2024年中考数学特训：反比例函数

2024年中考数学专题特训:反比例函数

一、单领

题目Q若点A(-2,a),B(-l,6),C(l,c)都在反比例函数夕=*k<0)的图像上，则a,b,c的大小关系是

()

A.bVaVcB.cVbVaC.a<Zb<ZcD.cVaVb

题目团若反比例函数"="2的图象在每个象限内，g随，的增大而增大，则k的取值范围为()

A.fc>2B.k<2C.k>2D.

题目⑶如图，点P是反比例函数9=—图像上的一点，PFJ_。轴于F点，且REAPOF面积为4.则k的值

A.8B.—8C.—4D.4

题目目在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,加压后气体对汽缸壁所产生的压

强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例，p关于V的函数图象如图所示，若压强由75kpa加压

到lOOkPa,则气体体积压缩了()

A.10mLB.15mLC.20mLD.25mL

题目回已知反比例函数9=m，下列结论不正确的是()

A.该函数图象经过点(-1,1)B,该函数图象位于第二、四象限

C.沙的值随着①值的增大而增大D.该函数图象关于原点成中心对称

题目回下列函数9随c的增大而增大的有()个

①,=3-62②9=-/(tV0)③9=—―@y—3a:2

A.1个B.2个C.3个D.4个•M

诞用电器的输出功率P与通过的电流/、用电器的电阻A之间的关系是P=/2R,下面说法正确的是

()

A.P为定值，/与R成反比例B.P为定值，F与R成反比例

C.P为定值，/与R成正比例D.P为定值，F与R成正比例

题目回如图，在反比例函数9=，3>0)的图像上，有点长,£,鸟，马,它们的横坐标依次为1,2,3,4.分

别过这些点作垂直于①轴与沙轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，$2,$3,若&

+$2+$3=3,则用的值为()

A.2.5B.3C.4D.无法确定

二、填空题

题目固若反比例函数沙=(帆—0.1)小渊的图像经过第二、四象限，则加=.

颠目①若反比例函数y4的图象经过点(-2,5),则k的值为.

题目口口如图，菱形0nBe的边长为利,点人在多轴正半轴，反比例函数yj(x>0)的图像经过点。和

线段AB的中点且点。的横坐标为a,则馆与a满足的函数关系为.

题目口口如图，在Rt^AOB中,AAOB=90°,顶点力、B分别在反比例函数y=一。(2<0)与夕=

题目应如图，平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点A(—2,0)和点B(0,—4),反比例函数沙=

畀>0,.>0）图象上的一点C到直线AB的距离CD的最小值为2场则2―

题目口口如图，反比例函数夕=（（2>0）的图象经过菱形O4BC的顶点。，点B在沙轴上，过点B作歹轴

的垂线与反比例函数的图象相交于点。.若乙4=60°,则点。的坐标是.

【题目口可如图，点4c在反比例函数夕=亳的图象上，线段经过原点。，点B在反比例函数沙=—十的

图象上，若〃①轴,连接6。,则S.=.

题目,如图，点4B分别在函数?/=7（a>0）图象的两支上（A在第一象限），连接AB交必轴于点C.

点。，E在函数y=2（b<o,a；<o）图象上，AE〃力轴，8。〃沙轴，连接DE,BE.

X

（1）若AC=2BC,/\ABE的面积为9,则a—6的值为.

（2）在⑴的条件下，若四边形ABDE的面积为14,则经过点D的反比例函数解析式为.

三、解答题

题目也如图，四边形048。是矩形，顶点4。分别在2轴和V轴上，04=6,。。=8，反比例函数夕=

5（k>0）的图象经过AB的中点D,且与B。交于点E.

⑴直接写出点。的坐标；

（2）求反比例函数的表达式及点E的坐标；

（3）点F是边上一点，若△BCF〜,试说明线段与线段DE的关系.

题目,如图，已知4（—2,—3）,B（l,九）是一次函数v=fcc+b的图象和反比例函数夕=号的图象的两个

交点，直线48与沙轴交于点。.

