山东省枣庄市2022届高考适应性练习(一)数学试题(三模)(含答案解析)

山东省枣庄市2022届高考适应性练习（一）数学试题（三

模）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合A={-2,—1,1,2},B={x|2'<l},则AB=()

A.{-2,-1}B.{1,2}C.{-2,-1,1}D.{-2,-1,2}

2.复数z满足（l-i）z=2+3i,则z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.若圆锥的母线长为2,侧面积为2万，则其体积为（）

A.乖!兀B.乖!兀C.逅万D.无万

33

4.二进制在计算机技术中应用广泛.一个二进制数以2为基数，通常用。和1两个数

码来表示，进位规则是从最右面的数位依次向左满二进一，如二进制数101对应的十

进制数为1x2?+0x2+1x2°=5.那么十进制数22对应的二进制数为（）.

A.10011B.10101C.10110D.11010

5.曲线y=V+%2+c在点/（1,0）处的切线与直线x-y-2=0垂直，贝卜的值为

（）

A.-1B.0C.1D.2

6.在（f—2x+y）6的展开式中，含项的系数为（）

A.-480B.480C.-240D.240

7.声音是由物体振动产生的.我们平时听到的声音几乎都是复合音.复合音的产生是

由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时

在振动.不同的振动的混合作用决定了声音的音色，人们以此分辨不同的声音.己知

刻画某声音的函数为y=sinx+gsin2x+；sin3x,则其部分图象大致为（）

y/

222

8.已知点片,工分别为椭圆C:=+2=l(a>6>0)的左、右焦点，点P为直线工=幺

abb

上一个动点.若tan居的最大值为且，则椭圆C的离心率为()

3

V3c,显

二、多选题

9.下列结论正确的有()

A.若随机变量。〃满足〃=2J+1,贝U£>(〃)=2£(C)+1

B.若随机变量小N(3面)，且尸4<6)=0.84,则P(3<J<6)=0.34

C.若样本数据(4%)0=1,2,3,，⑶线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直

线经过该组数据的中心点(x,y)

D.根据分类变量X与y的成对样本数据，计算得到*=4.712.依据&=0.05的独立

性检验(％。5=3.841),可判断X与¥有关且犯错误的概率不超过0.05

10.已知函数/(x)=2cos(0x+0)[o>OJ9l<1^的部分图像如图所示，贝I]()

A.3=2

C.点厂合,oj是/(X)图象的一个对称中心D.函数/(X)在鬟,2p上的最小值为_2

11.已知。、&e(O,l),且〃+Z?=l,则()

A.a1+b2>—Ina+lnZ?V—21n2

2

C.ln4zlnZ?>In22a+lnb<0

12.给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的

数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现自1,1起进行构造，第

1次得到数列1,2,1,第2次得到数列1,3,2,3,1,....第w（〃eN*）次得到数列

1,再租1,记%=1+%+%++xk+l,数列｛%｝的前w项和为S“，则（）

A.%=81B.an=3an_x-1C.%=3〃+1

13

D.S=-x3n+l+n--

〃22

三、填空题

13.已知。为锐角，且sina="则cos（万一a）的值为.

14.已知函数/（九+1）为偶函数，当无£（0,1）时，f｛x｝=Tx,则/（1幅3）的值为

TT

15.已知a,6均为单位向量，且夹角为w，若向量c满足（c-2a＞（c-b）=0,则|c|的

最大值为.

16.鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的樟卯结构，其内部的凹

凸部分啮合十分精巧.图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图.它的表面由八个正

三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2.若该玩具可以在一个正方体内任

意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为.

四、解答题

17.已知正项数列｛%｝的前"项和为S,，且4、。“+1、S”成等比数列，其中“eN*.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

4s

⑵设2=——求数列也｝的前兀项和.

anan+l

18.在4ABe中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC+J§asinC=b+c.

⑴求A;

（2）若6=3,c=2,角A的平分线交BC于M,求AM的长.

