3%—10V。},N=|=>/x-1|,则〃()

A.[0,2)B.[l,2)C.[-5,2)D.(-5,2)

Z已知i为虚数单位，复数z满足|z+2"=园，则)的虚部为()

A.-lB.lC.iD.-i

3.若tan(a—9)=2,贝IIsin2a=()

3344

A.—B.——C.-D.—

5555

4已知向量满足H=W=3，则q.(a+3)=()

1^21—2]———11一

A..—aB.—dC.—(<24-b)

5.如图，A是平面a内一定点，5是平面a外一定点，且48=4五，直线48与平面a

所成角为45°,设平面a内动点〃到点4,3的距离相等，则线段的长度的最小值为

()

A.4B.2V2

D*

C.2

2

（二+心-1）.（1-切6的展开式中/的系数是-2,则实数a的值为（〉

A.OB.3G.-lD.-2

7.平面直角坐标系x。中，已知点4（-cr,0）,8（。,0）其中。>0,若圆（x-a+iy+

（^一。一2）2=，上存在点/>满足用.而=3/,则实数。的取值范围是（〉

1

一,+8D.[l,+a>)

2

8.若对于任意正数X》,不等式“。+加工）之4111少一令恒成立,则实数£1的取值范围是（）

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.若X-N（100,L5?）,则下列说法正确的有（）

A.P（^<100）=-B,E（Jf）=1.5

2

C.P[X<101.5）=P[X>98.5）D.P（97<X<101.5）=P（98.5<X<103）

io.如图所示的数阵的特点是：每行每列都成等差数列，该数列一共有〃行〃列G>100）,

生表示第，行第）列的数，比如%=7,454=21,则（）

234567・・・

3$791113•••

471Q131619・•・

5913172125•••

6H162]2631

713192$3137•・•

•・・•«•・・••••・・♦・•・

A.%,=50B.数字65在这个数阵中出现的次数为8次

D.这个数阵中七个数的和s=KI”l）2

C.a=zxj+1

(j4

数学试题第2页（共6页）

11.用平面a截圆柱面，圆柱的轴与平面a所成角记为。，当6为锐角时，圆柱面的截线

是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小

相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于a的上方和下方，并且与圆柱面和a均相切.下列结

论中正确的有（）

A.椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等

B.椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距QQ相等

C.所得椭圆的离心率e=cos6

D.其中GG2为椭圆长轴，R为球9半径，有

0

R=AG1•tan—

（第11题图）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

x+l,x<0

12.己知函数f（x）h,则关于x的不等式的解集为.

ln(x+l),x>0

13.在矩形45CD中，AB=4,BC=6,分别是5G4D的中点，将四边形4BEF沿

Sy=77,则S1co=

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

15.（13分）在平面四边形43CD中，AB=45,AC=3t,BC=2-J1.

⑴求cosN8a的值;

勺求4D的长.

(2)若cos/.BCD=一2'C0S—DC

XJ

Jrt4?J|ya•BT

16.（15分）如图所示，平面ZCFEJ■平面4BCD,且四边形ZCFE是矩形，在四边形4B8

中，ZZDC=120°,2ZB=2/Z>=2CD=5C=6.

（1）若的=2而，求证：/〃//平面ADR.

3.

（2）若直线跳'与平面/BCD所成角为巴，求平面与平面5C"所成锐二面角的余弦

6

值.

（第16题图）

17.（15分）2023年12月30号，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点

火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次

任务是长征系列运载火箭的第505次飞行，也代表着中国航天2023年完美收官。某市一调

研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽

取一个容量为"的样本进行调查，调查结果如下表：

关注度

学生群体■oit

关注不关注

17

大学生-w--n

210

高中生

3

Tn

附:

a0.10.050.0250.010.001

2.7063.8415.0246.63510.828

,其中〃=a+b+c+d.

(a+£>XC+d)(a+cX&+d)

（1）完成上述列联表，依据小概率值a=0.05的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生

群体有关，求样本容量〃的最小值；

（2）该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个

问题，有两种答题方案选择：

方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；

方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级.

已知小华同学答出三个问题的概率分别是3,22，小华回答三个问题正确与否相互独立,

432

则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大？（说明理由）

f，1

18.（17分）已知椭圆〃：F+4F=l（a>b>°）的离心率为:，4B分别为椭圆的左顶

ab2

点和上顶点，片为左焦点，且&的面积为孝.

