2024届江苏省常州市溧阳市数学八年级第二学期期末质量检测试题含解析

2024届江苏省常州市漂阳市数学八年级第二学期期末质量检测试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（）

A.3,5,9B.4,6,8C.13,14,15D.8,15,17

2.五边形的内角和是（）

A.180°B.360°C.540°D.720°

3.如图，已知平行四边形ABCD中，N3=4NA,则NC=（)

A.18B.36°C.72D.114

4.反比例函数y=（2m-l）产2号，当x>0时，y随x的增大而增大，则m的值是（）

A.m=±lB.小于工的实数C.-1D.1

2

5.若等腰三角形底边长为8,腰长是方程*一"+20=0的一个根，则这个三角形的周长是（）

A.16B.18C.16或18D.21

6.“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事.如图所示，表示了寓言中的龟、兔的路程S和时间f的关系（其中直线

段表示乌龟，折线段表示兔子）.下列叙述正确的是（）

A.赛跑中，兔子共休息了50分钟

B.乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟

C.兔子比乌龟早到达终点10分钟

D.乌龟追上兔子用了20分钟

7.如图，四边形A3。是菱形，对角线AC,30相交于点O,于点"，连接。77,ZCAD=20°,贝！

的度数是（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

8.下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（）.

A.a=l,b=3,c=4B.a=4,b=4,c=5

C.a=5,b-6,c=7D.a=5,b=12,c=13

9.如图，在矩形ABC。中，AB=6,BC=8,过对角线交点。作印，AC交A。于点E,交BC于低F,则OE

的长是（）

鼻

712

A.1B.-C.2D.—

45

io.关于函数y=x+l,下列结论正确的是（）

A.图象必经过点（2,3）B.y随X的增大而减小

C.图象经过第一、二、四象限D.以上都不对

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.一元二次方程2V—3%—1=0的一次项系数为_________.

12.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形ABC。中,若AB=10,AC=12,则BO的长

为.

rD

X—TV13

13.若关于x的分式方程^-------=1无解，则m的值为.

x-1x

14.如图，把RSABC放在直角坐标系内，其中NCA3=90。，3c=5,点A,5的坐标分别为（1,0）,（4,0）,将△A3C

沿x轴向右平移，当C点落在直线y=2x—6上时，线段5c扫过的区域面积为.

,3

15.在等腰AABC中，三边分别为a、b、c,其中a=4,b、c恰好是方程好一（2左+l）x+5（左一:）=0的两个实数根,

4

贝!JAABC的周长为.

16.如图，在矩形ABCD,BE平分4BC,交AO于点E,尸是3E的中点，G是BC的中点，连按EC,若=8,BC=14,

则FG的长为

17.如图，在矩形被力中，对角线/C,初相交于点0,4g3,Z夕垂直平分必于点⑨则的长为

x+2

18.若代数式^—在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____.

2x-l

三、解答题（共66分）

19.（10分）某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准.若某户居民每月应缴水费y（元）与用水量

x（吨）的函数图象如图所示,

（1）分别写出烂5和x>5的函数解析式；

（2）观察函数图象，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准;

（3）若某户居民六月交水费31元，则用水多少吨？

y（元）

…（吨）

20.（6分）如图，在菱形ABCD中，ZABC=120°,AB=4，LE为对角线AC上的动点（点E不与A,C重合）,

连接BE,将射线EB绕点E逆时针旋转120。后交射线AD于点F.

（1）如图1,当AE=AF时，求NAEB的度数；

（2）如图2,分别过点B,F作EF,BE的平行线，且两直线相交于点G.

①试探究四边形BGFE的形状，并求出四边形BGFE的周长的最小值；

②连接AG,设CE=x,AG=y,请直接写出y与x之间满足的关系式，不必写出求解过程.

