2023-2024学年江苏省苏州市中考数学四模试卷含解析

2023-2024学年江苏省苏州市重点学校中考数学四模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图，等边△ABC的边长为4,点D,E分别是BC,AC的中点，动点M从点A向点B匀速运动，同时动点N

沿B-D-E匀速运动，点M,N同时出发且运动速度相同，点M到点B时两点同时停止运动，设点M走过的路程

为x,4AMN的面积为y,能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）

2.不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征.甲同学：它有4个面是三角形；乙同学:

它有8条棱.该模型的形状对应的立体图形可能是（）

A.三棱柱B.四棱柱C.三棱锥D.四棱锥

3.如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O,E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28,则OE的长等于（）

4.如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（)

5.计算6-07的值为()

A.-276B.-4C.-273D.-2

6.如图，二次函数y=axx+bx+c(a#0)的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C,对称轴为直线x=l,

且OA=OC.贝！I下歹！|结论：@abc>0；®9a+3b+c>0；®c>-1;④关于X的方程axx+bx+c=O(a#0)有一个根为；

a

⑤抛物线上有两点P(xi,yi)和Q(xi,yi),若xiVIVxi,且xi+xi>4,则yi>yi,其中正确的结论有()

xf2

%1jv

A.1个B.3个C.4个D.5个

7.关于x的方程x2+(k2-4)x+k+l=O的两个根互为相反数,则k值是()

A.-1B.±2C.2D.-2

8.下面的几何体中，主(正)视图为三角形的是()

cD

仁以十47

9.如图，△ABC是等边三角形，点尸是三角形内的任意一点PD//AB,PE//BC,PF//AC,若△ABC的周长为12,

贝(IPD+PE+PF=()

10.已知实数a、b满足a>b,贝!l(

A.a>2bB.2a>bC.a—2>b—2D.2—a<l—b

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0),B(1-a,0),C(1+a,0)(a>0),点P在以D(4,4)为圆

心，1为半径的圆上运动，且始终满足NBPC=90。，则a的最大值是.

BOACx

12.观察以下一列数：3,!，以，工，…则第20个数是

91625

13.若3,a,4,5的众数是4,则这组数据的平均数是.

14.观察下列等式：

第1个等式：ai=^=-x(l--);

1x323

第2个等式：a2=^=-x(--^);

3x5235

第3个等式:

请按以上规律解答下列问题：

(1)列出第5个等式：a5=；

49

(2)求ai+a2+as+...+an=—，刃么n的值为

15.如图，矩形ABCD中，AD=5,ZCAB=30°,点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，贝！IAQ+QP

的最小值是.

16.计算：2-—（2018）°=_

1eOA

则一=

4OC

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，在△ABC中，已知AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交AC于点M,连接MB.若NABC=70。,

则NNMA的度数是.度.若AB=8cm,AMBC的周长是14cm.

①求BC的长度;

②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值.

19.（5分）如图所示，某小组同学为了测量对面楼AB的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为40米，有的

组员在教室窗户处测得楼顶端A的仰角为30。，底端B的俯角为10。，请你根据以上数据，求出楼AB的高度.（精确

至U0.1米）（参考数据：sinl0°=：0.17,cosl0°~0.98,tanl0°=0.18,正=1.41,君=1.73）

20.（8分）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中因故停留了一段时间后，仍按原速骑行，小李骑摩托车比小张晚

出发一段时间，以800米/分的速度匀速从乙地到甲地，两人距离乙地的路程y（米）与小张出发后的时间x（分）之

间的函数图象如图所示.求小张骑自行车的速度；求小张停留后再出发时y与x之间的函数表达式；求小张与小李相

21.（10分）如图，在小ABC中，BC=60,AB=AC,E,F分别为AB,AC上的点（E,F不与A重合），且EF〃BC.将

△AEF沿着直线EF向下翻折，得到AA，EF,再展开.

（1）请判断四边形AEA'F的形状，并说明理由；

（2）当四边形AEA，F是正方形，且面积是△ABC的一半时，求AE的长.

22.（10分）作图题：在NABC内找一点P,使它到NABC的两边的距离相等，并且到点A、C的距离也相等.（写出

23.（12分）如图，菱形的边长为20cm,ZABC=120°,对角线AC,30相交于点。，动点尸从点A出发，

以4cHs的速度，沿A-5的路线向点8运动；过点尸作尸。〃与AC相交于点0,设运动时间为f秒，OVfVL

（1）设四边形尸0C3的面积为S,求S与f的关系式;

（2）若点0关于。的对称点为M,过点P且垂直于AB的直线I交菱形ABCD的边40（或CD）于点N,当/为何

值时，点P、M、N在一直线上？

（3）直线PN与AC相交于打点，连接PM,NM,是否存在某一时刻f,使得直线PN平分四边形APMN的面积？若

存在，求出f的值；若不存在，请说明理由.

