广东省潮州市2021-2022学年高考数学二模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知双曲线£=1（。〉0力〉0）的左、右顶点分别是A,3,双曲线的右焦点产为（2,0）,点尸在过尸且垂直

于x轴的直线/上，当AABP的外接圆面积达到最小时，点P恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（）

22

2.设耳，工分别是双曲线三-2=1（°>0/>0）的左右焦点若双曲线上存在点P,使/用谯=60。，且周=2俨阊,

ab

则双曲线的离心率为（）

A.73B.2C.75D.76

_1+Z

3.已知复数z=1为z的共物复数，则一二()

Z

4.设4=log23,b=log46,c=5~°i,贝！I()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

5.设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x>l},则A=

A.{x[0<x<l}B.1x|0<x<1}C.1x[l<x<2jD.{x[0<x<2}

6.已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（）

7.数列｛4｝满足:4+2+4=4+1，％=1，“2=2，S〃为其前〃项和，贝！|$2019=()

A.0B.1D.4

22

8.双曲线C”二—二=1(〃>0,Z?>0)的一个焦点为/(c,0)(c>0),且双曲线G的两条渐近线与圆g：

ab

*

(%-c)2+y2=?均相切，则双曲线C］的渐近线方程为()

A.x±y/3y=0B.A/3X±y=Q

9.函数〃x)=二+1)的大致图象是

10.一物体作变速直线运动，其V-/曲线如图所示，则该物体在」s~6s间的运动路程为()m.

2

-1

八r//(m-s)

0136r/s

11.若非零实数”、b满足2°=3J则下列式子一定正确的是（）

A.b>aB.b<a

C.|^|<|«|D.同〉同

12.我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数

可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不

超过15的素数中，随机选取2个不同的素数。、b,则4<3的概率是（）

1412

A.—B.—C.—D.一

51535

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x<3

13.若满足卜+，22,则目标函数z=y—2x的最大值为.

y<x

14.在ABC中，角A,瓦C的对边分别为a,4c,且2bcosB=acosC+ccosA,若ABC外接圆的半径为38,

3

则ABC面积的最大值是.

15.过直线4x+3y—10=0上一点尸作圆d+y2=i的两条切线，切点分别为4,B,则以.1力的最小值是•

16.已知数列｛4｝满足%=l,%=g对任意心2,〃eN*,若4（a,i+24+J=34_q+i，则数列｛凡｝的通项公式

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）我国在2018年社保又出新的好消息，之前流动就业人员跨地区就业后，社保转移接续的手续往往比较繁

琐，费时费力.社保改革后将简化手续，深得流动就业人员的赞誉.某市社保局从2018年办理社保的人员中抽取300人,

得到其办理手续所需时间（天）与人数的频数分布表：

时间［。，2）[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)

人数156090754515

（1）若300名办理社保的人员中流动人员210人，非流动人员90人，若办理时间超过4天的人员里非流动人员有60

人，请完成办理社保手续所需时间与是否流动人员的列联表，并判断是否有95%的把握认为“办理社保手续所需时间

与是否流动人员”有关.

列联表如下

流动人员非流动人员总计

办理社保手续所需

时间不超过4天

办理社保手续所需

60

时间超过4天

总计21090300

(2)为了改进工作作风，提高效率，从抽取的300人中办理时间为［8,12)流动人员中利用分层抽样，抽取12名流动

人员召开座谈会，其中3人要求交书面材料，3人中办理的时间为［10,12)的人数为求出自分布列及期望值.

附：K、_______幅―_______

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

j)0.100.050.0100.005

k。2.7063.8416.6357.879

18.(12分)已知顶点是坐标原点的抛物线「的焦点产在y轴正半轴上，圆心在直线y上的圆£与X轴相切，

2

且E,b关于点/(—1,0)对称.

(1)求E和「的标准方程；

(2)过点M的直线/与E交于4B,与「交于C,D,求证：|CD|>J5|AB|.

19.(12分)设函数/(x)=ox-(a+l)ln(x+l).

