2023年高考数学考前终极押题模拟卷2（解析版）

绝密★启用前

2023年高考数学考前终极押题02

新高考地区专用（解析版）

注意事项：

i.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.复数支辿=（）

2i

A.1-iB.-1-i

C.1+iD.-1+i

【答案】D

【分析】根据复数的运算法则化简求解.

(1-i)3_(1-i)2(1-i)_-2i(l-i)

【详解】=—l+i

2i2i-2i

故选：D

2.已知集合A=kly=J-—2x-31,3={x|x'a},若Au3=R.则实数。的最大值为（）

A.-3B.3C.-1D.1

【答案】C

【分析】先化简集合4再利用题给条件得到关于实数。的不等式，进而得到实数。的最大

值.

［详解］4=,11=={x|xN3或xV-1},

又=或xW-l}u{x|尤2a}=R,

则aW-1,则实数。的最大值为T

故选：C

3.2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI发布的名为“ChatGTP”的人工智能聊天程序

进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表

性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为

G

L=4D京，其中乙表示每一轮优化时使用的学习率，。表示初始学习率，。表示衰减系数,

G表示训练迭代轮数，G。表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为

0.8,衰减速度为12,且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5.则学习率衰减到0.2

以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：1g2=0.3010）（）

A.35B.36C.37D.38

【答案】B

【分析】由已知求得衰减系数。，然后根据已知模型列不等式求解.

125

【详解】由已知0即m=0.5,“

⑵4

旨炮-241g2

0.8x(|)-<0,2,14,G>^35.4

l-41g2

lg8

因此G至少为36,

故选：B.

1sin2。

cos2cc----------------------

4.已知tana=2,贝U2的值为()

I4j

141

A.B.C.D.

30?1030

【答案】D

【分析】利用两角和正切公式得tan[a+；J=-3,再利用二倍角公式化简，根据同角三角函

数的基本关系将弦化切，代入计算可得.

71

(\tan6Z+tan—,〔

【详解】因为tana=2,所以tana+g=----------------=---=-3,

I4/兀1-2

、71-tancifxtan—

4

1sin2a1+cos2a1sin2acos2asin2a

cos2a-----------------------+-------------1-----

则2(7122323

tana+—

14

cos2a-sin2a2sinacosacos2a-sm•2a2sinacosa

------------------+----------------

232(cos2a+sin2a)3(cos2cr+sin2a)

1-tan2a2tana1-441

---------1---------=------1------=---

2(1+tan2a)3(1+tan2a)2(1+4)3(1+4)30

故选：D

5.函数/（x）=的大致图像为（）

【分析】根据题意，由函数的奇偶性可排除AD,再由/(2)<0可排除C,即可得到结果.

笑等，其定义域为R,所以〃T)=3X；：S2X=〃X),

【详解】因为/(x)

所以/(x)为偶函数，排除选项A,D,

又因为〃2)=署的=3cos4,因为所以cos4<0,所以〃2)<0,排除选项

C.

故选：B.

2023

6.若(l-2x严3=〃+%%+出入2++6Z2023X,则g+是++c落的值为()

222

A.-1B.0C.1D.1

【答案】A

【分析】利用赋值法可得：令x=0可得。。=1;令x=g可得：/+3+墨++舞=。,

即可得出结果.

【详角星】因为(1—2x)2°23=%+UyX+++。2023*2°23,

令％=0可得％=1；

令、可得：&+.+卷++或=[1-2x[=0；

故4爰+L+舞=。-％=」

故选：A

7.设函数/(X)在R上的导函数为((无)，在(0,+8)上T(x)+sin2x<0,且WxeR,有

f(-x)+/(x)=2cos2x,贝！]().

A.B.f(-7i)<f(0)

C〃上心》/目</用

【答案】A

【分析】设g(x)=/(x)-cos2x,确定函数g(x)的奇偶性与单调性，逐项判断即可得答案.

【详解】由/(-x)+/(x)=2cos?x,可得/(-x)-cos2(-x)+/(x)-0»晨=0.