（1）求椭圆〃的标准方程：

（2）设椭圆M的右顶点为C.P是椭圆M上不与顶点重合的动点.

3

⑴若点P（l,£）,点。在椭圆”上且位于x轴下方，直线尸。交x轴于点斤，设&4EF和

3

△CQ尸的面积分别为S「S2,若S]-S2=：,求点。的坐标：

QD若直线4B与直线CP交于点。，直线3尸交x轴于点N,求证：2华川一砧为定值，

并求出此定值（其中柘心设分别为直线0N和直线。。的斜率）•

数学试题第5页.（共6页）

19・我们知道通过牛顿莱布尼兹公式，可以求曲线梯形(如图1所示阴影部分)的

j'/(x>&,(/(x)>0)

面积力=«，其中=尸。)一尸(。)，尸'(x)=/(x).如果

平面图形由两条曲线围成(如图2所示阴账部分)，曲线G可以表示为y=f(x),曲线。2

可以表示为'=6(x),那么阴影区域的面积N=J："(x)-工(喇右，.其中

J：(AW-Z(切粒=J：E(工)办一J：fl(x)成.

(1)如图3,连续函数y=/(x)在区间［-3,-2］与［2,3］的图形分别为直径为1的上、下

半圆周，在区间［-2,0］与［0,2］的图形分别为直径为2的下、上半圆周，设万(%)=J；f［t｝dt,

(2)在曲线/(X)=/(X20)上某一个点处作切线，使之与曲线和X轴所围成的面积为3,

XA

求切线方程；

(3)正项数列｛伉｝是以公差为d("为常数，d>0)的等差数列，4=1,两条抛物线

+—y="+2-6GM)记它们交点的横坐标的绝对值为q,两条抛物线

4，2+1

SsS,4

围成的封闭图形的面积为S”，求证：—L+—+,,,+-2-<T-

%a2a„3

教学诚题第6页(共6页)

2024届高三湖北H■—校第二次联考

数学参考答案及评分细则

命题学校：鄂南高中命题人：李环宇易红艳汪勇谋审题人：鄂南高中雷松柏

黄石二中万莲艳

题号1234567891011

答案ABBCADDCACDACABC

l,M=(-5,2),AA=[0,+oo)MPI^=[O,2)

选：A

2.^z=a+bi,(a,beR),由|z+2z[=目，a+(b+2)i|=|a+bi\,

a2+(b+2)-=a2+b-,解得6=-1,.・二的虚部为—b=l

选：B

,(tancr-12tana3

3.由tan|a==2,得tantz--3,..sin2a=

I4)1+tana1+tan2a5

选：B

一一3-2

4.由，=3得向量a1的夹角为60°，a-{a+b)=a-■a・b——\ci\

g(a+B)2=g(a+2a*b+b)=-1a2

选：C

5.由题意得，动点河的轨迹是线段48的中垂面与平面答凝

可得线段AM的最小值为4行义也=4

:

6.x2C°+ax•C；(r)+(-l)-C；，所以x2

选：D

7.设尸(x,y),-：PAPB=3a2,得P得轨迹方程为圆by2=4a2,所以圆C和已

/+2a+520

知圆相交即可，圆心距々一八三|0C]W+4，其中6=。,4=2a,得4

74-2Q-520

得

选：D

1

8.参变分离得砂Nu(ln(-lnx)-x,/.«>—(Inj-lnx)--,/.a>—In-

yyyy

设/=上，得42皿匚,/£(0,+00),设g(x)=@±4,xe(0,+oo),求导讨论单调性，可

XtX

得q2—

e~

选：C

9.X〜N(100,1.52)可知期望为100,方差为1S,

c选项尸(X<〃+£)=尸(X〉〃一b)正确

D选项尸(〃-2cr<X<〃+cr)=P(〃-cr<X<〃+2cr)正确

选：ACD

10.第z•行是以为为首项，以。+1)为公差的等差数列，

.,.旬=%]+(/—1)•i=(Z，+1)+(7—1)•Z，=Z，•J+1,C正确

可知A正确，对于B选项

615243342516

at-=i-j+1=65,i-j=64=2°x2=2x2=2x2=2x2=2x2=2x2=2x2°

故共出现7次，B错误

对于D选项，令〃=1,2,检验可知错误.

