2024届北京大兴区高三年级上册期末数学试题和答案

2024北京大兴高三(上)期末

数学

本试卷共9页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知全集U={x|x>l},集合A=,则CUA=

A.1x|l<x<21B.<21

C.{邓<x<2}D.<1}

2.若复数z满足i・(z+i)=l,则复数z的虚部是

A.-2B.2C.-lD.O

3.在(X2-Ip的展开式中，常数项为

X

A.-15B.15C.-20D.20

4设向量a,5,若6=(-3,4),b=Aa(A>0),则。=

433434

C.（w）D.

5.已知函数f(x)=T-1,则不等式f(x)<x的解集为

A.(-oo,2]B.[0,l]C.[l,+oo)D.[l,2]

6.在△ABC中，“。=工”是usin2A+sin2B=lw的

2

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知定点”(1,3)和抛物线C:无2=8y,尸是抛物线C的焦点，N是抛物线C上的点，贝U|N/|+|MW|的

最小值为

A.3B.4C.5D.6

8.已知a>b>0且ab=10,则下列结论中不正确的是

A.Iga+Igb>0B.Iga-IgZ?>0

C.lga-Igb<-D.詈，>1

4Igb

9.木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形

ABCD是边长为2的正方形，且△AOE,4BCF均为等边三角形，

EF//CD,EF=4,则该木楔的体积为

第1页/共4页

A.V2B.2V2

「2母「8行

U.------------D.---

33

10.设无穷等差数列｛4｝的公差为d,集合T=｛1=sin%,”eN*｝.则

A.T不可能有无数个元素

B.当且仅当d=0时，T只有1个元素

C.当T只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为工

2

口.当〃O=-TT=，k>2,keN*时，T最多有k个元素，且这g个元素的和为0

k

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.设｛〃〃｝是等比数列，。］=1,。2，。4=16，贝U%=-

2

12.若双曲线f-齐=13>0)的一条渐近线方程为2x-y=0,则6=.

13.能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b〉c,则成>c?”是假命题的一组整数a也c的值依次为

14.如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆。，

外框是以。为中心，边长为2的正六边形ABCDE尸,

则。到线段AC的距离为；若P是圆。上的动点,

则AC-AP的取值范围是.

15.设函数的定义域为R,且/(x)满足如下性质：(i)若将的图象向左平移2个单位，则所得

的图象关于y轴对称；(ii)若将/(x)图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的;，再向左平

移工个单位，则所得的图象关于原点对称.给出下列四个结论：

2

①/⑴=/(3)；②/(0)=0；

③〃2)+“4)=0；®/(-l)/(^)<0.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16.(本小题14分)

如图，在三棱柱ABC-ABIG中，平面ABC,CA=CB=45,

M=AB=2,

分别为AB,714t的中点.

第2页/共4页

(I)求证：平面C£>E_L平面

(II)求直线CE与平面BCCXB｝所成角的正弦值.

17.(本小题13分)

在△ABC中，a=l,b=2.

(I)若c=20,求△ABC的面积；

(II)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△A8C存在，求ZA.

7T

条件①：ZS=2ZA；条件②：ZB=-+ZA；条件③：ZC=2ZA.

3

注：如果选择的条件不符合要求，第(II)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分

别解答，按第一个解答计分.

18.(本小题13分)

为了解客户对两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快

递公司评价的调查问卷.已知A3两家公司的调查问卷分别有120份和80份，全部数据统计如下：

快递公司A快递公司8快递公司

项目

评价分心份数、配送时效服务满意度配送时效服务满意度

85<x<9529241612

75<x<8547564048

65<x<7544402420

假设客户对两家快递公司的评价相互独立.用频率估计概率.

(I)从该地区选择A快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A快递公司配送时效的评价不低于

75分的概率；

(II)分别从该地区A和B快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记X为这2份问卷中的服务满

意度评价不低于75分的份数，求X的分布列和数学期望；

(III)记评价分数转85为“优秀”等级，75Wx<85为“良好”等级，65Mx<75为“一般”等级.已知

小王比较看重配送时效的等级，根据该地区两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况，你认

为小王选择A,8哪家快递公司合适？说明理由.

第3页/共4页

19.（本小题15分）

已知椭圆C的两个顶点分别为4-2,0）,8（2,0）,焦点在x轴上，离心率为火.

2

（I）求椭圆C的方程；

（II）设。为原点，过点7（4,0）的直线/交椭圆C于点,直线与直线x=l相交于点P,直线AN

与y轴相交于点。.求证：△OAQ与△O7P的面积之比为定值.

20.（本小题15分）

1—Y

已知函数/（x）=ax+ln——.

1+X

（I）若曲线y=/（x）在点（0J（0））处的切线斜率为0,求。的值；

（II）当a=4时，求/（x）的零点个数；

（III）证明：04。W2是/（x）为单调函数的充分而不必要条件.