19.如图，在平行六面体ABCD-ABiG，中，4。，底面48。£）,

AB=AAX=2AD=2,ZDAB=60°.

⑴证明：AD±AXB.

⑵设点P为线段DG上一点(异于。，G),当DP为何值时，平面APB与平面

A412n夹角的余弦值最大？

20.2020年以来，新冠疫情对商品线下零售影响很大.某商家决定借助线上平台开展

销售活动.现有甲、乙两个平台供选择，且当每件商品的售价为矶300<500)元

时，从该商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取100天的日销售量统计如下，

商品日销售量(单位：件)678910

甲平台的天数1426262410

乙平台的天数1025352010

假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等，且每天的

销售量互不影响，

(1)求“甲平台日销售量不低于8件”的概率，并计算“从甲平台所有销售数据中随机抽取

3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率；

(2)己知甲平台的收费方案为：每天佣金60元，且每销售一件商品，平台收费30元；

乙平台的收费方案为：每天不收取佣金，但采用分段收费，即每天销售商品不超过8

件的部分，每件收费40元，超过8件的部分，每件收费35元.某商家决定在两个平

台中选择一个长期合作，从日销售收入(单价x日销售量-平台费用)的期望值较大的

角度，你认为该商家应如何决策？说明理由.

22

21.已知双曲线(7:。-当=1(“>0,10)的实轴长为2.点(4,-1)是抛物线氏尤2=2分

的准线与C的一个交点.

⑴求双曲线C和抛物线E的方程；

(2)过双曲线C上一点尸作抛物线E的切线，切点分别为A,B.求面积的取值

范围.

22.已知函数/(x)=ae"-尤1aeR.

⑴设的导函数为g(x),讨论g(x)零点的个数；

⑵设/(X)的极值点为王,々(玉＜%2)，若一+%2恒成立，求实数2的取值范

e—2

围.

参考答案：

1.A

【解析】

【分析】

求出集合8,利用交集的定义可求得结果.

【详解】

B={x|2l<l}={x|x<0},因此，A,8={-2,-1}.

故选：A.

2.B

【解析】

【分析】

由题知2=衿==①，进而根据几何意义求解即可.

【详解】

2+3i(2+3i)(l+i)-l+5i

解：由题知:

1-i-(l-i)(l+i)-2

所以z在复平面内对应的点的坐标，位于第二象限.

故选：B

3.D

【解析】

【分析】

计算出圆锥的底面半径和高，利用锥体的体积公式可求得该圆锥的体积.

【详解】

设圆锥的底面半径为，高为心则夕x2=2万，可得/'=1,则//=在=7=百,

因此，该圆锥的体积为丫=工万产/?=工》xFxJ^=3万.

333

故选：D.

4.C

【解析】

【分析】

答案第1页，共18页

根据二进数的定义，结合题中的例子进行求解即可.

【详解】

因为1x24+0x23+1x22+1x21+0x2°=22,

所以十进制数22对应的二进制数为10110,

故选：C

5.C

【解析】

【分析】

由已知条件可得出二11,可得出关于方、c的方程组，即可解得c的值.

【详解】

^f(x)^x3+bx2+c,贝ur(x)=3f+2fe,直线尤7-2=0的斜率为1,

，⑴=[b=-2

由题意可得[〃i"+3+c2b+=-il3解得1•

故选：C.

6.A

【解析】

【分析】

将(尤2-2x+)『看成是6个(炉一2尤+y)相乘，要得到?y?分析每个因式中所取的项情况.

【详解】

(X2-2X+村看成是6个-2x+y)相乘，要得到.分以下情况：

6个因式中，2个因式取V,1个因式取3个因式取-2x,此时的系数

C；C；C；・(—2)3=T80,所以公丁的系数为_480.

