2023-2024学年浙江省金华市金东实验中学教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省金华市金东实验中学教育集团八年级（下）期中数学试卷一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分。1.下列交通标志中，是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.若二次根式x−2有意义，则x的取值范围是(

)A.x<2 B.x≠2 C.x≤2 D.x≥23.在▱ABCD中，若∠A+∠C=110°，则∠C的度数是(

)A.35° B.50° C.55° D.60°4.如果一个多边形的每一个外角都等于60°，那么这个多边形是(

)A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形5.若关于x的一元二次方程ax2−2x+1=0有实数根，则a应满足A.a≤1 B.a≥1 C.a≥−1且a≠0 D.a≤1且a≠06.用反证法证明命题“若在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应假设(

)A.∠A=∠B B.AB=AC C.∠A=∠C D.∠B=∠C7.甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均数及方差如表所示，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员(

)甲乙丙丁x−(8998S2(11.211.2A.甲 B.乙 C.丙 D.丁8.为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是(

)A.289(1−x)2=256 B.256(1−x)2=2899.如图，在平行四边形ABCD中，点F是线段CD上一动点，过点A作平行四边形BFGE，当点F从点C向点D运动过程中，四边形BFGE的面积的变化情况是(

)

A.保持不变 B.一直减小 C.一直增大 D.先增大后减小10.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=12BC，连接OE，下列结论：①∠CAD=30°；②OD=AB；③S▱ABCD=AC⋅CDA.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.已知一组数据1，2，4，6，8，8，中位数是______．12.如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN=16m，则A，B两点间的距离是______m.

13.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0满足a−b+c=014.在平行四边形ABCD中，∠B的平分线将CD分成4cm和2cm两部分，则平行四边形ABCD的周长为____________________．15.对于两个互不相等的有理数a，b我们规定符号max{a,b}表示a，b两个数中最大的数.按照这个规定则方程max{x,0}=x2−216.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=30°，AB=23，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D.当BC长为______时，△AB′D是直角三角形．三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

计算：

(1)(6)2−18.(本小题6分)

解方程：

(1)x2=3x；

19.(本小题6分)

某班进行“闪亮之星”的推选工作，经过自荐和第一轮筛选后，甲、乙两位同学进入终选.如表为甲、乙两位同学的得分情况.其中人气分的计算方法是：根据班级主科老师和同学的投票结果，老师一票记10分，同学一票记2分，两个分数相加即为人气分．学生人气分学习分行规分工作分老师票数同学票数分数甲420α859585乙b2570909290(1)a=______，b=______；

(2)经全班同学讨论决定，将人气、学习、行规、工作四个方面在总分中所占的比例分别为20%，25%，30%，25%.经计算，甲同学的最终得分为87分，请你求出乙同学的最终得分，并判断哪位同学当选．20.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系中，A(4,0)，B(0,3)．

(1)请在图中作出点A关于点B的对称点A，并求出A′的坐标．

(2)若点C与原点重合，以A、B、C、D四点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为______．

(3)若C点在直线y=−x上运动，以A、B、C、D四点为顶点的四边形为平行四边形，则线段CD的最小值为______．21.(本小题8分)

某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，一月份销售256件.二、三月该商品十分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件.设二、三这两个月的月平均增长率不变．

(1)求二、三这两个月的月平均增长率；

(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？22.(本小题10分)

如图，在▱ABCD中，∠ABC和∠DAB的角平分线BE与AE交于点E，且点E恰好在边CD上．

(1)求证：AE⊥BE．

(2)若AD=3，BE=4，求AE的长；

(3)点F为AE的中点，连接CF，交BE于点G，求证：FG=CG．23.(本小题10分)

一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=(1+2)2．

设a+b2=(m+n2)2(其中a、b、m、n均为正整数)，则有a+b2=m2+2n2+2mn2，∴a=m2+2n2，b=2mn，这样可以把部分a+b2的式子化为平方式的方法．

请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：

(1)当m、n均为正整数，若4+23=(m+n3)224.(本小题12分)

