2024届统编版高二数学第一学期期末联考模拟试题含解析

2024届统编版（高二数学第一学期期末联考模拟试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线%+阳+6=。和（m-2）x+3y+2加=0互相平行，则实数加的取值为（）

A-1或3B.-1

C.-3D.1或-3

2.圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.直

22

线x+2y-8=0与椭圆C：L+2L=i相切于点尸，椭圆C的焦点为耳，F,,由光学性质知直线。耳，尸居与/

1612~

的夹角相等，则/耳尸鸟的角平分线所在的直线的方程为（）

A.2x-y-l=0B.x-y+l=0

C.lx-y+l—QD.x-y-l=0

3.下列关于命题的说法错误的是

A.命题“若3x+2=0,则x=2”的逆否命题为“若尤w2,则丁―3%+2工0”

B.“°=2”是“函数/（x）=log-x在区间（0,+。）上为增函数”的充分不必要条件

C.命题'T/eH,使得竟+/+1<0”的否定是“VxeH,均有炉+尤+i之

D.“若％为y=/（x）的极值点，则/（无o）=O”的逆命题为真命题

4.我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序进行疫苗接种工作，下面是我国甲、乙两地连续11天的疫苗接种指

数折线图，根据该折线图，下列说法不正确的是（）

A.这11天甲地指数和乙地指数均有增有减

B.第3天至第11天，甲地指数和乙地指数都超过80%

C.在这11天期间，乙地指数的增量大于甲地指数的增量

D.第9天至第11天，乙地指数的增量大于甲地指数的增量

5.设冬，是两个不同的平面，/是一条直线，以下命题正确的是

A.若/_L_L，，贝（J/u，B.若////0//，，贝（J/u，

C芾I工a,a/10,贝!）/_1_尸D.若///a,（z_L/7,贝！］/_1_尸

22

6.椭圆工+J=1上一点尸到一个焦点的距离为3,则P到另一个焦点的距离是O

2516

A.47B.7

C.5D.2

7.若P：2<x<4,q：l<x<3,则P为g的（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件

8.已知直线/和两个不同的平面a,£,aL/3,贝！|“〃/a”是“/，，”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.已知1与5的等差中项是加，又1,伪，b2,8成等比数列，公比为4,则加+4的值为（）

A.5B.4

C.3D.6

10.不等式—必+2%+3>0的解集为（）

A.（-l,3）B.（-3,l）

C.(3,+co)D.(-<»,-3)1J(l,+oo)

22

11.已知椭圆土+当=1(0<6<2)的左、右焦点分别为片，工，直线/过工且与椭圆相交于不同的两点A,35、

4b

3不在x轴上)，那么△ABf；的周长()

A.是定值4

B.是定值8

C.不是定值，与直线/的倾斜角大小有关

D.不是定值，与6取值大小有关

12.在等差数列｛为｝中，%+。8+%3=9，*表示数列｛4｝的前"项和，则工5=()

A.43B.44

C.45D.46

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.抛物线V=8x的焦点到准线的距离是.

14.设数列｛4｝的前"项和为3,且2S”是6和q,的等差中项，若对任意的“eN*，都有3S“-贝§

的最小值为

15.已知空间向量。=(1,-2,-3),则向量°在坐标平面上的投影向量是

16.已知直线(：2x+ay—1=0,Z2:(a+3)x+y+2=0,4±Z2,则实数。=

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)△A5C的三个顶点分别为4(1,3),3(3,—l),C(4,0)

(1)求AABC的外接圆M的方程；

(2)设直线/：2x+y—1=0与圆M交于P,Q两点，求|PQ|的值

18.(12分)已知P,。的坐标分别为卜应,0),(72,0),直线PM,QM相交于点且它们的斜率之积是-g.设点

M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线。的方程；

(2)设。为坐标原点，圆。的半径为1,直线/：>=履+〃?与圆。相切，且与曲线。交于不同的两点A,氏当

23

OAOB=A>且满足一<彳<一时，求面积的取值范围.

34

19.(12分)已知函数/(X)=三一3%+2.

（1）求曲线y=/（x）在点（L/（l））处的切线方程；

（2）求八％）在区间［—2,0］上的最值.

