专题04 一次函数和反比例函数的应用（讲练）-2024年中考数学冲刺复习讲练测（浙江新中考）（解析版）

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考点要求命题预测一次函数的应用一次函数的实际应用在中考中常以简单题的形式出题，多是其代数类应用的考察。在考生复习此考点时，需要多注意其具体意义的思考，熟练掌握根据已知条件确定一次函数的表达式的方法，并能根据一次函数的性质解决简单的实际问题。反比例函数的应用反比例函数单独考查的时候很少，与一次函数综合考查的情况较多，其考查形式有：两种函数图象在同一坐标系中的情况，两种函数的图象与性质，两种函数图象的交点情况、交点坐标，用待定系数法求函数表达式及求与函数图象有关的几何图形的面积等．一、填空题1．（2023·浙江温州·中考真题）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了．

【答案】20【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为，然后问题可求解．【详解】解：设P关于V的函数解析式为，由图象可把点代入得：，∴P关于V的函数解析式为，∴当时，则，当时，则，∴压强由加压到，则气体体积压缩了；故答案为20．【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键．二、解答题2．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：销售价格x（元/千克）5040日销售量y（千克）100200(1)试求出y关于x的函数表达式．(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？【答案】(1)(2)销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论；（2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为．将和分别代入，得：，解得：，∴y关于x的函数表达式是：；（2）解：，∵，∴当时，在的范围内，W取到最大值，最大值是2250．答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．3．（2023·浙江绍兴·中考真题）一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象．

(1)求所在直线的表达式．(2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？(3)甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离．【答案】(1)(2)出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇(3)两地间的距离为600米【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）利用待定系数法求出所在直线的表达式，再列方程组求出交点坐标，即可；（3）列出方程即可解决．【详解】（1）∵，∴所在直线的表达式为．（2）设所在直线的表达式为，∵，∴解得∴．甲、乙机器人相遇时，即，解得，∴出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇．（3）设甲机器人行走分钟时到地，地与地距离，则乙机器人分钟后到地，地与地距离，由，得．∴．答：两地间的距离为600米．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，用待定系数法可求出函数表达式，要利用方程组的解，求出两个函数的交点坐标，充分应用数形结合思想是解题的关键．4．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：流水时间t/min010203040水面高度h/cm（观察值）302928.12725.8任务1

分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．

任务2

利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．任务3

（1）计算任务2得到的函数解析式的w值．（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．任务4

请你简要写出时间刻度的设计方案．【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4：见解析【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可；任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解；任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值；（2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可；任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素．【详解】解：任务1：变化量分别为，；；；；任务2：设，∵时，，时，；∴∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为．任务3：（1）当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，∴．（2）设，则．当时，w最小．∴优化后的函数解析式为．任务4：时间刻度方案要点：①时间刻度的0刻度在水位最高处；②刻度从上向下均匀变大；③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）．【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键．5．（2023·浙江宁波·中考真题）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．

(1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值，(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．【答案】(1)，(2)【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将，代入解析式求出的值即可；（2）先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的时间，用总时间减去两段时间即可得解．【详解】（1）解：设大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为，由图象可知，直线过点，∴，解得：，∴；当时：，解得：，∴；（2）由图象可知，军车的速度为：，∴军车到达仓库所用时间为：，从仓库到达基地所用时间为：，∴部队官兵在仓库领取物资所用的时间为．【点睛】本题考查一次函数的实际应用．从函数图象上有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键．6．（2023·浙江·中考真题）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：

(1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；(2)求方案二y关于x的函数表达式；(3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．【答案】(1)30件(2)(3)若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一【分析】（1）由图象的交点坐标即可得到解答；（2）由图象可得点，设方案二的函数表达式为，利用待定系数法即可得到方案二y关于x的函数表达式；（3）利用图象的位置关系，结合交点的横坐标即可得到结论．【详解】（1）解：由图象可知交点坐标为，即员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多；（2）由图象可得点，设方案二的函数表达式为，把代入上式，得解得∴方案二的函数表达式为．（3）若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一．【点睛】此题考查了从函数图像获取信息、一次函数的应用等知识，从函数图象获取正确信息和掌握待定系数法是解题的关键．7．（2023·浙江台州·中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．

