2022-2023学年云南省昆明市嵩明县高二下学期期中检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1云南省昆明市嵩明县2022-2023学年高二下学期期中检测数学试题（全卷四个部分．满分150分，考试用时120分钟．）注意事项:1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目．2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗标号．回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上，答在试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡交回．一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集或，则＝（）A.或 B.或C. D.{0，1，2，3，4，5，6}〖答案〗D〖解析〗由于或，所以，故选：D.2.若复数是纯虚数，则实数a的值为（）A.1 B.2 C.1或2 D.－1〖答案〗B〖解析〗是纯虚数，所以解得，故选：B.3.新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有（）A.14种 B.15种 C.16种 D.17种〖答案〗C〖解析〗由题意得：物理或历史中选一门：种选法；物理和历史都选：种选法；物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有种选法；故选：C.4.设直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线//平面，则实数z的值为（）A.-5 B.5 C.-1 D.1〖答案〗B〖解析〗由直线//平面,知向量与垂直，则有，解得.故选：B.5.已知且，则的最小值为（）A.3+ B.4 C.2 D.6〖答案〗A〖解析〗因为，且，所以，则，当且仅当，时等号成立.故选：A.6.已知函数，则函数的大致图象为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，的定义域为，，排除A选项.，所以为偶函数，图像关于轴对称，排除B选项.，排除C选项.故选：D.7.圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为圆心在抛物线上，所以设圆心为，又因为圆与抛物线的准线及轴都相切，所以，解得，所以圆心为，半径为，所以圆的标准方程为：，即，故选：A．8.已知函数，若，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，，因为，所以，故，因为所以，即.故选：B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.已知两条直线m，n，两个平面α，β．下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗CD〖解析〗对于A：若，则或.故A错误；对于B：若，则或异面.故B错误；对于C：因为，所以内任意直线.在平面内取两条相交直线，则且.因为，所以，.又为平面内两条相交直线，所以.故C正确；对于D：由选项C的证明可知：.因为，所以.故D正确.故选：CD.10.已知数列{an}的n项和为，则下列说法正确的是（）A. B.S16为Sn的最小值C. D.使得成立的n的最大值为33〖答案〗AC〖解析〗，当时，，当时，，也符合上式，所以，A正确.由于开口向下，对称轴为，所以是的最大值，B错误.由解得，所以，C正确.，所以使成立的的最大值为，D错误.故选：AC.11.已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的值可能是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗∵曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，∴有两个不同的解，即得有两个不同的解，即的图象与的图象有两个不同的交点，，∴当时，，单调递减；时，，单调递增，∴时，y取得最小值，又当时，，函数图象如下：∴当时，的图象与的图象有两个不同的交点，结合选项可得实数a的值可能是，；故选：BC．12.设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（）A.为定值B.的周长的取值范围是C.当时，为直角三角形D.当时，的面积为〖答案〗ACD〖解析〗设椭圆的左焦点为，则所以为定值，A正确；的周长为，因为为定值6，所以的范围是，所以的周长的范围是，B错误；将与椭圆方程联立，可解得，又因为，∴所以为直角三角形，C正确；将与椭圆方程联立，解得，，所以，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分．13.在二项式的展开式中，含的项的系数是________．〖答案〗10〖解析〗，所以令得，即含项的系数是14.在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中，其重心相对与水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在关系．该运动员在时的瞬时速度是________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.15.半径为的球面上有四个点，且直线两两垂直，若，，的面积之和为72，则此球表面积的最小值为：_________．〖答案〗〖解析〗由题可知，点在如图所示的长方体上，设，则，因为，，的面积之和为72，所以，因为，当且仅当时，等号成立，所以，所以球表面积的最小值为．16.已知双曲线的左右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为_______.〖答案〗9〖解析〗由题意可得，即，渐近线方程为，即有，即，可得双曲线方程为，焦点为，，，，，由双曲线的定义可得，由圆可得，半径，，连接，交双曲线于，圆于，可得取得最小值，且为，则则的最小值为．