2023-2024学年河北省唐山市高三年级上册五调考试数学模拟试题(附解析)

2023-2024学年河北省唐山市高三上学期五调考试数学

模拟试题

本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间

120分钟.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知i为虚数单位，SeR,集合Z<"=a+（2a-l）J,8={zzi-2+历},贝1

AcB=（）

{2i}{l+3i}{3+5i}{2+4i}

A.B.C.D.

2.已知等边三角形的边长为2,用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积

为（）

V2#

A.4B,4C.2@D2M

—*—»—►

3.已知a为直线’的方向向量，加，〃分别为两个不同平面。下的法向量，则下列说法正确的

是（）

A若aJ■私加〃5,贝武〃P

B若£〃m,a〃=，则&_1[3

C若aJ■加,a，则a〃P

D若£〃m,a±n则a_LP

4.如图，在四面体48co中，G为的重心，若86="48+入40+240,则

x+y+z=

）

BD

_1122

A.9B3C.3D.3

713兀

一,7T__

5.已知两圆锥的底面积分别为16,其侧面展开图中圆心角之和为2,则两圆锥的母线长

之和的最小值为（）

57

A.2B.2C.3D.2

rABC-ABC.7B5C"H4CCA，CA=CC=2CB田口=士小

6.如图，在直二棱柱111中，c平面1,则异面直线

%与再夹角的余弦值为（）

7.已知棱长为6的正方体内有一个棱长为加的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意

转动，则实数加的最大值为（）

A.OB,3C.2册D.30

8设。=1112,6=1.09,。=60.3,则(

)

Aa<b<cBa〈c〈b

Qc<a<b口c<b<a

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

c4mQ士心/C'T7H

9.如图，在长万体,ABCD-AiB।CiDi中，"是BiDi的中点,，直线1交平面AB1D1于点,做iu，

则下列结论正确的是（）

B,B,0,M1G4工A,M,O,A

A.1四点共面B.1四点共面

c.4℃“四点共面D.4M。三点共线

f\X）—log%+2%+i+1/-..........—x

10.已知函数2X2+1,则（）

A./G）在区间"°）上单调递增B./G）是偶函数

C./Q）的最小值为1D.方程2"无解

11如图，若长方萨c°一空的底面是边长泡的正方形，高如后是吗的中

点，则下列说法不正确的是（）

BELAB

A.ii

CFJCE//FJBD

B.平面i〃平面i

8

C.三棱锥Ci-BiCF的体积为K3

D.三棱锥G—qcq的外接球的表面积为24兀

12.在三维空间中，定义：ax'叫做向量°与台的外积，它是一个向量，满足下列两个条件:

a-L\ixb/.b±\2XZ?7片4-7

①，且“心和ax°构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的

指指、食指、中指的指向一致，如图所示）;

②2x5的模0s=3田sin&b〉（«力）表示向量力的夹角）,在正方体

ABCD-ABCD、一人…人〒…口/

1111中，以下四个结论，正确的是（)

**叫=咱x°q

A.

ACxAD『BD.心

B.iii与i共线

QABxAD=ADxAB

68cxzc

D.I।与正方体表面积的数值相等

第n卷（非选择题共或分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在空间直角坐标系中，2，。），8（0,3」）,。（“-1,2）,若4.C三点共线,则

ab=

乙a二

,a=-1.(2=0,a+Q=〃Ei

14.在数U列”中，12n+2nn+\,贝!I.

>0,0<（p<K）

15.如图，将绘有函数部分图象的纸片沿X轴折成

直二面角，若此时48两点之间的空间距离为g,则/6=

16.如图，已知四面体'BCDQ'BC和是边长为2的等边三角形，CD=J?，尸是该

四面体表面及其内部的动点.若尸'=做尸。=吗则点？轨迹的长度为；若

尸在△48D内（含边界）且则点尸轨迹的长度为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

如图，在四棱台"0°一'产1°1'1中，上、下底面为等腰梯形，AD〃BC,AB=M,

BC=2AD=4,AD=\,AALBD

（1）证明：平面4"℃产平面4BC0；

,八AA=2.ZAAC=45°4chi干=乙乙口厂一

（2）右11,求点°到平面1的距离.