设g(x)=/(x)—cos2x,则g(-x)+g(x)=O,所以g(元)是R上的奇函数，

又在(0,+8)上/'(x)+sin2x<0,即g'(x)=f'^x)+2sinxcosx=(x)+sin<0,

所以g(x)在(。，+8)上单调递减，又g(x)是R上的奇函数，所以g(x)在(e,0)上单调递减,

所以g(—7i)>g(o),BP/(-7T)-l>/(O)-l,因此〃一兀)>/(0),故B不正确;

所以g(兀)<ggj，即/㈤则/⑺

所以〃兀)与的大小不能确定，故C不正确；

所以底即信”<何三，则号H图

所以与/(三)的大小不确定，故D不正确.

故选：A.

8.如图，在棱长为2的正方体ABC。-中，P为线段AG的中点，。为线段BG上

的动点，则下列结论正确的是()

A.存在点。，使得产。//3。B.存在点Q,使得PQ1平面AB。。

C.三棱锥。-4尸。的体积是定值D.存在点。，使得P。与A。所成的角为;7T

0

【答案】B

【分析】A由8。〃耳，、BR尸。=尸即可判断；B若。为8G中点，根据正方体、线面

的性质及判定即可判断；C只需求证8G与面4阳是否平行；D利用空间向量求直线夹角

的范围即可判断.

【详解】A：正方体中耳而P为线段AG的中点，即为42的中点,

所以BQPQ=P,故即，尸。不可能平行，错；

B：若。为BG中点，则尸Q//AB，而ABLA与，故PQLA用，

又AD_L面ABSA，ABu面ABB|A，则45J,A。，故尸QLAZ),

ABioAD=A,4月,4。＜=面44。］。，则PQ上面ABCQ,

所以存在。使得PQ工平面A4C。，对；

C：由正方体性质知：BCJ!AD{,而ADJ面APD=A,故BQ与面APL＞不平行,

所以。在线段BG上运动时，到面APD的距离不一定相等，

故三棱锥Q-AP。的体积不是定值，错；

D：构建如下图示空间直角坐标系。-孙z,则4(2,0,0),P(l,l,2),。(2-4,2,“)且0(。(2,

所以。A=(2,0,0),PQ=(l-a,l,a-2),若它们夹角为0,

〃,2(l-a),|1-«|

则cos0=|------11=~~/

2x^(l-a)2+l+(a-2)2梃7a1-3a+3'

cos0—■_____,——_____,

令"1—则亚.而+t+l0.Ji+；+,

当，£（。,1］,则；仁［1,+00）,cos0e（0,;

当，=0贝ijcos，=0；

当，£［一1,0）,则？£（一8,-1］,cos^e（0,-^-］；

所以cos'=且不在上述范围内，错.

62

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数/（月=85（5+。）（0＞0,-5＜夕＜-。，其图像上相邻的两个最高点之间的距

JTTT

离为兀,/（x）在上是单调函数，则下列说法不正确的是（）

|_12o_

A.夕的最大值为

4

B.“X）在［0,句上的图像与直线y=l没有交点

c.“X）在（0,3上没有对称轴

D.“X）在上有一个零点

【答案】BCD

【分析】根据已知得出0=2,则〃x）=cos（2x+°）,后根据余弦函数的图像和性质，即可

逐一判断选项.

【详解】图像上相邻的两个最高点之间的距离为无,

可得了=兀，co=--=2,则/(x)=cos(2x+e),

JTjr

因在—上是单调函数，

|_12o_

rc7L7L

则12%+。£—+(p,—+,

_64_

兀71

所以］+/W0+k］7l,kiGZ,-+^>-71+左2兀,%2GZ,

57r7T

贝U---+k2Ti<(p<--+k(n(J<.vk2GZ),

TTTTTT

乂—5<0<一7,贝!a,A正确；

因为函数周期为兀，

所以在［0,可上的图像与直线y=i必有交点，B错；

因为。*0,所以函数在半个周期内定有对称轴，C错；

因为一qWxW—四，则一斑二，

3432

2K兀

---+(p<2x+(p<-—+(p,

、［/兀兀

当夕=_一时n-U，一兀<C2x+(p<--5-,

36

所以/(无)在-方,-：上的图像都在X轴下方，D错.