22

20.（12分）已知二次曲线以的方程：,=1

9-k4—k

（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；

（2）若双曲线6与直线>=尤+1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；

（3）7篦、〃为正整数，且〃?<〃，是否存在两条曲线C”、C”,其交点尸与点耳（―6,0）,6（百,0）满足「耳，。心，

若存在，求机、〃的值；若不存在，说明理由

21.（12分）近年来，由于耕地面积的紧张，化肥的施用量呈增加趋势，一方面，化肥的施用对粮食增产增收起到了

关键作用，另一方面，也成为环境污染，空气污染，土壤污染的重要来源之一.如何合理地施用化肥，使其最大程度地

促进粮食增产，减少对周围环境的污染成为需要解决的重要问题.研究粮食产量与化肥施用量的关系，成为解决上述问

题的前提.某研究团队收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散

点图及一些统计量的值，化肥施用量为工（单位：公斤），粮食亩产量为y（单位：百公斤）.

J八

10-

8-

6-

4-

2;

O24681012141618202224262830^

参考数据:

1010101010101010

登.Vt.IZ.I

1=1Z=1Z=1i=l1=1i=li=l1=1

65091.552.51478.630.5151546.5

表中4=ln%,Zj=如%（，=1,2门,[0）.

（1）根据散点图判断〉=。+区与y=cx",哪一个适宜作为粮食亩产量y关于化肥施用量x的回归方程类型（给出判

断即可，不必说明理由）；

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；并预测化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量y的

值；

（3）经生产技术提高后，该化肥的有效率Z大幅提高，经试验统计得Z大致服从正态分布N（0.54,0.022）,那这种化

肥的有效率超过58%的概率约为多少？

附：①对于一组数据(%,、)«=L2,3,，,〃)，其回归直线/=方"+6的斜率和截距的最小二乘估计分别为

n_

8=号-------,a=v-pu；②若随机变量Z:N(〃Q2),则有尸(〃-cr<Z<〃+b)a0.6826,

'u~-nu~

i=l

P(〃—2cr<Z<〃+2cr)a0.9544；③取2.7.

22.(10分)已知在公差不为0的等差数列｛4｝中，4=1,且％,出，4构成等比数列也｝的前三项

(D求数列｛4｝,｛2｝的通项公式；

(2)设数列c,=,求数列｛%｝的前〃项和S,

11

请在①-----；②7^；③4+(T)"”这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答

a“4+ibh

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】利用两直线平行的等价条件求得实数m的值.

【详解】；两条直线x+my+6=0和(m-2)x+3y+2m=0互相平行，

・v1x3-mm-2=0

[2m-6(/w-2)*0

解得m=-1,

故选B

【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论：

已知4：a*+耳丁+G=o，

l2:A,x+B2y+C2=0,

\B-44=o

则/"&O<2

、Ac2yo

Zj±Z2o44+B[B2=0

2、A

【解析】先求得P点坐标，然后求得/耳「鸟的角平分线所在的直线的方程.

x+2y-8=012

【详解】无22"(2,3),

一+匚=1y=3

11612

直线/的斜率为-工，

2

由于直线「耳，「鸟与/的夹角相等，则/4P6的角平分线所在的直线的斜率为2,

所以所求直线方程为y—3=2(x—2),2x—y—1=0.

故选：A

3、D

【解析】根据命题及其关系、充分条件与必要条件、导数在函数中应用、全称量词与存在量词等相关知识一一判断可

得答案.

【详解】解：A,由原命题与逆否命题的构成关系，可知A正确；

B,当a=2>l时，函数/(x)=logM在定义域内是单调递增函数，当函数/(x)=log产定义域内是单调递增函数时，a>l.

所以B正确；

C,由于存在性命题的否定是全称命题，所以“BXOER,使得*+%+1<0”的否定是"

VxeR,均有V+%+120,所以C正确；

D,7'(%0)=0的根不一定是极值点，例如:函数=则/'(乃=3-=0,即x=0就不是极值点，所以“若见为

y=/(x)的极值点，则/'(%)=0”的逆命题为假命题，

故选D.

【点睛】本题主要考查命题及其关系、充分条件与必要条件、导数在函数中应用、全称量词与存在量词等相关知识，

需牢记并灵活运用相关知识.

4、C

【解析】由折线图逐项分析得到答案.

【详解】对于选项A,从折线图中可以直接观察出甲地和乙地的指数有增有减，故选项A正确

对于选项B,从第3天至第11天，甲地指数和乙地指数都超过80%,故选项B正确；

对于选项C,从折线图上可以看出这11天甲的增量大于乙的增量，故选项C错误；

对于选项D,从折线图上可以看出第9天至第11天，乙地指数的增量大于甲地指数的增量，故D正确;

故选：C.

5、C

【解析】对于A、B、D均可能出现///，，而对于C是正确的

6、B

【解析】利用椭圆的定义可得结果.