(1)求反比例函数和一次函数的关系式；

(2)求△AOB的面积；

(3)根据图像直接写出不等式嬴+6—也V0的解集.

X

题目［］可如图，一次函数5=一2+3的图象与反比例函数g=，(kWO)在第一象限的图象交于A(l,a)和B

两点,与夕轴交于点C.

冬用图

⑴求反比例函数的解析式；

⑵若点M在V轴上，且△BMC的面积为4,求点河的坐标；

(3)将线段AB在平面内平移,当AB一个端点的对应点P在c轴上,另一个端点的对应点Q是平面内一

点,请直接写出以A、B、P、Q为顶点的四边形为矩形的所有符合条件的P点坐标.

题目叵如图，反比例函数9=管(7>0)的图象与一次函数9=fcr+6的图象交于点3(1,5),。(九,1).

⑴求771和k的值；

（2）求点C的坐标,并根据图象直接写出关于力的不等式色&for+6（N>0）的解集;

x

（3）连接。8,OC,求△BOC的面积.

题目叵综合与探究:如图，一次函数?/=c+l与反比例函数?/=，的图象相交于4（馆,2）,6两点,分别连

接0AOR

（1）求这个反比例函数的表达式；

（2）求出点B的坐标及AAOB的面积；

（3）在坐标轴y轴上是否存在一点P,使以点为顶点的三角形是以AB为直角边的直角三角形？若

存在,请直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

题目应3如图，直线"=ac+a（a#0）与双曲线"=上交于C、。两点,与加轴交于点4

X

⑴①填空:点A的坐标是；

②过点。作，9轴,垂足为若5用°=2,求双曲线的函数表达式；

（2）在（1）的条件下，若=〃行,求点。和点。的坐标.

•M

参考答案：

〔题目11〕【答案】。

【分析】本题考查了反比例函数的图象，反比例函数图象是两支曲线，％V0时,位于二四象限，在各自象限

内，:y随2的增大而增大.理解图象增减性是解题的关键.

【详解】解：WO,

二y=旦图象在二四象限，

X

V-2<-l<0<l,

六cVQVb;

故选：。

题目②【答案】B

【分析】根据反比例函数的性质，得到k-2<Q，进行求解即可.

【详解】解：由题意，得：fc-2<0,

：.k<2;

故选B.

【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键.

题目回【答案】B

【分析】根据SRS=y\OF-PF\=—旬=4即可求解；

■：SRt£j,OF=^\OF-PF\=^\xy\=^,

\xy\=8,

•.•函数位于二、四象限，

k=-8.

故选：B.

【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握相关知识是解题的关键.

【题目|4）【答案】C

【分析】由图象可得P关于V的函数解析式为P=专。，然后问题可求解.

【详解】解:设P关于V的函数解析式为P=♦，由图象可把点（100,60）代入得：％=6000,

.•.P关于V的函数解析式为？=军卷，

当P=75kPa时，则y=6Q|0=80,

当P=100kPa时，则/=端：=60,

压强由75kpa加压到lOOkPa,则气体体积压缩了80—60=20mL;

故选：C.

【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键.

（题目|5〕【答案】C

【分析】根据反比例函数的图象的性质逐项判断即可.

【详解】将rr=—1,9=1代入关系式，得1=—=1,所以该函数图像经过点（一1,1），则A正确;

因为k=—1<0,所以反比例函数夕=?的图象位于第二，四象限，则B正确；

因为反比例函数g=U的图象在每个象限内函数值y随着工的增大而增大，则。不正确；

因为反比例函数v=——的图象关于原点称中心对称，所以Z）正确.

x

故选：C.

【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，理解并记忆反比例函数图象的性质是解题的关键.即反

比例函数y=1■（卜W0）的图象是双曲线，且关于原点成中心对称，当k>0时，函数图像位于一，三象限,在

每个象限内函数值"随着土的增大而减小；当％V0时，函数图像位于二，四象限,在每个象限内函数值g随

着c的增大而增大.

［题目|6〕【答案】B

【分析】本题考查函数性质，根据一次函数、二次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围逐项分

析判断即可.

