2023届吉林省白山市高三二模考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省白山市2023届高三二模数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以.故选：A.2.的实部为（）．A.37 B.53 C.31 D.45〖答案〗B〖解析〗因为，所以其实部为53．故选：B3.已知椭圆C：+=1的离心率为，则C的长轴长为（）A.8 B.4 C.2 D.4〖答案〗B〖解析〗依题意，因为椭圆C的离心率为，所以=，得m=2，故长轴长为2=4．故选：B.4.函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（）．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗当时，，符合题意；当时，由，得．综上所述，．故选：A5.在正方体中，，分别为，的中点，则（）A.平面 B.平面C.平面 D.平面〖答案〗A〖解析〗在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，对于A，，显然，则平面，而平面，所以平面，A正确；对于B，，设平面的法向量，则，令，得，，则直线与平面不平行，B错误；，而，即直线不垂直于，平面，因此直线不垂直于平面，C错误；对于D，由选项C知，直线不垂直于，平面，直线不垂直于平面，D错误.故选：A.6.已知函数的最大值与最小值的差为2，其图象与y轴的交点坐标为，且图象上相邻两条对称轴之间的距离为2，则（）．A.1 B.2 C.3 D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，，所以，所以．因为，所以，所以，又，所以，所以．因为，所以，所以，故．故选：B.7.若过点且斜率为k的直线l与曲线有且只有一个交点，则实数k的值不可能是()A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗如图，曲线即表示以O为圆心，2为半径的上半圆，因为直线即与半圆相切，所以，解得．因为所以，又直线l与曲线有且只有一个交点，所以或，所以实数k的取值范围是故选：B8.已知球O的半径为2，圆锥内接于球O，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为，所以圆锥的体积，令，则，所以.因为，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当，即时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为，母线长为.因为圆锥内切球的半径等于圆锥轴截面的内切圆的半径，所以圆锥内切球的半径.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.将A，B，C，D这4张卡片分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得一张卡片，则（）．A.甲得到A卡片与乙得到A卡片对立事件B.甲得到A卡片与乙得到A卡片为互斥但不对立事件C.甲得到A卡片的概率为D.甲、乙2人中有人得到A卡片的概率为〖答案〗BCD〖解析〗甲得到A卡片与乙得到A卡片不可能同时发生，但可能同时不发生，所以甲得到A卡片与乙得到A卡片为互斥但不对立事件，A不正确，B正确．甲得到A卡片的概率为，C正确．乙2人中有人得到A卡片的概率为，D正确．故选：BCD10.已知正四面体，E为的中点，则（）．A.直线与所成的角为B.直线与所成的角为C.直线与平面所成角的余弦值为D.直线与平面所成角的余弦值为〖答案〗AC〖解析〗对A，连接，因为为正四面体，则，因为E为的中点，则，，，且平面，所以平面，平面，所以，故A正确；对B，取的中点F，连接，，设正四面体的棱长为2，则，，又因为E为中点，则，所以为直线与直线所成的角，，故B错误；对C，根据正四面体特点可知顶点在底面上的投影落在上，所以为直线与平面所成的角，所以，故C正确；对D，根据正四面体的特点可知点在平面上的投影落在上，所以为直线与平面所成的角，所以，故D错误．故选：AC11.设函数的定义域为R，且满足，，当时，，则（）．A.是周期为2的函数B.C.的值域是D.方程在区间内恰有1011个实数解〖答案〗BD〖解析〗函数的定义域为R，关于原点对称，因为，所以，又因为，所以，所以是奇函数．由，得，所以以4为周期，故A错误．因为是奇函数，且定义域为R，所以．因为，所以，故B正确．因为当时，，所以，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以．因为为奇函数，所以当时，，因为的图象关于直线对称，所以当时，，因为的周期为4，所以当时，，故C错误．方程的解的个数，即的图象与的图象交点个数．因为的周期为2，且当时，与有2个交点，所以当时，与有1011个交点，故D正确．故选：BD.12.装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数（简称：膨胀系数）．某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数，则下列选项正确的是（）．（附：若，则，，）A.甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数范围在的概率约为0.7685B.甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中C.若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数不能超过5，则乙生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大D.若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数为，则甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率约为乙生产线的2倍〖答案〗BD〖解析〗因为，所以，．