2024年初中数学升学考试复习-旋转的性质

旋转的性质

52.（2023•天津）如图，把△48C以点Z为中心逆时针旋转得到△/£>£,点比C的对应点分别是点。,

E,且点£在的延长线上，连接AD,则下列结论一定正确的是（）

A.ZCAE=ABEDB.AB=AEC.ZACE=ZADED.CE=BD

【答案】A

【分析】由旋转的性质可得N4BC=N/QE,ZBAD=ZCAE,由三角形内角和定理可得N8£Q=N

BAD=ZCAE.

【解答】解：如图，设与3E的交点为。，

•.•把△4BC以点/为中心逆时针旋转得到△ZQE,

/.ZABC=ZADE,ZBAD=ZCAE,

又：ZAOB=ZDOE,

：.ZBED=ZBAD=ZCAE,

故选：A.

【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键.

旋转的性质

41.（2023•邵阳）如图，在等边三角形48c中，。为45上的一点，过点。作8C的平形线。£交NC

于点E,点尸是线段上的动点（点尸不与。、E重合）.将AZB尸绕点N逆时针方向旋转60°,

得至U△/C。，连接£。、PQ,PQ交4C于F.

（1）证明：在点尸的运动过程中，总有NP£0=12O°.

（2）当会为何值时，^幺。F是直角三角形？

备用图

【答案】（1）见解析过程;

(2)V3.

【分析】（1）由旋转的性质可得以=。4ZR4Q=6Q°,通过证明点Z,点P,点£,点。四点共

圆，可得/H。+/尸£0=180°,即可得结论；

（2）由旋转的性质可得NB4Q=60°,ZP=/。，由角的数量关系可求ND4尸=30°,ZAPD=9Q°,

即可求解.

【解答】（1）证明：,••将尸绕点幺逆时针方向旋转60°,

：.PA=QA,ZR4Q=60°,

.••△NPQ是等边三角形，

/.ZAQP=60°,

,JDE//BC,

：.ZAED=ZACB=60°,

ZAQP=ZAED,

・•.点/，点尸，点£,点。四点共圆,

.ZR4Q+ZPEQ=18Q°,

AZPEQ=120°；

(2)解：如图,

根据题意：只有当N4F0=9O°时，成立，

•.,△480绕点Z逆时针方向旋转60°,得到△NC0,

AZPAQ=60°,AP=AQ,

△4P0是等边三角形，

AZPAQ=60°,

VZAFQ=90°,

/.ZB4F=ZQAF=30°,

•••△48C是等边三角形，

/.ZABC=ZBCA=ZCAB=60°,

,CDE//BC,

：.ZADP=ZABC=60°,

/.ZDAP=30°,ZAPD=90°,

tanZADP=tan60°——PD—V3.

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性

质解决问题是解题的关键.

旋转的性质

29.(2023•张家界)如图，Z。为NA4c的平分线，且NR4C=50°,将四边形480C绕点幺逆时针方

向旋转后，得到四边形45,O'C',且NCMC'=100°,则四边形4BOC旋转的角度是75°.

C'

A

O'

0

【答案】75°.

【分析】依据2。为NA4c的平分线可知，ZBAO=ZCAO^^ZBAC=25°,依据旋转的性质可知N

CA0'=3=25°,旋转角为NCM。'，AOAO'=ZOAC'-ZC'Z。'代入数据即可得解.

【解答】解：：幺。为NA4c的平分线，ZBAC=50°,

1

：./BAO=/CAO=/BAC=25°.

依据旋转的性质可知NC'AO'=|=25°,旋转角为NCM。'，

.".ZOAO1=ZOAC-ZCA0'=100°-25°=75°.

故答案为：75°.

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，菱形的判定，熟练运用旋转的

性质是本题的关键.

旋转的性质

28.（2023•绥化）已知等腰△NBC,ZA=12Q°,AB=2.现将△ZBC以点8为旋转中心旋转45°,得

到BC,延长C'A'交直线5c于点Q.则2,。的长度为4+2遮或4—2旧.

【答案】4+2力或4一2班.

【分析】分两种情况：①当△48。绕点8逆时针旋转45°得到△/'8C',过点8作于。，

作8。的垂直平分线交于X,交4。于R连接AF,先求出ND=15°,再求出4E=1,

BE=V3,进而得DF=BF=2g,EF=3,据此可求得4。的长；

②当△4BC绕点5顺时针旋转45°得到△/'BC,过点。作。河，4。于M作幺。的垂直平分线

尸。交48于0,先求出/48。=15°,设HW=x,则4D=2x,DM=后,进而可求得DQ=BQ=

2V3x,QM=3x,据此可求出x,进而可求得4。的长.