如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=3，CD=5，AB=42，∠B=45°，动点M从点B出发沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；同时动点N从点D出发沿线段DC−CB向终点B运动．设运动的时间为t秒．

(1)直接写出BM=______(用含t的代数式表示)，BC=______．

(2)如果当四边形ABMD是平行四边形时，点M与点N恰好相遇，求点N的运动速度；

(3)在(2)的条件下，求出t为何值时，以点A、M、N、D为顶点的四边形是平行四边形．

答案和解析1.【答案】D

解：∵A.此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；

B：∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；

C.∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；

D.此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，故此选项正确；

故选D．

根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出．

此题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．2.【答案】D

解：由题意得，x−2≥0，

解得，x≥2，

故选：D．

根据二次根式的意义，被开方数是非负数，列出不等式，解不等式得到答案．

本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式被开方数为非负数是解题的关键．3.【答案】C

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，

∵∠A+∠C=110°，

∴∠C=55°，

故选：C．

根据平行四边形的对角相等可得答案．

本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．4.【答案】A

解：360°÷60°=6，

∴这个多边形是六边形．

故选：A．

根据多边形外角和为360度，列式计算即可．

本题主要考查了三角形外角和的知识，难度不大．5.【答案】D

解：∵原方程为一元二次方程，且有实数根，

∴a≠0，b2−4ac≥0时，方程有实数根；

∴(−2)2−4a≥0，

解得：a≤1，

∴a≤1且a≠0，

故选：D．

方程为一元二次方程，故a≠0，再结合根的判别式：当b2−4ac≥06.【答案】D

解：用反证法证明命题“若在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应假设∠B=∠C，

故选：D．

根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．

本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．7.【答案】C

解：由图可知，乙、丙的平均成绩好，

由于S乙2>S丙2，故乙的方差大，波动大．

故选：8.【答案】A

【解析】【分析】

设平均每次降价的百分率为x，则经过两次降价后的价格是289(1−x)2，根据关键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程289(1−x)2=256．

此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．

【解答】

解：由平均每次降价的百分率为x，

则第一次降价后售价为289(1−x)，

第二次降价后售价为289(1−x)9.【答案】A

解：如图，连接AF．

∵四边形BEGF是平行四边形，

∴S平行四边形BEGF=2S△ABF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴S平行四边形ABCD=2S△ABF，

∴S平行四边形BFGE10.【答案】C

【解析】【分析】

结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由AB=12BC可判定①，证明∠BAC=90°，可判定②；由平行四边形的面积公式可判定③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判定④．

本题主要考查平行四边形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，灵活运用三角形的面积解决问题是解题的关键．

【解答】

解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，

∴AD//BC，∠ABC=∠ADC=60°，OB=OD，

∴∠DAE=∠AEB，∠BAD=∠BCD=120°，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE=60°，

且∠ABE=60°=∠AEB，

∴△ABE为等边三角形，

∴AB=BE=AE，

∵AB=12BC，

∴EC=AE，

∴∠EAC=∠ECA=30°，

∴∠CAD=30°，故①正确；

∵∠BAD=120°，∠CAD=30°，

∴∠BAC=90°，

∴BO>AB，

∴OD>AB，故②错误；

∴S▱ABCD=AB⋅AC=AC⋅CD，故③正确；

∵∠BAC=90°，BC=2AB，

∴E是BC的中点，

∴S△BEO：S△BCD=1：4，

∴S四边形OECD：S△BCD=3：4，

∴S四边形OECD：S▱ABCD=311.【答案】5

解：数据1，2，4，6，8，8，中位数是4+62=5．

故答案为：5．

找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数．12.【答案】32

解：∵点M，N分别为OA，OB的中点，

∴MN是△OAB的中位线，

∴AB=2MN=32(m)，

故答案为：32．

根据三角形中位线定理解答即可．

本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．13.【答案】x=−1

解：∵ax2+bx+c=0，若a−b+c=0，

∴当x=−1时，a−b+c=0，

∴此方程必有一个根为−1，

故答案为：x=−1．

根据ax2+bx+c=0，若a−b+c=0，可判断当14.【答案】16cm或20cm

【解析】【分析】

此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行．注意当有平行线和角平分线出现时，会有等腰三角形出现．解题时还要注意分类讨论思想的应用．

