2024年初三中考第一次模拟考试试题：数学（山西卷）（全解全析）

2024年中考第一次模拟考试（山西卷）

数学•全解全析

第I卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.的相反数是（）

O

A.8B.-8C.--D.-

88

【答案】D

【解析】解：-:的相反数是:，

OO

故选：D.

2.观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答案】B

【解析】解：第一个图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故此图案不符合题意;

第二个图案是轴对称图形，也是中心对称图形，故此图案符合题意；

第三个图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故此图案不符合题意；

第四个图案不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此图案不符合题意.

故选:B.

3.下列运算正确的是（）

326226

A.a*a=aB.（加）=tz/?

C.（a-b）2=/-庐D.（。+6）（-a-Z?）=a2-b2

【答案】B

【解析】解：故选项a错误，不符合题意;

（al42=//，故选项2正确，符合题意；

（a-b）2=G2-lab+b2,故选项C错误，不符合题意;

(a+b)(-a-b)—--2ab-b2,故选项。错误，不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式的应用.

4.“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启

示我们身处逆境也要努力绽放自己,要和苔花一样尽自己所能实现人生价值.苔花也被称为“坚韧之花'.'袁

枚所写的“苔花”很可能是苔类抱子体的苞荫，某抱子体的苞荫直径约为0.0000084处将数据0.0000084

用科学记数法表示为8.4x10",则n的值是()

A.6B.-7C.-5D.-6

【答案】D

【解析】解：0.0000084=8.4x1(/6,

则,1=-6,故选：D.

5.如图，是一个底部呈球形的蒸储瓶，球的半径为6。小瓶内液体的最大深度。=3c机，则截面圆中弦A

C.cirD.8cm

【答案】C

【解析】解：由题意得：0CJ_A2,

：.AC=BC=^AB,ZOCA=90°,

2

OA=OD—6cm,CD=3cm,

：.OC=OD-CD=6-3=3(cm),

在RtAOAC中，由勾股定理得：AC=yj°N2r必_§2=3a(cm),

：.AB=2AC=6->/3(cm).

截面圆中弦48的长为6yf3cm,

故选：C.

6.如图，将质量为10像的铁球放在不计重力的木板。8上的A处，木板左端。处可自由转动，在8处用

力产竖直向上抬着木板，使其保持水平，已知OA的长为Im,OB的长为尤m,g取10N/kg,则歹关于

x的函数解析式为()

AA\B

%

A.B.C.卜圆D.

XXXX

【答案】A

【解析】解：取ION/彷，铁球质量为10彷，

.".G=m^=10x10=100(N),

OA—Im,OB=xm,

.•.由杠杆平衡原理可得：FxOB=GxOA,即尸式=100、1,

•••/关于x的函数解析式为

X

故选：A,

7.某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图

②是其示意图，其中AB,C。都与地面/平行,ZBC£)=60°,ZBAC=54°.当/肱4。为()度时,

AM与CB平行.

E

灵£

三

F

图①图②

A.16B.60C:.66D.114

【答案】C

【解析】解：CD都与地面/平行，

.'.AB//CD,

・・・ZBAC+ZACZ)=180°,

・•・ZBAC+ZACB+ZBCD=180°,

u：ZBCD=60°,ZBAC=54°,

I.ZACB=66°,

・••当NM4C=NAC8=66。时，AM//CB,

故选：C.

8.已知反比例函数y二,，下列结论不正确的是（）

X

A.图象经过点（-1,1）

B.图象在第二、四象限

C.当x<0时，y随着x的增大而增大

D.当尤>1时，y>-1

【答案】D

【解析】解：4（-1,1）代入y=_l,得：左边=右边，故本选项正确；

X

8、图象在第二、四象限内，故本选项正确；

C、在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项正确；

D、当x>l时，-l<y<0,故本选项不正确；

不正确的只有选项D.

故选：D.

9.如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F,G为出口，其中直行道为AB,CG,

EF,且A8=CG=EF；弯道为以点。为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为90。，甲、乙两车由A口同

时驶入立交桥，均以12机/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（切）与时间x（s）

的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法错误的是（）

A

图1图2

A.甲车从G口出，乙车从尸口出

B.立交桥总长为252%

C.从F口出比从G口出多行驶72〃z

D.乙车在立交桥上共行驶16s

【答案】D

【解析】解：根据两车运行时间，可知甲车从G口出，乙车从P口出，故A正确；

由图象可知，两车通过黄、而、立弧时每段所用时间均为3s,

通过直行道AB,CG,EP时，每段用时为4s.

所以立交桥总长为（3x3+4x3）xl2=252m,故3正确；

根据两车运行路线，从厂口驶出比从G口多走向，血弧长之和，

用时为6s,则多走72处故C正确；

根据题意乙车行驶时间为：4x2+3x3=17秒，故。错误；

故选：D.

