专题06 二次函数的应用（讲练）-2024年中考数学冲刺复习讲练测（浙江新中考）（解析版）

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考点要求命题预测二次函数的应用在中考中.二次函数的实际应用是中考必考考点.常以解答题形式考查.往往会结合方程（组）与一次函数考查。一、解答题1．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：销售价格x（元/千克）5040日销售量y（千克）100200(1)试求出y关于x的函数表达式．(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？【答案】(1)(2)销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论；（2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为．将和分别代入，得：，解得：，∴y关于x的函数表达式是：；（2）解：，∵，∴当时，在的范围内，W取到最大值，最大值是2250．答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．2．（2023·浙江温州·中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？【答案】(1)，球不能射进球门(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论；（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解．【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，把点代入，得，解得，∴抛物线的函数表达式为，当时，，∴球不能射进球门；（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，把点代入得，解得（舍去），，∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．3．（2022·浙江金华·中考真题）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为，部分对应值如表：售价x（元/千克）…2.533.54…需求量（吨）…7.757.26.555.8…②该蔬菜供给量（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为，函数图象见图1．③1~7月份该蔬菜售价（元/千克），成本（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为，，函数图象见图2．请解答下列问题：(1)求a，c的值．(2)根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．【答案】(1)(2)在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大，见解析(3)该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元【分析】（1）运用待定系数法求解即可；（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据列出函数关系式，由二次函数的性质可得结论；（3）根据题意列出方程，求出x的值，再求出总利润即可．【详解】（1）把，代入可得②-①，得，解得，把代入①，得，∴．（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，有，化简，得，∵在的范围内，∴当时，w有最大值．答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大．（3）由，得，化简，得，解得（舍去），∴售价为5元/千克．此时，（吨）（千克），把代入，得，把代入，得，∴总利润（元）．答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．【点睛】此题主要考查了函数的综合应用，结合函数图象得出各点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．4．（2021·浙江绍兴·中考真题）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径，且点A，B关于y轴对称，杯脚高，杯高，杯底MN在x轴上．（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）．（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，杯脚高CO不变，杯深与杯高之比为0.6，求的长．【答案】（1）；（2）【分析】（1）确定B点坐标后，设出抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；（2）利用杯深CD′与杯高OD′之比为0.6，求出OD′，接着利用抛物线解析式求出B'或A'横坐标即可完成求解．【详解】解：（1）设，∵杯口直径AB=4，杯高DO=8，∴将，代入，得，．（2），，，，当时，，或，，即杯口直径的长为．【点睛】本题考查了抛物线的应用，涉及到待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上的点的坐标等内容，解决本题的关键是读懂题意，找出相等关系列出等式等．5．（2017·浙江湖州·中考真题）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值；（2）设这批淡水鱼放养天后的质量为（），销售单价为元/．根据以往经验可知：与的函数关系为；与的函数关系如图所示．①分别求出当和时，与的函数关系式；②设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得利润为元，求当为何值时，最大？并求出最大值．（利润=销售总额-总成本）【答案】（1）a的值为0.04，b的值为30（2）①y=t+15，y=t+30②当t为55天时，W最大，最大值为180250元【详解】试题分析：（1）根据题意，列方程组求解即可；（2）①通过图像找到相应的点的坐标，根据待定系数法分类列方程组求解即可得到函数的解析式；然后根据利润=销售总额-总成本可列式=销售单价×销售天数-（放养总费用+收购成本），然后根据一次函数的特点和二次函数的最值求解即可.试题解析：（1）由题意得解得答：a的值为0.04，b的值为30.（2）①当0≤t≤50时，设y与t的函数关系式为y=k1t+n1把点（0，15）和（50，25）的坐标分别代入y=k1t+n1，得解得∴y与t的函数关系式为y=t+15当50＜t≤100时，设y与t的函数关系式为y=k2t+n2把点（50，25）和（100，20）的坐标分别代入y=k2t+n2，得解得∴y与t的函数关系式为y=t+30②由题意得，当0≤t≤50时，W=20000×（t+15）-（400t+300000）=3600t∵3600＞0，∴当t=50时，W最大值=180000（元）当50＜t≤100时，W=（100t+15000）（t+30）-（400t+300000）=-10t2+1100t+150000=-10（t-55）2+180250∵-10＜0，∴当t=55时，W最大值=180250综上所述，当t为55天时，W最大，最大值为180250元.考点：1、解二元一次方程组，2、一次函数，3、二次函数6．（2021·浙江·中考真题）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：购票方式甲乙丙可游玩景点和门票价格100元/人80元/人160元/人据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？【答案】（1）20%；（2）①798万元，②当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，为817.6万元【分析】（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为，则四月份的游客为人，五月份的游客为人，再列方程，解方程可得答案；（2）①分别计算购买甲，乙，丙种门票的人数，再计算门票收入即可得到答案；②设丙种门票价格降低元，景区六月份的门票总收入为万元，再列出与的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大利润即可得到答案．【详解】解：（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得解这个方程，得（舍去）答：四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长20%．（2）①由题意，丙种门票价格下降10元，得：购买丙种门票的人数增加：（万人），购买甲种门票的人数为：（万人），购买乙种门票的人数为：（万人），所以：门票收入问；（万元）答：景区六月份的门票总收入为798万元．②设丙种门票价格降低元，景区六月份的门票总收入为万元，由题意，得化简，得，，∴当时，取最大值，为817.6万元．答：当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，为817.6万元．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，掌握利用二次函数的性质求解利润的最大值是解题的关键．7．（2023·浙江衢州·中考真题）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．