(1)。=1时，求/(%)的单调区间;

(2)当a>0时，设/(%)的最小值为g(。)，若g(a)々恒成立，求实数f的取值范围.

x=3cos(p

20.(12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为1.(9为参数)，在以O为极点，x轴的正

y=sincp

TT

半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为(2,-),半径为1的圆.

2

(1)求曲线G的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)设M为曲线Ci上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围.

21.（12分）已知函数〃司=及-时-|尤+2|（mcR）,不等式“尤―2"0的解集为（F,4].

（1）求加的值；

（2）若a>0,Z?>0,C>3,且a+2Z>+c=2〃z,求（。+1）（。+1乂。-3）的最大值.

22.（10分）已知函数/（x）=lnx.

⑴设g（x）=等，求函数g（x）的单调区间，并证明函数g（x）有唯一零点.

（2）若函数心）="-歹。-1）在区间上不单调，证明：-+-^->a.

'7aa+1

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

点P的坐标为（2,何（加>0）,tanZAPB=tan（ZAPF-ZBPF）,展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线

计算得到答案.

【详解】

不妨设点P的坐标为（2,相）>0）,由于|A却为定值，由正弦定理可知当sinNAP3取得最大值时，AAP5的外接

圆面积取得最小值，也等价于tanNAPB取得最大值，

因为tanNAPF=0—，tanZBPF=^^,

mm

2+〃2—a

所以tanN”5=tan（/AW-4相）=弓”琮,

m+

1+丁./m2a=

当且仅当加=匕（加>0）,即当机=〃时，等号成立，

m

此时44PB最大，此时APB的外接圆面积取最小值,

22________

点P的坐标为(2))，代入二―夫=1可得应，b=^c2-a2=72-

ab

22

所以双曲线的方程为L—匕=i.

22

故选：A

【点睛】

本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.

2.A

【解析】

由归居|=2归局及双曲线定义得归国和忸耳|(用a表示)，然后由余弦定理得出c的齐次等式后可得离心率.

【详解】

由题意力尸耳|=2|叫.•.由双曲线定义得|尸耳|—|「词=24,从而得归制=4a,归闾=2a,

在APKE中，由余弦定理得(2c)2=(4ay+(2a)2—2x4ax2acos60。，化简得e=$=百.

a

故选：A.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用。表示出P到两焦点的距离，再由余弦定理得出。的齐

次式.

3.C

【解析】

求出直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.

【详解】

1+z_2-i_l-3i

z~l+i~2'

故选:C

【点睛】

本题考查复数的代数形式的四则运算，共轲复数，属于基础题.

4.A

【解析】

先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较。力，再由中间值1可得三者的大小关系.

【详解】

b=-01因此a>b>c,故选：

<2=log23G（l,2）,log46=log2A/6G（1,log23）,c=5^（0,1）,A.

【点睛】

本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.

5.B

【解析】

分析：由题意首先求得CR5,然后进行交集运算即可求得最终结果.

详解：由题意可得：CRB={X\X<1},

结合交集的定义可得：An（QB）={0<x<l}.

本题选择B选项.

点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

6.C

【解析】

试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C是符合要求的.

考点：三视图

7.D

【解析】

用〃+1去换4+2+an=an+1中的%得4+3+4+1=«„+2,相加即可找到数列{4}的周期，再利用

$2019=336s6+%+%+计算.

【详解】

由已知，4+2+4=4+1①，所以4+3+4+1=4+2②，①+②，得4+3=一为，

从而4+6=。"，数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1,2,1,-1,-2,-1,所以S6=0,

S2019=336（%+ci]++%）+%+/+43=0+1+2+1=4.

故选：D.

【点睛】

本题考查周期数列的应用，在求S2019时，先算出一个周期的和即$6,再将S2019表示成336s6+%+/+。3即可，本题

是一道中档题.

8.A

【解析】

be

化简得到储=得到答案.

根据题意得到I，382，

d=Ja2+b2

【详解】

h,bec

根据题意知：焦点F(c,O)到渐近线y=-x的距离为d=厂~,

a+b~幺

故1=3/,故渐近线为x±gy=O.

故选：A.

【点睛】

本题考查了直线和圆的位置关系，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力.

9.A

【解析】

利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.

