2024届吉林省重点高中高二年级上册数学期末监测模拟试题含解析

2024届吉林省重点高中高二上数学期末监测模拟试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若直线/的斜率为贝！1/的倾斜角为（）

TC

B.—

4

71-2%

C.一D.——

33

2.命题“对任何实数x,都有尤2—2%+120”的否定形式是（）

A.VxGR,使得％2一2%+1<0

2

B.3%0GR,使得xQ—2x0+1<0

C.3%QeR,使得x0~-2x0+120

2

D.3x0GR,使得XQ—2XQ+1<0

22

3.已知双曲线。：二—当=1（。＞0,6〉0）右顶点为A,以A为圆心，b为半径作圆A,圆A与双曲线。的一条渐

a2b2

近线交于M,N两点，若ZMAN=60°,则C的离心率为（）

R2若

A.2D.-------------

3

y2

4.已知直线/：y=x+l,椭圆C:二+y2=l.若直线/与椭圆C交于A,B两点,则线段A5的中点的坐标为（）

3'

J_33

4J44J4

1_33

2,22，-2

5.双曲线C：［―斗=1（a〉0,b>0）的左、右焦点分别为片（—c,0）、8（c,0）,点尸在双曲线上，|PO|=Z?,

ZF.PF,=—,则。的离心率为（

A.75-1

-----D.V3

2

6.已知椭圆C的焦点为£（—L0），6（1,0）,过八的直线与C交于A,5两点.若|A居|=2|居剧，|AB|=|3百|,

则C的方程为

7.已知数列｛4｝是以1为首项，2为公差的等差数列，｛2｝是以1为首项，2为公比的等比数列，设的=%，

Tn=ci+c2++c„（neN*）,则当北<2022时，”的最大值是（）

8.在等差数列｛4｝中，S”为数列｛4｝的前〃项和，q+4=9,S5=-10,则数列｛%｝的公差为（）

9.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2a=5+c,sin2A-sinBsinC»则AABC的形状为()

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

10.定义在R上的函数/（%）=-三+祖与函数g（x）=/（x）-日在［1,2］上具有相同的单调性，则"的取值范围是。

——12]B.[-3,+OO)

C.(-3,+co)

11.已知向量a=（2,l,4）,ft=（1,0,2）,且（Z+小仔-B）,则左的值是（

151

B.-

5

D.1

12.甲、乙、丙、丁共4名同学进行党史知识比赛，决出第1名到第4名的名次(名次无重复)，其中前2名将获得参

加市级比赛的资格，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比赛的资格对乙说：“你

当然不会是最差的从这两个回答分析，4人的排名有()种不同情况.

A.6B.8

C.10D.12

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图，一位古人在从右到

左依次排列的红绳子上打结，满三进一，用来记录每年进的钱数.由图可得，这位古人一年的收入的钱数为.

14.过点/(—2,1)作斜率为1的直线与椭圆三+菅=1(。〉6〉0)相交于A、3两个不同点，若河是A3的中点,

则该椭圆的离心率e=.

15.点P(8,1)平分椭圆好+4产=4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是.

16.已知点P(a,2),Q(-3])，其中a,beR,若线段PQ的中点坐标为(2,0),则直线PQ的方程为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知抛物线E：J2=8X

(1)求抛物线的焦点及准线方程；

(2)过点尸(-1,1)的直线6与抛物线E只有一个公共点，求直线/1的方程；

(3)过点"(2,3)的直线b与抛物线E交于点A,B.若弦A8的中点为求直线b的方程

18.(12分)已知直三棱柱ABC—A与£中，BA=BC=BB]=2,ABC^90，E、F分别是AC、的中

点，。为棱与G上的点.

cD

------------^7*Bi

/F

A

（1）证明：BFLDE；

（2）当4G=44。时，求直线3尸与平面。E歹所成角的正弦值.