【详解】解:①^二3—6/，k=—6V0,9随c的增大而减小，故①不符合题意；

@y——x2（x<0）,a=—1,函数图像开口方向向下，R<0时，。随c的增大而增大，故②符合题意：

③。=二2,k=—2V0,函数位于第二、四象限,在每一象限内，从左往右上升，少随土的增大而增大，故③

x

符合题意；

④9=3/,a=3>0,函数图像开口方向向上,但没有给自变量范围，无法判断，故④不符合题意，

综上所述，符合题意得由②③，共两个，

故选：B.

〔题目|7〕【答案】口

【分析】本题考查了实际问题与反比例函数，根据关系式P=FR得，P为定值，户与A成反比例是解题的关

键.

【详解】解：根据P=「R可以得到：

当P为定值时，F与R的乘积是定值，

所以12与五成反比例.

故选：B.

［题目8）【答案】C

【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，由题意可分别得四点的坐标，则可表示三个阴影部分的面积，

再由面积和为3建立关于k的方程，解方程即可求得k的值.

【详解】解：•.•点R,8,&/在反比例函数片?（力>0）的图象上，且它们的横坐标依次为1,2,3,4,

舄（1#）,.（2,9）,玛（3,寺）,马（4李,

・•.S尸•一号）x1=专,52=（铝号）x（2-1）=看,53=（专一.）x（3—2）=含,

•.•&+$2+$3=3,

,k,k.k

.•2+豆+衣=3o,

解得：fc=4,

故选：C.

［题目|9〕【答案】T

【分析】根据反比例函数的定义和图像经过的象限确定即可确定小的值.

【详解】解：丁沙二（m—0.1）J6是反比例函数，

=-1,即m=±1,

•/函数图像经过第二、四象限，

m—0.1<0,即?7i<0.1,

m=—1.

故答案为一1.

【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质等知识点，掌握反比例函数的定义是解答本

题的关键.

［题目10〕【答案】T0

【分析】将点（-2,5）代入反比例函数解析式，即可求解.

【详解】解:反比例函数9=旦的图象经过点（—2,5）,

X

k=—2x5=—10,

故答案为：一10.

【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握反比例数的性质是解题的关键.

（题目111）【答案】馆=*

【分析】作CD_L①轴于。，MN_L2轴于N,则NCDO=NMNA=90°,由菱形的性质得出。。〃4B,从而

得出/AOC=ANAM，即可证得/XAMN〜△OCD,得出笑=缥^=第~=4，由C（a,旦），即可求得

ODCD（JC2、Q，

+代入g=旦（劣>0）整理得到2m=3Q,据此可得答案.

【详解】解:作CD_L/轴于。,A4N_L/轴于N,则/CDO=/MNA=9U°,斗\

・・・菱形OABC中，OC7/AB,\_______B

：.ZAOC=ANAM,y/；

・・・4AMN〜AOCD,_/［

.AN_=MN==XO\DANx

9，~OD~~CD~OC

・・,反比例函数g=4（c>°）的图像经过点。和线段人右的中点”，点。的横坐标为0，

\OD=a,CD=—,

AN=±a,MN=

2'2a

・.%=（M+?）.安，

解得：2m=3a,

即M=-|-Q

故答案为：m=5Q.

【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，菱形的性质，正确表示出点河的坐标是解题的关键.

［题目|12〕【答案】辛

【分析】过点A作AC±x轴于点。，过点B作BD±x轴于点。，根据反比例函数k的几何意义，相似三角

形的判定和性质，得ABDO〜/XOCA,则黑迫=(绥『=己，求出黑，即可•

7

'△RDO'3b2(JJD

【详解】过点4作4。_1力轴于点C,过点B作BD_Lc轴于点。，

VA>_8分别在反比例函数g=—~—(rc<0)与?/=—(T>0)的图象上，

A\OAxCO\=|一2|=2,\ODxBD\=|-4|=4,

•e•S/\ACO~2,S^BDQ—4,

・・・ZAOB=90°,

・・.ZAOC+ZBOn=90°,

・・・ZBOD+ZOBD=90°,

・・・AOBD=AAOC,

在△ACO和△ODB中，

.(AOBD=ZAOC

：'\ABDO^AOCA,

：./\BDO-/\OCAf

.S^ACO_(OA\2_1

,•S^BDO~\OB>一万，

.OA_V2

故答案为：空.