如图：由▱ABCD，根据平行四边形的对边相等且平行，可得AD=BC，AB=CD，AD//BC，即可得∠AEB=∠CBE，又因为BE是∠ABC的平分线，则∠ABE=∠CBE，∠ABE=∠AEB，故AB=AE，∠ABC的平分线分对边AD为2cm和4cm两部分，所以AE可能等于2cm或等于4cm，然后即可得出答案．

【解答】

解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AB=CD，AD//BC，

∴∠AEB=∠CBE，

∵BE是∠ABC的平分线，

∴∠ABE=∠CBE，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AB=AE，

∵∠ABC的平分线分对边AD为2cm和4cm两部分，

如果AE=2cm，AB=DC=2cm，AD=BC=2+4=6cm，四边形周长为16cm；

如果AE=4cm，则AB=DC=4cm，AD=BC=6cm，∴▱ABCD的周长为20cm；

∴▱ABCD的周长为16cm或20cm．

故答案为16cm或20cm．15.【答案】x=2或−解：当x≥0时，x2−2=x，

x2−x−2=0，

a=1，b=−1，c=−2，

Δ=b2−4ac=(−1)2−4×1×(−2)=1+8=9，

x=−(−1)±92=1±32，

∴x1=2，x2=−1(不合题意，舍去)；

当x<0时，x2−2=0，

a=1，b=0，c=−2，

Δ=b2−4ac=02−4×1×(−2)=8

x=0±16.【答案】6或4或3

解：①如图1，延长B′A，交BC于点G，当∠B′AD=90°时，

∵AD=BC，BC=B′C，

∴AD=B′C，

∵AD/​/BC，∠B′AD=90°，

∴∠B′GC=90°，

∵∠B=30°，AB=23，

∴∠AB′C=30°，

∴GC=12B′C=12BC，

∴G为BC中点，

∴BG=32AB=3，

∴BC=6，

②如图2，设B′C与AD相交于点F，当∠AB′D=90°时，

∵AD=BC，BC=B′C，

∴AD=B′C，

∵AB′=AB=CD，AC=CA，

∴△ACB′≌△CAD(SSS)，

∴∠DAC=∠B′CA，

∴FA=FC，

∵AD=B′C，

∴FB′=FD，

∴∠FB′D=∠FDB′，

∵∠AB′C=∠B=∠CDA，

∴∠AB′D=∠CDB′，

∵∠AB′D=90°，

∴∠CDB′=90°，

∴AB′//CD，

∵AB/​/CD，

∴B，A，B′在同一直线上，

∴∠BAC=∠B′AC=90°，

在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=23，

∴BC=233AB=4；

③如图3，当∠ADB′=90°时，记CD与AB′交于点O，

由折叠可知，∠B=∠ADC=∠AB′C=30°，

BC=B′C=AD，

∴∠ODB′=60°，

∵∠AOD=∠B′OC，

∴△AOD≌△COB′(AAS)

∴OD=OB′，

∴△ODB′是等边三角形，

∴∠DB′C=90°，

同理可得∠ACB′=90°，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=23，

BC=17.【答案】解：(1)(6)2−2×8

=6−16

=6−4

【解析】(1)先算乘方，再算乘法；

(2)先算乘法，再化简二次根式，最后合并同类二次根式．

本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、运算法则、运算顺序是解决本题的关键．18.【答案】解：(1)x2=3x，

则x2−3x=0，

∴x(x−3)=0，

∴x=0或x−3=0，

∴x1=0，x2=3；

(2)x2+4x=−3，

则x2+4x+3=0【解析】(1)先移项，再根据提公因式法把方程的左边化为积的形式，进而解出方程；

(2)先移项，再利用十字相乘法把方程的左边化为积的形式，进而解出方程．

本题考查的是因式分解法解一元二次方程，熟记因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．19.【答案】80