故选：A

7.C

【解析】

【分析】

答案第2页，共18页

令y=/(%)=sin%+耳sin2x+§sin3%,进而求导得了'(%)=(1+2cosx)cos2x,再讨论

x«0")时，尸(x)的符号得"%)的单调区间与函数值的符号，进而得答案.

【详解】

解：令y=/(%)=sinx+；sin2x+；sin3x,

求导得了'(%)=cosx+cos2x+cos3x=cosx+cos2x+cos2xcosx—sin2xsinx

=cosx^l-2sin2x)+cos2x(1+cosx)=(1+2cosx)cos2x,

所以，当卜寸，/'(x)>0,函数/(x)单调递增；

当尤ef时，r(x)<0,函数单调递减；

当xeggj时，/("<°，函数”X)单调递减；

当尤时，r(x)>°，函数/(x)单调递增；

当.「沙寸，((力<0,函数〃x)单调递减；

由于〃。)=。咯卜孚+"用考哈卜平小。"⑺"

所以，xe(O,句时，/(x)>0,且单调区间变化不具有对称的性质,

所以，只有C选项满足.

故选：C

8.D

【解析】

【分析】

根据对称性，不妨设点尸在第一象限且坐标为加(〃»0),设

ZF2PM=a,ZFlPM=j3,则N月产乙=£-c,进而结合正切的差角公式和基本不等式可得

4c4-4a2c2+a4=0,进而根据齐次式求离心率即可.

【详解】

解：根据对称性，不妨设点尸在第一象限且坐标为(根>0),如图,

b)

答案第3页，共18页

2

记直线x=工与X轴的交点为M,"F,PM=a/F\PM=B,则/片尸工=£一a,

b

22

由于耳(―c,0)心(c,0),i&.\MFS=—+c\MFA=--c,

bb

a2a2

所以‘tanc=X^」,tan4=-^'

mm

2c

2mcb22cb之

tanZFPF=tan(尸一a)二

i2m2Z?2+4Z4-白d/一b2c2

所以mjb2-\-------------

m

1+

4_722____________________4_722

因为根>0,mb2+a->2Jb2(a4-b2c2),当且仅当”仍？="一",时等号成立,即

m、'Jm

〃4_右22

苏="一时等号成立,

b

2

t/FPF_2cb_2cb2

所以12=2n至一诉F=可,

m

整理得4c4—4a2c2+/=o,

所以404-41+1=0，解得/=1，

2

所以e=1g,即椭圆C的离心率为也.

22

【解析】

【分析】

对A,根据方差的性质判断即可；

对B,根据正态分布的对称性判断即可;

答案第4页，共18页

对C,根据回归直线的性质判断即可；

对D,根据独立性检验的性质判断即可

【详解】

对A,由方差的性质可知，若随机变量。〃满足〃=24+1,则。（77）=2?。（？=4。6）,故

A错误；

对B,根据正态分布的图象对称性可得尸（3<自<6）=尸（4<6）-0.5=0.34,故B正确；

对C,根据回归直线过样本中心点可知C正确；

对D,由犷=4.712>3.841可知判断X与丫有关且犯错误的概率不超过0.05,故D正确

故选：BCD

10.AC

【解析】

【分析】

由题知函数的周期为7=万，进而判断A选项，再结合==1得0=-?判断B,

进而得/（x）=2cos,再整体代换依次讨论CD选项即可得答案.

【详解】

解：由图像可知，函数的周期为丁=4，即T=»=—,所以①=2,故A选项正确；

CD

因为/（。）=2cos9=1,即cose=；,|^|<|,所以9=±。,

因为当9时，f（x）=2cos^2x+y^,此时d=2cos（2xg+m=_2wl,故舍去，

所以夕=-0此时/（x）=2cos（2"g）,满足题意，故B选项错误；

当x=4时，2x-j=-1,由于]泉0）是余弦函数的一个对称中心，故点是

/（龙）图像的一个对称中心，C选项正确；

当xi<,2p时，2x--e—,由余弦函数在—上单调递增，故函数

腺3|_63」L63J

2COS=2cos

/（X）在患,2p上单调递增，/«m„=f[j^=[T_1]^='故D选项错

误.