4匕-----------------n~FAFD

图10尸图2

21.（6分）如图，反比例函数yi=K与一次函数y2=mx+n相交于A（-1,2）,B（4,a）两点，AE_Ly轴于点E,

则：

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）若yiWyz则直接写出x的取值范围；

（3）若M为反比例函数上第四象限内的一个动点，若满足SAABM=SAAOB,则求点M的坐标.

22.（8分）已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货.设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完

这批货物所需的时间为“单位：小时）.

⑴求丫关于t的函数表达式.

⑵若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？

23.（8分）如图，在矩形A5C。中，AC=60cm,ZBAC=60°,点E从点A出发沿A5方向以2秒的速度向点8

匀速运动，同时点F从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点

也随之停止运动.设点E,歹运动的时间是f秒(04W15).过点尸作。尸，5c于点0,连接0E,EF.

(1)求证：AE—0F；

(2)四边形AE0厂能够成为菱形吗？如果能，求出相应的f值，如果不能，请说明理由；

(3)当f为何值时，A0E歹为直角三角形？请说明理由.

24.(8分)如图，在四边形ABC。中，AD//BC,BA=BC,30平分NA8c.

(1)求证：四边形ABC。是菱形；

(2)过点。作交5c的延长线于点E,若BC=5,BD=8,求四边形A3EO的周长.

25.(10分)如图，△ABC中，NACB=90。，D.E分另U是BC、BA的中点，联结DE,F在DE延长线上，且AF=AE.

(1)求证：四边形ACEF是平行四边形；

(2)若四边形ACEF是菱形，求NB的度数.

26.(10分)某内陆城市为了落实国家“一带一路”，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420km

的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%,行驶时间缩短了2h,求汽

车原来的平均速度.

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、D

【解题分析】

欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

【题目详解】

解：A、因为32+52r92,所以不能组成直角三角形；

B、因为42+62782,所以不能组成直角三角形；

C、因为132+142n52,所以不能组成直角三角形；

D、因为82+152=172,所以能组成直角三角形.

故选：D.

【题目点拨】

此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验

证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.

2、C

【解题分析】

根据”边形的内角和为：(〃-2)180(〃》3,且“为整数)，求出五边形的内角和是多少度即可.

【题目详解】

解：五边形的内角和是：

(5-2)x180°

=3x180°

=540°

故选：C.

【题目点拨】

此题主要考查了多边形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确"边形的内角和为：(〃-2)」80(«>3,

且〃为整数).

3、B

【解题分析】

由平行四边形的邻角互补得到ZA的度数，由平行四边形的对角相等求ZC.

【题目详解】

解：因为：平行四边形ABCD,所以：NA+ZS=180。，ZA=ZC,

又因为：N3=4NA,所以：5ZA=180°,解得：ZA=36°,所以：ZC=36°.

故选B.

【题目点拨】

本题考查的是平行四边形的性质，掌握平行四边形的角的性质是解题关键.

4、C

【解题分析】

根据反比例函数的定义列出方程：机2_2=-7求解，再根据它的性质列出不等式：2m-l<0决定解的取舍.

【题目详解】

根据题意，m2-2=-l,解得机=±1,

又；2m-lW0,

1

；.m#一,

2

；y随x的增大而增大，2mT<0,得m<；,

/.m=-l.

故选c.

【题目点拨】

本题考查反比例函数的性质，反比例函数的定义.根据反比例函数自变量X的次数为-Lk>0时，在各自象限y随X的增

大而减小；kVO时，在各自象限y随x的增大而增大.

5、B

【解题分析】

先把方程*一9》+20=0的根解出来，然后分别让两个根作为腰长，再根据三角形三边关系判断是否能组成三角形，

即可得出答案.

【题目详解】

解：•腰长是方程/-9x+20=0的一个根，解方程Y一"+20=0得：石=4,%=

二腰长可以为4或者5；

当腰长为4时，三角形边长为：4,4,8,

••・4+4=8,根据三角形三边长度关系：两边之和要大于第三边可得：4,4,8三条线段不能构成三角形，

,舍去；

当腰长为5时，三角形边长为：5,5,8,经检验三条线段可以构成三角形；

三角形的三边长为：5,5,8,周长为：18.