故〖答案〗为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列和等比数列都是递增数列，且．（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和．解：（1）设等差数列和等比数列的公差与公比分别为：，因为，所以，将代入，得：，解得或或，因为等差数列和等比数列都是递增数列，所以，所以，，所以等差数列的通项公式为：，等比数列的通项公式为：.（2）由（1）得，所以，①，②①②得：，即，所以.18.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，．（1）求角B的大小．（2）若△ABC为锐角三角形，．求的取值范围．解：（1）依题意，，由正弦定理得，所以为锐角，所以.（2）由正弦定理得，所以，由于三角形是锐角三角形，所以，解得，所以，所以，所以，即的取值范围是.19.为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：第一组第1组、第2组、第3组、第4组、第5组.（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；（2）估计抽出的100名志愿者年龄的第50百分位数（精确到0.1）（3）若在抽出的第2组和第4组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取5名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这5名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.解：（1）由直方图知：，可得，∴500名志愿者中年龄在的人数为人.（2）由（1）易知：第50百分位数在区间内，若该数为，∴，解得.（3）由题设，易知：5名志愿者有2名来自，3名来自，∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.20.如图，在三棱柱中，为等边三角形，面积为．（1）若三棱柱的体积为，求点C到平面的距离；（2）若且面，求二面角的余弦值．解：（1）因为三棱柱的体积为，故.设C到平面的距离为，则，故.（2）因为，为等边三角形，所以．由平面，平面平面，得．在中，由勾股定理易知又因为，，所以以为坐标原点，分别为轴建系．，，设平面的法向量，，，不妨设，则，，，．平面的法向量取．设二面角的平面角为则，又因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.21.已知椭圆，直线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点作互相垂直的两条直线.分别交椭圆于两点（点不同于椭圆的右顶点），证明：直线过定点.（1）解：根据题意，设直线与题意交于两点.不妨设点在第一象限，又长为，∴，∴，∴，故的标准方程为.（2）证明：显然直线的斜率存在且不为0，设，由得，∴，同理可得当时，，所以直线的方程为整理得，所以当时，直线的方程为，直线也过点，所以直线过定点.22.函数，．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若对于，总有，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）由题意得．当时，，函数在上单调递增；当时，由得，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增．（Ⅱ）解法一：由，得，设，则．设，，则，则在上单调递增．又，所以当时，，即，当时，，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，故，即实数的取值范围为．解法二：由，得，设，则问题转化为．，易知在上单调递增，则存在唯一的，使得，即，则在上单调递减，在上单调递增，则，设，，则，所以函数在上单调递减，且，则，得，易知函数为单调递增函数，所以，即实数的取值范围为．解法三：由，得，考虑切线不等式与，则，当且仅当时，等号成立．又，当且仅当时，等号成立，则，当且仅当时，等号成立，即当时取最小值，为，所以，即实数的取值范围为．云南省昆明市嵩明县2022-2023学年高二下学期期中检测数学试题（全卷四个部分．满分150分，考试用时120分钟．）注意事项:1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目．2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗标号．回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上，答在试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡交回．一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集或，则＝（）A.或 B.或C. D.{0，1，2，3，4，5，6}〖答案〗D〖解析〗由于或，所以，故选：D.2.若复数是纯虚数，则实数a的值为（）A.1 B.2 C.1或2 D.－1〖答案〗B〖解析〗是纯虚数，所以解得，故选：B.3.新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有（）A.14种 B.15种 C.16种 D.17种〖答案〗C〖解析〗由题意得：物理或历史中选一门：种选法；物理和历史都选：种选法；物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有种选法；故选：C.4.设直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线//平面，则实数z的值为（）A.-5 B.5 C.-1 D.1〖答案〗B〖解析〗由直线//平面,知向量与垂直，则有，解得.故选：B.5.