(1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围），(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s．①当时，求出此时龙舟划行的总路程，②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标；(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）．【答案】(1)(2)①龙舟划行的总路程为；②该龙舟队能达标．(3)该龙舟队完成训练所需时间为【分析】（1）把代入得出的值，则可得出答案；（2）①设，把代入，得出，求得，当时，求出，则可得出答案；②把代入，求得，则可得出答案；（3）由（1）可知，把代入，求得．求出，则可得出答案．【详解】（1）把代入得，解得，启航阶段总路程关于时间的函数表达式为；（2）①设，把代入，得，解得，．当时，．当时，龙舟划行的总路程为．②，把代入，得．，该龙舟队能达标．（3）加速期：由（1）可知，把代入，得．函数表达式为，把代入，解得．，．答：该龙舟队完成训练所需时间为．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键．考点一二次函数的应用题型01二次函数的应用-运功类（1）落地模型最值模型1．（2023·浙江台州·一模）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后1秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意建立直角坐标系，再分析二次函数的性质即可．【详解】以球出发的地方为原点建立直角坐标系，由题意得，二次函数过原点且对称轴为直线，∴设二次函数解析式为，代入原点得，解得，∴，令得，解得∴一个球从出发到落地用时2秒，∵整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），∴，解得，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键．2．（2022·浙江衢州·二模）教练对小明投掷实心球的训练录像进行了技术分析，发现实心球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩是m．【答案】9【分析】要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令，求出x的值，则x的正值即为所求．【详解】在函数式，令，则，解得：（舍），∴铅球推出的距离是．故答案为：9．【点睛】本题是二次函数的实际应用题．理解当时，x的正值代表的是铅球的落脚点离原点的距离是解题关键．3．（2023·浙江·一模）根据我市体育中考排球垫球考试要求，女生受试者需在3米×3米的正方形区域内原地将球垫起，球在运动中的最高点离地面至少为2米．某女生在测试区域中心离地面1米的P处第一次将球垫偏，之后又先后在A，B两处将球救起，球沿抛物线运动（假设抛物线在同一平面内），最终球正好回到P处垫起．如图所示，已知点A，B均位于边界正上方，且离地面高度分别为米、米．现以图示地面所在直线为x轴且P的坐标为，建立平面直角坐标系．

(1)请直接写出A，B的坐标．(2)排球第一次被垫起后，在区域内侧离边界水平距离米处达到最高，则该女生此次垫球是否达标，请说明理由．(3)第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度恰好达标，求抛物线的解析式．【答案】(1)，(2)该女生此次垫球不达标．理由见解析(3)【分析】（1）根据受试者需在3米米的正方形区域内原地将球垫起，某女生在测试区域中心且A，B均位于边界正上方，写出坐标即可；（2）求出抛物线的解析式，求出最高点纵坐标，比较即可；（3）设出抛物线的顶点式，求出解析式即可．【详解】（1）解：根据受试者需在3米米的正方形区域内原地将球垫起，某女生在测试区域中心且A，B均位于边界正上方，则点A坐标为；点B坐标为．（2）解：该女生此次垫球不达标．排球第一次被垫起后，在区域内侧离边界水平距离米处达到最高，则抛物线的对称轴为直线，设抛物线解析式为，把，代入得，，解得，，抛物线解析式为，最高点离地面米，该女生此次垫球不达标．（3）解：第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度恰好达标，则顶点纵坐标为，设抛物线解析式为，把，代入得，，解得，，（舍去）抛物线解析式为．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题关键是根据题意求出二次函数解析式．4．（2023·浙江绍兴·三模）根据以下素材，探索完成任务如何调整电梯球、落叶球的发球方向素材1：如图是某足球场的一部分，球门宽，高．小梅站在A处向门柱一侧发球，点A正对门柱（即），，足球运动的路线是抛物线的一部分．