V-2V2

【详解】在椭圆三+2=1中，a=5,由椭圆的定义可知，P到另一个焦点的距离是2a—3=7.

2516

故选：B.

7、D

【解析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.

【详解】解：因为p：2<x<4,q：1<X<3,

所以pNq,qNp,

所以P为g的既不充分又不必要条件.

故选：D.

8、D

【解析】根据直线、平面的位置关系，应用定义法判断两个条件之间的充分、必要性.

【详解】当〃/。时，直线/可与£平行、相交，故不一定成立，即充分性不成立；

当时，直线/可在平面a内，故〃/。不一定成立，即必要性不成立.

故选：D.

9、A

【解析】由等差中项的概念列式求得加值，再由等比数列的通项公式列式求解心则答案可求.

【详解】由题意，2加=1+5,则根=3；

又1,年,伉，8成等比数列，公比为4,

8=1-^3,即q=2,

:.m+q=3+2=5,

故选：A.

10、A

【解析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可.

【详解】-X2+2x+3＞0n(x+l)(x-3)犬＜3,

故选：A.

11、B

【解析】由直线/过尸2且与椭圆相交于不同的两点A,B,且乙,歹2为椭圆两焦点，根据椭圆的定义即可得△A3耳

的周长为4。，则答案可求

22

【详解】椭圆L+三=1(。＜。＜2),

4b

二椭圆的长轴长为2。=4,

：./\ABFx的周长为4。=8

故选：B

12、C

【解析】根据等差数列的性质，求得q=3,结合等差数列的求和公式，即可求解.

【详解】由等差数列伍“｝中，满足。3+%+。13=9,

根据等差数列的性质，可得3g=9,所以为=3,则值=15下=45.

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4

【解析】由y2=2px=8x知p=4,又焦点到准线的距离就是p,所以焦点到准线的距离为4.

9

14、-

4

【解析】先根据和项与通项关系得｛%｝通项公式，再根据等比数列求和公式得S",再根据函数单调性得3s取

值范围，即得f,S取值范围，解得结果.

【详解】因为2s“是6和%的等差中项，所以45“=6+4

当〃22时，4s八_]=6+=%—%_]二.§an-i

当〃=1时，4s1=6+6q=2

12[1-(-1)"]3]

因此4=2x(工尸，5„=------/—="()”]

J1+—2J

3

3143

当”为偶数时，=-[l-(-)"]e[-,-)

2332

313

,!

当“为奇数时，5„=-[1+(-)]£(-,2]

232

343

因此s“e(5,2]uq，5)

1343

因为3S“一不在(2]11匚玄)上单调递增，

七232

19

所以3S”一,€土生)"竺口54_一/.竺

4662T」244

9

故答案为：-

4

【点睛】本题考查根据和项求通项、等比数列定义、等比数列求和公式、利用函数单调性求值域，考查综合分析求解

能力，属较难题.

15、(1,0,-3)

【解析】根据投影向量的知识求得正确答案.

【详解】空间向量。=(1,-2,-3)在坐标平面xOz上的投影向量是(1,0,-3).

故答案为：(1,0,-3)

16、-2

【解析】由直线垂直可得到关于实数a的方程，解方程即可.

【详解】由直线垂直可得：a+2x(a+3)=0,解得：a=-2.

故答案为：-2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)(X-2)2+(J-1)2=5；

5

【解析】(1)设出圆M的一般方程，根据A瓦C的坐标满足圆方程，待定系数，即可求得圆方程;

(2)根据(1)中所求圆方程，结合弦长公式，即可求得结果.

【小问1详解】

22

设圆M的方程为x+y+Dx+Ey+F=0,因为A（l,3）,B（3,-1）,C（4,0）都在圆上,

D+3E+F+10=0D=-4

贝！|<3D—E+F+10=0,解得E=-2,

4D+F+16=0F=0

故圆M的方程为x2+y2_4x_2y=0,也即（x—Zj+（y—l）2=5.