24.（14分）如图，AB〃CD,以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB,AC于E,F两点，再分别以

E,F为圆心，大于‘EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P,连接AP,交CD于点M,若NACD=U0。，求NCMA

2

的度数.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解析】

根据题意，将运动过程分成两段.分段讨论求出解析式即可.

【详解】

VBD=2,NB=60°,

.•.点D到AB距离为6，

当0<x<2时，

173732

y=—x%•——x=——x；

224

当2gxW4时，y=—%•73=—X.

22

根据函数解析式，A符合条件.

故选A.

【点睛】

本题为动点问题的函数图象，解答关键是找到动点到达临界点前后的一般图形，分类讨论，求出函数关系式.

2、D

【解析】

试题分析：根据有四个三角形的面，且有8条棱，可知是四棱锥.而三棱柱有两个三角形的面，四棱柱没有三角形的面,

三棱锥有四个三角形的面，但是只有6条棱.

故选D

考点：几何体的形状

3、A

【解析】

根据菱形的四条边都相等求出AB,再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD,然后判断出OE是△ABD的中位线,

再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可.

【详解】

解：••,菱形ABCD的周长为28,

；.AB=28+4=7,OB=OD,

为AD边中点，

.•.0£是4ABD的中位线，

11

.".OE=-AB=-x7=3.1.

22

故选：A.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键.

4、A

【解析】

根据三视图的定义即可判断.

【详解】

根据立体图可知该左视图是底层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形.故选A.

【点睛】

本题考查三视图，解题的关键是根据立体图的形状作出三视图，本题属于基础题型.

5、C

【解析】

根据二次根式的运算法则即可求出答案.

【详解】

原式=V3-3y/3=-2-^3，

故选C.

【点睛】

本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型.

6,D

【解析】

根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案.

【详解】

b

解：由抛物线的开口可知：a<0,由抛物线与y轴的交点可知：cVO,由抛物线的对称轴可知：-丁>0,...方>0,

2a

'.abc>0,故①正确；

令x=3,j>0,.,.9a+3fe+c>0,故②正确；

'：OA=OC<1,：.c>-1,故③正确；

b

•对称轴为直线x=l,------=1,.,.b=-4a.

2a

OA=OC=-c,.,.当x=-c时，y=0,'.acl-bc+c=O,.\ac-b+l-Q,ac+4a+l=0,.*.c=————,二设关于x的方

.a

程ax1+，x+c=O(a/0)有一个根为x,.*.x-c=4,.*.x=c+4=,故④正确；

a

,.,xi<l<xi,：.P,。两点分布在对称轴的两侧，

1-xi-(xi-1)=1-xi-xi+l=4-(xi+xi)<0,

即XI到对称轴的距离小于XI到对称轴的距离，故⑤正确.

故选D.

【点睛】

本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数产系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴

的交点抛物线与x轴交点的个数确定.本题属于中等题型.

7、D

【解析】

根据一元二次方程根与系数的关系列出方程求解即可.

【详解】

设方程的两根分别为XI,XI,

•••尺+(kU)x+k-l=O的两实数根互为相反数，

xi+xi,=-(kJ-4)=0,解得k=±l,

当k=l,方程变为：犬+1=0,△=-4<0,方程没有实数根，所以k=l舍去；

当k=-l,方程变为：尺-3=0,△=11>0,方程有两个不相等的实数根；

k=-l.

故选D.

【点睛】

hr

本题考查的是根与系数的关系.XI,XI是一元二次方程ax1+bx+c=0(a用)的两根时，xi+=-一，xix尸一，反过来

X1aa

也成立.

8、C

【解析】

解：圆柱的主视图是矩形，正方体的主视图是正方形，圆锥的主视图是三角形，三棱柱的主视图是宽相等两个相连的

矩形.故选C.

9、C

【解析】

过点P作平行四边形PGBD,EPHC,进而利用平行四边形的性质及等边三角形的性质即可.

【详解】

延长EP、FP分别交AB、BC于G、H,

A

则由PD〃AB,PE〃BC,PF//AC,可得，

四边形PGBD,EPHC是平行四边形，

；.PG=BD,PE=HC,

又XABC是等边三角形，

又有PF〃AC,PD〃AB可得APFG,△PDH是等边三角形,

；.PF=PG=BD,PD=DH,

又AABC的周长为12,

1

.\PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=-xl2=4,

3

故选C.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及等边三角形的判定及性质，等边三角形的性质：等边三角形的三个内角

都相等，且都等于60。.