故选：BCD

10.函数〃x)=V-加-x+l,则下列结论正确的是()

A.若函数“X)在上为减函数，则-IWaW；

B.若函数〃x)的对称中心为(1,-2),则a

C.当4=1时，若f(%)=加有三个根玉,马，工3，且玉<%<彳3，则.<9m16

16

D.当。=1时，若过点(T")可作曲线y=〃x)的三条切线，则

【答案】ACD

【分析】求导得到导函数，根据单调区间解得A正确，代入点计算得到。=3,B错误，求

导得到函数的单调区间，确定。<机<||,为e1-l,-£|,代入计算得至正确，设出切点，

计算切线方程，得到〃=-2片-2无；+2%+2,构造函数，计算极值得到D正确，得到答案.

【详解】对选项A：/(x)=x3-tax2-x+1,/f(x)=3x2-2ax-l,

,解得-LWawJ,正确；

4

对选项B：函数的对称中心为(L-2),则"1)=1—a-l+l=—2,”=3,错误；

对选项C：/(J:)=X3-x2-x+1,/'(x)=3x2-2x-l=3(x+g1(x-l),

当-时，/^)>0,函数单调递增；

当X+；』)时，/㈤<0,函数单调递减；

当xe(l,+o))时，/^x)>0,函数单调递增；

=f(i)=o,y(-i)=0,故0<根<||,

要证网<9"；：6,即16玉<9(呼一片

整理得至IJ&+1)(3玉+1)(3不—7)>0,玉不等式成立，正确；

对选项D：设切点为(一,%),则%=看一考一%+1,左=/(％)=3%一2%-1,

则切线方程为>-(石-芯~xo+1)=(3x；-2%,

将(T㈤代入上式，整理得”=-24-2/+2%+2,方程有三个不同解，

设g(x)=-2J?-2d+2x+2,贝Ugf(x)=-6x2-4x+2=-2(x+l)(3x-l),

当xe(—o,-1)时，g'(x)<0,函数单调递减；

当时，g'(x)>0,函数单调递增；

当xeg+s|时，g'(x)<0,函数单调递减；

极小值g(T=0,极大值g&=||，故〃<0,同，正确；

故选：ACD

11.已知抛物线E：y?=2px的焦点为歹(1,0),过点(2,0)的直线交E于4,8两点，点c在抛

物线E上，则下列说法正确的是()

A.|5的最小值为1

B.△ABP的周长的最小值为6+4&

C.若|C4|=|CB|,则ACA8的最小值为32

D.若过A,2分别作抛物线E的切线，两切线相交于点£>,则点。在抛物线E的准线上

【答案】AB

【分析】利用焦半径公式求出焦点弦，然后求出最小值判断A,求出三角形周长的表达式,

然后利用单调性求出最小值判断B,利用数量积的几何意义求得AC-AB=；|AB|2,进一步

求出最值判断C,待定系数法求得两切线方程，求出点。的坐标，即可判断D.

【详解】因为抛物线E：/=2px的焦点为“1,0）,所以2=2,即抛物线E:/=4x,

由题意，设直线方程为：x=my+2,设4（网,乂），5（x2,y2）,以工,%）,

对选项A：由抛物线定义知：2用=W+5=三+1，因为鼻20,所以[b|=』+Gl,

即的最小值为1,故A正确；

fy2—4x

对选项B：联立■{,得9-4机y-8=0,则%+%=4加,％%=-8,

[x=my+2

所以△ABJF的周长C1A刊+1+1=占+1+/+1+《1+|]