故选：AC

11.ABD

答案第5页，共18页

【解析】

【分析】

利用基本不等式可判断A选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断B选项；利

用特殊值法可判断C选项；构造函数〃x）=l-x+lnx,利用函数在（0,1）上的单调性

可判断D选项.

【详解】

对于A选项，因为l=（a+b）2=/+片+2仍<2（/+62）,

11

所以，a2+b2>-,当且仅当。=6=彳时，等号成立，A对；

22

对于B选项，由基本不等式可得而4["丫=!，当且仅当。=6=1时，等号成立，

I2J42

所以，lna+ln6=lnQbVln'=—21n2,B对；

4

iQ133

对于C选项，取〃=一，b=~,贝ijlnilnb—=In——ln22=-21n21n——In22

一44444

=In2^ln--In<0,此时Inalnbvln?2,C错；

对于D选项，令=1-x+lnx,其中。〈龙vl,

11_

则/'（X）=j=—r>0,所以，函数〃x）在（0,1）上为增函数，

XX

因为0<6<1,贝I]/（b）=l—b+lnb=a+ln6</（l）=0,D对.

故选：ABD.

12.CD

【解析】

【分析】

通过计算求出对。2，%，。4的值，运用归纳法得到4,47之间的关系，最后根据等比数列的

定义和前n项和公式进行求解判断即可.

【详解】

由题意得：％=4,4=10=3x4—2,q=28=3x10—2,〃4=82=3x28—2,

所以有4=3%-2,因此选项AB不正确;

答案第6页，共18页

«„=3a,i-2n。1=3（%7-1）,所以数列一1｝是以4-1=3为首项，3为公比的等比

数列，因此有为-1=331=3'=>%=3〃+1,因此选项C正确；

=3（1-3n）+w=1x3„+i+n_3；所以选项D正确，

"1-322

故选：CD

【点睛】

关键点睛：通过计算得到%=3al-2是解题的关键.

13.一五

4

【解析】

【分析】

利用同角三角函数的基本关系结合诱导公式可求得结果.

【详解】

因为。为锐角，且sina=g,则cosa=Jl-sin2a=,

44

因止匕，cos（^--a）=-costz=-^~.

'74

故答案为：-立.

4

14.-##0.75

4

【解析】

【分析】

由题知函数Ax）图像关于x=l对称，即〃2r）=〃x）,再结合xe（。』）时，/。）=2-'求

解即可.

【详解】

解:因为函数/（无+D为偶函数，所以函数/（无+D图像关于x=0对称，

所以函数/（X）图像关于x=1对称，即/（2-x）=/⑺,

因为无£（0,1）时，f（X）=2r,

所以/（Iog23）=/（2_log23）=/[log2gj=210823=1.

3

故答案为：-

答案第7页，共18页

15二+石

--2-

【解析】

【分析】

根据平面向量数量积的运算性质和定义，结合平面向量数量积不等式进行求解即可，

【详解】

(c-2。).(c-b)=0nH-c-(2a+b)+2a-b=Q,

因为a,6均为单位向量，且夹角为三，

所以有卜|-c-(2a+Z?)+2xlxlx^=0=>c-(2a+Z))=|c|+1,

c-(2a+b)<|<?|-|2<2+&|=|c|-J(2a+b)2=|c|-J4a?+//+4a力=|c|^4+l+4xlxlx^-,

即c.(2a+6)<g],而c.(2a+6)='『+1,

所以有1+14甘卜田立于44巧叵，

因此Ic|的最大值为"+石,

2

故答案为：二十二

2

16.168+960##960+168

【解析】

【分析】

计算出该玩具任意两点间最大距离，可得出正方体的棱长，即可求得正方体的表面积.