V221

19.（12分）已知椭圆河：—+v方=1（。〉6〉0）的离心率为5,以坐标原点为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的

圆与直线x-y+46=Q有且只有一个公共点

（1）求椭圆”的标准方程；

（2）过椭圆拉的右焦点尸的直线4交椭圆拉于4,B两点,过尸且垂直于直线4的直线4交椭圆M于C,O两点，

则是否存在实数彳使|A5|+|CD|=；l|AB|・|CD|成立？若存在，求出X的值；若不存在，请说明理由

20.（12分）已知等差数列｛4｝的前几项和为S“，的=7,$3=5%.

（1）求｛4｝的通项公式；

21

（2）设数列1+不的前”项和为北，用符号国表示不超过x的最大数，当［1］+区］+…+［以=52时，求”的

值.

21.（12分）2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示

项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如图所示，A、3两个信号源相距10米，。是A3的中点，过。

点的直线/与直线A3的夹角为45，机器猫在直线/上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收

8

到B点的信号晚丁秒（注：信号每秒传播%米）.在时刻九时，测得机器鼠距离。点为4米.

%

(1)以。为原点，直线AB为％轴建立平面直角坐标系(如图)，求时刻J时机器鼠所在位置的坐标；

(2)游戏设定：机器鼠在距离直线/不超过1.5米的区域运动时，有''被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹

不变，是否有“被抓”风险？

22.(10分)已知ABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,若向量加=仅—2c,cosB),n=(-a,cosA),且

mlIn

(1)求角A的值；

(2)已知ABC的外接圆半径为辿，求ABC周长的最大值.

3

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解题分析】设直线/倾斜角为。，根据题意得到tan，=Q,即可求解.

【题目详解】设直线/的倾斜角为氏

因为直线的斜率是百，可得tan6=G，

7TTT

又因为0K9<〃，所以。=”，即直线的倾斜角为；.

33

故选：c.

2、B

【解题分析】可将原命题变成全称命题形式，而全称命题的否定为特称命题，即可选出答案.

【题目详解】命题“对任何实数x,都有无2一2%+120”，可写成：VXGR,使得k_2%+120,此命题为全称

命题，故其否定形式为：3x0eR,使得为2一2%+1<0.

故选：B.

3、B

【解题分析】NM4N=60°,得出A到渐近线的距离为电6，由此可得风仇。的关系，从而求得离心率e

2

J3

【题目详解】因为NM4N=60。，而==所以一是等边三角形，A到直线的距离为、2人

2

b

又A(Q,O),渐近线方程取y=—x,即施-纱=0,

a

=冬化简得可喘=¥

所以

故选：B

4、B

3

【解题分析】联立直线方程与椭圆方程，消y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理可得/+/=-］，进而得

出中点的横坐标，代入直线方程求出中点的纵坐标即可.

【题目详解】由题意知，

y=x+1

</，消去y,得2/+3%=0，

——+V=1

13'

3

则A=9-8=1>0,xA+xB=――,

13

所以A、5两点中点的横坐标为：—(xA+,

31

所以中点的纵坐标为：1-一二一,

44

31

即线段AB的中点的坐标为・

44

故选：B

5、C

【解题分析】根据双曲线定义、余弦定理，结合题意，求得c关系，即可求得离心率.

【题目详解】根据题意，作图如下：

2.2A2

在△PKK中，由余弦定理可得：cos120。=〃，，代值得：-m77=m2+n2-4c2,②；

2mn

4b2

联立①②两式可得：mn=—；

3

在aPOFl和aPOF2中，由cos4POF[+cosZPOF2=0,

可得：------------1-----------=0,整理得：m2+n2=2c2+2b2，③；

2bc2bc

4b2

联立②③可得：4c2-mn=2c2+2b\又mn二匕,

3

57

故可得：C2=-b2,则〃2=/-〃=—匕2,

33

则；=9,故离心率为典.

a222

故选：C.

6、B

【解题分析】由已知可设区同=〃，则|A周=2",|即|=|AB|=3九,得|叫|=2",在中求得

cosZFlAB=~,再在9片居中，由余弦定理得〃=无，从而可求解.