【详解】

由题意可知函数/(九)为奇函数，可排除B选项；

当x<0时，f(x)<Q,可排除D选项；

当x=l时，f(l)=伉2,当x=3时，/(3)=曙,ln2>*,

即/⑴>子()，可排除C选项,

故选:A

【点睛】

本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题.

10.C

【解析】

1「6

由图像用分段函数表示V(f),该物体在一S~6s间的运动路程可用定积分s=JiV«)df表示，计算即得解

22

【详解】

由题中图像可得,

2/,0<?<1

v⑺=<2,1<Z<3

由变速直线运动的路程公式，可得

s=J；v«)df=J：2tdt+J：2df+J：f

=产|；+2存［产+力=;(m).

149

所以物体在一s~6s间的运动路程是一m.

24

故选：C

【点睛】

本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.

11.C

【解析】

令2〃=3"=/，贝〃>0，将指数式化成对数式得。、b后，然后取绝对值作差比较可得.

【详解】

令2"=3"=/，贝！I/>0,/W1,。=log1=~~~,b=log1=~~,

2一lg23lg3

川间」lgd|lgf|Jg4(lg3-lg2)

>0,因此，同〉网.

111lg2lg3Ig2-lg3

故选：c.

【点睛】

本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题.

12.B

【解析】

先列举出不超过15的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数。、b,

满足卜一4<3”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

不超过15的素数有：2、3、5、7、11、13,

在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数，所有的基本事件有：（2,3）、（2,5）、（2,7）、/（西）-/（4）、（2,13）、

（3,5）、（3,7）、（3,11）、（3,13）、（5,7）、（5,11）、（5,13）、（7,11）、（7,13）、（11,13）,共15种情况,

其中，事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数。、b,且心-耳<3”包含的基本事件有：（2,3）、（3,5）、

（5,7）、（11,13）,共4种情况，

4

因此，所求事件的概率为。=百.

故选：B.

【点睛】

本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-1

【解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答

案.

【详解】

x<3

由约束条件（x+y>2作出可行域如图，

y<x

4y

化目标函数Z=y—2x为y=2x+z,

由图可得，当直线y=2x+z过点3时，直线在y轴上的截距最大，

由,得，即5(1,1),贝也有最大值z=l—2=—1,

U=yb=i

故答案为-1.

【点睛】

本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:

(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线)；(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的

目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解)；(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.

14.G

【解析】

由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合范围Be(0,%)可求3的值，利用正弦定理可求力的值，

进而根据余弦定理，基本不等式可求4的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解.

【详解】

解：2Z?cosB=acosC+ccosA,

由正弦定理可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C),

A+5+C=TT,

/.sin(A+C)=sinB,

171

又BG(0,^),/.sinjB^O,/.2cosB=l,即cos3=—，可得：B=—，

23

1.ABC外接圆的半径为2叵，

3

,b2一

".7V~*3，解得匕=2,由余弦定理廿=々2+02-2accos6，可得/+°?-4=4,又。2+。2..2就，

sin—

2

/.4-a2+c2-ac..2ac-ac-ac(当且仅当。=c时取等号)，即最大值为4,

ABC面积的最大值为工x4sinB=月.

2

故答案为：6

【点睛】

本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应

用，考查了转化思想，属于中档题.

15.3

2

【解析】

由切线的性质，可知网=网

,切由直角三角形Hl。，PBO,即可设|PA|=x,ZAPO=tz,进而表示cosa,由图

像观察可知进而求出x的范围，再用阳。的式子表示PA.PB，整理后利用换元法与双勾函数求出最小值.

【详解】

由题可知,|PA|=|PB|,设=由切线的性质可知PO=J7W，则

x%2

cosa-,cos2a=­z——

炉+1

|4x0+3x0-10|

显然产02%”==2、贝!I＞兀2+1N2=＞＞之垂或x«—石(舍去)

V42+32

2_[

因为=M•囱cosNAPO*cos2a=x2-(2cos2a-l)=x2-

x+1

2

22x2

=x——-——=x_2=心1)+^——3

21-忌x2+lx+1x+1V7x2+l

____2

令/=炉+1/24,贝！=/+7—3,由双勾函数单调性可知其在区间［4,内）上单调递增，所以

【点睛】

本题考查在以直线与圆的位置关系为背景下求向量数量积的最值问题，应用函数形式表示所求式子，进而利用分析函

数单调性或基本不等式求得最值，属于较难题.