18.（12分）

dR「,cosB=tan^sinS+

记“此的内角所对的边分别为a,b,c,已知

=。2+2/72

(1)证明:C2

C=—,b=2

(2)若3,求△'BO的面积.

19.(12分)

如图，在四棱柱'8c。—4竿只中，底面Z8C。是平行四边形，侧棱㈣,底面

,BCD,过A8的截面与侧面RCf交于PQ,点尸在棱？上，点。在棱巴上，且

(1)证明：PQ〃DiCi；

71

⑵若尸为棱叫的中点，“尸与平面。不。所成的角为6,求侧棱叫的长.

20.(12分)

sinx-〃仁R

已f知\x)=-X2函+x-数acosx,其中aeK.

(1)当°＜。"1时，求,Q)的极值；

兀71

/(%)+X2”]xe

(2)若不等式对任意恒成立，求。的取值范围.

21.(12分)

已知等比数列""I的公比"I若名+^+/*且°2巴+1'"4分别是等差数列

缶}

"的第1,3,5项.

{a}{b}

(1)求数列"和«的通项公式；

b

c二一（1

（2）记"a„,求数列的前"项和S,.

22.（12分）

如图，在多面体/5COEE中，平面A8。为正方形，4B=2,4E=3,DE=*,二面角

叵

£-AD-C的平面角的余弦值为5,nEF〃BD.

（1）证明：平面平面。CE；

（2）者跖=""（九＞°）,求平面尸与平面CEE所成锐二面角的余弦值的取值范围.

参考答案及解析

一、选择题

,.a6Z+（2a-l）i=b-2+bi

l.C解析：由题得

a=b-2,Q=3,

所以上"IS'解得6=5.“，Nc8={3+5i}

2.B解析：如图.等边三角形的高为J3,根据斜二测画法的知识可知,

因为°〃加所以"〃"，所以a〃“故8错误；

因为"‘私所以加'"可能平行，也可能不平行，所以a〃口或相交，故c错

误；

因为"〃加所以加上〃，所以a,。，故。正确.

4.A解析：如图，连接/G并延长交C。于点E.则E为的中点,

-------»------»-------»------»C-------»------»。-11-■1~,

BG=BA+AG=-AB+_AE=-AB+-x-AB+-AC+-AD

所以33233所

5.C解析：设两圆锥的侧面展开图的圆心角分别为a,3,母线长分别为加，〃

171271

—a=—,pn=—

由题知两个圆锥的底面半径分别为4,1,所以2m〃

c兀2汽3兀14。

a+=—+—=———+-=3

所以2mn2,即根〃，所以

当且仅当掰j〃=2时等号成立.