【解答】解：•••将△4BC绕点8旋转45°得到BC',

•••有以下两种情况：

①当△4BC绕点8逆时针旋转45°得到BC,

过点8作于£,作5。的垂直平分线HF交于H,交4D于F,连接8R

•.•△48C为等腰三角形，ZA=120°,AB=2,

：.ZBA'C=ZA=120°,A'B=AB=2,ZABC=30°,

:./DAB=60°,

由旋转的性质得：ZA'BA=45°,

：.ZA'BC=ZA'BA+ZABC=15°,

又•:ZA'BC=ZDA'B+ZD,

即75°=60°+ZD=15°,

在中，ZDA'B=60°,A'B=2,

：.ZA'BE=30°,

.•.a/E^-2AB=1,

由勾股定理得：BE=yjA'B2-A'E2=瓜

■:HF为BD的垂直平分线，

：.DF=BF,

：.ZD=ZFBD=15°,

AZEFB=ZD+ZFBD=3Q°,

:.BF=2BE=2®故：DF=BF=2®

由勾股定理得：EF=VBF2-BE2=3,

：.A/。=ZE+EF+OF=4+2倔

②当△4BC绕点5顺时针旋转45°得到AHBC',

过点D作DMLA'D于M,作AD的垂直平分线PQ交A'B于Q,

由旋转的性质得：ZABA'=45°,NBAC=N4=120°,A，B=AB=2,

：.ZA'BD=ZABA'-ZABC=15°,ZBA'D=60°,

'：DM±A'D,

：.ZA'DM=30°,

在Rt^/3河中，ZA'DM=3Q°,设HM=x,

则A'D=2A'M=2x,

由勾股定理得：DM=y/A'D2-A'M2=y/3x,

,:P。为BD的垂直平分线，

：.BQ=DQ,

：.ZA'BD=ZQDB=15°,

/DQM=ZA,BD+ZQDB=30°,

：.DQ=BQ=2DM=2限，

由勾股定理得：QM=y]QD2_DM2=3%,

"：A'M+QM+BQ=A'B,

'.x+3x+2-\/3x=2,

.".x—2—V3>

即a/D=2久=4-2V3.

综上所述：A'。的长度为4+2百或4—2g.

故答案为：4+2百或4一2百.

【点评】此题主要考查了图形的旋转变换及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理

等，解答此题的关键是理解题意，熟练掌握图形的旋转变换，理解在直角三角形中，30°的角所对的

直角边等于斜边的一半，分类讨论是解答此题的难点，漏解是解答此题的易错点之一.

29.(2023•绥化)如图，△48C是边长为6的等边三角形，点E为高8。上的动点.连接CE,将CE绕

点C顺时针旋转60°得到CE.连接4F,EF,DF,则△CD9周长的最小值是3+3遮.

【答案】3+3疗

【分析】分析已知，可证明得/CAF=/CBE=30。，可知点P在△Z5C外，使N

CAF=30°的射线Z尸上，根据将军饮马型，求得。尸+CF的最小值便可求得本题结果.

【解答】解：：AN5c是等边三角形，

：.AC=BC=6,ZABC=ZBCA=60°,

VZECF=60°,

：.ZBCE=60°-ZECA=ZACF,

"：CE=CF,

:.ABCEmAACF(S4S),

：.ZCAF=ZCBE,

,.,△4BC是等边三角形，8。是高，

11

：.ZCBE^-ZABC=3Q°,CD^-AC=3,

22

过。点作CGL4F,交AF的延长线于点G,延长CG到H,使得GH=CG,连接NX,DH,DH与

ZG交于点/,连接C/,FH,

则N/CG=60°,CG=GH=/C=3,

：.CH=AC=6,

：.CH为等边三角形，

：.DH=CD*tan60°=343,

AG垂直平分CH,

：.CI=HI,CF=FH,

：.CI+DI=HI+DI=DH=3V3,

CF+DF=HF+DF^DH,

当/与/重合时，即。、F、X三点共线时，CF+D9的值最小为：CF+DF=DH=3®

：.ACDF的周长的最小值为3+3V3.

故答案为：3+3同

【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，将军饮马的应

用，关键在于证明三角形全等确定E点运动轨迹.

30.（2023•黑龙江）如图，在中，ZBAC=30°,C5=2,点E是斜边25的中点，把Rt/XZBC

绕点Z顺时针旋转，得RtZXZFO,点C,点8旋转后的对应点分别是点。，点R连接CF,EF,

CE,在旋转的过程中，△（7£/面积的最大值是4+旧.

【答案】4+V3.

【分析】线段CE为定值，点尸到CE距离最大时，△CEE的面积最大，画出图形，即可求出答案.

【解答】解：•；线段CE为定值,

点F到CE的距离最大时，ACEF的面积有最大值.

在中，ZBAC=30°,E是幺5的中点，

：.AB=2BC=4,CE=AE=UB=2,AC=AB*COS30°=2^3,

2

：.ZECA=ZBAC=30°,

过点A作AGLCE交CE的延长线于点G,

：.AG^-AC^V3,

2

:点尸的在以Z为圆心，48长为半径的圆上，

：.AF=AB=4,

...点F到CE的距离最大值为4+V3,

SACEF=|CE-(4+V3)—4+V3,

故答案为：4+V3.

