2024年河南省五市高考数学第一次联考试卷（附答案解析）

2024年河南省五市高考数学第一次联考试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.(5分)已知集合A={My=W},B={y\y=x1],则AG3=()

A.0B.[0,+8)C.RD.(0,+8)

2.（5分）以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角a,其终边落在直线>=无上，则有

()

A.sin一孝B.cosa=

C.sina+cosa=±V2D.tana=±1

TT->—>T—TT

3.(5分）平面向量a,b满足|a|=2,\b\=3,|a+Z?|=4,则b在a方向上的投影向量为

()

V151-3-V15

A.-----aB."aC.—aD.-----a

12488

4.（5分）已知口袋中有3个黑球和2个白球（除颜色外完全相同），现进行不放回摸球,

每次摸一个，则第一次摸到白球情况下，第三次又摸到白球的概率为（）

1123

A.——B.-C.一D.-

10455

5.（5分）已知函数/（x）的导函数为/(x),且f(%)=-7/(3)-/(I)/-4%,则/

（x）的极值点为（）

A.三或工13

B.-C.-沁D.-

2222

6.（5分）某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为20根加，卫生纸厚度约为0.1帆机,

若未使用时直径为80〃而，则这个卷筒卫生纸总长度大约为（）（参考数据n^3.14）

A.47mB.51mC.94mD.102m

7.（5分）已知尸为棱长为巡的正四面体ABC。各面所围成的区域内部（不在表面上）一

动点，记尸到面A3C,面ACD面5c7）,面A5O的距离分别为h2,fe,fi4,若。3+%4

1R

L则范+忘的最小值为（）

259+4V2

A.2B.—C.---------D.12+4V2

22

8.（5分）抛物线C：,=2px（p>0）在其上一点处的切线方程为y-x-1=0,点A,B为

C上两动点，且|AB|=6,则48的中点M到y轴距离的取值范围为（）

93

A.[2,+°°）B.[4,+00）C.[3,+8）D.12，+00）

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.（5分）新高考模式下，化学、生物等学科实施赋分制，即通过某种数学模型将

原始分换算为标准分.某校在一次高三模拟考试中实施赋分制的方式，其中应用的换算

模型为：y^kx+t（k,tER）,其中x为原始分，y为换算后的标准分.已知在本校2000

名高三学生中某学科原始分最高得分为150分,最低得分为50分，经换算后最高分为150

分，最低分为80分.则以下说法正确的是（）

A.若学生甲本学科考试换算后的标准分为115分，则其原始得分为100分

B.若在原始分中学生乙的得分为中位数，则换算后学生乙的分数仍为中位数

C.该校本学科高三全体学生得分的原始分与标准分的标准差相同

D.该校本学科高三全体学生得分的原始分的平均分低于标准分的平均分

（多选）10.（5分）函数f（x）=2sin（s+切V5）的部分图像如图所示，则（）

.c7T

A.3=2,0=不

B.不等式无）＞1的解集为/ot+力（蛇Z）

7兀

C.后为f（x）的一个零点

D.若A,B,C为△ABC内角，且/（A）=/（8）,则或。=为

（多选）11.（5分）对于数列｛即｝（a“6N+）,定义瓦为al,al,―,a尢中最大值（fc=L2,

?n）（〃eN+）,把数列｛加｝称为数列｛•｝的值数列”.如数列2,2,3,7,6的aM

值数列”为2,2,3,7,7,则（）

A.若数列｛金｝是递减数列，则｛为｝为常数列

B.若数列｛板｝是递增数列，则有所=垢

C.满足｛加｝为2,3,3,5,5的所有数列｛即｝的个数为8

D.若斯=（—2）z（neN+）,记出为｛加｝的前"项和，则Si。。=|（21°°—1）

（多选）12.（5分）定义在R上的函数/（x）=loga（Vl+b2x2+bx）（a>0且qWl,b

WO）,若存在实数m使得不等式-加+排+12）+f（-m）恒成立，则下列叙

述正确的是（）

A.若a>l,b>0,则实数机的取值范围为[-2,2]

B.若0<a<l,b<0,则实数机的取值范围为（-8,2]

C.若a>l,b<0,则实数机的取值范围为（-8,-2]U[2,+8）

D.若0<a<l,6>0,则实数机的取值范围为[2,+8）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.（5分）计算擀尸（z•为虚数单位）的值为.