6.C解析：如图，连接”交叫于Q,取/C的中点E,连接BE,ED

由"c—为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知。是”的中点，所以

故异面直线里与胃的夹角即为助与BCi的夹角N8QE或其补角,设8C=1,则

8闻3小叫平面勺产匚平面平4,则包巴又

ECLCC.BC^CC=C,BC,CCu“BCCB故,,EC平_L面丁=BCC।B],又.CD平u丁

iii平面ii

i_________3।_________

ED=JC»+C£2=_,BE=yjCB2+CE2=也

JCCB2

面11,所以C£，CD.所以,在

BD2+£Z)2-BE2一直

cosZBDE=

2BDED2x^Exl5

△BDE中22

7.C解析：由题意知，当正四面体在正方体的内切球内时,正四面体可以在正方体内任意转

动，故当该正四面体内接于球时，其棱长最长.因为正方体的棱长为6,则其内切球的半径为

设正四面体为尸一"cq为底面A/BC的中心，设正四面体外接球的球心为°,连接

PO,OC,OCn]P0;工

11则1平面

ABC,OC=-xm,OP=^PCi-Op=m2—m

i323(3J3

.又

、22

——m-3+3=9

°P=℃=3,所以在一ORC中,3IJ,解得加=24

8.A解析：4=也2-显=1<仇。=3〉6。=1〉。令人0，一》2-1,则

f'（x）=e%-2xg（x）=ex-2xM'（x）=e%-2xe（^oln2）

，令，则.当时，

g(x)<0,/r(x)xG(ln2,+00)g,Q）〉o/Q）单调递增，所以

单调递减；当'时,

rGV（ln2）=2（l-ln2）>0；所以人）在R上单调递增，所以/（。.3）>/（。）=。

即eo.3〉l.O9,所以c>6,综上，a<b<c

二、多选题

9.BCD解析：对于A,如图.连接'a'FjNC

在长方形IFiJ,由。为对角线'4的中点，则4cle54=0,则平面

ACCAc十=ABD=AO.ABD,MeACa^^ACCA狼MG40a

ii平面ii，由Me平面iJi平面ii,得做c4u,在

、，、4ABCD—ABCD上BBu_ABBAM,AQ^^^ABBA=A

长方体111i中，1平面11,因为平面一，所以

口，,,A-R…工G

BBi与,M异C)面，故人错误；对于“，由选项AAr可知\，MAO,AiCicBiDi=0,易a知,

A,M,0,AuF±4CCA,,n,一,丁CHWEA-T心

1平面11,故口正确；对于L,由选项八可知，

MeAO,ACr>BD=0„,A,M,O,Ccz^ACCA弘「工地升工D小生

।i।i,易知‘''平面i।,故C正确；对于口，由选

项A可知，故。正确.

10.BC解析：因为

/(%)=log(4》+2x+i+1)-log2工-.....=logQx+2T+2)------

22X2l&2X2l

++,所以

/(-x)=log(2x+2-x+2)-—1—=/G)

2%2+1,所以,为偶函数，B正确;令'=2"当

x<0时,函数

y=logGA-+2-x+2)J"：,」]f(x)(-<x)0)

2与X2+1均为减函数，所以,在区间上单调递减，

A错误；由偶函数对称性可知(Q)在区间(°,廿°)上单调递增，所以

/(x)=/(0)=1g(x)=/(x)-2x

71min7,C正确；令']，所以

g(0)=l>0,g(l)=log=log^--1|<0

28221264J,由零点存在定理可知方程

-2x有解”错误.

11.AB解析：如图，建立空间直角坐标系,

rd（2.0,4）,£（0,2,2）,N（0Q4）,8（2,0,0）C（2,2,0）,£＞（0,2,0）七，

则11,,所以

BE=(-2,2-2)Z,3=(2,0,-4)m、/£/8=-4+0+8=4片0_BE一

1,,因为11,所以1与

空不垂直，故，错误；又叫=（。「2,4）0=（-2,。,2）,叫=（-2,。,4）,

nCB=-2y+4z=0,

<—

)

BD=(-2,2,0BCE”=(x/,zn-CE=-2x+2z=0,寸

,设平面1的一个法向量，则〔取

x=1,得％=621）,设平面48。的一个法向量加=伍，"C）,则

m-BA=一2。+4。=0,_

~rr7—u

m•BD=-2a+26=0.-1_

取a”1,得4,因为加'"不共线，所以平面ROE与平

面4"相交，故8错误；三棱锥,1一RCE的体积为

V=V=1X1X4X2X2=

三棱锥与蟒然B-C（2E32

8

w,故c正确；三棱锥q—的外接球就是长方体48co—的外接球，所以

,22+22+42_R

三棱锥q一片?的外接球半径2,所以三棱锥q—q7的外接球

的表面积为S=4兀x（向2=24兀,故。正确.

