2023届高三下学期开学摸底考数学试卷（上海专用）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12023届高三下学期开学摸底考试卷（上海专用）数学一．填空题（共12小题）1．已知集合A＝{y|y＝10x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，1≤x≤2}，则A∩B＝．〖答案〗[1，4]〖解析〗∵A＝{y|y＞0}，B＝{y|1≤y≤4}，∴A∩B＝[1，4]．故〖答案〗为：[1，4]．2．已知函数f（x）＝2+loga（x+1）（a＞0，且a≠1）．若y＝f（x）的反函数的图象经过点（1，2），则a＝．〖答案〗〖解析〗因为y＝f（x）的反函数的图象经过点（1，2），由函数与反函数图象关于y＝x对称，则函数f（x）的图象经过点（2，1），则有2+loga（2+1）＝1，解得a＝．故〖答案〗为：．3．若方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝．〖答案〗〖解析〗方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，设α＝x+yi，则β＝x﹣yi，所以αβ＝x2+y2＝3，所以|α|+|β|＝2|α|＝＝2．故〖答案〗为：2．4．某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的概率等于.（用数字作答）〖答案〗〖解析〗根据题意，农场主与6名同学站成一排，有A77＝5040种不同的站法，若农场主站在中间，有A66＝720种不同的站法，农场主人站在中间，两名女生相邻共有4A22A44＝192种站法，则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的站法有A66﹣4A22A44＝528种站法，则其概率P＝＝，故〖答案〗为：．5．已知复数z满足z（2+i）＝5（i为虚数单位），则z的值为．〖答案〗2﹣i〖解析〗∵z（2+i）＝5，∴＝．故〖答案〗为：2﹣i．6．等比数列{an}（n∈N*）中，若，，则a8＝．〖答案〗4〖解析〗因为等比数列{an}（n∈N*）中，，，所以q3＝＝8，即q＝2，所以a8＝＝＝4．故〖答案〗为：4．7．在（x+2）6的二项展开式中，x3项的系数为（结果用数值表示）．〖答案〗160〖解析〗展开式中含x3的项为C＝20×8x3＝160x3，所以x3项的系数为160，故〖答案〗为：160．8．若sinθ＝kcosθ，则sinθ•cosθ的值等于.（用k表示）〖答案〗〖解析〗由sinθ＝kcosθ，得sinθ•cosθ＝＝．故〖答案〗为：．9．y＝3x+在（0，+∞）为增函数，α的取值范围是．〖答案〗（﹣∞，4]〖解析〗由题意得，[（1+3x）2﹣α]≥0在（0，+∞）上恒成立，所以（1+3x）2﹣α≥0，即α（1+3x）2在（0，+∞）恒成立，因为x＞0，1+3x＞2，（1+3x）2≥4，所以α≤4，故〖答案〗为：为（﹣∞，4]．10．设集合S，T，S⊆N•，T⊆N•，S，T中，至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②对于任意x，y∈T，若x＜y，则．若S有4个元素，则S∪T有个元素．〖答案〗7〖解析〗根据题意设S＝{2，4，8，16}，T＝{8，16，32，64，128}，∴S∪T＝{2，4，8，16，32，64，128}，∴S∪T的元素个数为7．故〖答案〗为：7．11．设Sn为正数列{an}的前n项和，Sn+1＝qSn+S1，q＞1，对任意的n≥1，n∈N均有Sn+1≤4an，则q的取值为．〖答案〗2〖解析〗∵Sn+1＝qSn+S1，∴Sn＝qSn﹣1+S1（n≥2），∴an+1＝qan，＝q（n≥2），把n＝1代入Sn+1＝qSn+S1得，S2＝qa1+a1＝a1+a2，∴a2＝qa1，满足上式，∴{an}是首相为a1，公比为q的等比数列，∵Sn+1≤4an，∴≤4a1qn﹣1，∵a1＞0，q＞1，∴qn+1﹣4qn+4qn﹣1≤1，∴qn﹣1（q﹣2）2≤1，∴（q﹣2）2≤（）min，∵当q＞1，n→+∞时，→0，∴（q﹣2）2≤0，又∵（q﹣2）2≥0，∴（q﹣2）2＝0，即q＝2，故〖答案〗为：2．12．已知定义在（﹣3，3）上的奇函数y＝f（x）的导函数是f'（x），当x≥0时，y＝f（x）的图像如图所示，则侧关于x的不等式的解集为．〖答案〗{x|0＜x＜1或﹣3＜x＜﹣1}〖解析〗因为f（x）是奇函数，结合f（x）的图象可知：f（x）在（﹣1，1）上单调递增，在（﹣3，﹣1），（1，3）上单调递减，故f′（x）＜0⇔﹣3＜x＜﹣1或1＜x＜3；f′（x）＞0⇔﹣1＜x＜1，故⇔或，解得0＜x＜1或﹣3＜x＜﹣1．