10.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形0ABe绕点。顺时针旋转〃个45。，得到正六

边形OAnBnCnDnEn,当”=2030时，正六边形OA2030B2030C2030D2030S2030的顶点。2030的坐标是（）

【解析】解：由题意可知：正六边形绕点。顺时针旋转一圈，旋转了8个45。,

•当”=2030时，2030+8=253........6,.,.£>2030的坐标与的坐标相同，

如图所示：过点。6HLOE于点H,过点。作。/Ux轴于点R

•:/DEO=120°,DE=EO=1,

：.ZEDO=Z£)OE=30°,

,：ZDFO=90°,

；./FDE=30°,

DF

.在RtADFE中，COS30°

DE

a

-DF=DEcos300七

DF

.在R30Z)尸中,sin60°

OD

DFr-

OD6=OD=VS'NEOD6=60°,

又ZD6Ho=90。，在RtAOH£>6中，

OHHDfi

••.c°s60°=西，sin60°二西’

­,o

•*,0H=0Dgcos60°=^HD6=ODgXsin60节，

又•・,点。6在第三象限，

...点。6的坐标为(毡■,工)，

<22J

故选：B.

第n卷

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11•计算：(V3W2)(V3-V2)2=---------

【解析】解：原式=（V3+V2）x（V3-V2）x（V3-V2）

=（3-2）x（73-&）

=V3-V2.

故答案为：V3-V2-

12.化学中直链烷煌的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为1〜10时，依次用天干——甲、乙、丙、

丁、戊、己、庚、辛、壬、癸一表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则庚烷分子结

构式中“反，的个数是.

HHHHH

H

—

—

I—I

cI

-C-HCH-Cc

—

—

I—I—C—H

I

HHHHH

①②③H

【解析】解：由图可得，

甲烷分子结构式中’的个数是2+2x1=4；

乙烷分子结构式中“"’的个数是2+2x2=6；

丙烷分子结构式中“发'的个数是2+2x3=8；

，第7个庚烷分子结构式中“发，的个数是：2+2x7=16；

故答案为：16.

13.如图，在AABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交A3,AC于点

N；②分别以点M,N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点尸；③作射线4尸交BC于点

若A8：AC=2：3,AABD的面积为2,则AABC的面积为.

【解析】解：过点。作。于点E,作DFLAC于点尸,

A

E/M

D{~

由作图可知，射线A尸为NA4C的平分线，

：.DE=DF,

・••A"AC=2：3,s△幽卷AB・DE，SAACD^AODF，

.•SAABD：SAACD—2：3,

•..△ABD的面积为2,

△AC。的面积为3,

AABC的面积为SAABD+SAACD—2+3—5.

故答案为：5.

14.有甲、乙两把不同的锁和A、B,C三把不同的钥匙.其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙

不能打开这两把锁.随机取出一把钥匙开甲锁，恰好能打开的概率是.

【解析】解：因为三把钥匙中只有1把能打开甲锁，

所以随机取出一把钥匙开甲锁，恰好能打开的概率是工.

3

故答案为：1.

15.如图，在正方形A8CD中，AB=3近,M为对角线8。上任意一点（不与8、。重合），连接CM,过

点M作MALLCM,交线段A8于点N.连接NC交8。于点G.若BG：MB=3：8,贝ljNG・CG=

NB

【解析】解：如图，把绕点C逆时针旋转90。得到ABHC,连接GH,

D

A']V75

■:丛DMC经丛BHC,ZBCD=90°,

:・MC=HC,DM=BH,/CDM=/CBH=45。,/DCM=/BCH,

：.ZMBH=90°,/MCH=9。。,

*.•ZCMN=ZCBN=90°,

：.M,N、B、C四点共圆，

/./MCN=45。,

：.NNCH=45。，

在AMCG和△〃CG中，

MC=HC

,ZMCN=ZNCH，

CG=CG

:AMCG沿AHCG(SAS),

：.MG=HG,

'：BG：MB=3：8,

：.BG：MG=3：5,

设5G=3〃，则MG=G"=5〃，

在RtZkBG“中，BH=4a,则

,/正方形ABCD的边长为3点,

：.BD=6,

：.DM-^-MG+BG=12〃=6,

,_1

••ci——,

2

：.BG=^,MG=—,

22

ZMGC=ZNGB,NMNG=NGBC=45°,

:.丛MGNs/\CGB,

•.•GC=MG一,

GBNG

，CGWG=BG・MG=E.

4

故答案为：

4

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（10分）（1）计算：卜1|一（万一2022）°+［g］-2tan45°

（2）下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务.