14.（5分）在（2支-《产的展开式中，常数项为.（请用数字作答）

15.（5分）已知函数/（x）及其导函数，（无）的定义域均为R,记g（无）=f（X）.且

/（1-3x）+f（3x-1）=0,g（1+x）+g（1-x）=0,当xG（0,1],f（x）=sin^x,

则本竽,（i）|=.（用数字作答）

16.（5分）三棱锥P-ABC中，尸8=2,ZB4B=ZABC=30°,PB±AB,ACLLAB,点M,

N分别在线段AP,BC上运动.若二面角尸-45-C的大小为60°,则|MV|的最小值

为.

四、解答题，本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（10分）△A8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足庐-二二公.

（I）求证：B=2A；

（II）若△ABC为锐角三角形，求sm（C-A）：si"B的取值范围.

sinA

18.（12分）已知函数/（x）=alnx-（〃ER）.

（I）求函数/（%）的单调区间；

（II）若/（X）有两个零点，求实数。的取值范围.

19.（12分）在等差数列｛久｝中，a3+o4+aii=84,<77=33.

（I）求数列｛丽｝的通项公式；

（II）若记以（在N+）为｛“”｝中落在区间（5勺/）内项的个数，求｛少｝的前左项和Th

20.（12分）如图，在四棱锥尸-4BCZ）中，底面ABC。是直角梯形，AB//CD,ZABC^

90°,S.PA=PD=AD,PC=PB.

(I)若。为的中点，证明：COLPO-,

(II)若NCZM=60°,AB=^CD=1,点M满足DM=2MP,求平面PCB与平面ACM

所成角的余弦值.

21.（12分）某档电视节目举行了关于“中国梦”的知识竞赛，规则如下：选手每两人一组，

同一组的两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，比赛进

行到一方比另一方净胜2分结束，且多得2分的一方最终胜出.已知甲、乙两名选手分

1

在同一组，两人都参与每一次抢题，且每次抢到题的概率都为一.甲、乙两人每道题答对

2

31

的概率分别为9并且每道题两人答对与否相互独立.假设准备的竞赛题足够的多.

（I）求第二题答完比赛结束的概率；

（II）求知识竞赛结束时，抢答题目总数X的期望E（X）.

22.（12分）己知椭圆E；捻+，=l（a>b>0）的左右熊点分别为尸1,尸2,其长轴长为6,

离心率为e且e>玄，点、D为E上一动点，△。F近2的面积的最大值为2或，过尸（-3,

0）的直线/1,/2分别与椭圆E交于A,8两点（异于点P）,与直线尤=8交于N两

点，且N两点的纵坐标之和为11.过坐标原点。作直线A8的垂线，垂足为H.

（I）求椭圆E的方程；

（II）问：平面内是否存在定点。，使得IHQ为定值？若存在，请求出。点坐标；若不

存在，请说明理由.

2024年河南省五市高考数学第一次联考试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.(5分)已知集合4={尤lyu%2},B={y|y=x2},则AC8=()

A.0B.[0,+8)C.RD.(0,+8)

【答案】B

【分析】根据集合中元素的特性判断出集合A与5再进行交集运算.

【解答】解：根据描述法表示集合，A=R;2=[0,+8),

.•.Ans=[o,+8).

故选：B.

【点评】本题考查描述法表示集合、交集及其运算.

2.(5分)以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角a,其终边落在直线＞=无上，则有

()

A...sina=-142-Bn.cosa=42

C.sina+cosa=±V2D.tana=±l

【答案】C

【分析】由已知结合三角函数的定义即可求解.

【解答】解：因为角a的终边落在直线y=x上，

当a的终边在第一象限时，sina=cosa=:，tana=1,

当a的终边在第三象限时，sina=cosa=—,tana=1.