【点睛】本题考查反比例函数和相似三角形的知识，解题的关键是掌握反比例函数k的几何意义，相似三角

形的判定和性质.

(题目I〕13)【答案】菅

【分析】由待定系数法可得直线AB的表达式y=-2x-4,设点C(m,n),则点-4),得至UCH=

n+2m+4,由勾股定理，得出AB=2方,进而得到sinZCHD=sinZABO=即CD=

5

-^-(n+2m+4),然后利用完全平方公式，得出n+2m2V2mn=2\/2fc,即h+2m的最小值为2，^,

0

即可求解.

【详解】解:过点。作CH//夕轴交AB于点H,作CD_LAB交于点D,

贝I/CHD=/ABO,

设直线4B的表达式y—kx+b,

由点A(—2,0)和点B(0,—4)得，

解得:二,

直线AB的表达式。=一2/一4,

设点C(m,n),则点H(m,—2m—4),

OC=n,OH=2m+4,

CH=n+2m+4,

•・,点C在反比例函数g=反的图象上，

x

/.mn—k,

・・・4(-2,0)和点石(0,—4),

:.OA—2,OB—4,

由勾股定理得：AB=VOA2+OB2=2V5,

■■OA2V5

..S1nZABO=—,

.•.sin/CHD=^=W，

C/i5

CD—CH—+2?7Z+4),

oo

m>0,n>0,

（Vn—，2?7Z）2）0,

/.n—2〃2nm+2m>0,

n+2m2V2mn=2V2fc,即n+2m的最小值为

CD—+2m+4）>（2V2fc+4）,

・・,点。到直线48的距离CD的最小值为2方，

（2,2k+4）—2VK,

o

解得:1fc=',

故答案为：?

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，锐角三角函数，勾股定理,待定系数法求一次函数解析

式等知识，利用数形结合的思想解决问题是是解题关键，综合性较强.

〔题目〔14〕【答案】（宇，2）

【分析】根据题意得出△AOB是等边三角形，从而表示点人的坐标为（一手a,Ja）,根据菱形的对称性表

示出点。的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征代入函数解析式进行计算即可求得菱形边长a=

2,把？/=2代入解析式即可求得点D的横坐标.

【详解】解:设菱形O4BC的边长为a,

•/乙4=60°,

△AOB是等边三角形，

.,.点A的坐标为（一^，

.•反比例函数?/=§0>0）的图象经过菱形OABC的顶点C,

.・・。=2（负数舍去），

・・・菱形OABC的边长为2,

・・・。点的纵坐标为2,

把g=2代入%>0）得,2=

解得2=乎，

.♦.点_D的坐标是（空,2）.

故答案为：（学,2）.

【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的性质，正确表示出点A的坐

标是解题的关键.

题目正1【答案】7

【分析】连接03,设AB交9轴于点D,根据k的几何意义得到SAOAD^y,SAOBD=2,即S40AB=-y,再根据

中线分出的三角形的面积相等解题即可.

【详解】解:连接OB,设AB交沙轴于点D,

1,点A在反比例函数y=&的图象上，点B在反比例函数y———的图象上,AB〃立轴,

XX

S&OAD=!同=，SAOBD=《同=2,

S4OAB=SAOAD+S4OBD=+2=—

又♦.•线段AC经过原点O,

~~7

S"BC=2SAOAB=2x—=

故答案为：7.

【点睛】本题考查k的几何意义，三角形有关中线的面积，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键.