【解析】

由an(见T+2。用)=34T4+I可得---------=2(---------),利用等比数列的通项公式可得--------=2”,再利用

an+lanan1

累加法求和与等比数列的求和公式，即可得出结论.

【详解】

/\1111、

由4+勿”+J=3a,i4+i,得二-----=2(--—-)

Un+\UnUnUn-1

11c11、

------=2,数列｛r---------｝是等比数列，首项为2,公比为2,

%%an+lan

———-=2n,n>2,-——L=2"T,

aaa

4+1nnn-l

1-2”

=2"T+2"-2++2+1==2"-l,

1-2

,11

"L[l,满足上式，右门.

故答案为:一：.

【点睛】

本题考查数列的通项公式，递推公式转化为等比数列是解题的关键，利用累加法求通项公式，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3

17.(1)列联表见解析，有；(2)分布列见解析，一.

4

【解析】

(D根据题意，结合已知数据即可填写列联表，计算出K?的观测值，即可进行判断;

(2)先计算出时间在［8,10)和［10,12)选取的人数，再求出J的可取值，根据古典概型的概率计算公式求得分布列,

结合分布列即可求得数学期望.

【详解】

(1)因为样本数据中有流动人员210人，非流动人员90人，所以办理社保手续

所需时间与是否流动人员列联表如下:

办理社保手续所需时间与是否流动人员列联表

流动人员非流动人员总计

办理社保手续所需

453075

时间不超过4天

办理社保手续所需

16560225

时间超过4天

总计21090300

结合列联表可算得K。=3。。；；黑山厘=詈.4.762>3,841.

有95%的把握认为“办理社保手续所需时间与是否流动人员”有关.

⑵根据分层抽样可知时间在［8,10)可选9人，时间在［10,12)可以选3名,

故&=0,1,2,3,

C321C2C'27

则%=0)=m=一，

a55a55

c'c227c0c31

%=2)=号二=——，%=3)=」^=——，

%220%220

可知分布列为

0123

2127271

P

5555220220

ii、c21,27c27c13

可知E(4)=0x-----i-lx-----i-2x------i-3x-----=—.

55552202204

【点睛】

本题考查独立性检验中K?的计算，以及离散型随机变量的分布列以及数学期望，涉及分层抽样，属综合性中档题.

222

18.(1)(%+2)+(3；+l)=l,x=4y;(2)证明见解析.

【解析】

分析：（1）设「的标准方程为Y=2py,由题意可设E（2a,a）.结合中点坐标公式计算可得「的标准方程为

%2=4了.半径厂=M=1,则E的标准方程为a+2）2+（y+l『=l.

,由弦长公式可得n凶=2,.

（2）设/的斜率为左，则其方程为丁=左（％+1）联立直线与抛物线的方程有

必―4日—4左=0.设C（%,%）,£＞（%,%），利用韦达定理结合弦长公式可得ICDkJFTTN—々|

="1.际.则用=2（1+1）；伊+人）＞即卬〉阳的.

\AB\kk

详解：（1）设「的标准方程为f=2py,则尸

已知E在直线y=gx上，故可设£（2a,a）.

2(2+0

=-1,

2

因为E］关于〃（—1,0）对称，所以＜p

----FCL

2二0,

2

CL=-1,

解得＜

、p=2.

所以「的标准方程为好=4%

因为E与x轴相切，故半径厂=时=1,所以£的标准方程为（x+2y+（y+l）2=l.

（2）设/的斜率为左，那么其方程为y=Z（x+l）,

则E（-2,-l）至I"的距离d=^—±,所以|=241—/=2.

x=4y,

由，/，、消去丁并整理得：x2-4kx-4k^0.

y=k(x+1)

设。(玉,%),。(X2，%)，则石+々=4左,1为2=一4-，

那么|。£>|=〃2+1%-々|="2+1•，(石+%)2—=4&+T.hk・

\CDf16(P+1)(P+k)_2(k2+1)2(k2+k)2k_

所以询=——=I>了2

k2+l

所以|CD「>2|AB「，BP|CD|>V2|AB|.