(1)求h关于的函数解析式．(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度．【答案】(1)．(2)该液体的密度为．【分析】（1）由题意可得，设，把，代入解析式，求解即可；（2）把代入（1）中的解析式，求解即可．【详解】（1）解：设h关于的函数解析式为，把，代入解析式，得．∴h关于的函数解析式为．（2）解：把代入，得．解得：．答：该液体的密度为．【点睛】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活利用反比例函数的性质进行求解．8．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．素材1

国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．探究1

检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．素材2

图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．探究2

当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．素材3

如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同．探究3

若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．【答案】探究检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；探究；探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将代入得：；探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得；探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案．【详解】探究由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，设，将其中一点代入得：，解得：，，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；将代入得：；答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；探究，在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，当时，，，；探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得，由探究1知，，解得，答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决．9．（2021·浙江台州·中考真题）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m，温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．（1）求k，b的值；（2）求R1关于U0的函数解析式；（3）用含U0的代数式表示m；（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．【答案】（1）；（2）；I（3）；（4）该电子体重秤可称的最大质量为115千克．【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；（2）根据“串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压”，列出等式，进而即可求解；（3）由R1＝m＋240，，即可得到答案；（4）把时，代入，进而即可得到答案．【详解】解：（1）把（0，240），（120，0）代入R1＝km＋b，得，解得：；（2）∵，∴；（3）由（1）可知：，∴R1＝m＋240，又∵，∴=m＋240，即：；（4）∵电压表量程为0~6伏，∴当时，答：该电子体重秤可称的最大质量为115千克．【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．10．（2021·浙江温州·中考真题）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．营养品信息表营养成分每千克含铁42毫克配料表原料每千克含铁甲食材50毫克乙食材10毫克规格每包食材含量每包单价A包装1千克45元B包装0.25千克12元（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？【答案】（1）甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元；（2）①每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；②当为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元【分析】（1）设乙食材每千克进价为元，根据用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克列分式方程即可求解；（2）①设每日购进甲食材千克，乙食材千克．根据每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，利用进货总金额为180000元，含铁量一定列出二元一次方程组即可求解；②设为包，根据题意，可以得到每日所获总利润与m的函数关系式，再根据A的数量不低于B的数量，可以得到m的取值范围，从而可以求得总利润的最大值．【详解】解：（1）设乙食材每千克进价为元，则甲食材每千克进价为元，由题意得，解得．经检验，是所列方程的根，且符合题意．（元）．答：甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元．（2）①设每日购进甲食材千克，乙食材千克．