2020-2021学年北京高二（上）期中数学试卷2教师版

2020-2021学年北京高二(上)期中数学试卷2

一、选择题

1.己知点A(2,0,1),B(4,2,3),尸是AB中点，则点P的坐标为()

A.P(3,1,2)B.P(3,1,4)C.P(0,-2,-1)D.P(6,4,5)

2.直线1=0的倾斜角是()

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.如图，直线12,/3,/4的斜率分别为h,kl,k3,k4,贝|J()

C.k4<k3<ki<k2D.h<k4<ki<k2

4.已知直线〃，b分别在两个不同的平面a,0内.则“直线Q和直线"相交”是“平面a

和平面B相交”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.过两直线x+y-3=0,2x-y=0的交点，且与直线y1*平行的直线方程为()

3

A.x+3y+5=0B.x+3y-5=0C.x-3y+5=0D.x-3y-5=0

6.若方程/+9+2广》+尸=0表示圆，则尸的取值范围是()

A.p>-—B.C.F〉力D.

4444

7.已知小，〃表示两条不同直线，a表示平面，下列说法正确的是()

A.若加〃a,n//a,贝!J根〃〃B.若m_La,〃ua,则m_L〃

C.若机_La,m_Ln,贝D.若徵〃a,m,Ln,贝〃_La

8.经过三个点A(0,0),B(2V3,0),C(0,-2)的圆的方程为()

A-(x-V3)2+(y+l)2=2B-(x-V3)2+(y-l)2=2

c-(x-V3)2+(y+l)2=4D-(x-V3)2+(y-l)2=4

9.如图，四边形ABC。中，AB=A£)=Cr>=l,BA1AD,BD±CD,将四边形A8CD沿对

角线8。折成四面体A'-BCD,使平面AB。，平面BCD,则四面体4-BCD的体积为

()

C

A.AB.Ac.AD.A

6432

10.已知四棱锥A-8COE的底面BCDE为矩形，且AB_L平面8CZJE,尸为棱DE的中点,

有下列叙述：

①棱AD在底面的射影为线段BD；

②〃平面AC。；

③CE_L平面ABD；

@C-AB-F的平面角为锐角.

其中正确的叙述有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

11.已知直线/将圆，+/-4尤-2y=0平分，若/不经过x轴的负半轴，则其斜率的取值范

围是(

A-[0,B.(-8,

C(-8,-1]J[0,+co)D.(-8,0]U[y.8

12.如图，在棱长为2的正方体ABC。-4810中，尸为棱的中点，M为面BCG21

上的点.一质点从点尸射向点M,遇正方体的面反射(反射服从光的反射原理)，反射到

点。1.则线段与线段的长度和为()

A.V15B.4C.VTzD.3&

二、填空题

13.已知点A(0,-4)、B(3,0),则直线AB的一个方向向量为,线段AB的长

度为.

14.在正方体ABC。-A181C01中，贝与48所成角的大小为.

15.已知圆C：JC+y1-4y=0,则圆心C的坐标为,圆C的半径为.

16.在平面直角坐标系中，定义d(P,。)=|xi-X2|+|yi-羽为两点尸(xi,yi),0(x2,

”)之间的“折线距离“：在这个定义下，给出下列命题：

①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；

②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；

③到M(-1,0),N(1,0)两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平

行线；

④到M(-1,0),N(1,0)两点的“折线距离”之和为6的点的集合是面积为16的六

边形.

其中正确的命题是.(写出所有正确命题的序号)

三、解答题(本大题共5小题，每小题14分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤：请将答案写在答题纸的指定位置上)

17.(14分)如图，在三棱锥P-42C中，/B4c=90°,AB=BC,E,尸分别为AC,PC

的中点.

(I)求证：B4〃平面BEF；

(II)求证：AC1BF.

18.(14分)已知直线A：ax-2j+3—0,h-.x+(a-3)y+5a—0.

(I)当a=l时，求两直线的距离；

(II)若求a的值；

(III)写出原点到直线/1的距离，并求出该距离的最大值.

19.(14分)如图，在三棱柱ABC-ALBICI中，881，平面ABC,AABC为正三角形，侧面

A231A1是边长为2的正方形，。为BC的中点.

(I)求证：平面ADCi_L平面BCC出1；

(I)若直线h过点4(-1,3),且人，/2,求直线12的方程；

(II)如图，。为坐标原点，若直线/1的斜率为匕其中0<%W2,且与y轴交于点N,

直线/2过点Q(0,工-+2)，且与x轴交于点求直线/1,/2与两坐标轴围成的四边形

R2

PNOM面积的最小值.

y

Q

N,

Ox

21.(14分)P-ABC。中，底面ABCD是矩形，侧棱B4_L底面ABC。，E,尸分别是AB,

PC的中点，PA=AD=2,CD=42.