因式分解：（3a+6）2-（a+36）2

解：^=（9a2+6ab+b2）-（a2+6ab+9b2）第一步

=8a2-8b2第二步

=8（片-勾第三步

任务一：填空：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是公式；

②第三步进行因式分解用到的方法是法.

任务二：同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是

任务三：小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出正确

的解答过程.

【解析】（1）解:原式=l—l+2—2xl=0.

（2）任务一：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是完全平方公式；

②第三步进行因式分解用到的方法是提公因式法；

任务二：小明因式分解的结果不彻底，/一/还可以进行因式分解；

任务三：原式=［（3々+〃）+（a+3Z?）］［（3a+Z?）—（a+3Z?）］

=（4a+4b）（2a—2Z?）

=8（a+b）（a—b）

故答案为：任务一：①完全平方；②提公因式；任务二：因式分解不彻底（或〃2-抉还可以进行因式分解）；

任务三：8（〃+。）（"—》）.

17.（7分）解分式方程：1」-上当

x-44-x

【解析［解：:亘，

x-44-x

去分母得：x-4-3=3-x,

解得：尤=5,

经检验：尤=5是分式方程的解.

18.（9分）某校在课后服务中，成立了以下社团：A.计算机，B.围棋，C.篮球，D.书法每人只能加入

一个社团，为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查

结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中。所占扇形的圆心角为150°.

请结合图中所给信息解答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有360人;

（2）请你将条形统计图补充完整；

（3）若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团；

（4）在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学,

两名是女同学.现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛,用画树状图求恰好选中一男一女的概率.

【解析】解：（1）所占扇形的圆心角为150。，

这次被调查的学生共有：1500出=360（人）；

360

故答案为：360.

（2）C组人数为：360-120-30-150=60（人）,

故补充条形统计图如下图：

60

⑶1800X=300（人），

360

答：这1800名学生中有300人参加了篮球社团,

（4）设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下:

开始

甲乙

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

•••一共有12种可能的情况，恰好选择一男一女有8种,

.._8..2

•.PD(一男一女)-12~3

19.（8分）为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个A品牌的

足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元.

（1）求A,B两种品牌的足球的单价.

（2）2023年学校购买足球的预算为6400元，总共购买100个球且购买A品牌足球的数量不多于B品牌

足球数量的2倍，有几种购买方案.

【解析［解：（1）设A品牌的足球的单价为尤元/个，B品牌的足球的单价为y元/个,

2x+3y=380

根据题意得:

4x+2y=360

x=40

解得:

y=100

答：A品牌的足球的单价为40元/个，B品牌的足球的单价为100元/个.

a<2(100-a)

（2）设购买A品牌足球。个，则购买B品牌足球（100-a）个.则

40a+100(100-a)<6400,

可取60,61,62,63,64,65,66共7种购买方案.

答：有7种购买方案.

20.（8分）学科综合

我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1）,我们把“=皇吗-称为折射率

sinP

（其中a代表入射角，P代表折射角）.

观察实验

为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块C,但不在细

管所在直线上，图3是实验的示意图，四边形A2FE为矩形，点A,C,B在同一直线上，测得8尸

=12cm,DF=16cm.

（1）求入射角a的度数.

（2）若BC=】cm,求光线从空气射入水中的折射率n.（参考数据：sin53°-cos53°-

55

图1图2图3

【解析】解：（1）如图：过点D作DGLA8,垂足为G,

由题意得：四边形DG3F是矩形，

DG=BF=12cm,BG=DF=16cm,

在RtAOGB中，tan/B£)G=^=E=4

DG123

NBDG=53°,

：.ZPDH=ZBDG=53°,

入射角a的度数为53°；

(2)"：BG=l6cm,BC=1cm,

:.CG=BG-BC=9(cm),

在RtACDG中，DG=12cm,

•'-DC=VCG2+DG2=V92+122=15(CM),

由（1）得：/PDH=53。,

sinZPDH=sina»—,

5

£

.•.折射率〃=叁喋=今=4，

sinB13

5

.•.光线从空气射入水中的折射率n约为4.

3

21.（8分）阅读与思考

下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应的任务：

由一道习题引发的思考——“十字架模型”的拓展研究

在我们教材上，有这样一道习题：如图1,四边形A8CO是一个正方形花园，E,尸是它的两个门，要修

建两条路BE和AF,且使得BE1AF,那么这两条路等长吗？为什么？

对于上面问题，我是这样思考的：

:四边形ABCD是正方形，：.AB=AD,ZBAE=ZADF=90°.

XVB£±AF,/.ZBEA+ZDAF^ZDAF+ZAFD^90°

：.ZBEA=ZAFD,（依据*）

Rt^ABE=Rt^DAF,BE=AF.