【点评】本题主要考查了旋转的性质，特殊直角三角形的性质，点的运动轨迹等知识，采取动静互换,

画出的面积最大时的图形是解题的关键.

旋转的性质

48.（2023•聊城）如图，已知等腰直角△Z5C,NZC5=90°,幺8=奁，点C是矩形ECG/与△NBC的

公共顶点，且CE=1,CG=3；点。是C5延长线上一点，且CD=2.连接5G,DF,在矩形ECGE

绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段8G达到最长和最短时，线段。/对应的长度分别为

m和n,则以的值为（）

n

A.2B.3C.V10D.V13

【答案】D

【分析】当点G在线段8c的延长线时时，G5有最大值，由勾股定理可求此时G尸的长，当点G在

线段CB的延长线上时，G5有最小值，由勾股定理可求此时GP的长，即可求解.

【解答】解：在等腰直角△NBC,ZACB=90°,AB=也,

：.AC=BC=1,

在XBCG中，CG-BC<BG<CG+BC,

即2<BG<4,

如图，当点G在线段5c的延长线时时，G3有最大值，

：.DG=DC+CG=5,GF=1,

DF—y/DG2+GF2=V25+1=V26—m,

当点G在线段CB的延长线上时，G8有最小值,

：.DG=CG-DC=\,FG=\,

DF—y）FG2+DG2—V1+1—V2—n,

/.-n=V13,

故选：D.

【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，矩形的性质，勾股定理等知识，确定5G最长和最短时

的位置是解题的关键.

旋转的性质

47.（2023•荷泽）如图，点E是正方形4BCD内的一点，将绕点5按顺时针方向旋转90°,得

到△C8R若/4BE=55°,则N£GC=80度.

【答案】80.

【分析】先根据正方形的性质可得NZ5C=90°,从而可得NE8C=35°,然后根据旋转的性质可得:

BE=BF,/EBF=90：从而可得NBEF=NBEE=45°,最后利用三角形的外角性质进行计算，即

可解答.

【解答】解：•.•四边形Z5CD是正方形,

AZABC=90°,

VZABE=55°,

ZEBC=ZABC-ZABE=35°,

由旋转得：BE=BF,ZEBF=90°,

AZBEF=ZBFE=45°,

<•,ZEGC是ABEG的一个外角，

/.ZEGC=ZBEF+ZEBC=80°,

故答案为：80.

【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握旋转的性质，以及正方形的性质是解题的

关键.

旋转的性质

51.（2023•宜宾）如图，△48C和是以点/为直角顶点的等腰直角三角形，把△NDE以Z为中

心顺时针旋转，点/为射线AD、CE的交点.若AB=W,AD=1.以下结论：①BD=CE；②BDL

CE-,③当点E在氏4的延长线上时，MC=萼；④在旋转过程中，当线段"3最短时，的面

积为点其中正确结论有（）

BC

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.

【分析】证明△氏4。等可判断①，由三角形的外角的性质可判断②，证明NQCA/SNECZ,有

篝=专1,即可判断③；以Z为圆心，4D为半径画圆，当CE在OZ的下方与OZ相切时，"3的值

最小，可得四边形是正方形，在RtZU/BC中，MC=7BC2—MB2=遮+1,然后根据三角

形的面积公式可判断④.

【解答】解：•••△48C和是以点Z为直角顶点的等腰直角三角形，

：.BA=CA,DA=EA,ZBAC=ZDAE=90°,

/.ZBAD=ZCAE,

:.△BAD2LCAE(SAS),

：.BD=CE,ZABD=ZACE,故①正确；

设/ABD=/ACE=x,ZDBC=45°-x,

：.ZEMB=ZDBC+ZBCM=ZDBC+ZBCA+ZACE=45°-x+45°+x=90°,

:.BDLCE,故②正确；

当点E在氏4的延长线上时，如图：

同理可得NQMC=90°,

/.ZDMC=ZEAC,

"：ZDCM=ZECA,

：./DCMs^ECA

.MC_CD

AC~EC9

'：AB=V3^AC,AD=1=AE,

：.CDAC-AD^^3-1,CE=yjAE2+AC2=2,

・MC_V3-1

,飞二~r，

.•.MC=萼，故③正确；

④以/为圆心，为半径画圆，如图:

VZBMC=9Q°,

・•.当CE在ON的下方与ON相切时，"3的值最小，

ZADM=ZDME=ZAEM=9Q°,

,:AE=AD,

・•・四边形AEMD是正方形，

：・MD=AE=1,

,:BD=7AB2-AD?=J（a2—了=瓶

CE=BD=V2,BM=BD-MD=V2-1,

MC=CE+ME=V2+1,

,:BC=旧B=V6,

:.MB=^BC2-MC2=J（V6）2-（V2-l）2=V2+1,