故〖答案〗为：{x|0＜x＜1或﹣3＜x＜﹣1}．【点评】本题考查导数与函数单调性之间的关系，以及函数的奇偶性等性质，属于中档题．二．选择题（共4小题）13．已知平面α，直线m不在α上，直线n在α上，则“m∥n”是“m∥α的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要必要条件 D．既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由直线n在平面α内，直线m不在平面α内，“m∥n”，根据线面平行的判定定理，可知“m∥α”，反之：若“m∥α”，不一定有“m∥n”，则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件，故选：A．14．某高科技公司所有雇员的工资情况如表所示．年薪（万元）13595807060524031人数112134112该公司雇员年薪的标准差约为（）A．24.5（万元） B．25.5（万元） C．26.5（万元） D．27.5（万元）〖答案〗B〖解析〗年薪的平均数为（135+95+80×2+70+60×3+52×4+40+31×12）＝50.4万元，所以该公司雇员年薪的方差约为[（135﹣50.4）2+（95﹣50.4）2+2×（80﹣50.4）2+（70﹣50.4）2+3×（60﹣50.4）2+4×（52﹣50.4）2+（40﹣50.4）2+12×（31﹣50.4）2]＝650.25，所以该公司雇员年薪的标准差约为（万元）．故选：B．15．已知点P（4，m）是直线l：（t∈R，t是参数）和圆C：（θ∈R，θ是参数）的公共点，过点P作圆C的切线l1，则切线l1的方程是（）A．3x﹣4y﹣28＝0 B．3x+4y﹣28＝0 C．3x﹣y﹣13＝0 D．x﹣3y﹣16＝0〖答案〗A〖解析〗直线l：（t∈R，t是参数）转换为直角坐标方程为x﹣3y﹣16＝0．由于点P（4，m）在直线上，故m＝﹣3，所以P（4，﹣4），设圆C的切线l1的方程为y+4＝k（x﹣4），整理得kx﹣y﹣4k﹣4＝0．由于直线与圆相切，故圆心（1，0）到直线kx﹣y﹣4k﹣4＝0的距离d，整理得12k2﹣24k+9＝0，解得k＝．所以切线的方程为3x﹣4y﹣28＝0．故选：A．16．已知数列{xn}满足x1＝2，（n∈N*），给出以下两个命题：命题p：对任意n∈N*，都有1＜xn+1＜xn；命题q：存在r∈（0，1），使得对任意n∈N*，都有．则（）A．p真，q真 B．p真，q假 C．p假，q真 D．p假，q假〖答案〗B〖解析〗由题意可得xn≥0，xn+1﹣xn＝＝＜0，数列{xn}单调递减，所以xn+1＜xn，而当xn→1时，xn+1→1且xn+1＞1则1＜xn+1＜xn，所以命题P为真命题．而xn+1﹣1＝﹣1＝，所以，所以xn﹣1＞，n≥2，即，所以，可得n+1＞2（）n﹣1，n≥2即存在r∈（0，1），对任意n∈N*，都有f（n）＝ln（n+1）﹣ln2+（n﹣1）lnr＞0成立，又f（n）＝ln（n+1）﹣ln2+（n﹣1）lnr＜ln（n+1）+ln＝0，所以n＝∈（1，+∞），即小于0有解，所以命题q为假命题．综上可知，命题p为真命题，命题q为假命题．故选：B．三．解答题（共5小题）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD＝AP＝2，BC＝1，且Q为线段BP的中点．（1）求直线CQ与PD所成角的大小；（2）求直线CQ与平面ADQ所成角的大小．解：（1）以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立坐标系．A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），D（0，2，0），C（2，1，0）则Q（1，0，1），，，设异面直线CQ与PD所成的角为α，则，即异面直线CQ与PD所成角的大小为．（2）设平面ADQ的法向量为，由，可得，所以取＝（1，0，﹣1），设直线CQ与平面ADQ所成的角为β，则．即直线CQ与平面ADQ所成角的大小为．18．2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品、让展商变投资商，交流创意和理念联通中国和世界，成为国际采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平台，成为全球共享的国际公共产品．在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场已知该产品年固定研发成本150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝．（1）写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数〖解析〗式；（利润＝销售收入﹣成本）（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润．解：（1）当0＜x≤20时，S＝xR（x）﹣（380x+150）＝500x﹣2x2﹣380x﹣150＝﹣2x2+120x﹣150，当x＞20时，S＝xR（x）﹣（380x+150）＝370x+2140﹣﹣380x﹣150＝﹣10x﹣+1990，∴函数S的〖解析〗式为S＝．（2）当0＜x≤20时，S＝﹣2x2+120x﹣150＝﹣2（x﹣30）2+1650，∴函数S在（0，20]上单调递增，∴当x＝20时，S取得最大值，为1450，当x＞20时，S＝﹣10x﹣+1990＝﹣（10x+）+1990≤﹣2+1990＝﹣500+1990＝1490，当且仅当10x＝，即x＝25时，等号成立，此时S取得最大值，为1490，∵1490＞1450，∴当年产量为25万台时，该企业获得的利润最大，最大利润为1490万元．19．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：＝1（a、b为正数）的右顶点为A，右焦点F2（5，0）到渐近线的距离为4，直线l与双曲线C交于P、Q两点，且P、Q均不是双曲线的顶点，M为PQ的中点．（1）求双曲线的方程；（2）当直线PQ与直线OM的斜率均存在时，设斜率分别为k1、k2，求k1k2的值；（3）若，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．解：（1）双曲线C的渐近线方程为，即bx±ay＝0，所以，该双曲线的右焦点到渐近线的距离为，因为c＝5，则，因此，双曲线C的方程为．（2）设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则点，所以，，，由已知可得，两式作差可得，因此，．（3）因为，则|PQ|＝2|AM|，又因为M为PQ的中点，故△APQ是直角三角形，且AP⊥AQ，设P（x1，y1）、Q（x2，y2）．①若直线PQ⊥x轴，设直线PQ的方程为x＝t（t≠3），则P（t，y1）、Q（t，﹣y1），所以，，所以，，易知点A（3，0），，，，因为t≠3，解得；②若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx+m，联立，可得（16﹣9k2）x2﹣18km﹣（9m2+144）＝0，所以，，由韦达定理可得，，，，则＝，化简可得7m2+54km﹣225k2＝0，即（7m+75k）（m﹣3k）＝0．若m＝3k，则直线l的方程为y＝k（x﹣3），此时直线l过点A，不合乎题意；若，则直线l的方程为，此时直线l过定点．综上所述，直线l过定点．20．已知在每一项均不为0的数列{an}中，a1＝3，且（p，t为常数，n∈N*），记数列{an}的前n项和为Sn．（1）当t＝0时，求Sn；（2）当p＝，t＝2时，①求证：数列为等比数列；②是否存在正整数m，使得不等式Sn﹣2n＜m对任意n∈N*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．（1）解：当t＝0时，an+1＝pan，∵an≠0，∴p≠0，∴数列{an}是首项为3，公比为p的等比数列．当p＝1时，Sn＝3n；当p≠1时，Sn＝．故Sn＝；（2）①证明：当p＝，t＝2时，an+1＝+，∴an+1+2＝＝，an+1﹣2＝＝，若存在k≥2，k∈N*，使得ak＝2，则2＝ak﹣1＝ak﹣2＝…＝a1，这与a1＝3矛盾，所以an≠2，＝＞0，所以lg＝lg＝2lg，又因为lg＝lg5≠0，所以数列是首项为lg5，公比为2的等比数列．②解：由①知lg＝lg5•2n﹣1，∴＝5，an＝．由an﹣2＝＞0得：＝＝＝＜≤，即an+1﹣2＜（an﹣2），∴当n≥2时，an﹣2＜﹣2）＜（an﹣2﹣2）＜…＜（a1﹣2）＝，所以Sn﹣2n＝（a1﹣2）+（a2﹣2）+…+（an﹣2）≤1+++…+（当且仅当n＝1时取“＝“），所以Sn﹣2n≤＝＜，又因为S1﹣2＝1＜m，m∈N*，所以存在m且m的最小值为2．21．设函数f（x）＝ax3﹣（a+1）x2+x，g（x）＝kx+m，其中a≥0，k、m∈R，若对任意x∈[0，1]均有f（x）≤g（x），则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的“控制函数”，且对所有的函数y＝g（x）取最小值定义为（x）．