点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

⑵有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|A3|=xi+

X2+p,若不过焦点，则必须用一般弦长公式.

19.(1)/(X)的增区间为(1,+8),减区间为(—1,1)；(2)t>0.

【解析】

(1)求出函数/(》)=依-(。+1)加(》+1)(。>-1)的导数，由于参数。的范围对导数的符号有影响，对参数分类，再研究

函数的单调区间；

(2)由(1)的结论，求出g(a)的表达式，由于g(a)〈”恒成立，故求出g(a)的最大值，即得实数/的取值范围的

左端点.

【详解】

解：(1)解：尸(x)=a—但=^^(x>—l),

X+lX+1

当。=1时，f(x)==,解/'(x)>。得/(尤)的增区间为(l,y),

解f(x)<0得/(X)的减区间为(-1,1).

(2)解：若。>0,由尸(%)>。得%>工，由尸(x)<0得—1<%<!，

aa

所以函数/(x)的减区间为1-if,增区间为1,+[；

g(a)-=1-(tn-1)In,

因为〃>0,所以g(〃)<%,：v0,—fin—1Inf1H—]—<0

aaa\ci)\aJa

令h(x)=x—(1+x)ln(l+x)—tx(x>0),则h(x)<0恒成立,

由于〃'(x)=-ln(l+x)-Z,

当♦NO时，"(x)<0,故函数/i(x)在(0,+s)上是减函数,

所以〃(x)<〃(0)=0成立;

当/<0时，若〃(％)>0则0<x</—1，故函数MO在(0,/—1)上是增函数,

即对0<%<"'-1时，>〃(0)=。，与题意不符;

综上，/20为所求.

【点睛】

本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，求解本题关键是根据导数研究出函数的单调性，由最值的定义得出函

数的最值，本题中第一小题是求出函数的单调区间，第二小题是一个求函数的最值的问题，此类题运算量较大，转化

灵活，解题时极易因为变形与运算出错，故做题时要认真仔细.

*2223

20.(1)Ci：—+y=l,C2：x+(y-2)=1；(2)[0,^+1]

92

【解析】

(I)消去参数(P可得G的直角坐标方程，易得曲线Ci的圆心的直角坐标为(0,2),可得Ci的直角坐标方程；(II)

设M(3cos(p,sin(p),由三角函数和二次函数可得IMC2I的取值范围，结合圆的知识可得答案.

【详解】

X2

(1)消去参数中可得C1的普通方程为\_+y2=l,

兀

•••曲线C2是圆心为(2,半径为1的圆，曲线C2的圆心的直角坐标为(0,2),

2

/.C2的直角坐标方程为x2+(y-2)2=1；

(2)设M(3cosq),sin(p),则IMC2I=J(3cos(p)2+(sirup-

=J9cos2中+sin2(p-4sinp+4=^-8sin2(p—4sinp+13

1、227

=^-8(sin(p+-)+—,

•:-l<sin<p<l,.,.1<|MC2|<,

2

由题意结合图象可得|MN|的最小值为1-1=0,最大值为述+1,

2

的取值范围为[0,垃+1].

2

【点睛】

本题考查椭圆的参数方程，涉及圆的知识和极坐标方程，属中档题.

21.(1)m=6(2)32

【解析】

(1)利用绝对值不等式的解法求出不等式的解集，得到关于，”的方程,求出他的值即可；

⑵由⑴知机=6可得,“+26+c=12,利用三个正数的基本不等式a+b+c>3痂，构造和是定值即可求出

(a+l)(b+l)(c-3)的最大值.

【详解】

(1)Vf(x)=\x-rr^-\x+2\,

/(x-2)=|x-m-2|-|x-2+2|,

所以不等式%—2)之0的解集为(-切,4],

即为不等式上―机―2|一忖>0的解集为(―，4],

根-祖-2|2国的解集为(-8,4],

即不等式(x-m-2)2>x2的解集为(―，4],

化简可得,不等式(加+2)(m+2-2x)>0的解集