素材2：如图，当足球运动到最高点Q时，高度为，即，此时水平距离，以点A为原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系．

(1)求足球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式，此时足球能否入网？(2)小梅改变发球方向，发球时起点不变，运动路线的形状不变，足球是否能打到远角E处再入网？（上述（1），（2）中球落在门柱边线视同球入网）【答案】(1)，足球不能进入球网(2)能【分析】（1）由题意知抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式的顶点式为，由抛物线过原点即可求出a的值，从而确定抛物线的解析式；求出当时的函数值，与球门高对比即可作出判断；（2）原点不变，所在直线为x轴，函数解析式不变，求出的长，计算当，对应的函数值并与比较，即可判断足球是否入门．【详解】（1）解：由题得抛物线顶点坐标为，设∵抛物线经过点A（0，0），∴，∴，∴足球运动轨迹抛物线的函数表达式为；当时，，，∴足球不能进入球网．（2）解：∵足球运动轨迹抛物线形状不变，此时以点A为原点，所在直线为x轴，∴抛物线的函数表达式仍为∵，∴由勾股定理得：，当，，∴能打到远角E处入网．【点睛】本题是二次函数的应用问题，考查了求二次函数的解析式，求函数值，勾股定理等知识，正确理解题意，把实际问题转化为数学问题是解题的关键．5．（2023·浙江金华·三模）如图所示，取某一位置的水平线为轴，建立了平面坐标系后，小山坡可以近似看成抛物线．小明在离点的楼顶抛出一球，其运动轨迹为抛物线，落在山坡的点处，测得点离轴的距离为．

