2022-2023学年四川省德阳市第五中学高二下学期5月月考理科数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省德阳市第五中学2022-2023学年高二下学期5月月考理科数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12个小题．每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求，请将〖答案〗填涂在答题卡上）1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗联立，可得，故.故选:D.2.记为等差数列的前n项和，若，，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可得.故选：C.3.已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由点，，可得，又由，可得，根据双曲线的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支，且，可得，则，所以点的轨迹方程为.故选：C.4.给出下列四个选项中，其中正确的选项有（）A.“”是方程“表示椭圆的充要条件”，B.已知表示直线，，表示两个不同的平面，若，，则，C.命题“，使得”的否定是：“，均有”，D.函数的图像必过．〖答案〗D〖解析〗若表示椭圆，则需要满足，解得且，故“”不是方程“表示椭圆的充要条件”，故A错误，对于B,若，，则，可能相交也可能平行，故B错误，对于C,命题“，使得”的否定是：“，均有”，故C错误，对于D,函数的图像必过,故D正确，故选：D.5设，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，令，可得，令，可得，所以.故选：A.6.函数的图像是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，令，则，即，解得，或，解得，所以当时，函数有1个零点，当时，函数有2个零点，所以排除AD；当时，，则，当时，，所以当时，，函数单调递增，所以B正确；故选：B.7.某小区有5个区域要种上鲜花（如图），现有四种不同品种的鲜花可供选择，每个区域只能种一种鲜花，要求相邻区域不能种同一种鲜花，则符合条件的方案有（）种A.36 B.48 C.54 D.72〖答案〗D〖解析〗如图所示，依顺序，A区域可种4种颜色，B区域可种3种颜色，C区域可种2种颜色，①D区域若与B区域同色，则E有两种颜色可选；②D区域若不与B区域同色，则只有1种颜色可选，E也只有1种颜色可选，故有种方案.故选：D.8.已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同，则（）A.－1 B.－2 C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗根据常用函数的导数可知：，，则两函数在点和处的切线分别为：，化简得由题意可得：，化简得.故选：B.9.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设球O的半径为R，的外心为，由题意得外接圆半径为，面积为，所以，所以最大值，所以，即，解得，所以球O的表面积为.故选:A.10.设函数的导函数为，对任意都有成立，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，则，设，，则在上单调递减.则，即，即.故选：A.11.若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，，分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若，则（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗C〖解析〗设椭圆长轴为，双曲线的实轴为，焦点为，设，，所以，，平方和相加可得，由则，所以，所以，即，，即.故选：C.12.函数，．若，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据题意，可得，则，由，可得，即，令（其中且）且，①当时，可得，所以，不满足题意，舍去；②当时，，且，令，解得或（舍去），当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得极小值，也为最小值，所以，即，所以的最小值为.故选：C.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．将〖答案〗填在答题卡上）13.若复数（i为虚数单位），z的共轭复数记为，则______．〖答案〗〖解析〗由共轭复数的概念可知，复数的共轭复数；所以.故〖答案〗为：.14.已知，求的常数项系数为______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，展开式的通项为，令，解得，所以，故展开式的常数项为.故〖答案〗为：.15.设，过定点的动直线与过定点的动直线交于点，则的最大值是______．〖答案〗10〖解析〗由得，故,由得,由于直线与直线互相垂直，所以,故所以,当且仅当时取等号，故的最大值是10.故〖答案〗为：10.16.在如图棱长为的正方体中，点、在棱、上，且，在棱上，为过、、三点的平面，则下列说法正确的是__________．①存在无数个点，使面与正方体的截面为五边形；②当时，面与正方体的截面面积为；③只有一个点，使面与正方体的截面为四边形；④当面交棱于点，则、、三条直线交于一点．〖答案〗①②④〖解析〗由题设可得为所在棱的中点.当时，如图（1），直线分别交与，连接并延长于，连接交于，则与正方体的截面为五边形，故①正确.