【详解】

将鲁班锁补成正方体ABC。-A与£2，然后以点A为坐标原点，

AB.AD.A4所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

答案第8页，共18页

在鲁班锁所在几何体上任取一个顶点尸心,忘,2+2忘），

观察图形可知，尸到鲁班锁所在几何体上其他顶点的距离的最大值在|尸耳、\PF\,

闸、\PH\,\PM\.|/W|.网、|PS|中取得，

结合图形可知召（仓0,0）、*2+应,0,0）、G（2+2应,0,0）、〃（2+2忘,2+在0）、

贝2+0,2+2夜,0）、N（夜,2+2也0）、R（0,2+也0）、S（0,72,0）,

贝U|PE「=4+（2+20『=16+8应，=（2+0『+2+（2+2收『=20+12金，

|PG|2=2（2+2A/2）2=24+1672,|哂=2（2+20『+4=28+16立，

=0+2拒『+2x（2+可=24+166，

|PN「=2+（2+后『+（2+2国=20+12后,

河=4+（2+2亚『=16+8&,|PS「=（2+2&『=12+8收，

所以，尸到鲁班锁所在几何体上其他顶点的距离的最大值也8+160，

所以，若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），

设该正方体的棱长的最小值为“，则。=也8+16应，该正方体的表面积为

S=6/=168+96A/L

故答案为：168+96忘.

17.(l)a„=277-1

n

⑵北=〃+

2n+l

答案第9页，共18页

【解析】

【分析】

(1)由已知可得4S"+2a“+1,令”=1可求得为的值，令”22,由45“=。；+2见+1

可得4S,i=a3+2aa+l,两式作差推导出数列｛4｝为等差数列，确定该数列的首项和公

差，利用等差数列的通项公式可求得｛%｝的通项公式；

(2)求出S",可求得勿=1+：］不二一『二］,利用分组求和法结合裂项相消法可求得

2\2n-\2n+i)

Tn.

(1)

解：对任意的“eN*,由题意可得4sa=(aa+1)~=q；+2°a+1.

当〃=1时，贝！J4q=45=a；+2q+1,解得%=1,

当“22时，由45〃=a；+2a“+1可得4S,_］=crn_x+2an_x+1,

上述两个等式作差得4%=a；-a3+2a”-24T,BP(a„+an_x)(a„-an_x-2)=0,

因为a“+a“T＞。，所以，a„-a„_1=2,

所以，数列｛%｝为等差数列，且首项为1,公差为2,贝|4=1+2(〃-1)=2〃一1.

⑵

解：s”也丁“，

4S,——=病-1+1=1+_1_io___q

则2=一~=1+

anan+l（2n—l）（2n+l）（2n-l）（2n+l）（2n—l）（2n+l）2（2〃-12n+lJ

1iin

因此,T'="+g+-----------------\=n+--------

3352n-l2n+lJ2n+l

n

18.（1）A=§

⑵竿

【解析】

【分析】

(1)由正弦定理边化角得sinAcosC+百sinAsinC=sinB+sinC，进而结合恒等变换整理

答案第10页，共18页

得sin(Aj)=1，再根据Ae(O㈤得=进而得答案；

6266

(2)由余弦定理得a=«,sin8=返，进而根据角平分线得性质得整=婴=3,即

14MCAC3

可得2知=亚，进而在一中，根据正弦定理求解即可得答案.