(I)求证：跖〃平面B4D；

(II)求PC与平面£阳所成角的正弦值;

(III)在棱BC上是否存在一点M,使得平面平面跳D?若存在，求出现的值;

BC

若不存在，请说明理由.

2020-2021学年北京高二(上)期中数学试卷2

参考答案与试题解析

一、选择题

1.已知点A(2,0,1),B(4,2,3),P是AB中点，则点尸的坐标为()

A.P(3,1,2)B.P(3,1,4)C.P(0,-2,-1)D.P(6,4,5)

【分析】根据题意，由空间中点坐标的计算公式计算可得答案.

【解答】解：根据题意，点A(2,0,1),B(4,2,3),尸是AB中点，

则点尸的坐标为(生£见2,上@),即(3,1,2)；

222

故选：A.

【点评】本题考查空间直角坐标系，涉及中点坐标公式，属于基础题.

2.直线1=0的倾斜角是()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可.

【解答】解：因为直线«x+y-1=0的斜率为：-M，

直线的倾斜角为：a.

所以tana=-

a=120°

故选：C.

【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用.

3.如图，直线/1,12,/3,/4的斜率分别为％,kl,k3,kA,则()

A.k4<ks<k2<kiB.h<k4<k2<ki

C.k4<k<kl<k2D.h<k4<ki<k2

【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系，即可得解.

【解答】解：由左=tana知，当倾斜角a在这一变化时，直线的斜率上逐渐增大，所以0

<ki<k2,

当倾斜角a在第二象限变化时，直线的斜率%逐渐增大，所以依<履<0,

所以ki<k4<ki<k2.

故选：D.

【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，熟练掌握正切函数的图象与性质是解题

的关键，属于基础题.

4.已知直线a,b分别在两个不同的平面a,0内.则“直线a和直线6相交”是“平面a

和平面0相交”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】直线a,6分别在两个不同的平面a,0内，则“直线。和直线6相交”今“平

面a和平面0相交”，反之不成立.

【解答】解：直线。，6分别在两个不同的平面a,0内，则“直线。和直线b相交”今

“平面a和平面p相交”，

反之不成立.

“直线a和直线b相交”是“平面a和平面0相交”的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础

题.

5.过两直线x+y-3=0,2x-y=0的交点，且与直线y」x平行的直线方程为（）

3

A.x+3y+5=0B.x+3y-5=0C.%-3y+5=0D.x-3y-5=0

【分析】先联立两直线方程，求出两直线的交点坐标，依题意可设所求直线方程为y=

▲x+左“W0），代入交点坐标，即可求出发的值，从而得到直线方程.

3

【解答】解：联立方程卜切与已解得：卜=1,

[2x-y=0Iy=2

直线x+y-3=0,2x-y=0的交点坐标为（1,2）,

设所求直线方程为尸“左（20）,

代入点（1,2）得，2=L+k，

3k

3

...所求直线方程为y=Lx+8，即尤-3y+5=0,

33

故选：C.

【点评】本题主要考查了直线的一般方程，考查了两直线平行的位置关系，是基础题.

6.若方程/+/+2苫->歹=0表示圆，则尸的取值范围是（）

A.F>立B.p<AC.p>_AD.卜<上

4444

【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可求出尸的范围.

【解答】解：方程x2+y2+2x-y+F=0可变形为（x+DZ+ly-^jZn-F+iq,

因为方程表示圆，

则_卜+|>0,解得F<-|.

故选：B.

【点评】本题考查了圆的方程的理解与应用，属于基础题.

7.已知小，〃表示两条不同直线，a表示平面，下列说法正确的是（）

A.若加〃a,n//a,则小〃〃B.若m_La,〃ua,则m_L〃

C.若根J_a,m.Ln,贝D.若根〃a,mJ_n,则〃J_a

【分析】A.运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；

B.运用线面垂直的性质，即可判断；

C.运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；

D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断.

【解答】解：A.若机〃a,几〃a,则机，〃相交或平行或异面，故A错；

B.若机_La,几ua,则机_L〃，故B正确；

C.若mJ_a,m.Ln,贝1j〃〃a或〃ua,故C错；

D.若加〃a,mXn,则〃〃a或〃ua或〃_La,故。错.

故选：B,

【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与

性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型.