12.ABD解析：对于A,设正方体的棱长为，在正方体中，1’，则

\ABxAC\=\ABI»。卜也28,AC=xx=y/3BD〃BD

I*IIJ.11'2，因为ii,且

NADB=60。（ADDB\=120^

11,所以'1'，所以

niliimininnrmnnonnnnn^^nnii11minin

ADiQ)B|「ADiDB|sirADi；DB[IABQCMADQBI

.所以I1I1I,

匕左L-rR'TT/ABCDACQBDBBQ

所以A正确：对于E,在正万形IIII中，iii1,又因为1平面

AFRDJW□平面AK?,所以ARDBB1_BBDBDEBBF，B?□平

又1ii1

=BBDDbACUBDD„RD□“BBDD…BDDAC

面一，所以一平面1।□上伯口把"一所以।一同

理可证BDAAJ,再由右手系知，A*。『与BP】同向，所以B正确；对于Q由

□□□□□□□□□□

a，b犯a%成右多脩知a口与b%方向想反，又由a□)模的定义知，

a□a)口|q口^b口si《,a口,口b}1W?a□|sirQ□b□□甲0□可所以n国□用□出n则

□onoa□□□!□□''''

AB™□口D口B,所以C错误；对于D,设正方体的棱长为

□□□[□□□□□□□□□□/7□_

a,dBCQCOIBCIACISin453C6V2aQOLQa2□

112正方体的表面积为6a2,所以

D正确.

三演空题

9DOHL□□□

13.5解析：由题得ABD3,5,QUC□J,l),因为A,B,C三点共线，所以存在

□□□□□□

实数口使得AB/C,即2,5,EJ0zHl3,口

Om,

abcE

口Di,5

所以解得所以

1Ai上力工匕a匚h匚hz0aChCig、)aChCiCh日口

14.-1解析：由nE2nn口,TTnDn口nQ,所以rOn口n口n,即

a=-a所以""+6=—""+3=a"，所以数列"的一个周期为6.又

n+3n

a=a-a=1,Q=a-a=l,a=a-a=0,a=a-a=-1

321432543661,所以

艺Q=3372。+Q+Q=-1

a+a+a+。+a+a=012

123466所以JJ

〃2n

T=一=4A

兀

r()

解析：因为,x的周期爹，所以

CD=L=2,AC=M,BC=dM2+AeE~~击=~T/77T

2所以"B=\AC?+BC2=J2M2+4=J10解

仄/(x)=VIsin(；x+(p]f(x)=—

得W=J3,所以12人由图可知，当》=°时，2,即

（xJ3.17i5TI/、

/■（0）=J3sin（p=2_sin（p=_（p=_（p=一“丫）

72,得叩2.又0n«P〈兀，所以甲6或甲6.观察）⑴在

5兀

①二——

>轴右侧的图象结合正弦函数的单调性可知6,所以

/（x）=&sin

偿x+g]J（6）=Ain]3K

32y/H

16,2；5解析：如图，分别取棱4民8的中点为〃，N,连接

DM,CM,AN,BN,MN,因为A/BC和△48。是边长为2的等边三角形，所以

AB1DMABLCM,DMcCM=M,所以48J_平面COM,同理C£),平面

ABN,因为尸/=P8.所以尸6平面。河，因为PC=P。,所以尸e平面ZBN,所以

尸的轨迹为线段因为A/BC和△450是边长为2的等边三角形，所以

DM=CM=|22-|2x1r=>/3

YI2J,而CD=Q所以为等边三角形，所以

D

如图，设过点/且与8C垂直的平面为a,则a截该四面体所得的截面为△/£尸，所以

?的轨迹为线段'/'"E’BC,所以E为棱8C的中点，且£尸,8。，在ABCZ）中，由

MBFiBD-CDyBF上

余弦定理得2BCBD8,所以5,在△48/中，可得

AF=、必2+BF2—2BA•BF•cos60。=?个

四、解答题

(1)证明：如图，过点“作”。于点E,

则跖=1CE=3,

在R—ABE中AE=dAB2—BE?—3

所以BD=AC=36.