21.（本小题15分）

若各项为正的无穷数列｛%｝满足：对于V”eN*,,其中d为非零常数，则称数列｛为｝为

。数列.记么=%+「％・

（I）判断无穷数列%=6和%=2"是否是。数列，并说明理由；

（H）若｛aj是D数列，证明：数列｛2｝中存在小于1的项；

（III）若｛%｝是。数列，证明：存在正整数〃，使得之上＞2024.

z=i4

第4页/共4页

大兴区2023〜2024学年度第一学期期末检测

高三数学参考答案

一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)

(DC(2)A(3)B(4)D(5)B

(6)A(7)C(8)D(9)D(10)D

二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)

(11)16(12)2

(13)2,0,-1(答案不唯一)(14)1[6-273,6+2^3]

(15)①③④

注：第(14)题第一空3分，第二空2分；

第(15)题只写一个且正确2分，只写两个且正确3分。

三、解答题(共6小题，共85分)

(16)(共14分)

解：(I)在三棱柱NBC-431cl中，

因为8g，平面NBC,

所以耳.……1分

在△/8C中，因为。为48的中点，CA=CB=5

所以CD_L/B.……1分

所以CD_L平面.....1分

因为COu平面CDE,

所以平面CDE1平面ABB#].........1分

(II)取/画的中点A,连结

因为。为48的中点，

所以在三棱柱ABC-431cl中，DDJ/BB,.

所以。，_L平面N8C.........1分

所以。DDX1DC.

由(I)知CD_L.

如图建立空间直角坐标系。-»z,

则。(0,0,0),5(-1,0,0),^(-1,0,2),E(l,0,l),C(0,2,0).

所以而=(1,2,0),西=(0,0,2)..........2分

设平面BCCXB1的法向量为n=(x,y,z),则

1

n-BB]=0,2z=0,

即1分

x+2y=0.

n-BC—0,

令y=l,贝鼠=—2.

于是〃二(一2,1,0)..........1分

又赤=(1,-2,1),..........1分

设直线CE与平面BCCXBX所成角的0,

所以sin。=|cos〈〃,CE〉|=|---=^|....2分

\n\\CE\

_(-2)xl+lx(-2)+0xl

=1无能1

所以直线CE与平面8CGA所成角的正弦值为彳……1分

（17）（共13分）

解：（I）由余弦定理知，

『+2?-(2亚了

2x1x2

在△45。中，。£（0,兀）.

所以sinC=V1-cos2C1分

1分

4

所以△48C的面积S=,。加MC

1分

2

=lxlx2x^=^

1分

244

(H)选择条件②：ZB=-+ZA

3

b

由正弦定理」2分

sinAsinB

知」2

sin%sin(4+g

所以sin(4+g)=2sin4..........1分

2

所以sin/cos互+cos4sin^=2siii24・........2分

33

所以tan/=—.........1分

3

因为在△4BC中，4£（0,兀），

所以//=¥.……1分

6

选择条件③：/C=2ZA

由正弦定理……2分

sinAsinC

,1c

矢口----=------.

sin/sin24

所以上=——E——.……1分

sin42sin/cos4

所以c=2cos4...........1分

M.„2_2

由余弦定理知c=2X"十'—a.

2bc

所以。=百.....1分

所以cosA=—.........1分

2

因为在△45。中，/£（0,兀），

所以44=巴.……1分

6

（18）（共13分）

解：（I）根据题中数据，该地区参与/快递公司调查的问卷共120份，

样本中对A快递公司配送时效的评价不低于75分的问卷共29+47=76份，

所以样本中对A快递公司配送时效的评价不低于75分的频率为受=上，

12030

估计该地区客户对A快递公司配送时效的评价不低于75分的概率必.3分

30

（IDX的所有可能取值为2.……1分

记事件C为“从该地区A快递公司的样本调查问卷中随机抽取1份，该份问

卷中的服务满意度评价不低于75分”，事件。为“从该地区B快递公司的样

本调查问卷中随机抽取1份，该份问卷中的服务满意度评价不低于75分”.

由题设知，事件C,。相互独立，且

小）=智=|'P（"12+483

1分

804

——231

所以尸(X=0)=P(C7)Hl--)x(l--)=—,……1分

——23235

P(X=1)=P(CDUCD)=(1--)x-+-x(1-,……1分

3

231

P(X=2)=P(CD)=-x-=-

所以X的分布列为

故X的数学期望矶X）=0X5+1X5+2X：=].……2分

（皿）答案不唯一.……3分

答案示例1：小王选择A快递公司合适，理由如下：

根据样本数据，估计A快递公司配送时效评价为“优秀”的概率是2王9，估

计B快递公司配送时效评价为“优秀”的概率是]，因为段＞^，故小王选

择A快递公司合适.