（1）若a＝2，g（x）＝x，试问y＝g（x）是否为y＝f（x）的“控制函数”；（2）若a＝0，使得直线y＝h（x）是曲线y＝f（x）在x＝处的切线，求证：函数y＝h（x）是为函数y＝f（x）的“控制函数”，并求（）的值；（3）若曲线y＝f（x）在x＝x0（x0∈（0，1））处的切线过点（1，0），且c∈[x0，1]，求证：当且仅当c＝x0或c＝1时，（c）＝f（c）．解：（1）f（x）＝2x3﹣3x2+x，设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝2x3﹣3x2，h′（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），当x∈[0，1]时，易知h′（x）＝6x（x﹣1）≤0，即h（x）单调减，∴h（x）max＝h（0）＝0，即f（x）﹣g（x）≤0⇒f（x）≤g（x），∴g（x）是f（x）的“控制函数“；（2），∴，∴f（x）≤h（x），即y＝h（x）为函数y＝f（x）的“控制函数“，又，且，∴；证明：（3）f（x）＝ax3﹣（a+1）x2+x，f′（x）＝3ax2﹣2（a+1）x+1，y＝f（x）在x＝x0（x0∈（0，1））处的切线为t（x），t（x）＝f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），t（x0）＝f（x0），t（1）＝0⇒f（1）＝0，，，，，恒成立，函数t（x）必是函数y＝f（x）的“控制函数“，是函数y＝f（x）的“控制函数“，此时“控制函数“g（x）必与y＝f（x）相切于x点，t（x）与y＝f（x）在处相切，且过点（1，0），在之间的点不可能使得y＝f（x）在切线下方，所以或c＝1，所以曲线y＝f（x）在x＝x0（x0∈（0，1））处的切线过点（1，0），且c∈[x0，1]，当且仅当c＝x0或c＝1时，．2023届高三下学期开学摸底考试卷（上海专用）数学一．填空题（共12小题）1．已知集合A＝{y|y＝10x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，1≤x≤2}，则A∩B＝．〖答案〗[1，4]〖解析〗∵A＝{y|y＞0}，B＝{y|1≤y≤4}，∴A∩B＝[1，4]．故〖答案〗为：[1，4]．2．已知函数f（x）＝2+loga（x+1）（a＞0，且a≠1）．若y＝f（x）的反函数的图象经过点（1，2），则a＝．〖答案〗〖解析〗因为y＝f（x）的反函数的图象经过点（1，2），由函数与反函数图象关于y＝x对称，则函数f（x）的图象经过点（2，1），则有2+loga（2+1）＝1，解得a＝．故〖答案〗为：．3．若方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝．〖答案〗〖解析〗方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，设α＝x+yi，则β＝x﹣yi，所以αβ＝x2+y2＝3，所以|α|+|β|＝2|α|＝＝2．故〖答案〗为：2．4．某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的概率等于.（用数字作答）〖答案〗〖解析〗根据题意，农场主与6名同学站成一排，有A77＝5040种不同的站法，若农场主站在中间，有A66＝720种不同的站法，农场主人站在中间，两名女生相邻共有4A22A44＝192种站法，则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的站法有A66﹣4A22A44＝528种站法，则其概率P＝＝，故〖答案〗为：．5．已知复数z满足z（2+i）＝5（i为虚数单位），则z的值为．〖答案〗2﹣i〖解析〗∵z（2+i）＝5，∴＝．故〖答案〗为：2﹣i．6．等比数列{an}（n∈N*）中，若，，则a8＝．〖答案〗4〖解析〗因为等比数列{an}（n∈N*）中，，，所以q3＝＝8，即q＝2，所以a8＝＝＝4．故〖答案〗为：4．7．在（x+2）6的二项展开式中，x3项的系数为（结果用数值表示）．〖答案〗160〖解析〗展开式中含x3的项为C＝20×8x3＝160x3，所以x3项的系数为160，故〖答案〗为：160．8．若sinθ＝kcosθ，则sinθ•cosθ的值等于.（用k表示）〖答案〗〖解析〗由sinθ＝kcosθ，得sinθ•cosθ＝＝．故〖答案〗为：．9．y＝3x+在（0，+∞）为增函数，α的取值范围是．〖答案〗（﹣∞，4]〖解析〗由题意得，[（1+3x）2﹣α]≥0在（0，+∞）上恒成立，所以（1+3x）2﹣α≥0，即α（1+3x）2在（0，+∞）恒成立，因为x＞0，1+3x＞2，（1+3x）2≥4，所以α≤4，故〖答案〗为：为（﹣∞，4]．10．设集合S，T，S⊆N•，T⊆N•，S，T中，至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②对于任意x，y∈T，若x＜y，则．