已知且，则的最小值为（）A.3+ B.4 C.2 D.6〖答案〗A〖解析〗因为，且，所以，则，当且仅当，时等号成立.故选：A.6.已知函数，则函数的大致图象为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，的定义域为，，排除A选项.，所以为偶函数，图像关于轴对称，排除B选项.，排除C选项.故选：D.7.圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为圆心在抛物线上，所以设圆心为，又因为圆与抛物线的准线及轴都相切，所以，解得，所以圆心为，半径为，所以圆的标准方程为：，即，故选：A．8.已知函数，若，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，，因为，所以，故，因为所以，即.故选：B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.已知两条直线m，n，两个平面α，β．下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗CD〖解析〗对于A：若，则或.故A错误；对于B：若，则或异面.故B错误；对于C：因为，所以内任意直线.在平面内取两条相交直线，则且.因为，所以，.又为平面内两条相交直线，所以.故C正确；对于D：由选项C的证明可知：.因为，所以.故D正确.故选：CD.10.已知数列{an}的n项和为，则下列说法正确的是（）A. B.S16为Sn的最小值C. D.使得成立的n的最大值为33〖答案〗AC〖解析〗，当时，，当时，，也符合上式，所以，A正确.由于开口向下，对称轴为，所以是的最大值，B错误.由解得，所以，C正确.，所以使成立的的最大值为，D错误.故选：AC.11.已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的值可能是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗∵曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，∴有两个不同的解，即得有两个不同的解，即的图象与的图象有两个不同的交点，，∴当时，，单调递减；时，，单调递增，∴时，y取得最小值，又当时，，函数图象如下：∴当时，的图象与的图象有两个不同的交点，结合选项可得实数a的值可能是，；故选：BC．12.设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（）A.为定值B.的周长的取值范围是C.当时，为直角三角形D.当时，的面积为〖答案〗ACD〖解析〗设椭圆的左焦点为，则所以为定值，A正确；的周长为，因为为定值6，所以的范围是，所以的周长的范围是，B错误；将与椭圆方程联立，可解得，又因为，∴所以为直角三角形，C正确；将与椭圆方程联立，解得，，所以，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分．13.在二项式的展开式中，含的项的系数是________．〖答案〗10〖解析〗，所以令得，即含项的系数是14.在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中，其重心相对与水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在关系．该运动员在时的瞬时速度是________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.15.半径为的球面上有四个点，且直线两两垂直，若，，的面积之和为72，则此球表面积的最小值为：_________．〖答案〗〖解析〗由题可知，点在如图所示的长方体上，设，则，因为，，的面积之和为72，所以，因为，当且仅当时，等号成立，所以，所以球表面积的最小值为．16.已知双曲线的左右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为_______.〖答案〗9〖解析〗由题意可得，即，渐近线方程为，即有，即，可得双曲线方程为，焦点为，，，，，由双曲线的定义可得，由圆可得，半径，，连接，交双曲线于，圆于，可得取得最小值，且为，则则的最小值为．故〖答案〗为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列和等比数列都是递增数列，且．（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和．解：（1）设等差数列和等比数列的公差与公比分别为：，因为，所以，将代入，得：，解得或或，因为等差数列和等比数列都是递增数列，所以，所以，，所以等差数列的通项公式为：，等比数列的通项公式为：.（2）由（1）得，所以，①，②①②得：，即，所以.18.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，．（1）求角B的大小．（2）若△ABC为锐角三角形，．求的取值范围．解：（1）依题意，，由正弦定理得，所以为锐角，所以.（2）由正弦定理得，所以，由于三角形是锐角三角形，所以，解得，所以，所以，所以，即的取值范围是.19.为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：第一组第1组、第2组、第3组、第4组、第5组.（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；（2）估计抽出的100名志愿者年龄的第50百分位数（精确到0.1）（3）若在抽出的第2组和第4组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取5名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这5名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.解：（1）由直方图知：，可得，∴500名志愿者中年龄在的人数为人.（2）由（1）易知：第50百分位数在区间内，若该数为，∴，解得.（3）由题设，易知：5名