10、C

【解析】

根据不等式的性质进行判断.

【详解】

解：A、a>b,但a>2b不一定成立，例如：1〉工，l=2x』故本选项错误；

22

B、a>b,但2a>b不一定成立，例如：-1>一2,—lx2=—2,故本选项错误；

C、a>b时，a-2>b-2成立，故本选项正确；

D、a>b时，-a<-b成立，贝!)2-2<1-1)不一定成立，故本选项错误；

故选C.

【点睛】

考查了不等式的性质•要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以(或除以)

同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0,而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须

改变.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、1

【解析】

首先证明AB=AC=a,根据条件可知PA=AB=AC=a,求出。D上到点A的最大距离即可解决问题.

【详解】

VA(1,0),B(1-a,0),C(1+a,0)(a>0),

/.AB=1-(1-a)=a,CA=a+l-l=a,

；.AB=AC,

,/ZBPC=90°,

/.PA=AB=AC=a,

如图延长AD交。D于P，，此时AP，最大，

VA(1,0),D(4,4),

；.AD=5,

；.AP'=5+1=1,

，a的最大值为1.

故答案为1.

【点睛】

圆外一点到圆上一点的距离最大值为点到圆心的距离加半径，最小值为点到圆心的距离减去半径.

41

12>----

400

【解析】

观察已知数列得到一般性规律，写出第20个数即可.

【详解】

2n+\41

解：观察数列得：第〃个数为则第20个数是不；

1400

41

故答案为二；.

400

【点睛】

本题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解答本题的关键.

13、4

【解析】

试题分析：先根据众数的定义求出a的值，再根据平均数的定义列出算式，再进行计算即可.

试题解析：；3,a,4,5的众数是4,

工这组数据的平均数是(3+4+4+5)+4=4.

考点：1.算术平均数；2.众数.

14、-^―=-x(--—)49

9x112911

【解析】

1If111

(1)观察等式可得%=(2二1)(2〃+1)=5〔亦然后根据此规律就可解决问题;

(2)只需运用以上规律，采用拆项相消法即可解决问题.

【详解】

1一1(1_____

⑴观察等式，可得以下规律：

an=(2n-l)(2n+l)2(2“-12n+l)

111

(2)4+a?+/+••.+——x(1--)+-x(---)+-x(---)+...+-

32352572\2n-\2n+\

11、49

——(Z1)=,

22〃+l99

解得："=49.

故答案为:

【点睛】

属于规律型：数字的变化类，观察题目，找出题目中数字的变化规律是解题的关键.

15、5G

【解析】

作点A关于直线CD的对称点E,作EPLAC于P,交CD于点Q,此时QA+QP最短，由QA+QP=QE+PQ=PE可

知，求出PE即可解决问题.

【详解】

解：作点A关于直线CD的对称点E,作EPLAC于P,交CD于点Q.

1•四边形ABCD是矩形,

；.NADC=90°,

.\DQJ_AE,VDE=AD,

；.QE=QA,

QA+QP=QE+QP=EP,

,此时QA+QP最短(垂线段最短),

；NCAB=30°,

；.NDAC=60°,

在RtAAPE中，,:ZAPE=90°,AE=2AD=10,

:.EP=AE«sin60°=10x走=5G

2

故答案为56.

【点睛】

本题考查矩形的性质、最短问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是利用对称以及垂线段最短找到点P、Q的位置,

属于中考常考题型.

1

16、---

2

【解析】

直接利用负指数塞的性质以及零指数基的性质分别化简得出答案.

【详解】

原式=1_1=_工.

故答案为-

2

【点睛】

本题考查了实数运算，正确化简各数是解题的关键.

1

17、-

4

【解析】

【分析】利用相似三角形的性质即可解决问题；

【详解】TAB〃CD,

.•.△AOB^ACOD,

.OAAB1

••况一而一"

故答案为一.

4

【点睛】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)50；(2)①6；②1

【解析】

试题分析：(1)根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；

(2)①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得然后求出△M3C的周长=AC+3C,

再代入数据进行计算即可得解；

②当点尸与M重合时，APBC周长的值最小，于是得到结论.