若S有4个元素，则S∪T有个元素．〖答案〗7〖解析〗根据题意设S＝{2，4，8，16}，T＝{8，16，32，64，128}，∴S∪T＝{2，4，8，16，32，64，128}，∴S∪T的元素个数为7．故〖答案〗为：7．11．设Sn为正数列{an}的前n项和，Sn+1＝qSn+S1，q＞1，对任意的n≥1，n∈N均有Sn+1≤4an，则q的取值为．〖答案〗2〖解析〗∵Sn+1＝qSn+S1，∴Sn＝qSn﹣1+S1（n≥2），∴an+1＝qan，＝q（n≥2），把n＝1代入Sn+1＝qSn+S1得，S2＝qa1+a1＝a1+a2，∴a2＝qa1，满足上式，∴{an}是首相为a1，公比为q的等比数列，∵Sn+1≤4an，∴≤4a1qn﹣1，∵a1＞0，q＞1，∴qn+1﹣4qn+4qn﹣1≤1，∴qn﹣1（q﹣2）2≤1，∴（q﹣2）2≤（）min，∵当q＞1，n→+∞时，→0，∴（q﹣2）2≤0，又∵（q﹣2）2≥0，∴（q﹣2）2＝0，即q＝2，故〖答案〗为：2．12．已知定义在（﹣3，3）上的奇函数y＝f（x）的导函数是f'（x），当x≥0时，y＝f（x）的图像如图所示，则侧关于x的不等式的解集为．〖答案〗{x|0＜x＜1或﹣3＜x＜﹣1}〖解析〗因为f（x）是奇函数，结合f（x）的图象可知：f（x）在（﹣1，1）上单调递增，在（﹣3，﹣1），（1，3）上单调递减，故f′（x）＜0⇔﹣3＜x＜﹣1或1＜x＜3；f′（x）＞0⇔﹣1＜x＜1，故⇔或，解得0＜x＜1或﹣3＜x＜﹣1．故〖答案〗为：{x|0＜x＜1或﹣3＜x＜﹣1}．【点评】本题考查导数与函数单调性之间的关系，以及函数的奇偶性等性质，属于中档题．二．选择题（共4小题）13．已知平面α，直线m不在α上，直线n在α上，则“m∥n”是“m∥α的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要必要条件 D．既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由直线n在平面α内，直线m不在平面α内，“m∥n”，根据线面平行的判定定理，可知“m∥α”，反之：若“m∥α”，不一定有“m∥n”，则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件，故选：A．14．某高科技公司所有雇员的工资情况如表所示．年薪（万元）13595807060524031人数112134112该公司雇员年薪的标准差约为（）A．24.5（万元） B．25.5（万元） C．26.5（万元） D．27.5（万元）〖答案〗B〖解析〗年薪的平均数为（135+95+80×2+70+60×3+52×4+40+31×12）＝50.4万元，所以该公司雇员年薪的方差约为[（135﹣50.4）2+（95﹣50.4）2+2×（80﹣50.4）2+（70﹣50.4）2+3×（60﹣50.4）2+4×（52﹣50.4）2+（40﹣50.4）2+12×（31﹣50.4）2]＝650.25，所以该公司雇员年薪的标准差约为（万元）．故选：B．15．已知点P（4，m）是直线l：（t∈R，t是参数）和圆C：（θ∈R，θ是参数）的公共点，过点P作圆C的切线l1，则切线l1的方程是（）A．3x﹣4y﹣28＝0 B．3x+4y﹣28＝0 C．3x﹣y﹣13＝0 D．x﹣3y﹣16＝0〖答案〗A〖解析〗直线l：（t∈R，t是参数）转换为直角坐标方程为x﹣3y﹣16＝0．由于点P（4，m）在直线上，故m＝﹣3，所以P（4，﹣4），设圆C的切线l1的方程为y+4＝k（x﹣4），整理得kx﹣y﹣4k﹣4＝0．由于直线与圆相切，故圆心（1，0）到直线kx﹣y﹣4k﹣4＝0的距离d，整理得12k2﹣24k+9＝0，解得k＝．所以切线的方程为3x﹣4y﹣28＝0．故选：A．16．已知数列{xn}满足x1＝2，（n∈N*），给出以下两个命题：命题p：对任意n∈N*，都有1＜xn+1＜xn；命题q：存在r∈（0，1），使得对任意n∈N*，都有．则（）A．p真，q真 B．p真，q假 C．p假，q真 D．p假，q假〖答案〗B〖解析〗由题意可得xn≥0，xn+1﹣xn＝＝＜0，数列{xn}单调递减，所以xn+1＜xn，而当xn→1时，xn+1→1且xn+1＞1则1＜xn+1＜xn，所以命题P为真命题．而xn+1﹣1＝﹣1＝，所以，所以xn﹣1＞，n≥2，即，所以，可得n+1＞2（）n﹣1，n≥2即存在r∈（0，1），对任意n∈N*，都有f（n）＝ln（n+1）﹣ln2+（n﹣1）lnr＞0成立，又f（n）＝ln（n+1）﹣ln2+（n﹣1）lnr＜ln（n+1）+ln＝0，所以n＝∈（1，+∞），即小于0有解，所以命题q为假命题．