2022-2023学年浙江省台州市八校联盟高一下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省台州市八校联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题给出的四个备选项中只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．1.已知复数是纯虚数，则实数（）A.0 B.2 C.－1 D.1〖答案〗D〖解析〗，因为复数是纯虚数，所以，解得.故选：D2.如图，在中，，若，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以.故选：C.3.已知空间中点A，B，直线l，平面α，若，，，，则下列结论正确的是（）．A. B.l与ɑ相交 C. D.以上都有可能〖答案〗B〖解析〗因为，，所以，又因为，，所以l与ɑ相交，故选：B4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则b=（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在中，角，，所对的边分别是，，．若，，，利用正弦定理：，整理得：．故选：D．5.如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对角线长分别是9和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，连接交点为O，则对角线，，所以，因为直四棱柱的底面是菱形，所以，所以，∴直四棱柱的侧面积.故选：D.6.在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为（）A. B. C.1 D.4〖答案〗A〖解析〗设，，所以，又，所以．故选：．7.如图，在圆C中，，点A，B在圆上，，则的值为（）A.25 B.8 C.10 D.16〖答案〗B〖解析〗如图所示，在圆中，过点作于，则为的中点，在中，，可得，所以，故选：B.8.已知四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，平面过PB，BC，PD的中点，则下列关于平面截四棱锥所得的截面正确的为（）A.所得截面是正五边形 B.截面过棱PA的三等分点C.所得截面面积为 D.截面不经过CD中点〖答案〗C〖解析〗在四棱锥中，，取中点分别为，连接，FG，GH，BD，AC，如图，因底面为正方形，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，则，所以四边形EFGH是平行四边形.对于A，令，有，在PA上取点，使，连接EI，HI，JI，则，因为点平面EFGH，有平面EFGH，所以点平面平面EFGH，因此五边形EFGHI是平面截四棱锥所得的截面多边形，而，所以截面不是正五边形，A错误；对于B，由A选项分析，可知截面过棱PA的四等分点，B错误；对于C，底面平面，则，而，则，又平面，因此平面平面，于是得，有，所以矩形EFGH面积等于，而，则边EH上的高等于，所以，所以截面五边形EFGHI面积为，C正确；对于D，截面经过CD中点，D错误.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错或不选的得0分．9.已知复数，，下列结论正确的有（）A. B.若，则的最大值为C. D.在复平面内对应的点在第二象限〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为复数，，则，，所以，故选项A正确；对于B，设复数，则，则，所以复数对应点的坐标是以为圆心，以1为半径的圆，而表示圆上一点到坐标原点的距离，因为原点到圆心的距离，所以，则的最大值为，故选项B错误；对于C，因为，故选项C正确；对于D，因为复数，，则，其在复平面内对应的点为，位于第二象限，故选项D正确，故选：ACD.10.在中，角、、的对边分别为，，，若，，则使此三角形有两解的的值可以是（）A.5 B. C.8 D.〖答案〗BC〖解析〗当为锐角时，三角形有两解.，，的值可以是，8，故选：BC.11.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径为R，下列结论正确的有（）A.若，，则B.若，则可能是直角三角形C.若，则D.若，则是直角三角形〖答案〗ABD〖解析〗对于A，若，，在中，由正弦定理可得，则，故选项A正确；对于B，若，则由余弦定理可得，，因为，所以角为锐角，则可能是直角三角形，故选项B正确；对于C，若，由正弦定理可得，并不能得出，故选项C错误；对于D，若，由可得，则，化简可得，则，即，也即，在中，因为且，所以，则，所以或，则为直角三角形，故选项D正确，故选：ABD.12.如图，圆锥底面的直径为3，，E为PB的中点，则下列说法正确的有（）A.圆锥的体积为B.圆锥内切球的半径为C.过P截圆锥所得截面面积最大为D.A点沿圆锥表面到E的最短路经长为〖答案〗BCD〖解析〗因为，由解得，即圆锥母线长为，则高，故圆锥的体积为,故A错误,设内切球的半径为，垂直于交于点，如图，则对，由于,所以,所以，故B正确，过点作平面截圆锥的截面面积的最大时，由于为等腰三角形，如图，因为，故恰好时取到最大值，此时，故C正确；沿母线，剪开，并将圆锥的半侧面展开如图，易知，又弧长为，，所求最近路线长，D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，若，则________.〖答案〗.〖解析〗因为向量，且，所以，解得：.所以，所以.故〖答案〗为：.14.已知复数z满足，则的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗表示对应的点是单位圆上的点，的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离，的取值范围转化为点到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最小值，所以最大距离为，最小距离为，所以的取值范围为.故〖答案〗为：.15.已知圆柱体的底面半径为，高为，一只蜗牛从圆柱体底部开始爬行，绕圆柱体4圈到达顶部，则蜗牛爬行的最短路径长为______．〖答案〗〖解析〗根据题意，从圆柱底部点绕圆柱体的侧面旋转4圈到达顶部的点，沿将侧面展开后，最短路程，如图所示，其中矩形的高等于圆柱的高，矩形的宽等于圆柱的底面圆的周长的4倍，即，所以蜗牛爬行的最短路径为.故〖答案〗为：.16.在中，，，，对任意，有恒成立，点P是直线BA上，则的最小值是______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，