由题意得，解得答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克．②设为包，则为包．记总利润为元，则．的数量不低于的数量，，．，随的增大而减小。当时，的最大值为2800元．答：当为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、分式方程、二元一次方程的应用，解答本题时要明确题意、弄清表格数据的意义及各种量之间关系，利用方程的求未知量和一次函数的性质解答，注意分式方程要检验．考点一一次函数的实际应用题型01/02/03/04一次函数的实际应用-分配问题--最大利润问题-行程问题-几何问题（一）一次函数图象与性质的应用解题要点:1.明确题目中图象的横、纵坐标表示的意义;2.理解并能准确应用图象中的拐点的意义:3.理解函数图象的变化趋势、倾斜程度各表示什么意义:（二）分段函数图象问题解题要点:1.读懂每段图象的意义，从图象中获取信息2.注意图象中的一些特殊点的实际意义:（三）次函数与方程(组)、不等式的实际应用解题要点:1.利用图象交点的意义及图象关系将实际问题转化为一次函数问题2.在解题中要分清图象所对应的实际问题中的参量，同时要注意自变量的取值范围3.利用一次函数的性质进行方案设计与决策，一般先求出函数表达式，结合不等式求出自变量的取值范围，然后再利用函数的增减性或函数图象进行决策。1．（2023·浙江衢州·模拟预测）快车和慢车同时匀速相向而行，快车从甲地到乙地，慢车从乙地到甲地，快车速度是慢车速度的1.6倍，两车之间的距离（千米）与行驶时间（小时）的函数关系如图所示，则图中的．【答案】3.9【分析】本题主要考查一次函数的应用，解决此题的关键是能根据慢车行驶4小时时，两车相遇，求出慢车的行驶速度．观察图象，两车之间的距离与慢车的行驶时间之间的感受图象，观察图象，根据慢车行驶24小时时，两车之间的距离为0，求出慢车的行驶的速度，再求出、的值，计算即可．【详解】解：从图象可以看出，两地之间的距离是；从图象中可以看出，慢车行驶4小时时，两车之间的距离为0，即相遇，两车的速度和为：，快车速度是慢车速度的1.6倍，慢车速度是千米小时，快车速度是千米小时，当时，快车已经到达乙地，，，当时，慢车行驶的路程：，慢车距离甲地还有，需要用时：（小时），小时后到达甲地，，，故答案为：3.9．2．（2024·浙江宁波·模拟预测）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，甲、乙两人之间的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，则先到终点的人原地休息了分钟．【答案】【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象，求出甲、乙的速度，再求出它们到达终点的时间即可求解，看懂函数的图象是解题的关键．【详解】解：由图可得，甲的速度为米分，设乙的速度为米分，由图可得，，解得，∴乙的速度为米分，∴甲到达终点的时间为分钟，乙达到终点的时间为分钟，∵甲先出发分钟，∴乙先到终点原地休息了分钟，故答案为：．3．（2023·浙江·模拟预测）某礼品经销商在春节前购进了甲、乙两种规格的礼品盒盒，共花费了元．已知甲、乙两种规格的礼品盒的进价和售价如下表：类别甲规格乙规格进价(元)售价(元)(1)该礼品经销商购进甲、乙两种规格的礼品盒各多少盒？(2)由于市场供不应求，该礼品经销商计划再购进两种礼品盒共盒，而此次投入不超过元，为使得获利最大，应如何进货．【答案】(1)该礼品经销商分别购进甲、乙两种礼品盒为120、80盒(2)进货方案为：甲礼品盒盒，乙礼品盒的数量盒【分析】（1）首先根据题意设出未知数，再找到等量关系：①甲、乙两种礼品盒共盒，②甲礼品盒的数量乙礼品盒的数量共花费了元，然后解方程组可得到甲乙两种礼品盒各买了多少盒．（2）再购进甲礼品盒盒，则购进乙礼品盒盒，甲礼品盒的花费乙礼品盒的花费，进而求出进货方案．【详解】（1）解：设购进甲规格的礼品盒盒，乙规格的礼品盒盒，根据题意得：，解得，答：该礼品经销商分别购进甲、乙两种礼品盒为、盒．（2）设再购进甲礼品盒盒，根据题意得：，，，利润，随着的增大而减小，当时，最大，此时元．即进货方案为：甲礼品盒盒，乙礼品盒的数量盒，【点睛】此题主要考查了一次函数、一元一次不等式、二元一次方程组的应用，根据不等式的性质以及一次函数的增减性是解决问题的关键．4．（2023·浙江湖州·一模）为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的．(1)求篮球、足球的单价分别为多少元？(2)学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（）个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式；(3)在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？【答案】(1)篮球每个100元，足球每个80元；(2)；(3)足球45个，篮球15，费用最少为5100元．【分析】（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以得到篮球、足球的单价，注意分式方程要检验；（2）根据题意，可以写出w与m的函数关系式；（3）根据题意和一次函数的性质，可以求得如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少；【详解】（1）设篮球每个x元，足球每个元，由题意得：，解得：，经检验：是原方程的解且符合题意，则足球的单价为：（元），答：篮球每个100元，足球每个80元；（2）由题意得：，即w与m的函数关系式为；（3）由题意可得：，解得：，，由（2）得：，，随m的增大而减小，∴当时，w取得最小值，此时元，，，故购买足球45个，篮球15，费用最少为5100元．【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．5．（2023·浙江温州·三模）根据以下素材，探索完成任务：如何制定订餐方案？素材1某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示：套餐类别套餐单价团体订购优惠方案：米饭套餐30元方案一：套餐满20份及以上打9折；方案二：套餐满12份及以上打8折；方案三：总费用满850元立减110元．