故选：C.

【点评】本题主要考查了三角函数的定义的应用，属于基础题.

3.(5分)平面向量a,6满足|a|=2,|b|=3,\a+b\=4,贝仍在a方向上的投影向量为

()

V15-IT3TV15t

【答案】C

【分析】根据题意，由向量数量积的计算公式求出。3的值，进而计算可得答案.

TTTT

【解答】解：根据题意，|。|=2,\b\=3,\a+b\=4,

即(a+h)2=a2+b2+2a*b=4+9+2a*h=16,则a・b=],

T7

t—»(i,b—>3T

则6在a方向上的投影向量为=—a=-a.

|a|28

故选：C.

【点评】本题考查投影向量的计算，注意投影向量的计算公式，属于基础题.

4.(5分)已知口袋中有3个黑球和2个白球(除颜色外完全相同)，现进行不放回摸球，

每次摸一个，则第一次摸到白球情况下，第三次又摸到白球的概率为()

1123

A.—B.-C.-D.-

10455

【答案】B

【分析】根据题意，第一次摸到白球情况下，口袋中有3个黑球和1个白球，由此计算

“从中不放回的抽取2个球”和“第三次又摸到白球”的情况数目，进而计算可得答案.

【解答】解：根据题意，第一次摸到白球情况下，口袋中有3个黑球和1个白球，从中

不放回的抽取2个球，有幽=12种抽取方法，

若第三次又摸到白球，则第二次必须摸到黑球，有3X1=3种情况，

3I

则第一次摸到白球情况下，第三次又摸到白球的概率不；=7.

124

故选：B.

【点评】本题考查条件概率的计算，注意条件概率的定义，属于基础题.

5.(5分)已知函数/'(%)的导函数为/(x),且/(*)=一^尸(3)伍比一/(1)乂2一4x,则了

(x)的极值点为()

3-111—33

A.1或一B.-C.—5■或—D.一

222222

【答案】D

【分析】解得f⑴,f'(3),进而可得/(x)的解析式，求导分析单调性，极值，即

可得出答案.

【解答】解：因为/(%)=—#(3)Inx-f(1)x2-4.r,x>0,

所以/(I)=-/(I)-4,

所以7（1）=-2,

所以/（无）=一夕（3）lnx+2j?-4x,

■31

因为/（x）=-jf'（3）；+4x-4,

所以/⑶=一］（3）1+8,

解得，（3）=7,

3

所以/（%）=—yx7bvc+2?-4x=-31nx+22-4x,

所以r（x）=一3+4x-4=4*2—4尤一3=（2x+l）（2f

JXXX

1Q

令f（尤）=0得x=—2（舍去）或x=2，

3

所以在（0,-）上/（无）＜0,f（x）单调递减，

3

在（鼻，+8）上/（无）＞0,f（%）单调递增，

所以了（%）的极值点为x=|.

故选：D.

【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.

6.（5分）某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为20〃加,卫生纸厚度约为0.1如"，

若未使用时直径为80〃讷，则这个卷筒卫生纸总长度大约为（）（参考数据Tt^3.14）

A.47mB.51mC.94mD.102m

【答案】A

【分析】求出卷筒卫生纸的底面积，除以厚度即可得出卫生纸总长度.

【解答】解：由题意知，卷筒卫生纸的底面积为TT（改一J）心3.14X（402-102）=3.14

X1500=4710（.mm2）,

则这个卷筒卫生纸总长度大约为4710+0.1=47100（mm）=47.1（m）%47tm）.

故选：A.

【点评】本题考查了圆柱的底面积计算问题，是基础题.

7.（5分）已知P为棱长为伤的正四面体48CD各面所围成的区域内部（不在表面上）一

动点，记P到面A8C,面ACD,面BCD,面A3。的距离分别为例，/⑵治,反,若用+九4

=1,则——+「的最小值为（）

259+4V2

A.2B.—C.------D.12+4V2

22

【答案】B

【分析】由等体积法求出/n+/z2+/l3+/?4=2,又/Z3+〃4=1,得用+〃2=1,然后借助于1的

代换及基本不等式求最值.