由减法与数乘的几何意义，为点到的垂线段，所以，

因为，，所以，，所以，

在中，由余弦定理易得，，

设关于直线对称点为，连接，连接交于，

易得，此时最小，，，

即的最小值为.故〖答案〗为:.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已如i为虚数单位，复数．（1）当实数m取何值时，z是纯虚数；（2）若，求值．解：（1）若复数是纯虚数，则，解得，所以．（2）当时，，则，．18.已知在中，角A，B，C，所对的边为a，b，c，若．（1）求角C的大小；（2）若，求面积的最大值．解：（1）由正弦定理及得，由余弦定理得，又因为，所以．（2）由（1）得，又，所以由得，因为，即，所以，当且仅当时，等号成立，所以，故的面积最大值为．19.台州黄岩被誉为“模具之乡”，为市场对球形冰淇淋的需求，特地制作了一款中空的正三棱柱模具，其内壁恰好是球体的表面，且内壁与棱柱的每一个面都相切（内壁厚度忽略不计），店家可以将不同口味的冰淇淋放入该模具中，再通过按压的方式得到球形冰淇淋。已知该模具底部边长为3cm．（1）求内壁的面积；（2）求制作该模具所需材料的体积；（3）求模具顶点到内壁的最短距离．解：（1）由题意得：内壁的面积就等于内切球的表面积，如图过侧棱的中点作正三棱柱的截面，则球心为的中心，因为，所以内切圆的半径，即内切球的半径，所以内切球的表面积.（2）由题意得：模型的体积就等于棱柱的体积减去内切球的体积，由（1）得正三棱柱的高，因为，，所以.（3）由图得，所以，所以到球面上的点的距离最小值为.20.已知在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足．（1）判断角B与角C的关系，并说明理由；（2）若，求的范围．解：（1）∵，，∴或，∴，∴，∴.∵，，∴∵，∴或，∵，∴.（2）由（1）知：，∴，∴∵，，∴，∴21.如图，梯形ABCD，，，E为BC的中点，F是AD上的任意一点，设．（1）当F是AD的三等分点时，试用向量，表示向量；（2）若，求证：的最小值与t无关．（1）解：连接FC，FD，如图因为，所以，因为FE是的中线，所以，①当点为靠近点的三等分点时，，；②当点为靠近点的三等分点时，，.（2）证明：由（1）得，所以所以当，即时，最小，的最小值为，与无关.浙江省台州市八校联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题给出的四个备选项中只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．1.已知复数是纯虚数，则实数（）A.0 B.2 C.－1 D.1〖答案〗D〖解析〗，因为复数是纯虚数，所以，解得.故选：D2.如图，在中，，若，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以.故选：C.3.已知空间中点A，B，直线l，平面α，若，，，，则下列结论正确的是（）．A. B.l与ɑ相交 C. D.以上都有可能〖答案〗B〖解析〗因为，，所以，又因为，，所以l与ɑ相交，故选：B4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则b=（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在中，角，，所对的边分别是，，．若，，，利用正弦定理：，整理得：．故选：D．5.如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对角线长分别是9和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，连接交点为O，则对角线，，所以，因为直四棱柱的底面是菱形，所以，所以，∴直四棱柱的侧面积.故选：D.6.在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为（）A. B. C.1 D.4〖答案〗A〖解析〗设，，所以，又，所以．故选：．7.如图，在圆C中，，点A，B在圆上，，则的值为（）A.25 B.8 C.10 D.16〖答案〗B〖解析〗如图所示，在圆中，过点作于，则为的中点，在中，，可得，所以，故选：B.8.已知四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，平面过PB，BC，PD的中点，则下列关于平面截四棱锥所得的截面正确的为（）A.所得截面是正五边形 B.截面过棱PA的三等分点C.所得截面面积为 D.截面不经过CD中点〖答案〗C〖解析〗在四棱锥中，，取中点分别为，连接，FG，GH，BD，AC，如图，因底面为正方形，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，则，所以四边形EFGH是平行四边形.