：面食套餐25元温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用．素材2该班级共31位同学，每人都从两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定或套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元．问题解决任务1计算选择人数已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择套餐和套餐？任务2分析变量关系设两种套餐皆可的同学中有人选择套餐，该班订餐总费用为元，当全班选择套餐人数不少于20人时，请求出与之间的函数关系式．任务3制定最优方案要使得该班订餐总费用最低，则套餐应各订多少份？并求出最低总费用．【答案】任务1：选择套餐的有13人，选择套餐的有7人；任务2：；任务3：当订购套餐15份，订购套餐为16份时，该班订餐总费用最低，订餐总费用最低为740元【分析】任务1：根据题意可设设这20人中选择套餐的有人，，则选则套餐的有人，，根据“费用合计为565元”列出方程，解方程即可得到答案；任务2：由当全班选择套餐人数不少于20人时，即，得到，从而得到选择套餐人数为，根据套餐、套餐的优惠方式即可算出总共花费了多少钱；任务3：分三种情况：①当时，②当时，③选择优惠方案三，分别计算出所花费的费用，进行比较即可得到答案．【详解】解：任务1：20人先下单，三种团购优惠方案的条件均不满足，设这20人中选择套餐的有人，，则选则套餐的有人，，，，，答：选择套餐的有13人，选择套餐的有7人；任务2：两种套餐皆可的11人中有人选择套餐，当全班选择套餐人数不少于20人时，即，，选择套餐人数为，不满足优惠方案二的条件，订餐总费用为；任务3：两种套餐皆可的11人中有人选择套餐，①当时，由（2）可知，订餐总费用为，，随着的增大而增大，当时，订餐总费用最小为（元）；②当时，，，∴订餐总费用为，，随着的增大而增大，当时，订餐总费用最小为（元）；③若选择优惠方案三，订餐总费用为，总费用满850元立减110元，当时，订餐总费用最小为（元）；综上所述，当订购套餐15份，订购套餐为16份时，订餐总费用最低为740元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出一元一次方程、一次函数，熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键．6．（2024·浙江温州·一模）2023年10月4日，亚运会龙舟赛在温州举行．某网红店看准商机，推出了A和B两款龙舟模型．该店计划购进两种模型共200个，购进B模型的数量不超过A模型数量的2倍．已知B模型的进价为30元/个，A模型的进价为20元/个，B模型售价为45元/个,A模型的售价为30元/个．(1)求售完这批模型可以获得的最大利润是多少?(2)如果B模型的进价上调m元，A模型的进价不变，但限定B模型的数量不少于A模型的数量，两种模型的售价均不变．航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的最大利润是2399元，请求出m的值．【答案】(1)2665元(2)2【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）分及三种情况，找出y关于x都函数关系式．（1）设购进模型x个，则购进模型个，根据购进模型的数量不超过模型数量的2倍，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论；设售完这批模型可以获得的总利润为y元，利用总利润=每个的销售利润×销售数量（购进数量），可得出y关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；（2）由购进模型的数量不少于模型的数量，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，结合（1）的结论可确定x的取值范围，分三种情况，找出y关于x的函数关系式或y的值，结合y的最大值为2399，可求出m的值，取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）解：设购进模型x个，则购进模型个，根据题意得：，解得：，又∵x为正整数，∴x的最大值为设售完这批模型可以获得的总利润为y元，则，即∵∴y随x的增大而增大，∴当时，y取得最大值，最大值．答：售完这批模型可以获得的最大利润是2665元；（2）解：根据题意得：解得：又∵，且x为正整数，∴且x为整数．当时，即∵，∴y随x的增大而增大，∴当时，y取得最大值，此时，解得：；当时，即，不符合题意，舍去；当时，即，∵∴y随x的增大而减小，∴当时，y取得最大值，此时解得：（不符合题意，舍去）．答：m的值为2．7．（2023·浙江湖州·二模）年1月日，南浔区“古镇免费游暨长三角亲子乐园”主题新闻发布会上宣布：南浔古镇景区将正式向全球所有游客永久免票．在该惠民政策实施后，来南浔古镇的游客络绎不绝．某纪念品商店销售A，B两种商品，由于销量激增，一周进行了两次进货，且进货价相同，具体情况如下表：购进数量（件）购进时的总金额（元）AB第一次第二次(1)求A，B两种商品每件的进价分别是多少元？(2)若该商店A种商品以每件元出售，B种商品以每件元出售．某周计划购进两种商品共件，据市场销售分析，A种商品的数量不超过B种商品数量的3倍，请求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．【答案】(1)A商品的进货价为元，B商品的进货价为元(2)当A商品进货件，B商品进货件时，总利润最大，最大利润为元【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解出二元一次方程组的解即可；（2）设A商品进货m件，则B商品进货，列出获得利润的式子然后进行化简分析即可．【详解】（1）解：设A商品的进货价为x元，B商品的进货价为y元，则，解得，∴A商品的进货价为元，B商品的进货价为元；（2）解：设：A商品进货m件，则B商品进货件，