设"交加于点。,因为“〃85

OA_ODAD_1

^OC=OB=BC=2^

所以℃=08=2.，

所以O82+OC2=802,即NCLBD,

rAALBD,AAr>AC=A,AA,ACc『44CC

又iii平面ii,

所以AD,平面4'eq.

又BDu平面“BCD所以平面勺W平面A8CD.

A0

(2)解：连接i,则由余弦定理得

0—…产…4+2—2X23#=2

七〜042+042=442CMLAC

所以11,所以1

又/c,。4cm=。，所以"小面4加

所以点c到平面\BD的距离为℃的长为S

“，.八sinC

cosB-tarL4sin5=—.—

18.(1)证明：由已知及正弦定理得3siM

所以3siiL4cos5cos/-3sin2/sin5=sinCcos/

“,3sirk4\cosBcosA-sinAsinB)=sinCcosZ

所以

“,3siib4cos\A+B)=sinCcos^

所以，

所以3sin4cosC=sinCcos/t

rQ2+从一。24+C2—Q2

3a-----------=C

由正、余弦定理得2ab.2bc

整理得C2=。2+24

(2)解：由题得C2—。2=8

「。2+Z72—。2。2+4—C2

cosC===

由余弦定理得2ab4a

-4_1_1

--=-__——__

4aa2解得Q=2

.nS=-absmC=J_x2x2x2i£=J3

所以△NBC的面积JBC222

19.(1)证明：因为在校柱iiii中,

底面/BCD是平行四边形,所以N8//CD

因为由平产4,8u平面吟外

所以Z8〃平面。巴匕

又48u平面“BQP,平面DCCRc平面4BQP=PQ

所以Z8//P0,

又48〃DC//DC^

所以0Q〃,£.

(2)解：在底面平行四边形48co中，

因为ZB=1AC=0,BC=2

所以/历+/。=5。，所以

又因为AB〃CD,所以亚立。

因为"4,平面,BCD,

所以8产平面/BC。，

又ACu平面ABCD

CC1AC

所以i

rCCcCD=C,CC,CDu「CDDC

又ii平面ii,

所以平面coqq

连接PC,'P,则/CP/为“尸与平面CDDC^所成的角,

NCP4」

即6

设£)尸="，因为℃=48=1

所以PC=yjPD?+。。2=+1

^APC=^=Jl-=^

在必-46中.PCk3

解得x=2jl,

因为P为7的中点，所以？=4々.

20解(])/'(x)=1-cosx+asinx-2x

,乃(x)=1—cosx+asinx-2x

令，

,g'(x)=sinx+acosx-2<0

则,

所以g(0在R上单调递减，且g(°)=°,

xe(-oo0)g(x)>0f(x)>0,/(x)_

所以当时,，即单调递增;

,xe(0,H-oo)g(x)<0/,(x)<0,/(x)

当时，'.即，」单调递减,

Y-nf(x)f(o)=—6Z

故当x一0时，7取得极大值,，无极小值.

(n兀、

.XG—

(2)由题得x—sim-acosx,,1对任意I2,2J恒成立,

x-sinx-1兀71

a_xe

752

即CO&T对任意恒成立.

%,(x)_cosx-sinx+xsinx-1

所以石立

t(x)=cosx-sinx+xsinx-l,xe7171

2'2

令

”,#(x)=-sinx-cosx+sinx+xcosx=(x-l)cosx

所以

“十亍tr(x)<o,t(x)xeltr(x)>0,t(x)…

当I〃时，单调递减；当I〃时，单调递增,

“^(x)...Z(l)=cosl-1

所以，

所以当、〃时，

Z(x)>o,/z,(x)>o,/7(x)

单调递增；

xe10,q[G)<o,〃，G)<o,/z(x)

当''时，单调递减,

h(x)=