32

【题目详解】法一：如图，由已知可设|「目=〃,贝！||你|=2」，忸£|=|AB|=3m由椭圆的定义有

2a=\BF\+\BF^An,:.\AF\=2a-\AF^=2n.在4A43中，由余弦定理推论得

cosZEAB=4n2+9zi2-9n2=-.在工中，由余弦定理得4"+4〃2—2.2〃2〃2=4,解得〃=立

2・2n・3n332

22

2a=4H=2\/3,a=y/3,b2=a~—c~=3—1=2,;.所求椭圆方程为1--^―=1,故选B

32

法二：由已知可设同同=〃,则|A囚=2〃，忸凰=|AB|=3〃，由椭圆的定义有

2<a=|B2\|+|B7s|=4n,>'.|AFj|=2tz—|A/^|=2n.在△Af；乙和AB4月中，由余弦定理得

4n2+4-2-2n-2-cosZAE,E=4n2,,,八

<,,又NABK,ZB居耳互补，.•.cosNA^K+cos/B巴4=0,两式消去

2

n+4-2-n-2'cosZ.BF2FX=9n

cosNA6耳，cos/B巴耳，得31+6=111,解得

n=-；.2a=4〃=a=人？=/—。2=3—i=2,.,.所求椭圆方程为—F―1,故选B

232

【题目点拨】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、

逻辑推理等数学素养

7、B

【解题分析】先求出数列｛%,｝和｛2｝的通项公式，然后利用分组求和求出北，再对〃进行赋值即可求解.

【题目详解】解：因为数列｛4｝是以1为首项，2为公差的等差数列

所以4=l+(ra-l)x2=2w-l

因为他,｝是以1为首项，2为公比的等比数列

所以4=2"T

由c“=旬得：-=2"—1

T„=CI+C2++c”(〃eN*)

=(21+22+23++2")-n

—n

1-2

=r+x-n-2

当T"<2022时，即2同—〃—2<2022

2向<2024+〃

当〃=9时，21°<2033

当”=10时，2"=2048>2034

所以”的最大值是9.

故选：B.

【题目点拨】关键点睛：本题的关键是利用分组求和求出，，再通过赋值法即可求出使不等式成立的〃的最大值.

8、A

【解题分析】由已知条件列方程组求解即可

【题目详解】设等差数列｛4｝的公差为d,

因为%+%6=9,S5=-10,

所以t口z,++21d。+上俑-+1。5d=9CL——4

解得1

d=l

故选：A

9、B

【解题分析】直接利用正弦定理以及已知条件，求出。、b,。的关系，即可判断三角形的形状

【题目详解】解：在AABC中，已知2a=b+c,sin2A=sinBsinC（a,b,c分别为角A,B,。的对边）,

由正弦定理可知：a2=be>

2a-Z?+c

所以12,，解得。=>=c,所以AABC为等边三角形

a=be

故选：B

【题目点拨】本题考查三角形的形状的判断，正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题

10、B

【解题分析】判定函数/(%)单调性，再利用导数结合函数g(x)在［1,2］的单调性列式计算作答.

【题目详解】由函数/(%)=—d+相得：/'(£)=—3为2^0,当且仅当x=o时取“="，则/(%)在R上单调递减,

于是得函数g(x)=—三+加―自在［1,2］上单调递减，即Vxe［l,2］,/(X)=-3X2-^<0,即左2—3V,

2

而-3f在［1,2］上单调递减,当光=1时，(-3x)max=-3,贝”之一3,

所以★的取值范围是［—3,+“).

故选：B

11、A

【解题分析】求出向量。+〃，h-。的坐标，利用向量数量积坐标表示+可•(左。)=0即可求解.