则获得利润，

∵A种商品的数量不多于B种商品数量的3倍,∴，解得，

∵，∴W随m的增大而增大，

∴当时，，W最大，且最大值为，

∴当A商品进货件，B商品进货件时，总利润最大，最大利润为元．【点睛】本题主要考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握一次函数的性质．8．（2024·浙江杭州·一模）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示．

(1)根据图象信息，求出甲和乙的速度各为多少？（单位：米/分钟）(2)求线段所在的直线的函数表达式；(3)在整个过程中，请通过计算，为何值时两人相距400米?【答案】(1)甲的速度为40米分钟；乙的速度为60米分钟(2)(3)在整个过程中，第20分钟和28分钟时两人相距400米【分析】本题考查了一次函数的应用，路程、速度、时间的关系，用待定系数法确定函数的解析式，属于中考常考题型．读懂题目信息，从图象中获取有关信息是解题的关键．（1）根据图象信息，当分钟时甲乙两人相遇，甲60分钟行驶2400米，根据速度路程时间可得甲的速度；（2）首先求出乙从图书馆回学校的时间即点的横坐标，再运用待定系数法求解即可；（3）分相遇前后两种情况解答即可．【详解】（1）解：根据图象信息，当分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为（米分钟）．甲、乙两人的速度和为米分钟，乙的速度为（米分钟）．答：甲的速度为40米分钟；乙的速度为60米分钟；（2）乙从图书馆回学校的时间为（分钟），，点的坐标为．设线段所表示的函数表达式为，，，，解得，线段所表示的函数表达式为；（3）两种情况：①迎面：（分钟），②走过：（分钟），在整个过程中，第20分钟和28分钟时两人相距400米．9．（2023·浙江·一模）一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市C，它们离A地的路程随时间变化的图像如图所示，已知汽车的速度为，摩托车比汽车晚1个小时到达城市C．

(1)求摩托车到达城市C所用的时间；(2)求摩托车离A地的路程关于时间的函数表达式；(3)当x为何值时，摩托车和汽车相距．【答案】(1)4小时(2)(3)【分析】（1）先计算汽车到达中点的用时，结合摩托车比汽车晚1个小时到达城市C求解即可．（2）设解析式为，把分别代入解析式求解即可．（3）根据题意，得，求解即可．【详解】（1）根据图像信息，得到A到C点的距离为180千米，∵汽车的速度为，∴汽车到达中点的用时，∵摩托车比汽车晚1个小时到达城市C，∴摩托车到达城市C的时间为4小时．（2）设解析式为，把分别代入解析式得，解得，故摩托车离A地的路程关于时间的函数表达式为．（3）根据题意，得到汽车的函数解析式为，根据题意，得，解得，故经过小时，摩托车和汽车相距．【点睛】本题考查了函数图像信息的解读，一次函数的解析式，正比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．10．（2023·浙江绍兴·三模）“五一”假期，甲乙两人沿同一条笔直的马路同时从同一小区出发到“三味书屋”参观，小区与“三味书屋”的路程是4千米，甲骑自行车，乙步行，当甲从原路回到小区时，乙刚好到达“三味书屋”，图中折线OABC和线段分别表示两人离小区的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据（图1）回答下列问题：

(1)直接写出甲在“三味书屋”参观的时间；(2)求图中点P（与交点）的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；(3)若两人之间的距离为y千米，当时，请在（图2）中画出y（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数图象．【答案】(1)甲在“三味书屋”参观的时间为20分钟；(2)P的坐标为，实际意义为当经过的时间为45分钟时，甲乙两人相遇，此时距离小区的路程为3千米；(3)见解析．【分析】（1）由函数图象可知甲在“三味书屋”参观时间为20分钟；（2）分别求出直线和直线的函数表达式，联立解方程组可得点P的坐标，得到实际意义；（3）根据特殊点的意义画出函数图象即可．【详解】（1）由图象可知，甲在“三味书屋”参观的时间为（分钟），故答案是20分钟；（2）解：设直线的函数表达式为，∵直线过点，∴，即，∴直线的函数表达式为；当甲从图书馆返回时：设直线的函数表达式为，∵，，解得，直线的解析式为，，

解得．当时，．．

答：P的坐标为，实际意义为当经过的时间为45分钟时，甲乙两人相遇，此时距离小区的路程为3千米．故答案是：当经过的时间为45分钟时，甲乙两人相遇，此时距离小区的路程为3千米．（3）如图，即为y（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数图象．