2222

=m（yl+%）+6+J1+机2-JCjj+y2）-4%为=4m+6+71+my]（4in）+32

=4[m2+J（l+：”2）.（疗+2）]+6,

2

^t=m>0,贝!1cAi尸=4[t+J（l+f）.«+2）]+6=4[r+J产+3/+2]+6,

易知函数y=r在[0,+s）上单调递增，函数y=/+3f+2的对称轴为1=-彳，

故其在[0,+8）上单调递增，所以函数>=〃+3/+2在[0,+8）上单调递增，

从而C9=4匕+〃+3：+2]+6在©+8）上单调递增，

所以当f=0即相=0时，<^.人有最小值。谢=6+40,

即直线AB为尤=2,AAB尸的周长有最小值为6+40，故B正确；

对选项C：因为|C4|=|CB|,所以点C在AB的垂直平分线上，记的中点为H,则CW，AB,

所以4%8=04/7+〃0.48=4".43+"%8=；43.48+0=3加=J时，

由选项B知，|阴=46+3/+2«20）,所以当/=0时，|AB|取到最小值40，

则AC-AB的最小值为|x（4忘）2=16,故C错误；

[y2=4x

对选项D：联立{,得y2_4my-8=0,则X+%=4八%%=-8,

[x=my+2

设过点4的切线方程为（y-M）=%

则过点A的切线方程分别为：一看可得％y=2x+f,

同理可得过点B的切线斜率为2,过点B的切线方程为：%y=2x+式,

%2

y,y=2x+—X一丝——2

联立方程24

2解得

yy=2x+^~y=^^=2m

22

即0（-2,2根），所以两条切线的交点£）在直线x=-2上，不在准线产-1上，故D错误.

12.如图，己知正方体ABCQ-AgGA的棱长为2,P为底面ABCD内（包括边界）的动

点，则下列结论正确的是（）.

A.三棱锥用-GRP的体积为定值

B.存在点尸，使得RPLAG

C.若。尸，4。，则P点在正方形底面A3CD内的运动轨迹长为0

D.若点P是AO的中点，点。是B片的中点，过?，。作平面c平面ACGA，则平面。截

正方体ABCD-A耳4R的截面面积为3括

【答案】ABD

【分析】根据等体积法可计算出三棱锥4-GR尸的体积，可判断选项A,建立空间直角坐

标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，设P(%y,O),根据垂直得向量数量积为o列式，从

而判断选项B,C,利用线面垂直的判定定理得平面4CC0,再证明四点共面，从而

得平面a,再由面面平行的性质可得平面a截正方体ABC。-的截面为正六边形，

根据正六边形的性质计算面积即可判断选项D.

【详解】对于A,由等体积法%=%瓯百，三棱锥尸-瓦£2的高为2瓦=2,

114

底面积S与q马=-x2x2=2,所以V31voi/>=%-qca=耳*2乂2=耳，

所以三棱锥4-GRP的体积为定值，A正确；

对于B,建立如图所示的空间直角坐标系，

设尸(％y,0),4(2,0,0),旦(2,2,2),6(0,2,2),R(0,0,2),£>(0,0,0),

R尸=(x,y,—2),AC】=(—2,2,2),

若RP_LAG，贝ijRPAC]=-2x+2y-4=0,

即尤-y=-2,取x=0,y=2,此时点P与点C重合，满足题意，

所以存在点尸，使得。FLAG，B正确；

对于C,4。=(一2,-2,-2),若RP，B]D,

:.DlPBlD=-2x-2y+4=0,即x+y=2,

所以点尸的轨迹就是线段AC，

轨迹长为|AC|=心+2?=2/,C错误；

对于D,如图取中点A，连接尸4，

由题可得03,AC,平面ABC。,

连接3。，因为尸q/ADB,「片u平面ABC。，

则P<_LAC,尸片_LAA，又ACCAA]=A,

AC,44,u平面ACGA,则尸6，平面ACGA，

又取。2中点为2,则。。//£»3//州，

有尸田,22四点共面，则平面P^Q2即为平面a,

又由两平面平行性质可知，PP\"RR\,PQJ/QR,,P\QMQ\R,

又P,6,2。都是中点，故R是。£中点，鸟是4G中点，

则平面a截正方体ABCD-A4GA的截面为正六边形，

又正方体棱长为2,则=也，

故截面面积为6xgx（&『xsin60=3/，D正确.