故答案为B.

【题目点拨】

本题考查一元二次方程的解，以及三角形三边关系的验证，当涉及到等腰三角形的题目要进行分类讨论，讨论后一定

不要忘记如果求得三角形的三边长，必须根据三角形三边关系再进行判断，看求得的三边长度是否能构成三角形.

6^D

【解题分析】

分析：根据图象得出相关信息，并对各选项一一进行判断即可.

详解：由图象可知，在赛跑中，兔子共休息了：50-10=40（分钟），故A选项错误；

乌龟跑500米用了50分钟，平均速度为：—=10（米/分钟），故B选项错误；

50

兔子是用60分钟到达终点，乌龟是用50分钟到达终点，兔子比乌龟晚到达终点10分钟，故C选项错误；

在比赛20分钟时，乌龟和兔子都距起点200米，即乌龟追上兔子用了20分钟，故D选项正确.

故选D.

点睛：本题考查了从图象中获取信息的能力.正确识别图象、获取信息并进行判断是解题的关键.

7、A

【解题分析】

先根据菱形的性质得OD=OB,AB〃CD,BD_LAC,贝!J利用DH_LAB得至I]DHJ_CD,ZDHB=90。,所以OH为RtADHB

的斜边DB上的中线，得到OH=OD=OB,利用等腰三角形的性质得N1=NDHO,然后利用等角的余角相等即可求

出NDHO的度数.

【题目详解】

解：二•四边形ABCD是菱形，

AOD=OB,AB〃CD,BD±AC,

VDH±AB,

ADH±CD,ZDHB=90°,

AOH为RtADHB的斜边DB上的中线，

AOH=OD=OB,

，N1=NDHO,

VDH±CD,

.*.Zl+Z2=90°,

VBD±AC,

/.Z2+ZDCO=90°,

.*.Z1=ZDCO,

.\ZDHO=ZDCA,

••,四边形ABCD是菱形，

，DA=DC,

.•.ZCAD=ZDCA=20°,

/.ZDHO=20°,

故选A.

【题目点拨】

本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考

题型.

8、D

【解题分析】

本题只有5?+12?=13?,故选D

9、B

【解题分析】

连接CE,由矩形的性质得出NADC=90，CD=AB=6,AD=BC=8,OA=OC,由线段垂直平分线的性质

得出AE=CE,设OE=x,则CE=AE=8—x,在小中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

【题目详解】

如图：连接CE,

•.•四边形ABC。是矩形，

/ADC=90，CD=AB=6,AD=BC=8，OA=OC>

'：EF±AC,

：.AE=CE,

设OE=x,则CE=AE=8—x,

在RtACDE中,由勾股定理得：x2+62=（8-x）2,

7

解得：%=-,

4

7

即。E=—；

4

故选B.

【题目点拨】

本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关

键.

10、A

【解题分析】

根据一次函数的性质进行判断即可得答案.

【题目详解】

解：A、当x=2时，y=2+l=3,图象必经过点（2,3）,故A正确；

B、k=l>0,y随x的增大而增大，故B错误；

C、k=l>0,b=l>0,图象经过第一、二、三象限，故C错误；

D、由A正确，故D说法错误，

故选A.

【题目点拨】

本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、-3

【解题分析】

一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax2+bx+c=0（a加）.其中ax?叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项,

b是一次项系数；c叫作常数项.

【题目详解】

解：一元二次方程2尤2—3%—1=0的一次项系数为-1.

故答案为：—3.

【题目点拨】

本题考查的知识点是一元二次方程的一般形式，是基础题目，易于理解掌握.

12、1

【解题分析】

过点A作AELBC于E,于尸，设AC、BD交点为0,首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸

条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形.然后依据勾股定理求得08的长，从而可得

到的长.

【题目详解】

解：过点A作AELBC于E,AELCD于歹，设AC、BD交低为0.