【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数解析式的运用，一次函数与一元一次方程的关系的运用，解答时求出函数解析式是关键．14．（2024·浙江金华·模拟预测）高铁站候车厅的饮水机（图1）有温水、开水两个按钮，图2为其示意图．小明先接温水后再接开水，接满的水杯，期间不计热损失．利用图中信息解决下列问题：(1)若先接温水26秒，求再接开水的时间．(2)设接温水的时间为秒，接到水杯中水的温度为．①若，求的值．②求关于的函数关系式，并写出达到最佳水温时的取值范围．【答案】(1)再接开水的时间为12秒(2)①25；②，【分析】（1）设再接开水的时间为秒，根据“小明先接温水后再接开水，接满700ml的水杯”，结合图2中开水和温水的水流速度，列出等量关系式，即可求解，（2）①根据图3中等量关系，列式，即可求解，②根据图3中等量关系，列出关于的函数，根据增减性，即可求解，本题考查了，一元一次方程的应用，一次函数性质得应用，解题的关键是：读懂题意列出关系式．【详解】（1）解：设再接开水的时间为秒，根据题意，得：，解得：．故答案为：再接开水的时间为12秒，（2）解：①由题意：温水体积为，开水体积为，则，即：，解得：，②由题意：温水体积为，开水体积为，则，化简，得，随的增大而减小，，故答案为：①25；②，．15．（2024·浙江·一模）金师傅购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为60千瓦时．目前有两种充电方案供选择（如表），经测算金师傅发现电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）有如图关系．方案安装费用每千瓦时所需费用方案一：私家安装充电桩2700元0.6元方案二：公共充电桩充电01.8元（含服务费）(1)已知新能源车充电时一般损耗率为1.2，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为（元），则电池剩余电量为0时到公共充电桩一次性充满需要多少费用？(2)当已行驶里程大于300千米时，求出电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）的函数表达式，当电池剩余电量为10%时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米？(3)金师傅都是在电池剩余电量不低于30千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程为多少千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算？【答案】(1)129.6元(2)30千米(3)18750千米【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意并利用待定系数法求出函数表达式是解题的关键．（1）根据“公共充电桩一次性充满电所需费用=电池容量×损耗率×每千瓦时所需费用”计算即可；（2）利用待定系数法求出y关于x的函数表达式，并求出对应x的取值范围；根据“理论上还能继续行驶的里程=当时对应x的值−当时对应x的值”计算理论上还能继续行驶的里程即可．（3）根据图象，计算该新能源车每千米的耗电量，设累计行驶里程为m千米，将耗电量（即充电量）用含m的代数式表示出来，从而分别计算两种方案的充电费用，当公共充电桩充电费用＞私家安装充电桩充电费用时，求出m的取值范围即可．【详解】（1）解：（元），∴电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要费用129.6元．（2）解：当时，设．将坐标和代入，得，解得，∴∵，又∵，∴，∴y与x的函数表达式为当时，得解得，（千米），∴此时理论上还能继续行驶30千米．（3）解：根据图象可知，根据图象可知，当电池剩余电量不低于30千瓦就开始充电时，该新能源车每千米的耗电量为（千瓦时）．设累计行驶里程为m千米，则耗电量为千瓦时．当充电千瓦时：若选择私家安装充电桩充电，需要费用为；若选择公共充电桩充电，需要费用为．当选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算时，得解得∴累计行驶里程超过18750千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算．16．（2024·浙江·一模）手机已经成为现代人生活的重要组成部分，小明想重新选择一个合适的话费套餐．素材1：小明通过收集并整理自己近六个月的话费账单得到如下数据月份123456通话时长（分钟）123150130155120160流量（GB）151417201816素材2：小明通过咨询话费套餐得到如下数据套餐名称套餐内容超出套餐资费月租费免费通话时间免费上网流量套餐外通话套餐外流量A58元200分钟10GB0.1元/分钟3元/GBB88元300分钟30GB套餐说明：①月手机资费＝月租费＋套餐外通话费＋套餐外流量费②套餐外通话不足1分钟时按1分钟算；套餐外流量不足1G时按1G算请根据以上信息，解决下列问题：(1)小明每月的通话时长与月手机资费有关系吗？为什么？(2)小明分析账单发现自己每月上网流量波动较大，设每月上网流量为xGB（，x为整数），每月手机资费为y元，分别写出套餐A、套餐B中y与x之间的关系式；(3)当小明上网流量为17GB时，从节省费用的角度考虑，小明应选择哪个套餐？【答案】(1)没有关系，理由见解析(2)，(3)选择A套餐【分析】本题考查一次函数的实际应用：（1）根据表格得到小明每月的通话时间都属于免费通话时间，作答即可；（2）根据素材2表格中的信息，列出函数关系式即可；（3）求出时的函数值，进行比较即可．【详解】（1）解：没有关系，因为小明每月的通话时间都属于免费通话时间；（2）由题意，得：套餐A：，套餐B：；（3）由题意：元；所以选择套餐A．考点二反比例函数的图像和性质题型01反比例函数的实际应用反比例函数的实际应用，熟练运用待定系数法求函数表达式即可。1．（2023·浙江温州·模拟预测）现有五种合金的密度如下表：种类甲乙丙丁戊密度（）6.98当合金的质量一定时，密度与体积成反比例．现测得某种合金的体积约为，密度与体积满足的函数关系如图所示，则该种合金的种类是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】本题考查反比例函数的实际应用，熟练运用待定系数法求函数表达式是解题的关键．根据题意，求出密度与体积的关系式，代入，对比密度（）即可得出结果．【详解】解：设密度与体积的关系式为，将代入，即，，密度与体积的关系式为，当时，，故选：D．2．（2023·浙江丽水·二模）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流与电阻之间的函数关系如图所示，如果此蓄电池电源的用电限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻应控制在（