(1)求点的坐标．(2)求小球飞行过程中，离山坡的最大高度．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据点在抛物线上，把代入计算出点的坐标；（2）根据题意求出点的坐标，再根据点和点在抛物线上，利用待定系数法求出，的值，再根据二次函数的图象的性质求出小球飞行过程中，离山坡的最大高度．【详解】（1）测得点离轴的距离为，点的横坐标为，点在抛物线上，当时，，点的坐标是．（2），当时，，，，，，点和点在抛物线上，．∴．高山坡的高度．小球飞行过程中，离山坡的最大高度为．【点睛】本题主要考查了二次函数的的实际应用，熟练掌握利用待定系数法确定二次函数解析式，利用二次函数的图象的性质求出二次函数的最大值是解本题的关键．题型02二次函数的应用-经济类销售问题常用等量关系：利润=收入-成本；利润=单件利润×销量；1．（2024·浙江宁波·一模）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．(1)求y关于x的函数关系式；(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？(3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．【答案】(1)；(2)纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元；(3)．【分析】本题考查二次函数的应用．得到销售量以及利润的关系式是解决本题的关键．（1）销售量原来的销售量提升的价格，把相关数值代入化简即可；（2）利润每件纪念品的利润销售量，把相关数值代入后可得二次函数，根据二次函数二次项系数的符号可得抛物线的开口方向，判断出二次函数的对称轴后，与自变量的取值范围结合，可得相关定价和最大利润；（3）让（2）中的利润得到新的利润，根据捐款后每天剩余利润不低于2200元，利用函数的性质、函数的开口方向及自变量的取值范围可得销售单价的取值范围．【详解】（1）解：．关于的函数关系式为：；（2）解：．抛物线的对称轴为：．，，当时，有最大值，最大值为：；答：纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元；（3）解：捐款后每天剩余利润不低于2200元，．．当时，．，．，．，，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，．答：为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价的范围为：．2．（2023·浙江宁波·一模）乌馒头是江北慈城地方特色点心，用麦粉发酵，再掺以白糖黄糖，蒸制而成．因其用黄糖，颜色暗黄，所以称之谓“乌馒头”．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量（盒）是销售单价（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且销售单价为18元/盒时，日销售纯利润为1180元．销售单价（元/盒）1513日销售量（盒）500700(1)求乌馒头的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式；(2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗．端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客．在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为1480元？(3)当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润．【答案】(1)(2)当乌馒头每盒降价3元时，商店每天获利为1480元(3)当销售单价定为16元/盒时，日销售纯利润最大，最大纯利润为1580元【分析】（1）设，根据表格即可求解；（2）根据：销售量单件利润损耗费用销售总利润，列出方程即可求解；（3）设日销售纯利润为元，根据：销售量单件利润损耗费用销售总利润，列出函数关系式，并在求最值即可．【详解】（1）解：设，由题意得，解得，∴．（2）解：当时，，即销售200盒的纯利润为1180元，成本价为：（元），，解得：（舍），，（元）．答：当乌馒头每盒降价3元时，商店每天获利为1480元．（3）解：设日销售纯利润为元，由题意得，，，当时，有最大值1580元，答：当销售单价定为16元/盒时，日销售纯利润最大，最大纯利润为1580元．【点睛】本题考查了一次函数，一元二次方程，二次函数在销售利润中的应用，掌握销售问题中的等量关系式是解题的关键．3．（2023·浙江·模拟预测）2023年秋，某工业大学小组进行为期90天的三创赛实战项目，此小组前往某农村进行产品销售，已知该产品的每件成本为40元，组长根据市场情况列出了以下表格：①该产品90天内时间和日销量的关系如下表：时间（第x天）13610···日销量（a件）198194188180···②该产品90天内时间和销售价格关系如下表：时间（第x天）销售价格（元/件）100(1)设销售该商品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出90天内该产品哪天销售利润最大？最大利润为多少？(2)若该比赛规定，25天销售利润不低于5400元即可晋级，那么该小组是否能顺利晋级呢？【答案】(1)当时，的值最大，最大值是7200，即在90天内该产品第40天的销售利润最大，最大利润是7200元(2)在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元，该小组能顺利晋级【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意根据销售问题中总利润的相等关系，结合的取值范围列出分段函数解析式及二次函数和一次函数的性质．（1）设利润为元，则当时，；当时，，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论；（2）根据和时，由求得的范围，据此可得销售利润不低于5400元的天数．【详解】（1）解：设销售该产品每天利润为元，关于的函数表达式为：，当时，，，当时，有最大值，最大值是7200；当时，，，随增大而减小，即当时，的值最大，最大值是6000；综上所述，当时，的值最大，最大值是7200，即在90天内该产品第40天的销售利润最大，最大利润是7200元；（2）解：当时，由可得，解得：，，；当时，由可得，解得：，，，综上，，故在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元，该小组能顺利晋级．题型03二次函数的应用-面积类1．（2024·浙江宁波·模拟预测）为了给学校的柯尔鸭过冬提供舒适的环境，饲养小组决定用长为米的篱笆，和一面长为6米的墙围成如图所示的长方形的鸭圈．整个鸭圈的正中间被篱笆隔断成活动区和生活区，活动区和两区中间的篱笆上分别开了一个门，两个门的尺寸均为米，鸭圈垂直于墙的一边的长为米．（其中篱笆全部用完，不考虑高度，篱笆占地面积忽略，门的材料另备）

设计方案小成小韩小林（米的长（米）（

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）(1)用含，的代数式表示鸭圈另一边长米．(2)若固定不变．①若要求鸭圈面积为10平方米，求的值．②小成、小韩和小林根据的长度分别给出了3种不同的设计方案见上表，请验算并分析谁的方案比较靠谱．③请通过上述探究，直接写出的取值范围，并计算鸭圈面积的最大值．(3)若篱笆最多有16米，问：鸭圈面积能否达到24平方米？【答案】(1)(2)①或；②；小成；③；(3)鸭圈面积能达到24平方米【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，列代数式和代数式求值：（1）（1）根据题意和图形，可以用含a的代数式表示出的长即可；（2）①先求出，再利用矩形面积公式建立方程求解即可；②根据（1）所求代值计算即可；③先求出，再利用矩形面积计算公式用含a的式子表示出矩形面积，再利用二次函数的性质求解即可；（3）令时，则，再同（2）③求解即可．【详解】（1）解：由题意得：（米，故答案为：；（2）解：①由题意得，∴，解得：或；②当时，（米，同理可得：时，（米，时，（米，从上述数据看，小成的方案更为靠谱；③由题意得：，即，解得：，设鸭圈面积为平方米，则，，故有最大值，当时，的最大值为：；（3）解：当时，，设鸭圈面积为平方米，则，，当时，的最大值为：，∴鸭圈面积能达到24平方米．2．（2024·浙江台州·一模）图1是即将建造的“碗形”景观池的模拟图，设计师将它的外轮廓设计成如图2所示的图形．它是由线段，线段，曲线，曲线围成的封闭图形，且，在x轴上，曲线与曲线关于y轴对称．已知曲线是以C为顶点的抛物线的一部分，其函数解析式为：（p为常数，）．(1)当时，求曲线的函数解析式．(2)如图3，用三段塑料管，，围成一个一边靠岸的矩形荷花种植区，E，F分别在曲线，曲线上，G，H在x轴上．记米时所需的塑料管总长度为，米时所需的塑料管总长度为．若，求p的取值范围．当与的差为多少时，三段塑料管总长度最大？请你求出三段塑料管总长度的最大值．【答案】(1)(2)；当与的差为时，三段塑料管总长度最大，最大值为【分析】本题考查了二次函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）先求出点C的坐标，根据对称性求出点A的坐标，即可求出抛物线的解析式；（2）设，，根据，得出关于p的不等式解得即可；设，三段塑料管总长度为L，根据题意得出化简即可得出答案．【详解】（1）解：当时，C坐标为，由对称得点A坐标为，抛物线的解析式为：；（2）解：根据题意，设，