【解答】解：・・•正四面体A8C。的棱长为历，

底面等边三角形一边上的高为3=孥，

底面外接圆的半径为北，则正四面体的高/z=V^=I=2.

・••正四面体的体积V=xxV6xV6x孚x2=V3,

则§X5XV6XV6X，（h1+^2+^3+%4）=V3,得h1+/z2+/l3+/z4=2,

又/l3+/l4=l,/./zi+/z2=L

r,曰18/I81h8小、17cE-8K725

?-

可付+=（+）（01+也）=5+8+7TT1—r—之—F2/9,•-r—=-T5.

2九1h22九1h222hrh2272电h22

当且仅当h2=4hi,即4=1,A2=考时取等号.

故选：B.

【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查等体积法的应用，训练了利用

基本不等式其求最值，是中档题.

8.（5分）抛物线C：y2=2px（p>0）在其上一点处的切线方程为y-x-1=0,点A,B为

C上两动点，且|AB|=6,则AB的中点〃到y轴距离的取值范围为（）

92

A.[2,+8）B.后，+00）C.[3,+8）D.[|,+00）

【答案】A

【分析】联立y-x-1=0和抛物线的方程，运用判别式为0,可得p,求得抛物线的焦

点和准线方程，由弦长公式和三角形的性质，可得所求取值范围.

【解答】解：由可得/+（2-2p）x+l=0,

由题意可得△=Q2-2p）2-4=0,解得p=2（0舍去），

可得抛物线的方程为y=4x,焦点尸（1,0）,准线方程为冗=-1,

设A,5的横坐标分别为％1,X2,则|AF|+|5尸|=xi+x2+p=xi+%2+2,

由|Afl+|8F|N|A8|,即有XI+%2+226,即XI+X224,

可得六二22,则A8的中点〃到y轴距离的取值范围为［2,+-）.

故选：A.

【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方

程思想和运算能力，属于中档题.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.（5分）新高考模式下，化学、生物等学科实施赋分制，即通过某种数学模型将

原始分换算为标准分.某校在一次高三模拟考试中实施赋分制的方式，其中应用的换算

模型为：y=kx+t（k,tER）,其中尤为原始分，y为换算后的标准分.已知在本校2000

名高三学生中某学科原始分最高得分为150分,最低得分为50分，经换算后最高分为150

分，最低分为80分.则以下说法正确的是（）

A.若学生甲本学科考试换算后的标准分为115分，则其原始得分为100分

B.若在原始分中学生乙的得分为中位数，则换算后学生乙的分数仍为中位数

C.该校本学科高三全体学生得分的原始分与标准分的标准差相同

D.该校本学科高三全体学生得分的原始分的平均分低于标准分的平均分

【答案】ABD

【分析】由题意可知，504+/=80,1504+/=150,进而求出k,t的值，再结合平均数、

中位数和方差的性质求解即可.

【解答】解：由题意可知，50k+/=80,150k+f=150,

解得上=0.7,r=45,

所以y=0.7尤+45,

对于A,将＞=115代入y=0.7x+45,解得x=100,即原始得分为100分，故A正确；

对于8,由于每位同学都经过换算模型换算成标准分，

则若在原始分中学生乙的得分为中位数，则换算后学生乙的分数仍为中位数，故8正确；

对于C,设原始分的方差为s2,则换算后的方差为0.72义$2=0.4952,所以原始分与标准

分的方差不相同，标准差也不相同，故C错误；

对于设原始分的平均分为礼则换算后的平均分为0.7元+45,

若原始分的平均分高于标准分的平均分，即元＞0.7元+45,

解得元＞150,

由于原始分最高分为150分，显然原始分的平均分不会高于150分，

则原始分的平均分低于标准分的平均分，故。正确.

故选：ABD.

【点评】本题主要考查了平均数、中位数和方差的性质，属于中档题.