故选：ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.第31届世界大学生夏季运动会将在今年7月28日至8月8日在四川省成都市举行.有

编号为1,2,3,4,5的五位裁判，分别就座于编号为1,2,3,4,5的五个座位上，每个

座位恰好坐一位裁判，则恰有两位裁判编号和座位编号一致的坐法种数为.

【答案】20

【分析】根据给定条件，利用分步计数乘法原理及组合问题列式计算作答.

【详解】依题意，5人中选出2人，他们的编号与座位编号一致，有C；种方法，

剩余3人都不坐与自己编号相同的座位有2种方法，

由分步计数乘法原理得所求的坐法种数为2c=20.

故答案为：20

22

14.已知点耳、「2分别为双曲线C:=-当=l（a>0力>0）的左、右焦点，点A是双曲线C

ab

的一条渐近线上一点，且若片4耳的面积为3,2,则双曲线C的离心率为

2

【答案】2

【分析】不妨设点A为第一象限内一点，设点其中*>0,由已知可得出

耳A.BA=0,求出点A的坐标，利用三角形面积公式可出力、C的等量关系式，即可求得双

曲线C的离心率的值.

b

【详解】不妨设点A为第一象限内一点，双曲线。的渐近线方程为y=±±x,

设点A'其中％>。，易知耳(一。,。)、F2(C,0),

KA=[x+c,引，w]x-c,引，

22222

因为片A'gA,则片48A=(x+c)(x_c)+号hr=/+乎hx_02=r2炉-02=0,

因为x>0,解得x=。，即点A(a,。)，

所以，SMAF=—\F\FA-b=—y-2c'x.b=bc=^-C2,所以，b=^~c,

所以,a=Vc2-b2=12=J。，

因此，双曲线C的离心率为e=f=2.

故答案为：2.

15.在全国第七次人口普查中，山东省16个城市的人口数（单位：万）如下表所示，则该

组数据中的70%分位数为万.

名青济泰烟临日聊威济德淄滨东潍枣荷

称岛南安台沂照城海宁^,卜|博州营坊庄泽

【答案】880

【分析】将16个城市的人口数从小到大排序，根据百分位数的计算方法，即可求解.

【详解】由题意，将16个城市的人口数从小到大排序：219,291,297,386,393,470,

547,561,595,710,836,880,920,939,1007,1102,

因为16*70%=11.2,所以该组数据的70%分位数是第12个数，即为880,

所以该组数据的70%分位数为880.

故答案为：880.

,、a-x2-2x,x<0

16.已知〃X)=,且函数y=/(x)-l恰有3个不同的零点，则实数。的取

e11,x>0

值范围是.

【答案】(0』

【分析】当%>0时，由Ax)-1=0得X=l,可转化为当XV0时，/(X)-1=0恰有2个不同

的零点，利用根的分布可得答案.

【详解】当x>0时,f(x)=eM,

所以由、=/00-1=/-1一1=0得％=1,

所以当xVO时，〃x)-1=。-％2-2彳-1=0恰有2个不同的零点，

令g(x)=〃x)-l=-x2-2*-1+。,则g(x)在XW。时恰有2个不同的零点，

A=4-4（l-6?）>0

可得解得0<小,

g（0）=«-02-2x0-l<0

综上，实数。的取值范围是0<aWl.

故答案为：(0,1].

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数〃同=而（8+。）（。＞0,|夕|苦）的图象如图所示.将函数“尤）的图象向左平移

⑴求g（无）的解析式；

7

⑵ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,Mg（A）=-,C=2A,a=3,求；ABC

的面积.

【答案】⑴g（尤）=cos2尤

Q）处

9

【分析】（1）运用三角函数周期性、五点法求出“X）解析式，运用图象平移变换及诱导公式

求出g（x）解析式.

（2）运用二倍角公式、平方公式求得sinA、cosA、sinC、cosC的值，运用诱导公式及

和角公式求得sinB,结合正弦定理可求得c,运用三角形面积求解即可.