，

，，

即：，化简得：，

，；解：设，三段塑料管总长度为L，根据题意可得：，，化简得：，当时，L有最大值110，

当与的差为时，三段塑料管总长度最大，最大值为．题型04二次函数的应用-拱桥类一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．1．（2023·浙江金华·一模）如图1，某公园有一个圆形喷水池，喷水池中心有一个垂直于地面自动升降的喷头，喷出的水柱形状呈抛物线．如图2，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头A的坐标为．设抛物线的函数表达式中二次项系数为a．(1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米．①若时，求第一象限内水柱的函数表达式．②用含t的代数式表示a．(2)为了美化公园，对公园及喷水设备进行升级改造，a与t之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．①求改造后水柱达到的最大高度．②若水池的直径为25米，要使水柱不能落在水池外，求t的取值范围．【答案】(1)①；②(2)①水柱达到的最大高度8米；②【分析】（1）①设第一象限内水柱的函数表达式为，当时，把代入函数表达式即可得解，②把代入即可得解；（2）①设第一象限内水柱的函数表达式为，利用得出a与t的关系，将代入，即可得解②把代入，得，要使水柱不能落在水池外，即可确定a的取值范围，再利用等量代即可得出t的取值范围．．【详解】（1）①设第一象限内水柱的函数表达式为．当时，把代入函数表达式，得．第一象限内水柱的函数表达式为．②把代入，得得（2）①设第一象限内水柱的函数表达式为．．把代入，得，．水柱达到的最大高度8米．②把代入，得．要使水柱不能落在水池外，则a的取值范围为．，，解得．．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用以及二次函数的性质，理解题意，利用数形结合思想解题是关键．2．（2022·浙江金华·二模）跳绳是一项很好的健身活动，如图是小明跳绳运动时的示意图，建立平面直角坐标系如图所示，甩绳近似抛物线形状，脚底、相距20cm，头顶离地175cm，相距60cm的双手、离地均为80cm．点、、、、在同一平面内，脚离地面的高度忽略不计．小明调节绳子，使跳动时绳子刚好经过脚底、两点，且甩绳形状始终保持不变．(1)求经过脚底、时绳子所在抛物线的解析式．(2)判断小明此次跳绳能否成功，并说明理由．【答案】(1)(2)不成功，理由见解析【分析】（1）建立如图所示的坐标系：结合题意可得：由双手、离地均为80cm，可得C点坐标为：再利用待定系数法求解解析式即可；（2）由可得跳绳不过头顶，从而可得答案．【详解】（1）解：建立如图所示的坐标系：结合题意可得：双手、离地均为80cm．C点坐标为：设抛物线为：解得：所以抛物线为（2）解：∵y=0.1x²－90，∴顶点为（0，－90）.即跳绳顶点到手的距离是90cm，跳绳不过头顶，小明此次跳绳能不成功．【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意，建立合适的坐标系是解本题的关键．3．（2024·浙江宁波·一模）根据下列素材，探索完成任务．如何设计跳绳的方案素材1参加跳长绳比赛时，各队跳绳6人，摇绳2人，共计8人，他们在同一平面内站成一路纵队．图2是长绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线．摇绳的两名队员水平间距为5米，他们的手到地面的高度米，绳子最高点距离地面2米．

素材2某队的6名跳绳队员中，男女生各3名，男生身高均在－米，女生身高一人为米高，两人都为米，为保证安全，跳绳队员之间的距离至少米．问题解决任务1确定长绳在最高点时的形状在图2中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究站队的方式若将最高的男生站在摇绳队员的中点，长绳能否顺利甩过所有队员的头顶？任务3设计位置方案为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式站队，请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位队员横坐标的取值范围．【答案】任务一：；任务二：绳子