5

(1)

解：因为〃cosC+6asinC=b+cf

所以，由正弦定理得sinAcosC+^3sinAsinC=sinB+sinC，

因为B=TT-(A+C),

所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以gsinAsinC=cosAsinC+sinC,

因为Cw(O,1),sinCwO,

兀]

所以百sinA-cosA=1,BPsin(A--)=—,

62

m、rAzr\、.TC.715冗、

因为A£(0,1),A——G(一~—,

66o

所以A—2=2,即A=g，

663

所以AgTT

(2)

解：在MBC中，由余弦定理得/=3?+22-2x3x2cos?=7,即a

所以cod「二h咯所以等

记ABC边BC上的高为"

因为角A的平分线交BC于M,

1A11A1

所以SA.=-AB-AM-sin—=-BM-h,S=-AC-AM-sin—=-CM-h

2222ACM22

所以处=四=2,所以

MCAC35

BMAM即咨2二蟹

所以，在ABM中，由正弦定理得

sinZBAMsin5

述

所以AM丁

答案第11页，共18页

19.(1)证明见解析

(2)叵

2

【解析】

【分析】

(1)连接80,由几何关系证明再结合题意，证明AD1.平面即可证得

答案；

(2)结合(1),以D为坐标原点，分别以以。3,图的方向为％MZ轴的方向，建立空间

直角坐标系，进而根据得。1卜2,石,君)，再设

。尸=彳。6=卜24、须,及)(0＜彳＜1),根据坐标法求二面角的余弦值的大小，并结合二

次函数的最值求解即可.

(1)

证明：连接80,因为AB=2AO=2,ZDAB=60°

所以，在△ABO中，由余弦定理得

BD2=AB2+AD2-2AB-ADCOSZ£＞AB=5-4COS60=3,即BZ)=g,

所以AQ2+3D2=Ag2,即40_|_皮)，

因为底面ABC。，所以AQLAD,

因为ADcBD=D,

所以AD,平面48。，

所以4。，4出.

(2)

解：结合(1)可知，两两垂直，故以。为坐标原点，分别以94,08,94,的方

向为x,y,2轴的方向，建立空间直角坐标系，如图，

答案第12页，共18页

则D(0,0,0),A(1,0,o),A(0,0,百),3(0,6,0),。卜1,60),

所以

r>G=〃A+A4+BC=DA+AB+BC=(O,O,⑹+(-i,®o)+(-i,o,o)=卜2,®⑹，即

£卜2,6@,

因为点尸为线段DG上一点(异于D,G),

所以，设D尸=XZ?C[=卜24例,6/1)(0<彳<1),

所以AP=DP—DA=(-2九布九6九一6)，AB=QMY),

设〃=(x,y,z)是平面A.PB的一个法向量，

,n-AB=0\sfiy-yfiz=0fy=z

则，即i厂l，即rrr

n-AiP=0-2/ix++(A/3A—A/3)Z=0[24x=J34y+(J34-J3)z

故令z=2X,则y=22,x=2⑨一由，§Pn=(2732-73,22,22).

由于DADVDB两两垂直，且D4DA=D,

所以平面例2。，故平面A4.DQ的一个法向量可以为根=(0,1,0),

设平面\PB与平面A41A。夹角为6,

\n-m\222

r|COS0Q=-------=一/_=―1,0<Z<1.

212

则\n\-\m\7202-122+3A_+20

VA

所以，当;=2时，即几=<时，cos。取得最大值，

A2

答案第13页，共18页

所以，DP=-DC=—.

212

20.⑴3；型

5125

(2)答案见解析.

【解析】

【分析】

(1)根据古典概型求解即可得事件A的概率，再结合二项分布的概率公式求解即可得事件

8的概率；

(2)设甲平台的日销售收入为x,乙平台的日销售收入为y,进而分别求其分布列，进而

根据分布列求期望，比较期望大小即可得答案.

(1)

解：令事件A="甲平台日销售量不低于8件”,

26+24+103

则P(A)=

1005

令事件3="从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量

不低于8件”,

贝Ig+C；

(2)

解：设甲平台的日销售收入为X,则X的所有可能取值为

6a-240,la-270,8a-300,9a-330,10a-360.

所以，X的分布列为

X6a—2407”2708。—3009a—33010”360

1426262410

P

WOWOWO100WO

1AQzT04

所以，E(X)=(6«-240)x—+(7a-270)x—+(8fl-300)x—+(9fl-330)x—

100100100100

+(10tz-360)x—=7.9«-297,

100

设乙平台的日销售收入为y,则丫的所有可能取值为

6a-240,7a-280,8a-320,9a-355,10a-390.