57rTTTT

【详解】⑴由图可知，；17=二-£=；，解得：丁=兀，

41264

兀

所以。=午2=2,即：/（无）=sin（2尤+。），

将点，［代入/（x）=sin（2x+0）得sin12x+夕）=1,

5兀71兀

所以2xy^+/=万+2%兀，k£Z,解得：0=—1+2左兀，kwZ,

所以夕=-5，

所以/（x）=sin［2x-］）,

57r

因为将函数f（无）的图像向左平移3个单位长度后得函数g（x）的图像，

所以g(x)=sin+^sinf2%+-^j=cos2x.

7

(2)因为g(x)=cos2%,所以g(A)=cos2A=§,

由C=2A,得cosC=[,sinC=」也，

99

因为cos2A>0,

TTTT

所以0<2A<—,即：0<A<-,

24

所以由cos2A=1—2sii?A,得sinA=；,

所以由cosA=A/1—sin2A，得cosA=--—，

1727247223

所以sin5=sin(A+C)=—x—H-----x----=—,

393927

ac

由正弦定理一,得c=4后,

sinAsinC

所以△ABC的面积S=L〃csin3=』x3x40x空"

22279

18.若数列｛%｝的首项为1,且3。向一%=6.

⑴求证：｛%-3｝是等比数列；

⑵若3),求证：数列也｝的前“项和S”<|.

【分析】(1)由题意可得。=-3),即可证明所以｛。“-3｝是以一2为首项为，；为

公比的等比数列；

9

(2)由(1)求出册,4,再由错位相减法求出S〃，即可证明S”<:.

【详解】(1)由=6可得%+]=；a“+2na“+]-3=g(q,-3),

因为4=1,所以卬-3=-2,所以｛%-3｝是以一2为首项为，g为公比的等比数列；

(2)由(1)知a,-3=-21g],因为a=一〃(%-3),所以勿=2"'),

7"2+41+6[]++2.；,

»2_+4.1)+6电++2唱)

两式相减可得夕=2+2二+2刀++2讨-2唱:」："-筋⑶

1-3

故50=|一。〃+：。，因为〃cN*,(3w+2>0,

Q-3"+|9

所以s,=N<—.

22

19.如图，在直四棱柱A8CD-A与GR中,

TT

AB//CD,AD//BC,ZDAB=-,AB=BC=2,A4,=3,E在棱BC上，满足BE:EC=1:2,尸在棱

AAj上，满足AF=/U4.

(1)当2=1•时，证明：AE//平面BQ尸;

2

(2)若平面BCF与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为|■，求人的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)A=1

【分析】(1)法1：在棱3G上取G,使得BG:GC|=1:2,连接GF,GE,利用线面平行的

判定定理证明即可；法2：在棱CG上取G,使得CG:GG=2:1,连接AG,EG,利用面面

平行的性质定理证明；

(2)建立空间直角坐标系，求解平面BC/与平面ABCD的法向量，利用向量夹角余弦公

式列方程求解即可4的值.

【详解】(1)证明：

方法1：

在棱8G上取G,使得BG:G£=1:2,连接G£GE.

因为3E:EC=1:2,所以EGCC],且EG=；Cq.

1一1-1

当X=§时，AF=-AAl,贝iJAFCG，S.AF=-CClt

所以A^V/EGAf^EG,

所以四边形AEG尸是平行四边形，所以AE〃FG.

又因为尸Gu平面BEG，AE<Z平面8c

所以AE〃平面BGF.

方法2：

在棱CG上取G,使得CG:Gq=2:1,连接AG,EG.

因为BE:EC=1:2,所以EG//8G

又EGO平面8G尸，BQu平面BC7,所以EG〃平面8C7.

又因为AP=GG，且AF//GG，所以四边形AFGG是平行四边形，

所以AG/AFG，又AG<z平面BCZ，平面BC^,从而AG〃平面BCJ.

因为AGcEGnGAGEGu平面A£G,所以平面AEG〃平面,

因为AEu平面AEG

所以AE〃平面BCZ.