）范围内．

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数的图象即可得到结论．【详解】解：从图中可以看出：的值随着的增加而减小，呈反比例函数关系，设，代入，得，，，令，则，如果此蓄电池电源的用电限制电流不得超过，则用电器的可变电阻应控制在范围内，故选：A．【点睛】本题考查反比例函数的图象，能够读懂反比例函数的图象是解决问题的关键．3．（2023·浙江丽水·二模）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，设反比例函数解析式为，待定系数法求解析式，进而将代入，结合函数图象即可求解．【详解】解：设反比例函数解析式为，将代入得，，∴反比例函数解析式为：，当时，，∴配制一副度数小于度的近视眼镜，则焦距的取值范围是，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．4．（2023·浙江台州·一模）如图1，点光源射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为单位：，长为单位：，当时，．

(1)求的长．(2)求关于的函数解析式，在图2中画出图像，并写出至少一条该函数性质．(3)若要求不小于，求的取值范围．【答案】(1)(2)，图象及性质见解析(3)【分析】（1）根据得出，根据相似三角形的性质即可求解．（2）由(1)得，，进而求得解析式，画出函数图形，根据函数图象写出一条性质即可求解；（3）由，，解不等式即可求解．【详解】（1）解∵，∴，∴，∴，解得．（2）由(1)得，，∴，∴或，画出图像如下：

性质：当时，随的增大而减小；（3）由，，则，解得，∴的取值范围为：．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．5．（2023·浙江台州·二模）如图1，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示（与长方体A相同重量的长方体均满足此关系）．桌面所受压强P（Pa）100200400500800受力面积5

(1)求桌面所受压强与受力面积之间的函数表达式；(2)现将另一长、宽、高分别为0.2m，0.3m，0.2m与长方体A相同重量的长方体B按如图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若桌面所受压强与受力面积之间的关系满足（1）中的函数表达式，且该玻璃桌面能承受的最大压强为，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．【答案】(1)(2)安全，见解析【分析】（1）用待定系数法可得函数关系式即可；（2）算出S，即可求出P，比较可得答案．【详解】（1）解∶由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，设，将代入得：，∴．（2）解∶这种摆放方式安全，理由如下：由图可知，∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上，，∵，∴这种摆放方式安全．【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．6．（2023·浙江杭州·一模）2023年某一天，某市某海域商船向辖区派出所报案：留在船上的钻石“不胫而走”．警方迅速出动警力赶往现场了解情况发现，在海滩案发现场留下了罪犯清晰的站立的脚印，如图脚印长约0.276m，陷入沙泥大约平均0.03m，警方立即用蜡浇铸了鞋模．蜡鞋模的平均厚度为0.03m，质量m为0.675kg（，），经过测试，达到同样脚印的压强在到（牛/米）之间，当人双脚站立在水平地面上所受的重力G（）一定时，脚印的压强P与鞋跟地面接触的面积S满足函数关系．(1)求整双鞋与地面接触的面积S．(2)如果你是警方人员，请你估计出这名罪犯的体重范