两条纸条宽度相同，

:.AE=AF.

■.AB//CD,ADIIBC,

：.四边形ABC。是平行四边形.

SABCD=BC•AE=CD-AF.

又AE=AF.

BC=CD,

四边形ABC。是菱形；

:.OB=OD,OA=OC=6,AC±BD.

OB=yjAB2-O^=V102-62=8•

:.BD=2OB=16.

故答案为1.

【题目点拨】

本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及四边形的面积，证得四边形ABC。为菱形是

解题的关键.

13、-2或1

【解题分析】

分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值.

【题目详解】

去分母得：x2-mx-3x+3=x2-x,

解得：(2+m)x=3,

3

由分式方程无解，得至U2+m=0,即!11=-2或工=——=1,即m=l,

2+m

综上，m的值为-2或1.

故答案为：-2或1

【题目点拨】

此题考查了分式方程的解，注意分母不为0这个条件.

14、5

【解题分析】

解：如图所示.\•点4、3的坐标分别为(1,0)、(4,0),：,AB=1.

；NC4B=90°,BC=3,.\AC=4,：.A'C'=^.

.点。在直线y=4x-6上，.,.4x-6=4,解得x=3.

4

BPOA'=3,：.CC'=3-1=4,：.SaBcc'B'=4x4=5(cm).

即线段BC扫过的面积为5cm\故答案为5.

【解题分析】

3

根据等腰AABC中，当a为底，b,c为腰时，b=c,得出△=[-(2k+l)]2-4xl(k--)=4k2+4k+l-20k+ll=4k2-16k+16=0,

4

解方程求出k=2,则b+c=2k+l=l；当a为腰时，则b=4或c=4,然后把b或c的值代入计算求出k的值，再解方程进

而求解即可.

【题目详解】

3

等腰△ABC中，当a为底，b,c为腰时，b=c,若b和c是关于x的方程d-(2k+l)x+1(k—)=0的两个实数根，

4

3

则△=[-(2k+l)J-4X1(k--)=4k2+4k+l-20k+ll=4k2-16k+16=0,

4

解得：k=2,

则b+c=2k+l=l,

△ABC的周长为4+1=9；

当a为腰时,则b=4或c=4,

3

若b或c是关于x的方程X。-(2k+l)x+1(k—)=0的根，

4

3

贝！]4-4(2k+l)+1(k——)=0,

4

解得：k=—,

4

13

解方程x2-—x+10=0,

2

解得x=2.1或x=4,

则△ABC的周长为：4+4+2.1=10.1.

16、5

【解题分析】

根据BE平分NABC,可得NABE=45°,4ABE是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得EC,根据F是BE的中点,

G是BC的中点，可判定FG是ABEC的中位线，即可求得FG=】EC.

2

【题目详解】

;矩形ABCD中，BE平分NABC,

AZA=90°,ZABE=45°,

；.ABE是等腰直角三角形，

；.AE=AB

XVABCD是矩形，

.*.AB=BC=14,DC=AB=8,ZEDC=90°,

；.DE=AD-AE=14-8=6,

EC=W)2+DC2=〃+62=10,

；F是BE的中点，G是BC的中点，

.\FG=1EC=5.

2

故答案为5.

【题目点拨】

本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理三角形中位线的定义以及三角形中位线的性质.

17、373

【解题分析】

由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出。4=43=05=3,得出80=203=6,由勾股定理求出AO即可.

【题目详解】

•••四边形ABC。是矩形，

：.0B=0D,OA=OC,AC=BD,

；.0A=0B,

垂直平分OB,

：.AB^A0,

.\OA=AB=OB=3f

：.BD=2OB=6f

•••AO=VBD2-AB2=V62-32=3A/3；

故答案是：3君.

【题目点拨】

考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三

角形是等边三角形是解决问题的关键.

,1

18、xW—

2

【解题分析】

根据分式的分母不为0可得关于X的不等式，解不等式即得答案.