（多选）10.（5分）函数/'（久）=2s讥（3X+0）（3>0,|如V*）的部分图像如图所示，则（）

B.不等式/（无）>1的解集为。兀+看,/OT+分（依Z）

7n

C.一为/（x）的一个零点

12

D.若A,B,C为△ABC内角，且/（A）=于（B）,则A=B或C=]

【答案】BC

【分析】由图求出函数/（无）的解析式，再逐一判断各选项即可.

TTCTTCTCTC3

【解答】解：由图得TW即茄〈三，,所以5<3<3,

又2sin<p=-l,2s讥弓3+6)=2,因为101Vs解得0=—看3=2,故A错误;

由A知，f(X)=2sin(2x—石)，若f(x)>1,那么2比一小e(2+2/CTT,+2^TT),keZ,

所以/(x)>1的解集为啥+/OT,J+fc7T),(keZ),故8正确;

当％=碧时，/（X）=0,故C正确；

因为/（A）=y（B）,所以2sm（24-.）=2s讥（2B-看），所以A=）或24-,=普-2B,

所以A=B或4+B=*,即A=B或C=*,故。错误.

故选：BC.

【点评】本题考查三角函数的图像和性质，属于中档题.

(多选)11.(5分)对于数列｛.”｝(即6N+),定义bk为ai,。2,以中最大值(k=l,2,

?〃)(〃€N+),把数列｛加｝称为数列｛斯｝的"M值数列如数列2,2,3,7,6的aM

值数列”为2,2,3,7,7,则()

A.若数列｛“”｝是递减数列，则｛局｝为常数列

B.若数列｛板｝是递增数列，则有珈=加

C.满足｛加｝为2,3,3,5,5的所有数列｛圆｝的个数为8

D.若斯=(一2尸何6%+),记曲为®｝的前w项和，则Si。。=煞】。°一1)

【答案】ABD

【分析】&.由数列｛板｝是递减数列，可得似是数列小，。2,…，或中最大值(4=1,2,

；〃)(底N+),即可得出bn,进而判断出正误；

B.由数列｛.”｝是递增数列,可得以是数列auai,…，at中最大值(4=1,2,?n)(n6N+),

即可得出为，进而判断出正误；

C.^^足｛仇｝为2,3,3,5,5,ai=2,a2=3,于是。3可以取1,2,3；。4=5,ci5可以

取1,2,3,4,5,即可得出所有数列｛斯｝的个数，进而判断出正误；

D.由厮=(-2)nT(neN+),可得数列｛.｝中奇数项构成递增的正项等比数列，偶数项

都是负数，于是9一1=防=(-2)2右2=22卜2,可得Sioo,进而判断出正误.

【解答】解：A.若数列｛斯｝是递减数列,则m是数列ai,02,…，袱中最大值a=l,

2,?n)(nGN+),'.bn=ai,即｛加｝为常数列，因此A正确；

B.若数列｛.｝是递增数列,则嬴是数列al,al,•••,以中最大值(无=1,2,?n)(nGN+),

--bn—Clnj因此B正确；

C.满足｛阮｝为2,3,3,5,5,ai=2,(n=3,则°3可以取1,2,3；°4=5,⑥可以取

b2,3,4,5,则所有数列｛斯｝的个数为3X5=15个，因此C不正确；

D.若斯=(-2)nT(neN+),则数列｛◎｝中奇数项构成递增的正项等比数列，偶数项都

是负数，则历*」=历尢=(-2)2X2=22X2,则Sioo=2(1+22+24+-+298)=|(2100-

1),因此。正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查了数列的单调性、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，

考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

(多选)12.(5分)定义在R上的函数/(x)=loga(Vl+b2x2+Z?x)(a>0且b

WO),若存在实数rn使得不等式/(-m+Vm2+12)4/(-根)20恒成立，则下列叙

述正确的是()

A.若b>0,则实数机的取值范围为[-2,2]

B.若OV〃V1,b<3则实数机的取值范围为(-8,2]

C.若/?<0,则实数机的取值范围为(-8,-2]U[2,+8)

D.若OV〃V1,b>3则实数机的取值范围为[2,+8)

【答案】BD

【分析】先判断函数/(%)=+炉工2+力%)为奇函数,再分。>i和ov〃vi讨论

y=logat的单调性，分b>0和Z?<0讨论函数t=Vl+b2x2+b%的单调性，根据复合函

数的单调性判断得出/(x)的单调性，利用单调性将/(-租+Vm2+12)+/(-m)>。等

价转化成含参数机的不等式，求解即可.