答案示例2：小王选择B快递公司合适，理由如下：

19

由（I）知，估计A快递公司配送时效评价为“良好”以上的概率是正；

由样本数据可知，估计B快递公司配送时效评价为“良好”以上的概率是

T琮染,因为*f故小王选择B快递公司合适•

（19）（共15分）

22

解：（I）设椭圆C的方程为三+4=1（。＞6＞0）.

由题意得,C_也解得C=有

所以椭圆。的方程为二十必=1.

4

（H）依题意，直线/的斜率存在，设其方程为y=左（x-4）（左。0）.....1分

y=k（x-4）,

由，得（4左2+1）——32左2%+64r—4=0......1分

一+）=1,

I4

设河（国,必），N（x2,y2）,贝！1

所以直线“5的方程为y=3^（x-2）,所以P（l,

4

直线防的方程为了=」^（x+2）,所以0（0,0二）.

1分

%2+2x2+2

所以AO/0的面积为4/2=；x2x|也|=|且、|…

1分

2X?+L

\OTP的面积为SbOTp=—x4x|yp|=|———|.1分

2xx-2

所以白丝=|2%,*I现-2%（占-2）左（勺一4）（。一2）

SAOIP~X2+22%一［卜+2）一左区一4）（乙+2）

_।xx-4X]-2X+8xx-2(西+电)+8-2,

x22x21分

-

xxx2+2西-4X2-8xxx2-4(%i+x2)8+6xx

64人2-4\32k2。4左2+1

---A-----2x-——+8x-----2x

4后-+14后~+14后-+1

64后2-4.32k2。4/+1

4H+I4k2+14/+]

32左2+4、

——5-----2xl

软2+1

1分

-3(32左2+4)

+6xj

4r+1

1分

3

所以AQ4Q与AOh的面积之比为定值.

(20)(共15分)

1—y

解：（I）因为函数/（x）“+ln市，

所以“X）的定义域为（-1J）.

所以/=J—+〃•

2分

1-x1+x

因为曲线V=“X）在点（0,7（0））处的切线斜率为0,

所以/'(0)=0.1分

所以。=2.1分

1—V

(II)当4=4时，/(x)=4x+ln——.

1+x

因为/(X)的定义域为(T,l),•1分

且f(f)=ln!+x_4x=_ln!~~--4x=-f(x),

1-x1+x

所以“X）是奇函数.1分

以下讨论〃x)在区间(0,1)上的零点个数.

_4x2+2

fW~~~7•

(1-x)(l+x)

令…）=。，解得x后

1分

5

f'(x)与f(x)在区间(0,1)的情况如下:

(0,争

X41

V

/'(X)+0-

/(X)单调递增极大值单调递减

因为/(0)=0,且/(X)在区间(0,*上单调递增，

所以〃X)在区间(0,三)上没有零点.……1分

因为/(争>0,且/(1-±)<0，

由/(X)在区间(学,1)上单调递减和函数零点存在定理知,

/(X)在区间(等，1)内存在唯一零点.

综上，“X)在区间(0,1)内存在唯一零点.……1分

因为是奇函数,

所以“X)在区间(一，1)内存在3个零点.……1分

(III)当0W。W2时，-ax2W0,。—2W0,

—UX2+。—2

故/'(%)=<0

(1-x)(l+x)

所以/(%)在区间(-1,1)上单调递减.

所以<2是/(x)为单调函数的充分条件.……3分

r2-3

当Q=-1时,小)=??3^

因为当xe(-1,1)时，x2-3<0,(l-x)(l+x)>0,

故当xe(-1,1)时,r(x)<0,/(x)在区间(-1,1)上单调递减.

所以0WW2不是“X)为单调函数的必要条件.……2分

所以0WaW2是/(x)为单调函数的充分而不必要条件.

(21)(共15分)

解：(I)数列%=新是。数列.

理由如下：1=(7^1)2-(〃)2=1满足。数列定义.……2分

数列%=2"不是。数列.

理由如下：4+1--=(2向)2_(2")2=22-一22"=3""不是常数.……2分

(II)以下证明：d>0.

假设，<0,由端+「吊="知｛端｝为等差数列，故片=.；+(〃-1)”

6

因为｛。“｝是各项为正的无穷数列，

当“取大于[工]+1的整数时，a；Wa；+([g]+2-l)d<0,

dd

与已知矛盾，所以假设不成立，所以d>0.

以下证明：｛。"｝是递增数列.

因为”>0,确|=d+4>片，且｛%｝是各项为正的无穷数列,

所以an+i>an.所以｛凡｝是递增数列.

以下证明：Vf>0,3^eN,,当〃》左时，an>t.

若/<%,当〃>1时，显然an>t.

22

若取左=['一%]+2,

d