因为，所以，．因为，故A错误．因为，所以甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中，故B正确．因为，，所以，所以甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大，故C错误．因为，，所以D正确．故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，，，若，则__________．〖答案〗〖解析〗因为，，所以，因为，所以，得．故〖答案〗为：.14.若正实数、满足，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗因为正实数、满足，所以.当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为.故〖答案〗为：.15.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．若曲线和在处的曲率分别为，则__________．〖答案〗〖解析〗，则，，，；，则，，，；则故〖答案〗为：16.已知抛物线的焦点为为抛物线内侧一点，为上的一动点，的最小值为，则__________，该抛物线上一点A（非顶点）处的切线与圆相切，则__________．〖答案〗3〖解析〗由题意，抛物线的准线方程为，设点M在准线上的投影为D，根据抛物线的定义可知，则，当M，P，D三点共线时有最小值，结合图像可知的最小值即为点P到准线的距离，可得抛物线，焦点，在抛物线上取一点，设抛物线在点A的切线l的方程为，联立抛物线方程，，解得切线l的方程为，整理得，又因为切线与圆相切，设切点为B，由圆M的方程可知圆心，，则，解得（舍去）或，所以，同理，点A关于x轴的对称点，也符合题意则故〖答案〗为：3；.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列中，，.（1）求通项公式；（2）若为正项等比数列，，求数列的前项和.解：（1）在等差数列中，，解得，而，则等差数列的公差，所以的通项公式是.（2）设正项等比数列的公比为，，解得，而，则有，解得，，由（1）知，，则，于得，两式相减得：，所以数列的前项和.18.某短视频平台的一位博主，其视频以展示乡村生活为主，赶集、出城、抓鱼、养鸡等新时代农村生活吸引了许多观众，该博主为家乡的某农产品进行直播带货，通过5次试销得到了销量（单位：百万盒）与单价（单位：元/盒）的如下数据：66.26.46.66.85045454035（1）根据以上数据，求关于的经验回归方程；（2）在所有顾客中随机抽取部分顾客（人数很多）进行体验调查问卷，其中“体验非常好”的占一半，“体验良好”“体验不满意”的各占25%，然后在所有顾客中随机抽取8人作为幸运顾客赠送礼品，记抽取的8人中“体验非常好”的人数为随机变量，求的分布列和均值.参考公式：回归方程，其中，.参考数据：，.解：（1）根据表格数据可得，，，根据附注公式：，于是，故经验回归方程为：（2）依题意，可能的取值为，由于顾客人数很多，可近似认为服从二项分布，即，，其中.故，，，，，，，，.分布列为：012345678根据二项分布的期望公式，19.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=2，AA1=AB=4，E为棱AA1的中点．（1）证明：BC⊥C1E．（2）设=λ（0<λ<1），若C1到平面BB1M的距离为，求λ．（1）证明：以A为坐标原点，AD，AA1，AB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，,所以=，=，所以·=2×2+0+2×=0，所以⊥，故BC⊥C1E；（2）解：因为=，=，所以=+=+λ=，设平面BB1M的法向量为，则，令x=1+λ，则，因为=，所以C1到平面BB1M的距离，解得．20.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，csin=sinC，且a=1．（1）求A；（2）若AB=AC，D，E两点分别在边BC，AB上，且CD=DE，求CD的最小值．解：（1）因为csin=sinC，且a=1，所以csin=asinC，所以sinCsin=sinAsinC.因为C∈(0,π)，sinC≠0，B+C=π-A，所以sin(-)=sinA，即cos=sinA，所以cos=2sincos.因为∈(0,)，所以cos≠0，所以sin=，所以=，即A=.（2）因为AB=AC，A=，所以△ABC为等边三角形，即AC=BC=AB=1.如图，在△BDE中，BD=1-CD，DE=CD，由余弦定理得cosB=，所以BE2+(1-CD)2-CD2=BE·(1-CD)，所以CD=2-BE+，因为0≤BE≤1，所以1≤2-BE≤2，所以CD=2-BE+-3≥2-3，当且仅当2-BE=，即BE=2-时，等号成立，所以CD的最小值为2-3.21.法国数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远．在双曲线-=1（a>b>0）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆．已知双曲线C：-=1（a>b>0）的实轴长为6，其蒙日圆方程为x2+y2=1．（1）求双曲线C的标准方程；（2）设D为双曲线C的左顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．（1）解：由题意知a=3，因为双曲线C的蒙日圆方程为x2+y2=1，所以a2-b2=1，所以b=2，故双曲线C的标准方程为-=1，（2）证明：设E（x1，y1），F（x2，y2）．