试题解析：解：(1)'：AB=AC,：.ZC=ZABC=70°,：.ZA=40°.；A3的垂直平分线交A3于点N,/.ZANM=90°,

：.ZNMA=50°.故答案为50；

(2)①；MN是A5的垂直平分线，：.AM=BM,：./\MBC^}^^BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC.；AB=8,

△MBC的周长是1,：.BC=1-8=6；

②当点P与M重合时，APBC周长的值最小，理由：•.•P5+PC=R4+PC,R4+PQ4C,，P与M重合时，PA+PC=AC,

此时P5+PC最小，二△尸5c周长的最小值=AC+5C=8+6=L

19、30.3米.

【解析】

试题分析：过点D作DELAB于点E,在RtZkADE中，求出AE的长，在RtADEB中，求出BE的长即可得.

试题解析：过点。作于点E,

AE

在RtAAOE中，ZAED=90°,tanZl=——，Zl=30°,

DE

：.AE=DExtanZl=40xtan30°=40x=：40xl.73x-s：23.1

33

*-BE

在RtAOEB中，ZDEB=90°,tanZ2=——，Z2=10°,

DE

：.BE=DExtanZ2=40xtanl0°~40x0.18=7.2

：.AB=AE+BE~23A+7.2=30.3米.

20、(-1)300米/分；(2)y=-300x+3000；(3)近分.

【解析】

(1)由图象看出所需时间.再根据路程+时间=速度算出小张骑自行车的速度.

(2)根据由小张的速度可知：B(10,0),设出一次函数解析式，用待定系数法求解即可.

(3)求出CD的解析式，列出方程，求解即可.

【详解】

解：由题意得：型产=。。

(4)3(米/分),

答：小张骑自行车的速度是300米/分；

(2)由小张的速度可知：B(10,0),

设直线AB的解析式为：y=kx+b,

fl0^+Z>=0

把A(6,1200)和B(10,0)代入得：

6k+b=1200,

k=-300

解得：＜

b=3000,

二小张停留后再出发时y与x之间的函数表达式；y=-300%+3000；

2400

(3)小李骑摩托车所用的时间：--=3,

800

,-C(6,0),D(9,2400),

同理得：CD的解析式为：y=800x-4800,

则800%-4800=-300%+3000,

78

x=一

11

答：小张与小李相遇时x的值是A分.

y(米)个

【点睛】

考查一次函数的应用，考查学生观察图象的能力，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键.

21、(1)四边形AEA'F为菱形.理由见解析；(2)1.

【解析】

(1)先证明AE=AF,再根据折叠的性质得AE=A，E,AF=AT,然后根据菱形的判定方法可判断四边形AEA'F为菱

形;(2)四先利用四边形AEAT是正方形得到NA=90。,则AB=AC=JBC=6,然后利用正方形AEAT的面积是4ABC

2

的一半得到AE2=1・1・6・6,然后利用算术平方根的定义求AE即可.

22

【详解】

(1)四边形AEA'F为菱形.

理由如下：

VAB=AC,

/.ZB=ZC,

；EF〃BC,

；.NAEF=NB,NAFE=』NC,

:.ZAEF=ZAFE,

/.AE=AF,

VAAEF沿着直线EF向下翻折，得到△A，EF,

.*.AE=A'E,AF=A'F,

.,.AE=AE=AF=AF,

四边形AEAT为菱形；

(2)•.•四边形AEA，F是正方形，

:.ZA=90°,

/.△ABC为等腰直角三角形，

/.AB=AC=—BC=走x6应=6,

22

•.•正方形AEAT的面积是^ABC的一半，

,,11

..AE2=­,一*6*6,

22

.\AE=1.

【点睛】

本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边

和对应角相等.

22、见解析

【解析】

先作出NA3C的角平分线，再连接AC,作出AC的垂直平分线，两条平分线的交点即为所求点.

【详解】

①以3为圆心，以任意长为半径画弧，分别交5C、A5于。、E两点;

②分别以。、E为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于下点；

2

③连接AF,则直线A歹即为NA8C的角平分线；

⑤连接AC,分别以A、C为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于尸、〃两点;

2

⑥连接交5歹于点M,则M点即为所求.

本题考查的是角平分线及线段垂直平分线的作法，熟练掌握是解题的关键.

3Q

23、⑴S=-26?+]006(0<t<l)；(2)了;(3)见解析.

【解析】

(1)如图1,根据S=SAABC-SAAPQ,代入可得S与t的关系式；

(2)设PM=x,贝!|AM=2x,可得AP=7^x=4t,计算x的值，根据直角三角形30度角的性质可得

8,

AM=2PM=笈，根据AM=AO+OM,列方程可得t的值；

(3)存在，通过画图可知：N在CD上时，直线PN平分四边形APMN的面积，根据面积相等可得

MG=AP,由AM=AO+O