选：AC

11.A选项易知正确

B选项，如图可知

G]片=G/,G]g=GXD,GjA+G〔D=GXFX+G冉=(a—c)+(a+c)=2a

.•.002=/D=2。得证

C选项，AOOiK,O片=c,OOj=a,NO。片=6得证

D选项，可知44。1片=4/2。01=2,40/5中，tan'=4d,所以错误.

22R

选：ABC

2

12.(-oo,e-l]13.34%14.-3750

12.当x<0时，x+1«1得x<0,，xW0

当x>0时，ln(x+1)<1得一0<x<e-1

综上：/(》)41的解集为(-叫6-1]

13.由题意，可将三棱锥4-CDE补形成长方体，设长方体外接球半径为火，则

(2R，=32+32+42=34,S球=4万火2=34万

14.••・｛｝｝为等差数列，.••数列｛“〃｝等差数列

・「Si4=77,「.7(/+/4)=7(%+句)=77

Q]4=ll-qN_Q]11-a-axan-(11-^J

<，…'，贝U4=-----!----L=------------

%=11—Q”a”—%=2%]—11137

/.7。]+13〃u=110va^aneN+,经检验q=12,%i=2

则6/=£11^=一1,an=l3-n,S=叱”.“二(25-.)・「..%o=_375o

10"22

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

15.（13分）在平面四边形/BCD中，25=括,/。=3,5。=2血.

3

⑴求cos/BC4的值;

1)Mi

⑵若cosZBCD=——,cosZADC=--—求的长.

135

解：(1)在A48C中，由余弦定理可得：cosZBCA=—————

2AC-BC

/ncA9+8-5V2

/.cosZ.BCA=----------j==—；................5分

2x3x2逝2

(2)sin/ACD=sin(/BCD-ABCA)=sin/BCDcos/BCA-cos/BCDsinZBCA

5V212V217V2

--------1--------------

13213226

sinZADC=yj1-cos2ZADC=-............................9分

5

ACAD

在A4CD中，由正弦定理可得:

sinZADC~sinCD

3ADf255r-

—=—产^AD=——V2................13分

217、历52

526

16.(15分)如图所示，平面/CFEL平面4BC£>,且四边形ZCFE是矩形，在四边形

ABCD中,ZADC=120°,2AB=2AD=2CD=BC=6.

2f

⑴若EN=—求证：幺〃//平面8D尸

3，

:.ZDCA=3O°,AC=3y/3又48=3,BC=6

:.ZCAB^9Q0,ZACB=30°，四边形幺台四是等腰梯形..............3分

4D//BC且/D=]c

:.AO=-AC=-EF=MF二四边形ZOEM是平行四边形..............6分

33

•••AM11OF又AM6面0尸u面瓦加,AM//平面9................7分

(2)：平面4C巫，平面/8C。，且四边形4CEE是矩形二平面/8C。

71

建立如图所示空间直角坐标系，由RF与平面N8CD所成角为7,得CF=26…8分

35y3

•••5(0,3,0)C(3AO,O)尸(3。,0,2百)£(0,0,2V3)

BE=(0,—3,26)无=(手,1,0)

BC=(36,-3,0)BF=(373,-3,2a9

分

(0,-3,26)•(x,y.z)=-3y+2cz-0

―)

设平面BED的法向量为〃1=(x,y,z),则＜9369

(亏，一]，0),(％//)=3％一1歹=0

々=(2百,2,拘11分

设平面BC厂的法向量为〃2=(%//),

(3百,一3,0)-(x,y,z)=3A/3X-3y=0

则|(3A-3,2®(x,y,z)=3技—3y+2任=0

••n2=(1，A/3,0)..............13分

•••cos",叱=撞1..............15分

19

I«iIIn2|

17.(15分)2023年12月30号，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点

火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次

任务是长征系列运载火箭的第505次飞行，也代表着中国航天2023年完美收官。某市一调

研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽

5

取一个容量为〃的样本进行调查，调查结果如下表:

关注度

学生群体会计

关注不关注

17

大学生

尸10

嘉中生

J

合计—内

s

附:

a0.10.050.0250.010.001

Xa2.7063.8415.0246.63510.828

n(ad-be)2,

Z2---------------------,其中〃=a+6+c+d.

(a+b)(c+1/)(<7+c)(b+d)

(1)完成上述列联表，依据小概率值a=0.05的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生

群体有关，求样本容量〃的最小值？

(2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个

问题，有两种答题方案选择：

方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；

方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级.