【题目详解】

x+21

解：:代数式~;在实数范围内有意义，・・・2x—18，解得：x^-.

2x-l2

故答案为：中］.

【题目点拨】

此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键.

三、解答题(共66分)

19、(1)y=3x(x<5),y=4x—5(x>5);(2)见解析；(3)9吨.

【解题分析】

【分析】（1）用待定系数法可求解析式；（2）由（1）解析式得出：xW5自来水公司的收费标准是每吨3元.（3）把

y=31代入y=4x-5（x>5）即可.

x>5自来水公司的收费标准是每吨4元；

【题目详解】解：（1）y=3x（xW5）,y=4x-5（x>5）

（2）由（1）解析式得出：xW5自来水公司的收费标准是每吨3元.

x>5自来水公司的收费标准是每吨4元；

（3）若某户居民六月交水费31元，设用水x吨，4x-5=31,解得：x=9（吨）

【题目点拨】本题考核知识点：一次函数的应用.解题关键点：结合一次函数的图象解决问题.

20、（1）45°；（2）①四边形BEFG是菱形，8豆；②y=&-12X+48（0<x<12）

【解题分析】

（1）利用等腰三角形的性质求出NAEF即可解决问题.

（2）①证明四边形BEFG是菱形，根据垂线段最短，求出BE的最小值即可解决问题.

②如图2-1中，连接BD,DE,过点E作EH±CD于H.证明4ABG丝△DBE（SAS）,推出AG=DE=y,在RtACEH

中，EH=—EC=—x.CH=—x,推出DH=|4j^-3x|,在RtAJJEH中，DE2=EH2+DH2,构建方程求

2222

解即可.

【题目详解】

解：（1）如图1中，

•.•四边形ABCD是菱形，

；.BC〃AD,NBAC=NDAC,

/.ZABC+ZBAD=180o,

VZABC=120°,

.\ZBAD=60°,

AZEAF=30°,

VAE=AF,

ZAEF=ZAFE=75°,

VZBEF=120°,

:.ZAEB=120°-75°=45°.

(2)①如图2中，连接DE.

VAB=AD,ZBAE=ZDAE,AE=AE,

AABAE^ADAE(SAS),

・・・BE=DE,NABE=NADE,

ZBAF+ZBEF=60°+120°=180°,

:.ZABE+ZAFE=180°,

■:ZAFE+ZEFD=180°,

AZEFD=ZABE,

.*.ZEFD=ZADE,

，EF=ED,

AEF=BE,

VBE//FG,BG/7EF,

J四边形BEFG是平行四边形，

VEB=EF,

J四边形BEFG是菱形，

・••当BE_LAC时，菱形BEFG的周长最小，此时BE=AB・sin3(r=2班,

・•・四边形BGFE的周长的最小值为8百.

②如图2-1中，连接BD,DE,过点E作EHLCD于H.

BC

w

FD

图2-1

；AB=AD,NBAD=60。，

/.△ABD是等边三角形，

；.BD=BA,NABD=60°,

VBG//EF,

，NEBG=180°-120°=60°,

.,.ZABD=ZGBE,

，NABG=NDBE,

VBG=BE,

/.△ABG^ADBE(SAS),

/.AG=DE=y,

]]n

在RtZkCEH中，EH=—EC=—x.CH=—x,

222

.\DH=|4V3-—x|,

2

在RtZ\DEH中，VDE2=EH2+DH2,

.*.y2=—x2+(4^/3-^~x)2,

42

22

.*.y=x-12X+48,

•"=&-12x+48(0<x<12).

【题目点拨】

本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形

的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用

参数解决问题，属于中考压轴题.