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，联立方程组化简得（8-9k2）x2-18kmx-（9m2+72）=0，则Δ=（18km）2+4（9m2+72）（8-9k2）>0，即m2-9k2+8>0，且因为·=（x1+3）（x2+3）+y1y2=0，所以（k2+1）·x1x2+（km+3）（x1+x2）+m2+9=（k2+1）·+（km+3）·+m2+9=0，化简得m2-54km+153k2=（m-3k）（m-51k）=0，所以m=3k或m=51k，且均满足m2-9k2+8>0当m=3k时，直线l的方程为y=k（x+3），直线过定点（-3，0），与已知矛盾，当m=51k时，直线l的方程为y=k（x+51），过定点M（-51，0）当直线l的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：y=x+3，联立方程组得x=-3（舍去）或x=-51，此时直线l过定点M（-51，0）．因为DG⊥EF，所以点G在以DM为直径的圆上，H为该圆圆心，|GH|为该圆半径．故存在定点H（-27，0），使|GH|为定值24.22.已知函数．（1）求在上的极值；（2）若，求的最小值．解：（1），令，得，在为负，单调递减，在为正，单调递增，故为极小值，无极大值.（2）由题知,令，令，则，设则，，为正，在单调递增，，为负，在单调递减，故为极大值，若，即，此时，则在单调递减，又，所以时，在单调递增，时，，在单调递减，故为极大值，所以，则当时，符合条件；，即此时，存在，在上；，则在单调递增，又，则在区间上所以在区间上，单调递减，则，不满足条件.综上所述的最小值为吉林省白山市2023届高三二模数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以.故选：A.2.的实部为（）．A.37 B.53 C.31 D.45〖答案〗B〖解析〗因为，所以其实部为53．故选：B3.已知椭圆C：+=1的离心率为，则C的长轴长为（）A.8 B.4 C.2 D.4〖答案〗B〖解析〗依题意，因为椭圆C的离心率为，所以=，得m=2，故长轴长为2=4．故选：B.4.函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（）．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗当时，，符合题意；当时，由，得．综上所述，．故选：A5.在正方体中，，分别为，的中点，则（）A.平面 B.平面C.平面 D.平面〖答案〗A〖解析〗在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，对于A，，显然，则平面，而平面，所以平面，A正确；对于B，，设平面的法向量，则，令，得，，则直线与平面不平行，B错误；，而，即直线不垂直于，平面，因此直线不垂直于平面，C错误；对于D，由选项C知，直线不垂直于，平面，直线不垂直于平面，D错误.故选：A.6.已知函数的最大值与最小值的差为2，其图象与y轴的交点坐标为，且图象上相邻两条对称轴之间的距离为2，则（）．A.1 B.2 C.3 D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，，所以，所以．因为，所以，所以，又，所以，所以．因为，所以，所以，故．故选：B.7.若过点且斜率为k的直线l与曲线有且只有一个交点，则实数k的值不可能是()A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗如图，曲线即表示以O为圆心，2为半径的上半圆，因为直线即与半圆相切，所以，解得．因为所以，又直线l与曲线有且只有一个交点，所以或，所以实数k的取值范围是故选：B8.已知球O的半径为2，圆锥内接于球O，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为，所以圆锥的体积，令，则，所以.因为，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当，即时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为，母线长为.因为圆锥内切球的半径等于圆锥轴截面的内切圆的半径，所以圆锥内切球的半径.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.将A，B，C，D这4张卡片分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得一张卡片，则（）．A.甲得到A卡片与乙得到A卡片对立事件B.甲得到A卡片与乙得到A卡片为互斥但不对立事件C.甲得到A卡片的概率为D.甲、乙2人中有人得到A卡片的概率为〖答案〗BCD〖解析〗甲得到A卡片与乙得到A卡片不可能同时发生，但可能同时不发生，所以甲得到A卡片与乙得到A卡片为互斥但不对立事件，A不正确，B正确．甲得到A卡片的概率为，C正确．乙2人中有人得到A卡片的概率为，D正确．故选：BCD10.已知正四面体，E为的中点，则（）．A.直线与所成的角为B.直线与所成的角为C.直线与平面所成角的余弦值为D.直线与平面所成角的余弦值为〖答案〗AC〖解析〗对A，连接，因为为正四面体，则，因为E为的中点，则，，，且平面，所以平面，平面，所以，故A正确；对B，取的中点F，连接，，设正四面体的棱长为2，则，，又因为E为中点，则，所以为直线与直线所成的角，，故B错误；对C，根据正四面体特点可知顶点在底面上的投影落在上，所以为直线与平面所成的角，所以，故C正确；对D，根据正四面体的特点可知点在平面上的投影落在上，所以为直线与平面所成的角，所以，故D错误．故选：AC11.设函数的定义域为R，且满足，，当时，，则（）．A.是周期为2的函数B.C.的值域是D.方程在区间内恰有1011个实数解〖答案〗BD〖解析〗函数的定义域为R，关于原点对称，因为，所以，又因为，所以，所以是奇函数．由，得，所以以4为周期，故A错误．因为是奇函数，且定义域为R，所以．因为，所以，故B正确．因为当时，，所以，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以．因为为奇函数，所以当时，，因为的图象关于直线对称，所以当时，，因为的周期为4，所以当时，，故C错误．方程的解的个数，即的图象与的图象交点个数．