【解答】解：对于函数f(%)=loga«l++bx),

2222

因为f(%)+/(—%)=loga(y/l+bx+bx)+loga(y/l+bx—bx)

2222

=loga[(yjl+bx+bx)(Vl+bx-bx)]=0,所以函数/(x)是奇函数.

不妨设t=Vl+b2x2+bx,则y=log/,

对于A项，当。>1时，y=log/在定义域内为增函数，

因为/?>0,所以力="+炉工2+力第在R上也是增函数,

22

故f(%)=^<ga(Vl+bx+b%)在R上也是增函数.

由/(-zn+0n2+12)+/(—m)>0«/(—m+Vm2+12)>—/(—m)=/(m),

则一TH+Vm2+12>m,即Vm2+12>27n(*),

当机WO时，此时恒成立；

当相>0时，由(*),可得相2+1224机2,解得-2WmW2,

综上可知，me(-oo,2],故A项错误；

对于5项，当OV〃V1时，y=log/在定义域内为减函数，

因为/?<0,则力=Vl+b2x2+bx在R上也是减函数，

22

故f(%)=loga(y/l+bx+b%)在R上是增函数，

由A项，可得/(-rn+Vm2+12)+f(-m)>0恒成立，则加€(-8,2],故B项正确；

对于。项，当〃>1时，y=log/在定义域内为增函数，

因为/?<0,则力=+炉工2+bx在R上是减函数,

22

故f(%)=loga(>Jl+bx+b%)在R上是减函数，

由/(—ni+Vm2+12)+/(—m)20=f(—m+7m2+12)>—/(—m)=f(m),

则—m+Vm2+12<m,即M*+12<2m(*),

当mW。时，无解；当机>0时，由(*),可得机2+i2W4相2,解得mW-2或机22,

综上可知，机日2,+8),故C项错误；

对于。项，当0<。<1时，y=logaf在定义域内为减函数，

2222

因为b>0,贝It=Vl+bx+在R上也是增函数，故/(x)=loga(yjl+bx+bx)在

R上是减函数，

由C项，可得/(—m+7m2+12)+/(—m)20恒成立，可得7〃曰2,+°°),故。项正确.

故选：BD.

【点评】本题考查了不等式恒成立问题，复合函数的单调性，根据函数的单调性解不等

式，利用不等式恒成立求参数的范围，考查了转化思想和分类讨论思想，属难题.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.(5分)计算&—尧3Q.为虚数单位)的值为7

【答案】-L

【分析】由己知结合复数的三角表示即可求解.

【解答】解;因为尧3=[cos(-60°)+zsin(-60°)]3=cos(-180°)+zsin

(-180°)=-1.

故答案为：-1.

【点评】本题主要考查了复数的三角表示，属于基础题.

14.(5分)在(2x-5)6的展开式中，常数项为60.(请用数字作答)

【答案】60.

【分析】求出展开式的通项公式，然后令x的指数为0,进而可以求解.

【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T『+1=砥2%尸(—身=。].26-『.

_3r

(-l)rx62,r=0,1,2,…，6,

令6-2=0,解得r=4,

所以展开式的常数项为Ct-22-(-1)4=60,

故答案为：60.

【点评】考察了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题.

15.(5分)已知函数/(x)及其导函数/(无)的定义域均为R,记g(无)=f(x).且

■JT

/(1-3%)+于(3x-1)=0,g(1+x)+g(1-x)=0,当xE.(0,1],f(x)=sin-^x,

贝叵丝君|/(f)|=1Q12.(用数字作答)

【答案】1012.