2

解：(1)由题意，得a=4×10+20×2=80，

b=70−25×210=2，；

故答案为：80，2；

(2)乙同学的最终得分是：70×20%+90×25%+92×30%+90×25%=86.6(分)，

∵87>86.6，

则甲同学当选．

(1)由老师一票记10分，同学一票记2分，两个分数相加即为人气分，可得a和b的值；

(2)20.【答案】(−4,3)或(4,−3)或(4,3)

7解：(1)作出点A关于点B的对称点A′，如图：

由对称的性质可知，B(0,3)是AA′的中点，

∵A(4,0)，

∴A′(−4,6)；

(2)设D(m,n)，

又A(4,0)，B(0,3)，C(0,0)，

①若DA，BC为对角线，则m+4=0+0n+0=3+0，

解得m=−4n=3，

∴D(−4,3)；

②若DB，AC为对角线，则m+0=4+0n+3=0+0，

解得m=4n=−3，

∴D(4,−3)；

③若DC，AB为对角线，则m+0=4+0n+0=0+3，

解得m=4n=3，

∴D(4,3)；

综上所述，D的坐标为(−4,3)或(4,−3)或(4,3)；

故答案为：(−4,3)或(4,−3)或(4,3)；

(3)设C(t,−t)，D(p,q)，则CD=(t−p)2+(q+t)2，

又A(4,0)，B(0,3)，

①若CA，BD为对角线，则t+4=p−t=q+3，

∴t−p=−4，t+q=−3，

∴CD=(−4)2+(−3)2=5；

②若CB，AD为对角线，则t=p+4−t+3=q，

∴t−p=4，t+q=3，

∴CD=42+32=5；

③若DC，AB为对角线，则t+p=4−t+q=3，

∴p=−t+4，q=t+3，

∴CD=(t−p)2+(q+t)2=(t+t−4)2+(t+3+t)2=8(t−14)2+492，

∴当t=14时，CD取最小值492=722；

∵5>722，

∴以A、B、C、D四点为顶点的四边形为平行四边形，线段CD的最小值为722；

故答案为：722．

(1)作出点A关于点B的对称点A′，由对称的性质B(0,3)是AA′的中点，即得A′(−4,6)；

(2)设D(m,n)，分三种情况：①若DA，BC为对角线，则m+4=0+0n+0=3+0，21.【答案】解：(1)设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：

256(1+x)2=400，

解得：x1=14，x2=−94(不合题意舍去)．

答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；

(2)设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：

(40−25−m)(400+5m)=4250，

解得：m【解析】(1)由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：256(1+x)件；三月份的销售量为：256(1+x)(1+x)件，又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；

(2)利用销量×每件商品的利润=4250求出即可．

此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AB/​/CD，

∴∠DEA=∠BAE，

∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE=∠BAE，

∴∠DAE=∠DEA，

∴ED=AD，

同理：BC=EC，

∴ED=EC，

∴E为CD的中点；

(2)解：由(1)可知，ED=EC=AD=3，

∴CD=2ED=6，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD=6，AD//BC，

∴∠DAB+∠ABC=180°，

∵BE平分∠ABC，AE平分∠DAB，

∴∠CBE=∠ABE=12∠ABC，∠DAE=∠BAE=12∠DAB，

∴∠BAE+∠ABE=12∠DAB+12∠ABC=12(∠DAB+∠ABC)=12×180°=90°，

∴∠AEB=180°−(∠BAE+∠ABE)=180°−90°=90°，

∴AE=AB2−BE2=62−42=25，

即AE的长为25；

(3)证明：如图，取BE的中点H，连接FH，

则BH=EH，

∵点F为AE的中点，

∴FH是△ABE的中位线，

∴FH//AB，且AB=2FH，

∵【解析】(1)由平行四边形的性质得AD=BC，AB/​/CD，再∠DEA=∠BAE，再证∠DAE=∠DEA，得ED=AD，同理BC=EC，则ED=EC，即可得出结论；

(2)证∠AEB=90°，再由勾股定理即可得出结论；

(3)取BE的中点H，连接FH，由三角形中位线定理得FH/​/AB，且AB=2FH，再证△CEG≌△FHG(AAS)，得FG=CG．

本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形中位线定理等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．23.【答案】1

1

m2