有趣的是对于两个端点分别在正方形ABC。一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，是否这两

条线段仍然相等呢？对此我们可以做进一步探究：

如图2,在正方形ABC。中，若点M、N、P、。分别是A3、CD、BC、AD上的任意四点，＞MN±PQ,

垂足为。，则MN仍然与P0相等.理由如下：

过点M作ME_LC。，垂足为E,过点P作PF_LAD,垂足为尸.则容易证明四边形和48Pp均为

矩形，

：.ME=AD,PF=AB.,：AB=AD,：.ME=PF

在四边形QOND中，*.•ZNOQ=ZD=90°,

任务：根据上面小论文的分析过程，解答下列问题:

(1)画横线部分的“依据*”是在等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子，等式仍成立.

(2)在小论文的分析过程，主要运用的数学思想有：AC.(从下面选项中填出两项).

A.转化思想

B.方程思想

C.由特殊到一般的思想

D.函数思想

(3)请根据小论文提供的思路，补全图2剩余的证明过程.

图1

【解析】解：(1)在等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子，等式仍成立;

(2)由正方形中的顶点A和顶点B转变成为点M和点N,所以是由特殊到一般的转化思想,

所以AC正确.

故选为：AC.

(3)证明：过点M作垂足为E,过点P作尸垂足为凡

则容易证明四边形AMED和ABPF均为矩形,

；.ME=AD,PF=AB,

\'AB=AD,

：.ME=PF

在四边形QOND中,

ZNOQ=ZD=90°,NNOQ+ND+/OQD+/OND=360°,

：.ZOQD+ZOND=180°,

,/ZFQP+ZOQD=180°,

NFQP=/OND=/MNE,

VZFQP+ZQPF=90°,ZMNE+ZNME=90°,

：.ZQPF=ZNME,

,/ZQPF=ZNME,ME=PF,NPFQ=/MEN=90。,

:.AMNE咨APQF(SAS),

：.MN=PQ.

22.(12分)综合与实践：

数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学

知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地.

(1)发现问题：如图1,在AABC和AAEF中，AB=AC,AE=AF,ZBAC=ZEAF=30°,连接BE,C

F,延长BE交CF于点D.则BE与CF的数量关系：BE=CF,ZBDC=30°；

(2)类比探究：如图2,在AABC和AAEF中，AB^AC,AE^AF,ZBAC^ZEAF^120°,连接BE,C

F,延长BE,FC交于点。.请猜想BE与CF的数量关系及/BOC的度数，并说明理由；

(3)拓展延伸：如图3,AABC和AAEB均为等腰直角三角形，ZBAC=ZEAF^90°,连接BE,CF,

且点8,E,尸在一条直线上，过点4作4加，8F，垂足为点M.则2/，CF,AM之间的数量关系：B

F=CF+2AM；

(4)实践应用：正方形ABC。中，48=2,若平面内存在点P满足NBPO=90。，PD=1,则SAABP=

备用图

理由如下：如图1所示：

,/△ABC和AAOE都是等腰三角形,

：.AB=AC,AE=AF,

又：ZBAC=ZEAF=30°,

AAABE^AACF(SAS),

:.BE=CF,

・•・ZABE=ZACD,

ZAOE=/ABE+NBAC,

ZAOE=NACD+N3QC,

图1

(2)BE=CF,ZBDC=60°,

理由如下：如图2所示：

证明：*：ZBAC=ZEAF=120°,

：.ZBAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC,

即NAMMNCAR

又AABC和AAEF都是等腰三角形,

：.AB=AC,AE=AF9

：.ABAEVACAF(SAS)

：.BE=CF,

：./AEB=ZAFC,

VZEAF=120°,AE=AFf

：.ZAEF=ZAFE=30°,

：.ZBDC=ZBEF-ZEFD=NAEB+30。-(ZAFC-30°)=60。；

理由如下：如图3所示:

,/AABC和跖都是等腰三角形,

：.ZCAB=ZEAF=90°,AB=AC,AE=AF,

：.ACAB-ZCAE=ZFAE-ACAE,

即：NBAE=NCAF,

：.ABAE^ACAE(5AS),

：・BE=CF,

*：AM±BFfAE=AFfZEAF=90°,

：.EF=2AMf

・：BF=BE+EF,

：.BF=CF+2AM；

(4))如图4所示：

连接班)，以为直径作圆，

f

由题意，取满足条件的点P,P,则尸0=PO=LZBPD=ZBPD=90°9

:.BD=2近,

•*-BP=VBD2-PD2=V(2>/2)2-12=*，

连接以，作于点R在8P上截取8E=PD

ZPDA^ABE,AD^AB,

：.(SAS),

：.AP=AE,ZBAE=ZDAP