因为的周期为2，且当时，与有2个交点，所以当时，与有1011个交点，故D正确．故选：BD.12.装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数（简称：膨胀系数）．某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数，则下列选项正确的是（）．（附：若，则，，）A.甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数范围在的概率约为0.7685B.甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中C.若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数不能超过5，则乙生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大D.若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数为，则甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率约为乙生产线的2倍〖答案〗BD〖解析〗因为，所以，．因为，所以，．因为，故A错误．因为，所以甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中，故B正确．因为，，所以，所以甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大，故C错误．因为，，所以D正确．故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，，，若，则__________．〖答案〗〖解析〗因为，，所以，因为，所以，得．故〖答案〗为：.14.若正实数、满足，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗因为正实数、满足，所以.当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为.故〖答案〗为：.15.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．若曲线和在处的曲率分别为，则__________．〖答案〗〖解析〗，则，，，；，则，，，；则故〖答案〗为：16.已知抛物线的焦点为为抛物线内侧一点，为上的一动点，的最小值为，则__________，该抛物线上一点A（非顶点）处的切线与圆相切，则__________．〖答案〗3〖解析〗由题意，抛物线的准线方程为，设点M在准线上的投影为D，根据抛物线的定义可知，则，当M，P，D三点共线时有最小值，结合图像可知的最小值即为点P到准线的距离，可得抛物线，焦点，在抛物线上取一点，设抛物线在点A的切线l的方程为，联立抛物线方程，，解得切线l的方程为，整理得，又因为切线与圆相切，设切点为B，由圆M的方程可知圆心，，则，解得（舍去）或，所以，同理，点A关于x轴的对称点，也符合题意则故〖答案〗为：3；.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列中，，.（1）求通项公式；（2）若为正项等比数列，，求数列的前项和.解：（1）在等差数列中，，解得，而，则等差数列的公差，所以的通项公式是.（2）设正项等比数列的公比为，，解得，而，则有，解得，，由（1）知，，则，于得，两式相减得：，所以数列的前项和.18.某短视频平台的一位博主，其视频以展示乡村生活为主，赶集、出城、抓鱼、养鸡等新时代农村生活吸引了许多观众，该博主为家乡的某农产品进行直播带货，通过5次试销得到了销量（单位：百万盒）与单价（单位：元/盒）的如下数据：66.26.46.66.85045454035（1）根据以上数据，求关于的经验回归方程；（2）在所有顾客中随机抽取部分顾客（人数很多）进行体验调查问卷，其中“体验非常好”的占一半，“体验良好”“体验不满意”的各占25%，然后在所有顾客中随机抽取8人作为幸运顾客赠送礼品，记抽取的8人中“体验非常好”的人数为随机变量，求的分布列和均值.参考公式：回归方程，其中，.参考数据：，.解：（1）根据表格数据可得，，，根据附注公式：，于是，故经验回归方程为：（2）依题意，可能的取值为，由于顾客人数很多，可近似认为服从二项分布，即，，其中.故，，，，，，，，.分布列为：012345678根据二项分布的期望公式，19.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=2，AA1=AB=4，E为棱AA1的中点．（1）证明：BC⊥C1E．（2）设=λ（0<λ<1），若C1到平面BB1M的距离为，求λ．（1）证明：以A为坐标原点，AD，AA1，AB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，,所以=，=，所以·=2×2+0+2×=0，所以⊥，故BC⊥C1E；（2）解：因为=，=，所以=+=+λ=，设平面BB1M的法向量为，则，令x=1+λ，则，因为=，所以C1到平面BB1M的距离，解得．20.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，csin=sinC，且a=1．（1）求A；（2）若AB=AC，D，E两点分别在边BC，AB上，且CD=DE，求CD的最小值．解：（1）因为csin=sinC，且a=1，所以csin=asinC，所以sinCsin=sinAsinC.因为C∈(0,π)，sinC≠0，B+C=π-A，所以sin(-)=sinA，即cos=sinA，所以cos=2sincos.因为∈(0,)，所以cos≠0，所以sin=，所以=，即A=.（2）因为AB=AC，A=，所以△ABC为等边三角形，即AC=BC=AB=1.如图，在△BDE中，BD=1-CD，DE=CD，由余弦定理得cosB=，所以BE2+(1-CD)2-CD2=BE·(1-CD)，所以CD=2-BE+，因为0≤BE≤1，所以1≤2-BE≤2，所以CD=2-