新人教版九年级数学上册圆知识总结与题型练习及答案

九年级上册《圆》专题

第一部分：知识总结

、圆的概念

集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

(补充)2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线)；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条

直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内二>d<r=>点C在圆内；

2、点在圆上nd=r=>点6在圆上；

3、点在圆外nd>r=>点A在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离二>d>r=>无交点；

2、直线与圆相切nd=rn有一个交点;

3、直线与圆相交d<r=>有两个交点;

四、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论,

即:

①AB是直径②ABLCD③CE=DE④弧BC=弧6。⑤弧4。=弧40

中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在。。中，,/AB//CD

...弧AC=弧8。

五、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等,

弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：①=②AB=DE；

③OC=OF；④弧BA—弧BD

六、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：•••NAO3和NACfi是弧AB所对的圆心角和圆周角

ZAOB=2ZACB

2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，

相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：在©。中，ND都是所对的圆周角

ZC=ZD

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所

对的弦是直径。

即：在。。中，•.•AB是直径或ZC=90°

AZC=90°，AB是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC中，==

，△ABC是直角三角形或NC=90°

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于

斜边的一半的逆定理。

七、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在。。中，

•..四边形A5CD是内接四边形

AZC+Z£L4D=180°ZB+Z£>=180°

NDAE=NC

八、切线的性质与判定定理

(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：•.•上WLQ4且脑V过半径0A外端

.••MN是。。的切线

(2)性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

九、切线长定理B

切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心

的连线平分两条切线的夹角。

即：..•％、必是的两条切线

:.PA=PB

P0平分/BPA

十、圆内正多边形的计算

(1)正三角形

在。。中△ABC是正三角形，有关计算在RtABOD中进行：

OD:BD:OB=1:6:2；

(2)正四边形

同理，四边形的有关计算在RtAOAE中进行，

OE:AE:OA=l:l：y/2：

(3)正六边形

同理，六边形的有关计算在HfAQAB中进行，AB:OB:OA=l：y/3:2.

十一、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

H冗R

1>扇形：(1)弧长公式：I—----;

180

nyr/?21

(2)扇形面积公式：S=-----=—lR

3602

n：圆心角R：扇形多对应的圆的半径I：扇形弧长S：扇形面

2、圆柱：)D1

<1)圆柱侧面展开图(选学)

母线长

S表=5侧+2S底=2%泌+2%产

,C1

(2)圆锥侧面展开图(选学)

⑴S表=5侧+S底=九火厂+"2

AB

十二、圆与圆的位置关系（选学）

外离（图1）=＞无交点=>d>7?+r；

外切（图2）=＞有一个交点=>d=7?+r；

相交（图3）=＞有两个交点=>R—r<d</?+r；

内切（图4）=＞有一个交点=>d=R—r；

内含（图5）=＞无交点=>d<R-r；

图5

第二部分：习题及详解

选择题（共10小题）

1.下列说法，正确的是（

A,弦是直径B.弧是半圆

C.半圆是弧D.过圆心的线段是直径

2.如图，在半径为5cm的。。中，弦AB=6cm,OC±AB于点C,则OC=(

3.一个隧道的横截面如图所示,它的形状是以点。为圆心，5为半径的圆的一部分，M是。。中

弦CD的中点，EM经过圆心O交。。于点E.若CD=6,则隧道的高（ME的长）为（）

A.4B.6C.8D.9

4.如图，AB是。0的直径，BC=CD=DE-NCOD=34。，则NAEO的度数是（）

A.51°B.56°.C.68°D.78。

5.如图，在。O中，弦ACII半径OB,ZBOC=50°,则NOAB的度数为（）

A.25°B.50°C.60°D.30°

6.。0的半径为5cm,点A到圆心O的距离OA=3cm,则点A与圆O的位置关系为（）

A.点A在圆上B.点A在圆内

C.点A在圆外D.无法确定

7.已知。。的直径是10,圆心O到直线1的距离是5,则直线1和的位置关系是（）

A.相离B.相交C.相切D.外切

8.如图，正六边形ABCDEF内接于OO,半径为4,则这个正六边形的边心距OM和前的长分别

为（）

A.2,—B.2«,nC.册,空D.2M,好

333

9.如图，四边形ABCD是的内接四边形，。。的半径为2,ZB=135°,则血的长（）

A.2nB.nC.—D.—

23

10.如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60。，此时点B旋转到点BT则图中阴影部

分的面积是（）

A.12RB.24RC.6RD.36R

二.填空题（共10小题）

11.如图，AB是。。的直径，CD为。。的一条弦，CD_LAB于点E,已知CD=4,AE=1,则

的半径为.

12.如图，在△ABC中，NC.=90。，NA=25。，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D,交

AC于点E,则面的度数为.

13.如图，四边形ABCD内接于。O,AB为。O的直径，点C为面的中点.若NA=40。，则/B=

度.

（13题图）（14题图）（15题图）（17题图）

14.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的。P的圆心P的坐标为（-3,0）,将。P

沿x轴正方向平移，使。P与y轴相切，则平移的距离为.

15.如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则NBAO的度数为.

16.已知一条圆弧所在圆半径为9,弧长为昌I,则这条弧所对的圆心角是

2

17.如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的

中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是（结果保留兀）.

18.已知圆锥的底面圆半径为3,母线长为5,则圆锥的全面积是.

19.如果圆柱的母线长为5cm,底面半彳空为2cm,那么这个圆柱的侧面积是.

20.半衽为R的圆中，有一弦恰好等于半径，则弦所对的圆心角为.

三.解答题(共5小题)

21.如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CF_LAD.

(1)请证明：E是OB的中点；

(2)若AB=8,求CD的长.

22.已知：如图，C,D是以.AB为直径的。O上的两点，且ODIIBC.求证：AD=DC.

23.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。0分别与BC,AC交于点D,E,过点D作

的切线DF,交AC于点F.

(1)求证：DF_LAC；

(2)若。。的半径为4,NCDF=22.5。，求阴影部分的面积.

24.如图，AOAB中，OA=OB=4,zA=30°,AB与。。相切于点C,求图中阴影部分的面积.(结

果保留n)

25.一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算出该几何体的表面积.

俯视图

参考答案

选择题（共10小题）

1.C2.B3.D4.A5.A6.B7.C8.D9.B10.B

二.填空题（共10小题）

11.512.50：13.7014.1或515.54：16.50：17.2n

2————

18.24Tl19.20Tlem220.6（T

三.解答题（共5小题）

21.（1）证明：连接AC,如图,直径AB垂直于弦CD于点E,.,.众二俞，,AC=AD,

,过圆心O的线CF_LAD,,AF=DF,即CF是AD的中垂线，,AC=CD,

AC=AD=CD.即：△ACD是等边三角形，NFCD=30。，

在RtACOE中，OEh^OC，,OE=-1oB，二点E为OB的中点；

(2)解：在R3OCE中，AB=8,/.0C,AB=4,

又：BE=OE，OE=2,QQ2-Qg6-4=2A/3,,CD-2CE-4A/3-

ODIIBC,Z1=ZB,Z2.=Z3,又OB=OC,Z.B=Z3,Z1=Z2,AD=DC.

23.(1)证明：连接OD,VOB=OD,/ABC=/ODB,

AB=AC,