8.经过三个点A(0,0),B(2V3,0),C(0,-2)的圆的方程为()

A-(x-V3)2+(y+l)2=2B-(x-V3)2+(y-l)2=2

C(x-V3)2+(y+l)2=4D.(x-V3)2+(y-1)2=4

【分析】利用待定系数法设出圆的方程，代入点的坐标求解即可.

【解答】解：因为圆经过三个点A(0,0),5(2^3,0),C(0,-2),

设圆的方程为(X-a)2+(y-/?)2=於，

(a2+-b2_-r2

WJ)(2V3-a)2+b2=r2>解得a=百，b=-l,r=2,

,a2+(-2-b)2=r2

所以圆的方程为(x-通)2+6+1)2=少

故选：C.

【点评】本题考查了圆的方程的求解，主要考查了待定系数法的应用，考查了逻辑推理

能力与化简运算能力，属于基础题.

9.如图，四边形中，AB=AD=CD=\,BALAD,BD±CD,将四边形A8C£>沿对

角线8。折成四面体A'-BCD,使平面平面BCD,则四面体A-BCD的体积为

()

【分析】利用面面垂直的性质定理证明COJ■平面A3。，然后由等体积法Vk「BCD=Vc.

A-BD,结合锥体的体积公式求解即可.

【解答】解：由题意，平面A8O_L平面8C。，平面A8OC平面又BO_LC£),

CDu平面BCD,

则CO_L平面ABD,

因为A8=AD=CD=1,

所以江A，BD卷义/19，

则由等体积法可得，VA-BCD=VC-A'BD=—^^^f=—X—X

1_''326

所以四面体A-BCD的体积为工.

6

故选：A.

【点评】本题考查了空间中的翻折问题，面面垂直的性质定理的应用，棱锥体积的求解,

要注意翻折前后不变的信息，对于三棱锥的体积问题，一般会运用等体积法求解，考查

了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

10.已知四棱锥A-3CDE的底面BCDE1为矩形，且A8_L平面8COE,尸为棱。E的中点，

有下列叙述：

①棱AD在底面的射影为线段BD；

②8尸〃平面AC。；

③CEJ_平面ABD；

④C-AB-尸的平面角为锐角.

其中正确的叙述有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】利用射影的定义判断选项①，由8尸〃。M,而直线OM是平面ACO的斜线，从

而确定与平面AC。相交，即可判断选项②，利用反证法推出矛盾，即可判断选项③,

由二面角的平面角的定义，即可判断选项④.

【解答】解：对于①，因为A3,平面BCDE,则棱AD在底面的射影为线段故选项

①正确；

对于②，取BC的中点连接。M,

因为尸为。E的中点，

所以四边形8即M为平行四边形，

贝I]BF//DM,

由直线Z5M是平面ACD的斜线，

所以8尸与平面ACD相交，

故选项②错误；

对于③，假设CE_L平面因为2£>u平面ABD,

贝I]CELBD,

又四棱锥A-BCDE的底面BCDE为矩形,

所以CE与8。不一定垂直，

故假设不成立,

所以选项③错误;

对于④，因为A8_L平面BCDE,

则/CB尸为二面角C-的平面角,

所以NCBE为锐角,

故选项④正确.

故选:B.

【点评】本题考查了棱锥几何性质的应用，线线、线面、面面位置关系的判断，二面角

的理解与应用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题.

11.已知直线/将圆/+/-4尤-2y=0平分，若/不经过x轴的负半轴，则其斜率的取值范

围是（）

A-[0,B.(-8,-A-]

C.(-co-y]U[0.+8)D.(-8,0]U&8

【分析】由直线/将圆/+/-4x-2y=0平分，可得直线/过圆心（2,1）,再根据直线

/不经过x的负半轴，求出斜率的取值范围.

【解答】解：：圆的方程为/+y2-4x-2y=0,...圆心坐标为（2,1）,

:直线/将圆平分，，直线/过圆心（2,1）,

当％WO,直线/均不经过x轴的负半轴，符合题意,

当上>0时，由直线/不经过无轴的负半轴,可得斜率4》1-0=1

综上所述，上的取值范围为（-8,0]U[y,+CO）.

故选：D.

【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，以及分类讨论的思想，属于中档题.

12.如图，在棱长为2的正方体A8CD-A181C1O1中，P为棱A8的中点，M为面BCC181

上的点.一质点从点P射向点M,遇正方体的面反射（反射服从光的反射原理），反射到

点。1.则线段PM与线段MO1的长度和为（）

【分析】利用正方体的几何性质，光的反射原理，根据对称性，得出线段与线段

的长度和等于线段DN的长度，利用直角三角形RtzMJiDN,求解即可.