213,—3-A/H

21、(1)乂二---9y--------—;(2)x<-1或OVx〈l；(3)点M的坐标(2,-1)或(3+y/13，---------------).

x2222

【解题分析】

(1)先将点A代入反比例函数解析式中即可求出反比例函数的解析式，然后根据反比例函数的解析式求出点B的坐

标，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；

(2)根据图象及两个函数的交点即可得出x的取值范围；

(3)先求出一次函数与y轴的交点坐标，然后利用SOBM=SAAOB和平移的相关知识分两种情况：向上平移或向下平

移两种情况，分别求出平移后的直线与反比例函数在第四象限的交点即可.

【题目详解】

(D把A(-1,2)代入反比例函数％=幺得，k=-2

2

・••反比例函数的关系式为％,

x

21

把B(1,a)代入％=---得，---，

x2

B(1,)

2

把A(-L2),B(L—；)代入一次函数%=如+〃得，

「nf1

—m+n—2m=——

2

,1解得Q

4m+n=——3

2n--

II2

13

・•・一次函数的关系式为：%=——%+—

22

(2)当时，反比例函数的图象在一次函数图象的下方，

结合图象可知，当%«%，自变量X的取值范围为：心-1或0«1.

3

(3)当％=0时，％=耳

133

・•・%=—］与y轴的交点坐标为(0,-),如图：

•SAABM-SAAOB

3

,根据平行线间的距离处处相等，可将一次函数进行平移不个单位，则平移后的直线与反比例函数在第四象限的交点

2

即为所求的M点.

1331

将％=--%+三向下平移一个单位过O点，关系式为：y=—-x,

2222

1

y二——x

2石=2%2=-2

解得k=l

2E=T

y二一一

X

在第四象限,

：.M(2,-1),

1331

将%向上平移5个单位后直线的关系式为：＞QX+3,

1c

y=——x+3£=3+yfl3x4=3—y/13

:2解得,

3-而二3+V13，

y二—一

X

在第四象限,

AAf(3+V13,3-^)，

综上所述，点M的坐标（2,-1）或（3+屈，上普），

【题目点拨】

本题主要考查反比例函数，一次函数与几何综合，掌握待定系数法及平移的相关知识和二元一次方程组的解法是解题

的关键.

22、（l）v=图；（2）平均每小时至少要卸货20吨.

【解题分析】

（1）直接利用vt=100进而得出答案;

（2）直接利用要求不超过5小时卸完船上的这批货物，进而得出答案.

【题目详解】

⑴由题意可得：100=vt,

e100

贝!|v=——

⑵•.•不超过5小时卸完船上的这批货物,

/.t<5,

e100

则v>-—=20,

答：平均每小时至少要卸货20吨.

【题目点拨】

考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键.

23、(1)证明见解析；(2)能，10；(3)U/或U12,理由见解析.

2

【解题分析】

(1)利用矩形的性质和直角三角形中30所对应的直角边是斜边的一半进行作答；

(2)证明平行四边形是菱形，分情况进行讨论，得到等式；

(3)分别讨论若四边形AE。b是平行四边形时，则①NOFE=90。或②NOE歹=90。，分情况讨论列等式.

【题目详解】

解：(1)•••四边形A8C。是矩形

:.ZB=90°

在RthABC中,ZACB=90°-ZBAC=30°

'：AE=2tCF=4t

又C。尸中，ZACB=30°

:.OF=—CF=2t

2

.•.AE=O尸

(2).：OF〃AB,AE^OF

四边形AEOF是平行四边形

当AE=A尸时，平行四边形AE。尸是菱形

即：2U60一取

解得：/=10

...当t=10时，平行四边形AEOF是菱形

(3)①当NO尸E=90°时，

则有：EF//BC

ZAFE=ZACB=30°,ZAEF=ZB=90°

在RSAE尸中，ZAFE=30°

：.AF=2AE

即：60—4U2X2/

解得：/=E

②当NOEF=90°时，四边形AEO尸是平行四边形

则有：OE//AC

：.NA尸E=NOEF=90°

在及AAEF中，ZBAC=60°,ZAEF=30°

：.AE=2AF

即：2U2X(60—4力

解得：t=12

，当u”或U12时，AOEF为直角三角形.

2