对于A，令，有，在PA上取点，使，连接EI，HI，JI，则，因为点平面EFGH，有平面EFGH，所以点平面平面EFGH，因此五边形EFGHI是平面截四棱锥所得的截面多边形，而，所以截面不是正五边形，A错误；对于B，由A选项分析，可知截面过棱PA的四等分点，B错误；对于C，底面平面，则，而，则，又平面，因此平面平面，于是得，有，所以矩形EFGH面积等于，而，则边EH上的高等于，所以，所以截面五边形EFGHI面积为，C正确；对于D，截面经过CD中点，D错误.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错或不选的得0分．9.已知复数，，下列结论正确的有（）A. B.若，则的最大值为C. D.在复平面内对应的点在第二象限〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为复数，，则，，所以，故选项A正确；对于B，设复数，则，则，所以复数对应点的坐标是以为圆心，以1为半径的圆，而表示圆上一点到坐标原点的距离，因为原点到圆心的距离，所以，则的最大值为，故选项B错误；对于C，因为，故选项C正确；对于D，因为复数，，则，其在复平面内对应的点为，位于第二象限，故选项D正确，故选：ACD.10.在中，角、、的对边分别为，，，若，，则使此三角形有两解的的值可以是（）A.5 B. C.8 D.〖答案〗BC〖解析〗当为锐角时，三角形有两解.，，的值可以是，8，故选：BC.11.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径为R，下列结论正确的有（）A.若，，则B.若，则可能是直角三角形C.若，则D.若，则是直角三角形〖答案〗ABD〖解析〗对于A，若，，在中，由正弦定理可得，则，故选项A正确；对于B，若，则由余弦定理可得，，因为，所以角为锐角，则可能是直角三角形，故选项B正确；对于C，若，由正弦定理可得，并不能得出，故选项C错误；对于D，若，由可得，则，化简可得，则，即，也即，在中，因为且，所以，则，所以或，则为直角三角形，故选项D正确，故选：ABD.12.如图，圆锥底面的直径为3，，E为PB的中点，则下列说法正确的有（）A.圆锥的体积为B.圆锥内切球的半径为C.过P截圆锥所得截面面积最大为D.A点沿圆锥表面到E的最短路经长为〖答案〗BCD〖解析〗因为，由解得，即圆锥母线长为，则高，故圆锥的体积为,故A错误,设内切球的半径为，垂直于交于点，如图，则对，由于,所以,所以，故B正确，过点作平面截圆锥的截面面积的最大时，由于为等腰三角形，如图，因为，故恰好时取到最大值，此时，故C正确；沿母线，剪开，并将圆锥的半侧面展开如图，易知，又弧长为，，所求最近路线长，D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，若，则________.〖答案〗.〖解析〗因为向量，且，所以，解得：.所以，所以.故〖答案〗为：.14.已知复数z满足，则的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗表示对应的点是单位圆上的点，的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离，的取值范围转化为点到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最小值，所以最大距离为，最小距离为，所以的取值范围为.故〖答案〗为：.15.已知圆柱体的底面半径为，高为，一只蜗牛从圆柱体底部开始爬行，绕圆柱体4圈到达顶部，则蜗牛爬行的最短路径长为______．〖答案〗〖解析〗根据题意，从圆柱底部点绕圆柱体的侧面旋转4圈到达顶部的点，沿将侧面展开后，最短路程，如图所示，其中矩形的高等于圆柱的高，矩形的宽等于圆柱的底面圆的周长的4倍，即，所以蜗牛爬行的最短路径为.故〖答案〗为：.16.在中，，，，对任意，有恒成立，点P是直线BA上，则的最小值是______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，

由减法与数乘的几何意义，为点到的垂线段，所以，

因为，，所以，，所以，

在中，由余弦定理易得，，

设关于直线对称点为，连接，连接交于，

易得，此时最小，，，

即的最小值为.故〖答案〗为:.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已如i为虚数单位，复数．（1）当实数m取何值时，z是纯虚数；（2）若，求值．解：（1）若复数是纯虚数，则，解得，所以．（2）当时，，则，．18.已知在中，角A，B，C，所对的边为a，b，c，若．（1）求角C的大