【解答】解：根据几何体的性质，结合光的反射原理得出

P关于8的对称点N,

：.MP=NP,

即连接ON,DiN,

根据正方体的性质，得出RtADiOV,

:边长为2,

:.AN=3,A£)=2,

即ON=百§，

£)1=2,

.,.Di^=V13+4=717.

故选：C.

D\

Ci

【点评】本题考查了正方体的几何性质，光的反射原理，对称性问题，化折线为直线求

解线段的长度，题目很新颖，属于中档题.

二、填空题

13.已知点A(0,-4)、B(3,0),则直线AB的一个方向向量为(3,4),线段

AB的长度为5.

【分析】由题意中A,B的坐标即可求出直线AB的方向向量，由向量的模的定义即可求

出的长度.

【解答】解：由A,B点即可得到标=(3,0)-(0,-4)=(3,4)，

|AB|=742+32=5)

故线段A8的长度为5,

故答案为：(3,4),5.

【点评】本题考查直线的方向向量与模，属于容易题.

14.在正方体ABC。-AiBlClDl中，则ADi与42所成角的大小为60°.

【分析】由题意画出图形，由异面直线所成角的概念找出AD1与48所成角，再由正方

体的结构特征得答案.

【解答】解：如图，

连接8Q,由正方体的结构特征可知，AB//CiDi,AB=CiDi,

则四边形ABC1D1为平行四边形，得AD1〃BC1,

可知为AOi与48所成角，连接AiCi,

由ABC。-ALBICLDI为正方体，得△ALBCI为正三角形，则NAiBCi=60°.

即AD与48所成角的大小为60°.

故答案为：60°.

DiCi

AB

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求

解能力，是基础题.

15.已知圆C：/+y2_4y=0,则圆心C的坐标为(0,2),圆C的半径为2.

【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，由此可得圆心和半径.

【解答】解：因为圆C：/+y-4y=0的方程可变形为/+(y-2)2=4,

所以圆心C的坐标为(0,2),半径为2.

故答案为：(0,2)；2.

【点评】本题考查了圆的方程的应用，主要考查了圆的一般方程与标准方程的互化，考

查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题.

16.在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)=|xi-无2|+|yi-泗为两点尸(xi,yi),0(x2,

”)之间的“折线距离“：在这个定义下，给出下列命题：

①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；

②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；

③到M(-1,0),N(1,0)两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平

行线；

④到0),N(1,0)两点的“折线距离”之和为6的点的集合是面积为16的六

边形.

其中正确的命题是②③④.(写出所有正确命题的序号)

【分析】先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质

进行判定即可.

【解答】解：到原点的“折线距离”等于1的点的集合｛(x,y)||x|+|y|=l｝,是一个正

方形，故①错误，②正确；

到-1,0),NQ0)两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合｛(x,y)||x+l|+|y|

-|x-1|-|y|=±1}={(x,y)||x+l|T尤-1|=±1},化简得x=±」(-故集

2

合是两条平行线；故③正确，

到-1,0),N(l,0)两点的“折线距离”之和为6的点的集合是{(x,y)||x+l|+|y|+|x

-l|+|y|=6},故集合是面积为16的六边形，则④正确；

故答案为：②③④.

【点评】本题考查点的轨迹问题，考查了“折线距离”的定义，以及分析问题解决问题

的能力，信息给予题首先要理解清楚所给的信息的含义.

三、解答题(本大题共5小题，每小题14分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤：请将答案写在答题纸的指定位置上)

17.(14分)如图，在三棱锥P-A8C中，4c=90°,AB=BC,E,尸分别为AC,PC

的中点.

(I)求证：E4〃平面BEF-,

(II)求证：AC±BF.

B

【分析】(1)用线面平行的判定定理进行证明；

(2)先由条件证明ACJ_平面8EE然后由线面垂直的定义可证结论.

【解答】证明：(1)因为E,尸分别为AC,PC的中点，

所以EF//PA,

因为B4c平面BEF,EFu平面

所以B4〃平面BEF.

(2)因为/E4c=90°,所以B4_LAC,

又因为所以所_LAC,

因为48=BC,E为AC的中点,

所以BE±AC,

又BECEF=E,

所以：AC±¥®BEF,

因为BPu平面BEF,

所以：AC±BF.

【点评】本题考查了用线面平行，线面垂直的判定定理证明平行垂直关系，属于基础题.

18.(14分)已知直线/i：ax-2y+3—0,h：x+(o-3)y+5cz=O.

(I)当a=l时，求两直线的距离；

(II)若求<7的值；

(III)写出原点到直线/1的距离，并求出该距离的最大值.