(2)取AB的中点M,则DM±OC.分别以射线OMQCOR为羽y,z轴的正半轴建立空间

直角坐标系，如图所示，则可6,1,0),£(0,2,3),所以8GH-石,1,3).

因为衣=彳羽,所以网后-1,3孙所以跖=（0,-2,3孙

设济=（x,y,z）是平面BG尸的法向量，

m-BC.=-yf^x+y+3z=0（「\

则《1，可取加=依+2后r,342.

m-BF=-2y+3Az=0''

不难得到：平面ABC。的一个法向量为〃=（O,（U）.

I/\m-n\22

所以卜小叶丽飞（彳+2『+叼+4.1二'化简得：底+加3=0,

131

解得2=5,或2=.因为0W4W1,所以2=].

20.近年来，我国科技成果斐然，北斗三号全球卫星导航系统已开通多年，北斗三号全球卫

星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫

星，共30颗卫星组成，北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10m,实测的导航定

位精度都是2~3m,全球服务可用性99%,亚太地区性能更优.

（1）欧洲某城通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度X近似满足

预估该地区某辆家用汽车导航精确度在|,3的概率（保留四位小数）；

（2）某地区基站工作人员从30颗卫星中随机选取2颗卫星进行信号分析，记¥为选取的2颗

卫星中含地球静止轨道卫星的数目，求¥的分布列和数学期望.

附：若X~N（〃,CT2）,贝（]尸（，一＜7＜乂4//+。）20.6827,尸（〃一2。4乂《必+20'）20.9545,

P（〃一3＜rWXV〃+3。）。0.9973.

【答案】（1）0.8186

29

⑵分布列见解析，£（r）=—

145

【分析】（1）根据正态分布即可求解；（2）列出随机变量，根据超几何分布即可求解.

【详解】⑴易知〃,

所以尸］|vXV3j=尸(〃-2bVXV〃+cr)Q0.6827+。9545；0.6827=03186,

'3'

则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在-,3的概率为0.8186；

(2)由题意可得F可能的取值为0,1,2,

C2117C1C127C0C21

贝ijP（y=0）=N=*,P（y=l）=_^i=K,p（y=2）=^^=-^

Cf0145C；o145Co145

所以F的分布列为

11727129

所以数学期望研)=x°+诏小市*2=市

22

21.已知双曲线｝=1(«>0,》>0)的右焦点为尸限0),。的渐近线与抛物

线G：y2=2px(P>。)相交于点

⑴求C，Q的方程；

⑵设A是G与Q在第一象限的公共点，不经过点A的直线/与G的左右两支分别交于点M,

N,使得AM_L4V.

(i)求证：直线/过定点；

(ii)过A作垂足为£>.是否存在定点尸，使得|。尸|为定值？若存在，求出点尸的

坐标；若不存在，说明理由.

丫221

【答案】⑴G：土一丁=1,c2:y=^x

22

(2)(i)证明见解析；(ii)存在尸(4,-1),|。尸1=20,为定值.

【分析】(1)根据题意，结合待定系数法求解即可；

(2)(i)先联立抛物线与双曲线的方程得4(2,1),进而结合题意设直线/方程为

y=kx+m,M(Xl,yi),Na2,y2),进而与双曲线联立方程，结合向量垂直的坐标表示，韦达定

理整理得加=-6左-3,进而得直线/过定点，即可证明；

(ii)由题知ZADB=90。，进而。点在以线段A3为直径的圆上，线段AB的中点为P(4,-1),

\DP\=^\AB\=2y/2,为定值.

【详解】⑴解：因为双曲线G的右焦点为尸（后。），渐近线y过点1,

C=G

c=A/3

2二也

解得＜a=也,

a2

C2=〃2+。2b=l

所以，双曲线G的方程为：y-J2=l.

因为抛物线C”V=2px（。＞。）经过点，日）

所以，==g，解得p=：，

所以，抛物线Cz：y2=；x.

f21

丫=5X（尤=2

（2）解：⑴由/解得［=i，故A（2』），

---黄=］

I2，

因为不经过点A的直线/与G的左右两支分别交于点w,N,

所以，直线/斜率存在，设方程