【题目详解】因为向量a=(2,1,4),Z>=(l,0,2),

所以a+Z?=(3』,6),左£—3=左(2』,4)—(1,0,2)=(2左一1,左,4左一2),

因为(a+Z?)±{ka—b^,

所以(a+b)•(左a-Z?)=3(2左一1)+左+6(4左一2)=0,解得：左=!|,

故选：A.

12、C

【解题分析】由题可知甲不在前2名，乙不在最后一名，然后分类讨论可得答案.

【题目详解】若甲是最后一名，则其他三人没有限制，4人排名即为团=6,

若甲是第三名，4人的排名为凡・用=2x2=4,

所以4人的排名有6+4=10种情况.

故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、25

【解题分析】将原问题转化为三进制计算，即可求解

【题目详解】解：由题意可得，从左到右的数字依次为221,

即古人一年的收入的钱数为2x32+2x31+1x3°=25

故答案为：25

14、好

2

b2

【解题分析】利用点差法可求得勺的值，利用离心率公式e1-^-的值.

aa

z、z、Xi+=—4y,—y91

【题目详解】设点A(%,％)、B(x2,y2),贝!J।一0,由已知可得KB=工^=片

[X+%=2xi-x22

f22

i+4=12222

由题意可得£白,，将两个等式相减得王子+丘/=0,

羽y；yab

2

b=寸-y；=(——%)(%+%)=£

a2%；1%；(xi-x2)(xi+x2)4

故答案为：立.

2

15、2无+y—17=0

【解题分析】结合点差法求得正确答案.

V-2

【题目详解】椭圆方程可化为土+丁=1,

4-

设4(%,%),3(%2,%)是椭圆上的点，P是弦AB的中点，

%122_1

-----Fy=1[

则4,，两式相减并化简得-11=y1+y7^•yJ-2K,

与24占+々占一%2

1I%f

即

48Xj-x2xx-x2

所以弦AB所在直线方程为y—l=—2(%—8),即2x+y—17=0.

故答案为：2x+y-17=0

16、2x—5y—4-=0

【解题分析】根据中点坐标公式求出再根据直线的两点式方程即可得出答案.

【题目详解】解：由尸(a,2),Q(-3,b),

〃-3b+2

得线段PQ的中点坐标为

22

a—3

二2

2a—1

所以7。解得<

匕+2b=-2

二0

y—2x-7

所以直线PQ的方程为？;即2x-5y-4=0.

-2-2-3-7

故答案为：2x-5y-4=0.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）焦点为（2,0）,准线方程为x=-2；

（2）y=l或x-y+2=0或2x+y+l=0；

（3）4x-3j+l=0.

【解题分析】（1）根据抛物线的方程及其几何性质，求焦点和准线；

（2）分直线/i的斜率为0和不为0两种情况，根据直线与抛物线只有一个公共点，由直线与x轴平行或A=0,得解;

（3）利用点差法求出直线，2的斜率，即可得直线b的方程

【小问1详解】

由题意，p=4,则焦点为（2,0）,准线方程为x=-2

【小问2详解】

当直线的斜率为0时，y=l;

当直线/i的斜率不为0时，设直线A为尤+1=m3-1）,

fx+1=m（y-l）.