已知小华同学答出三个问题的概率分别是3,22，小华回答三个问题正确与否相互独立,

432

则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大？(说明理由)

解：⑴

■

学生!》体生计

人汁不知

11

大学至一.一.g

11

G中生

10)10

—ItyM，.

frit5

6

零假设为“。：关注航天事业发展与学生群体无关

根据列联表中的数据，经计算得到/=25510=女

7n3n3n2n63

ToToT'T

因为依据小概率值a=0.05的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关

所以力2=耳>3.8410”>30.25

由题可知，〃是10的倍数，.1"min=40

321

（2）记小华同学答出三个问题的事件分别Z,8,C,则尸（幺）=牙尸（5）=§,P（C）=a

记选择方案一通过的概率为Px

6=尸（2麻）+尸（疝0+尸（初0+尸（28。）

32131112132117,

——_•—.___।___.__.___।___.—.——।—.__.________]]3

-432432432432—24.........

记选择方案二通过的概率为P2

P2=-P(AB)+-P(BC)+-P(AC)

29

72

,/q>£,.•.小华应该选择方案一15分

xv1

18.（17分）已知椭圆/：+2T=1（。>6〉0）的离心率为一，45分别为椭圆的左顶

ab2

点和上顶点，耳为左焦点，且△儿?々的面积为三.

（1）求椭圆M的标准方程；

（2）设椭圆/的右顶点为C,。是椭圆〃上不与顶点重合的动点：

3

（i）若点尸（1,2）,点。在椭圆〃上且位于x轴下方，直线尸。交工轴于点尸，设△4/）」「和

7

3

△CDF的面积分别为£,邑，若，-S?=Q,求点。的坐标;

(ii)若直线Z8与直线CP交于点Q,直线AP交x轴于点N,求证：2左3-左支为定值，

并求出此定值.

N

题图)

c_1

a2

解：(1)由题意得＜1分

i,、卜E

-(a-c)b=——

12、2

解得a=2,c=l2分

22

二•椭圆”的标准方程为乙+工=14分

43

(2)(i)连接尸C

13o3

「DPC=—x4x——S6分

SS[=S4Ape—S&\DPC

222

33-g

••S.DPC—

22-0AOPC

3

OD//PCk8分

OD2

3

y=——x

3?3

直线如的方程为y=—2%，联立'22得覆.-10分

土+J

[43

(其它方法酌情给分)

(ii)设直线0c的斜率为左,则直线QC的方程为：y=k(x-2)

y=k(x-2)

直线4s的方程为＞=；-(x+2),由＜_V3.。、得

y=^-(x+2)

2(2左+#)4v/

以2k-a11分

8

y=k(x-2)

2

由＜xy2得(3+4左2)%2_16左2%+16左2—12=0

—+—=1

[43

c16P-12....2—6-12k

2xp=...........-13分

「3+4左2.3+4左2'3+4左2

—4百左2一12左一3百

.•直线5尸的方程为：〉=

8左2—6

...我-华⑼15分

2k+A/3

8®+121,M

…kQN=-k+—

2(2左+G)2(2左—G)-16G24

2k-也2k+6

"2kQN-kQc=^为定值

17分

19.（17分）我们知道通过牛顿莱布尼兹公式，可以求曲线梯形（如图1所示阴影部分）的

a?7

面积Z=<，其中[/(%[=厂他)一7(。)，7(%)=/(%).如果

-£/(X)67X,(/(X)<0).

平面图形由两条曲线围成（如图2所示阴影部分），曲线a可以表示为y=＜（x）,曲线。2

可以表示为＞=人（耳，那么阴影区域的面积Z=J：（力（x）—工,其中

（1）如图3,连续函数y=/（x）在区间［-3,-2］与［2,3］的图形分别为直径为1的上、下

9

半圆周，在区间［-2,0］与［0,2］的图形分别为直径为2的下、上半圆周，设尸（x）=J；/（/W，

求1尸（2）—尸（3）的值；

（2）在曲线/（》）=X2（》20）上某一个点处作切线，使之与曲线和x轴所围成的面积为

求切线方程；

（3）正项数列也｝是以公差为d（d为常数，d〉0）的等差数列，4=1,两条抛物线

1

y=bnx+—＞=*4+!（〃6乂）记它们交点的横坐标的绝对值为%,两条抛物

b,J%

线围成的封闭图形的面积为色，求证：县+邑