〔题目〔16〕【答案】12y=-1

【分析】⑴设可求以血，0），可求旦=善，从而可求3（-2馆,-2m,-*）,

7

\m'am〉—yBBC、2m）\2m）

由^AE-（窈一外）=9,即可求解；

SABDE：

（2）可求5,由^BD^XE-XB）=5,即可求解.

a

【详解】⑴解:设力m,—

m

：AB〃8轴，

・_L—a

•,x一m,

解得：,=也,

a

.-.w—>—L

vam7

・・・AC=2BCf

,AC_9

VAAC

-VB—BC

a

-^-=2,

~VB

解得••"=一就'

.乌—a

・x2m，

解得：力=—2m,

2m,-,

\2m)

•:BD/I等轴,

\2m)

/.AE—xA—xE

bm

二m-------,

a

△ABE的面积为9,

•e-•(yE—yB)=9,

bm

.1m-------9,

am2m

解得：a—6=12;

故答案：12.

(2)解：：四边形ABDE的面积为14,

SWDE=14—9=5,

由⑴得：BD=yD-yB

ba

2m2m

a-b

2m'

^BD(XE-XB)=5,

・.・1—xa---b血+2M)=5,

22ma)

a-b=12

解得:b=-3,

.3

・；

♦y=—X

故答案：夕=—3.

X

【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，设辅助未知数列出方程是解题的关键.

If叵|【答案】⑴。(6,4)

⑵吐空，9(3,8)

X

⑻BF=1■£)£；,BF，DE,理由见详解

【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及相似三角形的性质，熟练掌握反比例函数的性质及相似

三角形的性质是解题的关键：

(1)根据题意可直接进行求解；

(2)由(1)可知。(6,4),然后可得反比例函数解析式，进而问题可求解;

(3)根据相似三角形的性质可直接进行求解.

【详解】(1)解：；四边形04BC是矩形，。4=6,00=8,

：.OA=BC=6,OC=AB=8,AOAB=/ABC=AOCB=90°,

♦.•点。是AB的中点，

人。=4,

.,.£>(6,4);

(2)解::反比例函数夕=总0>0)的图象经过AB的中点。，0(6,4),

X

・・・k=6x4=24,

/.反比例函数解析式为y二组,

x

・・•点七在线段上，

・,•点七的纵坐标为8,

/.8=—，即力=3,

x

・・・玖3,8);

⑶解：设BF.DE相交于点

・・/\BCF〜ADBE,

.BF=BC

号=5,/CBF=NBDE,

\BF=^DE,

:NBDE+/BED=90°,

\ACBF+ABED=90°,即AEHB=90°,

-.BF±DE.

1目叵I【答案】⑴反比例函数解析式为：9=6,一次函数解析式为：9=3c+3

X

⑵SAAOB=,

(3)0〈6V1和力<—2

【分析】此题考查一次函数和反比例函数的性质及图象,待定系数法求函数的解析式，函数的增减性.

(1)由A点在反比例函数沙=也上，可求出771,得到反比例函数解析式，再由_B点在反比例函数图象上，求

X

出n,由待定系数法求出一次函数解析式；

(2)由上问求出的函数解析式联立方程求出。点的坐标，由S^AOB=S△nOC+SABOC，从而求出A4OB的面

积；

(3)由图象观察函数沙=生的图象在一次函数y=k*+b图象的上方时对应的力的范围.

x

【详解】⑴vA(—2,—3)在反比例函数g=也上，

x

:・m=x・y=(—2)x(—3)=6,

.,•反比例函数解析式为：n=立,

X

又vB(l,n)在反比例函数g=子的图象上，

・・・71=丁=6,即/(1,6),

又V>1(—2,—3),B(l,6)是一次函数y=k*+b图象上的点，

联立方程组得：｛有；广6,

解得仁;，

/.一次函数解析式为：g=3力+3;

(2)解：・・•点。在一次函数上，

另/=0,g=3x0+3=3,即C(0,3),

vA(-2,-3),B(l,6),

・・・OC=3,|Nj=2,|=1,

•*^/\AOB~S/vioc+S/^poc，

•••SMOB=j-OC-+j-OC-1编

X3x2+yX3X1

_旦.