【小问2详解】

由（1）可知，圆M的圆心坐标为（2,1）,半径为石，

点M到直线/：2x+y—1=0的距离d=邑喜上』=述

【解析】【小问1详解】

设点（XH±0）,则

k八一」、-，1

PMeM_7W2二TJ-5'

2

X2/

整理得曲线。的方程:5+y

【小问2详解】

因为圆。的半径为1,直线/：丫=丘+机与圆。相切，则

叩T

二一’m2=l+k2

设AH，%），/%，%），将>=履+相代入'■+；/=1得

222

（2左2+1b2+4kmx+2川-2=0,A=（4.『—4（2左2+1）•（2m—2）=16抬—8m+8=8A;>0,

4km2m2-2

UMUULMU

2=OA-OB=XjX2+%%=百马+(心+W)(AX2+m)

2

二(1+左2)%%2+加(玉+x2)+m

2(2)l2li±l

(1+k)2m-24k2m+m=e23

2左2+12左2+12k2+1354

1

所以一<429<1,

2

m\

Ji+左2归—%|；帆

1

=A/2

2E

+2

1

因为一＜左0＜1,令t

2FTTe

1-916

tH---F2在上单调减，/

—F2e2'T

所以SvAOB

19、(1)y=0

(2)最小值为0,最大值为4

【解析】(1)利用导数求得切线方程.

(2)结合导数求得了(尤)在区间［-2,0］上的最值.

【小问1详解】

/(1)=1-3+2=0,/(X)=3X2-3,/(1)=0,

所以曲线y=/(x)在点(1,0)处的切线方程为y=0.

【小问2详解】

/(%)=3X2-3=3(X+1)(X-1),

所以外可在区间(―2,—1)"'(力＞0"(力递增；在区间(T0),/'(x)＜0,〃x)递减,

/(-2)=-8+6+2=0,/(-1)=-1+3+2=4,/(0)=2,

所以了(九)在区间［-2,0］上的最小值为。，最大值为4.

r2v2\m=l\m=2

20、(1)左＜4时，方程表示椭圆，4〈化＜9时，方程表示双曲线；(2)上—乂=1；(3)存在，且彳「或,

32[〃=7[〃=6

m=3

或(U•

【解析】(1)当且仅当分母都为正，且不相等时，方程表示椭圆；当且仅当分母异号时，方程表示双曲线

y=%+1

2

(2)将直线与曲线联立xy2化简得：(13—24)/+2(9—左)x+(9—左)(左—3)=0,利用双曲线G与直

________|_/—]

9一k4一左一

线＞=尤+1有公共点，可确定左的范围，从而可求双曲线的实轴，进而可得双曲线方程；

(3)由(1)知G，G，C3是椭圆，G，C6)G，Cg是双曲线，结合图象的几何性质，任意两椭圆之间无公共

点，任意两双曲线之间无公共点，从而可求

’9-左〉0

【详解】(1)当且仅当4一女〉0n左＜4时，方程表示椭圆；

9-k手4-k

当且仅当(9-幻(4-6＜0=4＜左＜9时，方程表示双曲线

y=%+1

(2)\尤22化简得：(13-2k)x"+2(9-k)x+(9-k\k-3)=0

----+——=1

19-左4-左

AJS)=＞k6或4所以6,左＜9

双曲线的实轴为2k1，当左=6时，双曲线实轴最长为26

22

此时双曲线方程为t-二=1

32

(3)由(1)知G，C2,C3是椭圆，C5,C6,C7,是双曲线，结合图象的几何性质

任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间无公共点

设|「£|=4，\PF2\=d2,777e{l,2,3},ne{5,6,7,8)

4+4=2＜9-m

由椭圆与双曲线定义及修・P&=0；=所以m+n=8

d；+—20

m=lm-2m-3

所以这样的g,Q存在，且〃=7或＜或＜

n=6n=5

【点睛】方法点睛：曲线方程的确定可分为两类：若已知曲线类型，则采用待定系数法；若曲线类型未知时，则可利

用直接法、定义法、相关点法等求解或者利用分类讨论思想求解.

21、(1)y=cxd；

i

(2)_；810公斤；

yv-CA

(3)0.0228.

【解析】(1)根据散点图的变化趋势，结合给定模型的性质直接判断适合的模型即可.

(2)将(1)中模型取对得lny=lnc+dlnx,结合题设及表格数据求彳，工及参数d,进而可得参数c,即可确定回

归方程，进而估计九=27时粮食亩产量y的值.

(3)由题设知〃=0.54,。=0.02,结合特殊区间的概率值及正态分布的对称性求P(Z20.58)即可.

【小问1详解】

根据散点图，呈现非线性的变化趋势，故y=更适合作为，关于x的回归方程类型.

【小问2详解】

对y=两边取对数，得Iny=lnc+dlnx,即z=lnc+力，

10

Vt.z.-10/z

ii30.5-10x1.5x1.5_1

由表中数据得:

z=?=1.5,d=/———-

却-10尸46.5-10x1.5x1.53

Z=1

lnc=z-dt=1.5--xl.5=1,贝!|c=e,

3