综上可知，命题p为真命题，命题q为假命题．故选：B．三．解答题（共5小题）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD＝AP＝2，BC＝1，且Q为线段BP的中点．（1）求直线CQ与PD所成角的大小；（2）求直线CQ与平面ADQ所成角的大小．解：（1）以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立坐标系．A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），D（0，2，0），C（2，1，0）则Q（1，0，1），，，设异面直线CQ与PD所成的角为α，则，即异面直线CQ与PD所成角的大小为．（2）设平面ADQ的法向量为，由，可得，所以取＝（1，0，﹣1），设直线CQ与平面ADQ所成的角为β，则．即直线CQ与平面ADQ所成角的大小为．18．2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品、让展商变投资商，交流创意和理念联通中国和世界，成为国际采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平台，成为全球共享的国际公共产品．在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场已知该产品年固定研发成本150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝．（1）写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数〖解析〗式；（利润＝销售收入﹣成本）（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润．解：（1）当0＜x≤20时，S＝xR（x）﹣（380x+150）＝500x﹣2x2﹣380x﹣150＝﹣2x2+120x﹣150，当x＞20时，S＝xR（x）﹣（380x+150）＝370x+2140﹣﹣380x﹣150＝﹣10x﹣+1990，∴函数S的〖解析〗式为S＝．（2）当0＜x≤20时，S＝﹣2x2+120x﹣150＝﹣2（x﹣30）2+1650，∴函数S在（0，20]上单调递增，∴当x＝20时，S取得最大值，为1450，当x＞20时，S＝﹣10x﹣+1990＝﹣（10x+）+1990≤﹣2+1990＝﹣500+1990＝1490，当且仅当10x＝，即x＝25时，等号成立，此时S取得最大值，为1490，∵1490＞1450，∴当年产量为25万台时，该企业获得的利润最大，最大利润为1490万元．19．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：＝1（a、b为正数）的右顶点为A，右焦点F2（5，0）到渐近线的距离为4，直线l与双曲线C交于P、Q两点，且P、Q均不是双曲线的顶点，M为PQ的中点．（1）求双曲线的方程；（2）当直线PQ与直线OM的斜率均存在时，设斜率分别为k1、k2，求k1k2的值；（3）若，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．解：（1）双曲线C的渐近线方程为，即bx±ay＝0，所以，该双曲线的右焦点到渐近线的距离为，因为c＝5，则，因此，双曲线C的方程为．（2）设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则点，所以，，，由已知可得，两式作差可得，因此，．（3）因为，则|PQ|＝2|AM|，又因为M为PQ的中点，故△APQ是直角三角形，且AP⊥AQ，设P（x1，y1）、Q（x2，y2）．①若直线PQ⊥x轴，设直线PQ的方程为x＝t（t≠3），则P（t，y1）、Q（t，﹣y1），所以，，所以，，易知点A（3，0），，，，因为t≠3，解得；②若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx+m，联立，可得（16﹣9k2）x2﹣18km﹣（9m2+144）＝0，所以，，由韦达定理可得，，，，则＝，化简可得7m2+54km﹣225k2＝0，即（7m+75k）（m﹣3k）＝0．若m＝3k，则直线l的方程为y＝k（x﹣3），此时直线l过点A，不合乎题意；若，则直线l的方程为，此时直线l过定点．综上所述，直线l过定点．20．已知在每一项均不为0的数列{an}中，a1＝3，且（p，t为常数，n∈N*），记数列{an}的前n项和为Sn．（1）当t＝0时，求Sn；（2）当p＝，t＝2时，①求证：数列为等比数列；②是否存在正整数m，使得不等式Sn﹣2n＜m对任意n∈N*恒成立？若存在