联立〈2">得产8ffly+8m+8=0,

y=8x

因为直线/i与抛物线E只有一个公共点，

所以A=64,"2-4（8/n+8）=0,解得m=1或—工，

2

所以直线h的方程为x-j+2=0或2x+j+l=0,

综上，直线6为y=l或x-y+2=0或2x+y+l=0

【小问3详解】

由题意，直线/2的斜率一定存在，设其斜率为A,A（xi,yi）,B（X2,垃），则y；=8xi,yf=8x2,

—％884

两式作差得：才7―£9=8（X1-X2）,即左=2^上=------=；=£，

xr-x2X+y22x33

4

所以直线h为J-3=—(x-2),即4x-3j+l=0

18、(1)证明见解析

⑵强

10

【解题分析】(1)由题意建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量证明即可，

(2)求出平面OEf的法向量，利用空间向量求解

【小问1详解】

证明：因为三棱柱ABC—A用C是直三棱柱，且NABC=90，

所以R4,30,54两两垂直，

所以以3为原点，以3ABe,8耳所在的直线分别为x，%z轴建立空间直角坐标系，则

5(0,0,0),E(l,L0),尸(0,2,1),

设D(t,0,2),则8?=(0,2,1),DE=(1T,1,—2),

所以8尸•DE=0+2—2=0，所以3/，£)后，

所以3-，。石

【小问2详解】

因为4G=44£>,所以o]g,0,2),

所以DE=6，L-2),DF=[-g,2,-l),

设平面OE产一个法向量为〃z=(x,y,z),

m•DE=—x+y-2z=0

2

则1令％=2,则根=(2,1,1),

m-DF=x+2y-z=0

设直线5b与平面DEF所成角为。，则

mBF0+2+1V30

sin0=cos(m,BF

m\BFJ4+1•J4+1+1~w

所以直线BF与平面DEF所成角的正弦值为叵

10

22

19、(1)—+^-=1

43

,7

(2)存在，丸=—

12

【解题分析】(1)求出后可得椭圆的标准方程.

(2)设直线乙：'=%。-1),联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理可用人表示从而可求彳的值.

【小问1详解】

C

a2

|1X0+(-1)X0+76|/=4

据题意，得J-----------------------[=b,A

b2-3

a=b2+c2

22

•••所求椭圆M的标准方程为—+^=1

43

【小问2详解】

据(1)求解知，点厂坐标为(L0)

若直线4的斜率存在，且不等于0,设直线4：y=依％-1)

y=k(x-l),

2222

据Xy得(3+4二)》2-8kx+4k-12=0

-----1---=1,

143

/、/、4"2一19

设4（石，％），5（%2，%），则玉+々二心2，小九2=-4心2，

3+4左3+4左

二IAB|=4％-七）2+（%-1）2=/（々-占）2+，2（々一占）2

\2

8人24左2—12

-4x

3+4VJ3+4左2

12(1+^)

''^AB\\CD\~n(l+k2)12(^2+1)-12,

77

：.\AB\+\CD\=-\AB\-\CD\,即此时存2=一满足题设；

1212

若直线4的斜率不存在，贝！JIA31=3,|CD|=4；若直线4的斜率为0,贝！J|AB|=4,|CD|=3,

7

此时若|AB|+|CD|=；l|A5|・|CD|,则

12

7

综上，存在实数X,且;1='使|A5|+|CD|=；l|AB|・|C£)|

20、(1)an=2/7+1

（2）9

【解题分析】⑴首先根据已知条件分别求出｛4｝的首项和公差，然后利用等差数列的通项公式求解即可；（2）首先利用

等差数列求和公式求出S“，然后利用裂项相消法和分组求和法求出T,,进而可求出国』的通项公式，最后利用等差数

列求和公式求解即可.

【小问1详解】

不妨设等差数列｛4｝的公差为d,

故。3=囚+2d=7,S3=3q+3d=5q,

解得％=3,d=2,

从而an=%+(n-1)J=2"+1,

即｛4｝的通项公式为«„=2〃+1.

【小问2详解】

由题意可知，S"=+g=n(n+2),

2

12121II

所以I+一=l+---------=l+-----------,

S〃(〃+2)n〃+2

IIII

故(=lxn--+-+-----------1------------

i32435n-ln+lnn+2

II

n+ln+2

因为当时，-——-----—<0；当〃23时，-——------—>0,

2"+ln+22n+ln+2

n.n<2

所以±]=

n+1,n>3

由[Z]+[(]+…+[<]=52可知，1+2+4+5++〃+l=52,

(n—2)(4+"+1)

即3+^——----------=52,解得〃=9,

2

即n值为9.

21、(1)(4,0)；(2)没有.

IPAI\PB\8.,,,

【解题分析】（1）设机器鼠位置为点P,由题意可得J_L-J~,gpW-PB=8<10,