【分析】由/(I-3次)V(3x-1)=0,推得/(-%)=-/(x),由导数的运算性质可

得/(1+x)=~f推得/(1+%)=/(1-x),可得函数/(X)为周期函数,

周期为4.再由xC(0,1],/(%)=sin^x,计算可得所求和.

【解答】解：由/(I-3%)1)=0，

可得/(I-3%)=/[-(3x-1)]=-f(3x-1),

BP/(-x)=-f(x)①，

又由g(1+x)+g(1-x)=0,

可得g(1+x)=~g(1-%),

即，(1+x)=~f(1-x),

从而/(1+x)=[f(1-x)]z,

故/(1+%)=/(1-x)+C(C是常数)，

因当x=0时/(I)=/(1)+C,则。=0,

即得f(1+x)=f(1-x)②，

由②可得f(2+x)=f(-x),

又由①得f(2+x)=-f(x),

即/(x+4)=-f(2+x)=f(x),

故函数/(x)为周期函数，周期为4.

由xW(0,1],/(%)=sinp可知/(I)=1,

因/(%)是R上的奇函数，f(0)=0,

则由7(2+x)=/(-%),

可得/(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-/(1)=-1,f(4)=f(0)=0,

则V(l)|+，(2)|+，(3)|+|/(4)|=2,

工日V2024II2024

于是Zi=i1/(01=2Qx^-=1012.

故答案为：1012.

【点评】本题考查函数的对称性，涉及函数的周期性，考查运算能力和推理能力，属于

中档题.

16.（5分）三棱锥P-ABC中，PB=2,ZPAB=ZABC=30°,PBLAB,AC_LA8,点M,

N分别在线段AP,8c上运动.若二面角尸-AB-C的大小为60°,则川的最小值为

2V39

=^='

【答案】等

【分析】观察三棱锥尸-4BC,将其补形成直三棱柱8DP-ACQ,再推得△AC。是正三

角形，从而建立空间直角坐标系，利用向量法求解.

【解答】解：依题意，将三棱锥尸-ABC,将其补形成直三棱柱2。尸-AC。

由题意得AC±AB,满足题意，

'：AB±AQ,AB±AC,

是二面角P-AB-C的平面角，：.ZQAC=60°,

在RtZXABC中，PB=2,ZP4B=30°,/.AB=2V3,

在RtZXABC中，ZABC=30°,；.AC=2,

\'AQ=BP=2,.♦.△AC。是正三角形，

要求也见的最小值，即求异面直线AP,8C的距离,

以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

则A(0,0,0),B(0,0,2V3),P(0,2,2遮)，C(V3,1,0),

—>—>

：.AP=(0,2,2V3),BC=(V3,1,-2g)，AC=(V3,1,0),

设几=(x,y,z)同时垂直于AP,BC,

.(AP-n=2y+2V3z=0日汨~(叵八

・・J--，取z=l,得几=(3,-V3,1),

BC•n=V3x+y—2A/3Z=0

的最小值为坐四|3V3-V3|2V39

\n\V9+3+1—13

2V39

故答案为:

13

【点评】本题考查二面角、向量垂直、向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能

力，是中档题.

四、解答题，本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(10分)/XABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足庐-/=丝.

(I)求证：B—2A-,

(II)若△ABC为锐角三角形，求s二(CY)：SLnB的取值范围.

sinA

【答案】(I)证明过程见解析；

(II)(-V2,0).

【分析】(I)根据正弦定理得到siMB-sin24=sinAsinC,再结合二倍角公式以及三角形

内角和即可证明结论；

(II)根据已知条件求得A的范围，进而求解结论.