答案第14页，共18页

所以，y的分布列为:

Y6a—2407a-2808a—3209a-35510a-390

1025352010

P

100100100WO100

所以，E（I；）=（6fl-240）x—+（7a-280）x—+（8fl-320）x—+（9a-355）x—

+（10a-390）x—=7.95。-316.

100

所以，E（y）-E（x）=0.05a-19,

40.05«-19>0f>a>380,令0.05a—19<0得a<380

所以，当300Wa<380时，选择甲平台；当a=38O时，甲乙平台均可；当380<aV500

时，选择乙平台.

21.（1）C:x2-6y2=1,E:x2=4y

rv3）

⑵］」

【解析】

【分析】

22

（1）代入点（g,-l）结合双曲线c：2=1（°>0,》>0）的实轴长为2可得双曲线方程，根

据抛物线的准线方程可得抛物线方程；

（2）设直线A3方程为产质+根，4（不乂）1（孙为），根据导数的几何意义求得切线

的方程，联立可得P的坐标，再代入双曲线方程，结合面积表达式求解范围即可

⑴

由题，a=l,又点（行,-1）在双曲线上，故7-/=1,解得廿=3,

故双曲线方程为犬-6y2=1；

又点（近,-1）过抛物线E：V=2py的准线，故］=1，即P=2,

故E:/=4y

⑵

答案第15页，共18页

显然直线AB斜率存在，故设直线AB方程为，=乙+加，A（不乂）,3（%,%），

y=kx+m

联立有x2-4kx-4m=Q

x2=4y

f

故玉+冗2=4左,石入2=-4机，又七：丁二^/，y=LX9

42

故切线AP:y—y=；%（%_%）,结合％整理得）=g玉玉2,

同理切线5尸:y=5x2x——x；,

11-2X+x

x=-----9-

y=K石］一］玉2x=2k

联立；:解得V,即，故P（2匕一根）.

112y=-m

y=-X2X--X2y二手

2k2+m

d（%+%2）2—4再％卜+司

又SPAB

=4忙+机-且（24-6（-间2=1,即公="±1,故

3

313^1/1\2］2

SPAB=4k2+加口=一〔6根之+4机+1口=—6m+—+—，

3

一/\2-2

又尸（2左,一加）在双曲线上故〃zeR,故SpAB=g6（根+g）+:

Q00

故△R4B面积的取值范围为

【点睛】

本题主要考查了双曲线和抛物线方程的求解，同时也考查了联立直线与圆锥曲线，利用韦

达定理化简并表达面积的问题，同时也考查了求导求切线方程的方法与面积的范围问题

等，属于难题

22.（1）。＜。＜二时，g（无）存在两个零点；当或。=上时，g（x）存在一个零点；当

2e2e

a＞［时，g（x）无零点.

2e

（2）2＜2（e-1）Z.

e—2

【解析】

答案第16页，共18页

【分析】

(1)求出g(x),再求出它的导数g'(x),按"V。和。＞0分类讨论导函数g'(x)的零点，正

负，从而得g(x)的性质，结合零点存在定理得结论;

(2)由(1)知/(无)有两个极值点时，。的范围，极值点满足的等式，这两个式子相除并

取对数得2氏-再)=In至＞0,

%

由此恒成立的不等式一^为+%之尢5变形得2(%-%)(三工+x?)＞储咨In手,分离参数

2(二-+上一-J.、)

242\、一2%,令仁匹＞1,换元后引入t的函数〃⑺，由导数求得〃⑺的最

In%“尤2

小值从而得所求范围.

⑴

g(x)=f'(x)=2ae2'-2x,g'(x)=4ae2x-2.

当aVO时,g'(x)＜0,所以g(x)