【分析】(I)利用两平行线间的距离公式求解.

(II)利用两直线垂直时的斜率关系求解.

(III)先利用点到直线距离公式求出原点到直线11的距离d,再分析d的最小值即可.

【解答】解：(I)当。=1时，直线/1：x-2y+3=0,直线/2：x-2y+5=0,

两直线的距离为13-5|_=2匹.

"+(-2)25

(II)若/山2,贝！J〃X1+(-2)X(4-3)=0,

解得：〃=6,

即〃的值为6.

(III)原点到直线h的距离d=j।3।,

"+(-2)2

...当。=0时，d的值最大，最大值为3.

2

【点评】本题主要考查了两平行线间的距离，考查了两直线垂直的位置关系，同时考查

了点到直线距离公式，属于基础题.

19.(14分)如图，在三棱柱ABC-ALBICI中，881，平面ABC,△ABC为正三角形，侧面

AB31A1是边长为2的正方形，。为BC的中点.

(I)求证：平面ADCi_L平面BCC121；

(II)求二面角C-AB-C1大小的余弦值.

【分析】⑺利用平面ABC,得至!JB81_LAD,5L.ADLCB,可证4)_1面8CC1B1,

再证平面ADCi_L平面BCCiBi.

(〃)选作出二面角的平面角/CEC1,再求其余弦值.

【解答】(/)证明：:△ABC为正三角形，。为8C的中点.

:.AD上CB,

：881_L平面ABC,ADc®ABC,BBi±AD,

,：BB1(1AB=B,

.'.ADXffiBCCiBi,又：4£>u面ADCi,

平面A。。J_平面BCCiBi

(II)解：取区4的中点E,连接CE,CiE,•.•△42。为正三角形，；.。£，42,

ABC,XBB1//CC1,.\CCi±¥ffiABC,NCEC1为二面角C-A3-Cl

平面角，

•.•侧面ABBiAi是边长为2的正方形，所以CCi=2,

：△ABC为正三角形，:.CE=M，

所以Ci£=V7，

COSZCECI=-^_=^2L,

ECi7

【点评】本题考查面面垂直的证明方法和用定义法求二面角的大小，属基础题.

20.(14分)已知直线/1,/2均过点尸(1,2).

(I)若直线/1过点A(-1,3),且求直线/2的方程;

(II)如图，O为坐标原点，若直线/1的斜率为左，其中。〈左W2,且与y轴交于点N,

直线/2过点Q(0,2+2)，且与无轴交于点〃，求直线A,/2与两坐标轴围成的四边形

R2

PNOM面积的最小值.

【分析】(I)根题意写出直线;1的方程，进而可得直线h的斜率为-1,由/1±/2,解

2

得七=2,进而可得直线/2的方程.

(II)根据题意可得直线的方程为》-2=左(尤-1),写出N点的坐标，设直线与x

轴的交点为T,同样可得T点坐标，M点坐标，贝！ISpNOAf=Sz\77)M-SZ\7W0=R2-X_+2,0

2

—即可得出答案.

【解答】解：(I)因为直线/1过点P(1,2),A(-1,3),

所以直线/i的方程为y-2=-^^(x-1),即x+2y-5=0,

所以直线Z1的斜率为-1,

2

因为/山2,

所以(-_1)乂2=-1,

2

所以ki=2,

所以直线/2的方程为y-2=2(尤-1),即y=2x.

(II)根据题意可得直线/1的方程为y-2=k(x-1),

令x=0,得y=2-k,即N(0,2-%),

令y=0,得x=-2+l,

k

设直线/1与X轴的交点为T(-2+1,0),

k

因为直线/2过尸(1,2),Q(0,2+2),

R2

2

~2~+2-2

所以直线/2的方程为厂2=工-------(X-1),即厂2=-2(x-1),

0-1R2

令y=0,得X=7?2+I,即M(R2+I,0),

所以SPNOM=S^TPM-SZ\TNO=」［R2+1-(-2+1)］义2-」X(.£-1)X(2-A),

2k2k

=改+2-1(2k)2=/+k2+4k=R2,K+2,0<k^2,

k2k2k2

当左=2时，SPNOM最小值为N+i.

【点评】本题考查直线与直线的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.

21.(14分)P-ABC。中，底面ABC。是矩形，侧棱B4J_底面ABC。，E,尸分别是A8,

PC的中点，E4=A£>=2,CD=®

(I)求证：EP〃平面PAD-,

(II)求PC与平面EFD所成角的正弦值；

(III)在棱8C