【解答】(I)证明：△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足庐-J=ac,

根据正弦定理可得sin*2B*-sin2A=sinAsinC,

即cos2A-cos2B=2sinAsinC,

所以-2sin(A+B)sin(A-B)=2sinAsinC,也即sin(B-A)=sinA,

从而证得B=2A；

(II)解：若△ABC为锐角二角形，根据(I)8=24,

(B=2A24V5,口兀兀

则2今<A<

(7T-3A<兀J，特二647,

2

sin(C-A)-sinBsin(ji-A-B-A)-sinBsin4A-sin2A

sinAsinAsinA

sin(SA+A)-sin(SA-A)

=2cos34,

sinA

,Ti37rV2

由一<3AV—=>cos3AE(—―,0),

24v27

一,,sinCC-A^-sinBr-

因此一-——------=2cos3ZG(-V2,0).

sinA

sin(C-A)-sinB

即，的取值范围为(—企，0).

sinA

【点评】本题主要考查正弦定理以及二倍角公式，三角形内角的应用，考查计算能力,

属于中档题.

18.（12分）已知函数了（无）—alnx-j?+a（aeR）.

（I）求函数/（无）的单调区间；

（II）若无）有两个零点，求实数”的取值范围.

【答案】（I）当aWO时，尤）的单调减区间为（0,+8）,无增区间；

。>0时，于3的单调减区间为（等，+00）,增区间为（0,孚）；

（II）/（x）有两个零点实数a的范围为q,+8）.

【分析】（I）分析定义域并求解导函数，分类讨论aWO与。>0时/（x）的正负，从

而可得函数的单调性；

1

（II）结合（I）的答案判断得a>0时，存在两个零点，需/（X）max>0,再结合/（-）<

e

0,/（苧）=山"苧—（苧）2+。>0,可得函数在，，亨）上有零点，再求解了（4a）

=aMa-16a2+a=a（历4〃-16〃+1）,并构造新函数g（力=lnt-4r+l,通过求导判断单

调性求解得g（a）max=g（-）<0,从而可得函数在（挚，4a）上有零点，从而可得a

的取值范围.

【解答】解：（I）*.*/（x）=alnx-（〃€R）.

：.f'（%）=^-2%（%>0）,

当aWO时，/（无）<0在定义域（0,+8）内恒成立，因此了（%）在（0,+8）递减；

当。>0时，由/（%）>0,解得0<rV孚；f（x）<0,解得学，

综上所述：当aWO时，/（%）的单调减区间为（0,+8）,无增区间；

。>0时，/（%）的单调减区间为（苧，+8）,增区间为（0,苧）；

（II）若f（x）有两个零点，有（I）可知a>0且</（孚），

则必有/（苧）=a）苧—（苧>+a>0,

即"号+1>0,解得a>：,

又因=~~2〈°，f（4。）—aln4a-I6cr+a—a（ln4a-16a+l）,

rR11—4t

BPg(t)=Int—4t+=4a>万)0g'(t)=——4=--—,

可得g(t)<g(3=Zn1-1+1<0,

也即得g(t)<0在teq，+8)恒成立，

从而可得/(x)在弓，学)，(学，4a)区间上各有一个零点，

即实数a的范围为弓，+8)时/(x)有两个零点分别在区间弓，学)和(学，4a)上.

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中

档题.

19.(12分)在等差数列｛斯｝中，13+的+R1=84,17=33.

(I)求数列｛。”｝的通项公式；

(II)若记bk(依N+)为｛而｝中落在区间(5&科)内项的个数，求｛4｝的前七项和Tk.

【答案】(I)an=5n-2；

1

(II)Tk=壶(52k+1-6x5上+l)(keN+).

【分析】(I)根据题意，建立关于首项ai与公差d的方程组，解出ai与d,进而可得

数列｛砺｝的通项公式；

(II)由(I)的结论推导出员=52k-i-5kT,从而利用等比数列的求和公式算出｛法｝

的前上项和以的表达式.

【解答】解：(I)记等差数列｛所｝的公差为d,

由。3+。4+也=84且幻=33,可得广】：2+：\+3"+ai+10d=84,解得彳1=3,

所以而=3+(n-1)义5=5〃-2；

(II)对任意"6N+,由5k<an<52与得5y〃-2<5?4整理得5人1+1+|,

故5卜1+1W/W52K1,由此可得瓦=521-51,

根据｛52卜1｝是以5为首项，公比等于25的等比数列，且｛5右1｝是以1为首项，公比等于

5的等比数列，

kk

可得｛4｝的前左项和为