一了；

(3)解：=kx+b—~~<0,

x

：.kx+b<—,

x

由图象知：当OV/VI和/<—2时函数y=—的图象在一次函数y=kx-\-b图象的上方，

x

/.不等式k/+b——VO的解集为：OVrrVl和力<—2.

x

〔题目［19〕【答案】⑴沙=,

(2)加■的坐标为(0,7)或(0,-1)；

(3)点P的坐标为(1,0)或(-1,0)

【分析】(1)由待定系数法即可求解；

(2)由^BMC的面积S臣MC=4=。xCM-xB,即可求解：

(3)分两种情况，当AP是对角线时，由中点坐标公式和AP=BQ列出方程组，即可求解，当AQ是对角线

时，同理可解.

【详解】(1)解：当力=1时，g=—x+3=2,即点A(l,2),

羽1点4(1,2)代入反比例函数的表达式得：2=1，

解得：k=2,

反比例函数的解析式夕=I；

(y=—x+3

(2)联立一次函数和反比例函数表达式得：=2，

-X

解得：力=1或2,

・・・8(2,1),

设点M(0,g),

令力=0,g——X+3=3,

AC(0,3),

SbBMc=4=—xCM*xB—/x|3-x2,

解得：g=7或—1,

・・.M的坐标为(0,7)或(0,—1);

⑶设尸(2,0),点Q(s,t),

pr+1=2+s

当AP是对角线时，由中点坐标和AP=B。得：l2=t+l,

[(力-1)2+4=(s—2)2+。一I/

(x=l

解得：</;=1,

[s=Q

k+1=2+力

当4Q是对角线时，由中点坐标和4Q=8?得：(2+1=1,

Us-l)2+(t-2)2=(S-2)2+1

pc=T

解得:<t=—1,

U=o

综上所述，点P的坐标为(1,0)或(-1,0).

【点睛】本题为反比例函数综合题，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、矩形的性质等,

分情况求点P的坐标是解答本题的关键.

[题目叵【答案】⑴m=5,k=-1；

⑵14245

⑶12

【分析】⑴把5(1,5)分别代入夕=—(X>0)和？/=版+6即可得到答案，熟练掌握待定系数法是解题的

X

关键；

(2)把代入g=—a;+6得到1——n+6,解得n=5,即可得到点。的坐标，再根据图象的位置关系和

交点的横坐标即可得到答案，数形结合是解题的关键；

⑶求出直线y——X+6与。轴、g轴的交点，利用SABOC=SAAOD—SAABO—S^OCB即可得到答案，数形结合和准确

计算是解题的关键.

【详解】(1)解:把B(l,5)代入y=—(X＞0)得至L

X

lm

5=T^

m=5,

把石(1,5)代入g=kr+6得到，

5=k+6,

k=—1;

⑵由⑴得到y——,g=—i+6,

x

把C(n,l)代入g=-c+6得到1——n+6,

解得n=5,

・••点C(5,l),

由图象可知，当14力&5时，也《跋+6(力＞0),

x

即不等式坐&for+6(力＞0)的解集为14力45;

x

(3)设直线g=—1+6与力轴交于点D,与g轴交于点A,

当/=0时，g=—x+6=6,

当g=0时，0——X+6,解得x—Q,

・••点A的坐标是(0,6),点D的坐标是(6,0),

:.OA=OD=6,

S^BOC—SMOD—SGABO—S^OCD—~~x6x6—x6x1—x6x1=12,

即△BOC的面积为12.

题目叵)【答案】⑴夕=菅

⑵1.5

(3)存在，(0,3)或(0,—3)

【分析】(1)求出点人的坐标，利用待定系数法求解即可；

(2)解方程组求出点B的坐标,利用割补法求三角形的面积；

(3)设P(0,a),表示出Ap2,Bp2,利用勾股定理进行求解即可.

【详解】⑴解:把A(m,2)，代入y=c+l,得：m+1—2,

m=1,

/.A(l,2),

/.fc=1x2=2,

.2

・・。二一；

x

y=x+l力=1Ax=—2

⑵联立2，解得:1或

yxy=­i

•*--B(—2,—1),