当，如图（2），此时与正方体的截面为正六边形，其边长为，其面积为，故B正确.当重合或重合时，如图（3），与正方体的截面均为四边形，故③错误.如图（4），在平面内，设，则，而平面，故平面，同理平面，故平面平面即、、三条直线交于一点.故〖答案〗为：①②④.三、解答题（本大题共6个小题，满分70分．解答应写在文字说明及演算步骤．）17.2022年1月初，某市爆发了一种新型呼吸道传染疾病，该疾病具有较强的传染性，为了尽快控制住该传染病引起的疫情，该市疫情监控机构统计了1月12日到15日每天新增病例的情况，统计数据如表：1月x日12131415新增病例y人26292831（1）疫情监控机构对题中的统计数据作线性回归分析，可以根据表格中的数据建立y关于x的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（2）预测到哪一天新增病例人数将超过36人.附：对于一组组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．参考数据：．解：（1），，，∴，，∴回归直线方程为y＝1.4x＋9.6.（2）由1.4x＋9.6＞36，，解得,所以1月19日新增病例人数将超过36人．18.在中，内角所对的边长分别为a，b，c，已知．（1）求角A的大小；（2）求的取值范围．解：（1）因为，由正弦定理得,又由余弦定理得，因为，所以.（2）由，可得，所以，且，则，因为，所以，结合正弦函数图象，可得，，所以的取值范围为．19.如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且是棱上一点.（1）若平面，证明：是的中点.（2）线段上是否存在点，使二面角的余弦值是?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.（1）证明：如图，连接交于点O，连接，因为是正方形，所以O是的中点，又平面，平面，平面平面，所以，因为O为的中点，所以E是的中点.（2）解：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.设（），设，，,，则，则，，，由且，可知是平面的一个法向量.设为平面的法向量，则，即，取，，，则，，解得，即.20.在同一平面直角坐标系中，曲线按照伸缩变换后得到曲线方程.（1）求曲线的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于相异的两点，且，求实数的取值范围.解：（1）由伸缩变换可知；将代入得，即曲线的方程为．（2）如下图所示：设，，由得，从而，，即，因为点A在椭圆上，故，即，又在椭圆上，即，解得，由椭圆定义知，故，解得，又由题设知，故，所以实数的取值范围是．21.已知函数．（1）若在上，最小值为0，求；（2）若在上有两个零点，证明：．（1）解：的最小值为0，即最小值为0，，时，，递减，时，，递增，∴仅当时，取最小值，即；（2）证明：，故可知：，两边取对数得，同理，，两式相减并整理得：，欲证，只须证：，不妨设，原式化为：，令，则，令，，故为增函数，，故原式得证．请考生在22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22.已知直线的参数方程为(为参数)，圆的极坐标方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求．解：（1）由，得，将，代入，得圆C的直角坐标方程为.（2）把参数方程化为标准形式：，代入得，设，是上述方程的两根，则有,,因此由t的几何意义可知．23.已知函数.（1）求的最小值；（2）若为正实数，且，证明不等式.（1）解：由题知，其函数图象如图所示，所以，.（2）证明：由（1）可知，则，解法一：利用基本不等式：，当且仅当时取等号.所以，.解法二：利用柯西不等式：，当且仅当时取等号.所以，.四川省德阳市第五中学2022-2023学年高二下学期5月月考理科数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12个小题．每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求，请将〖答案〗填涂在答题卡上）1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗联立，可得，故.故选:D.2.记为等差数列的前n项和，若，，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可得.故选：C.3.已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由点，，可得，又由，可得，根据双曲线的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支，且，可得，则，所以点的轨迹方程为.故选：C.4.给出下列四个选项中，其中正确的选项有（）A.“”是方程“表示椭圆的充要条件”，B.已知表示直线，，表示两个不同的平面，若，，则，C.命题“，使得”的否定是：“，均有”，D.函数的图像必过．〖答案〗D〖解析〗若表示椭圆，则需要满足，解得且，故“”不是方程“表示椭圆的充要条件”，故A错误，对于B,若，，则，可能相交也可能平行，故B错误，对于C,命题“，使得”的否定是：“，均有”，故C错误，对于D,函数的图像必过,故D正确，故选：D.5设，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，令，可得，令，可得，所以.故选：A.6.函数的图像是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，令，则，即，解得，或，解得，所以当时，函数有1个零点，当时，函数有2个零点，所以排除AD；当时，，则，当时，，所以当时，，函数单调递增，所以B正确；故选：B.7.某小区有5个区域要种上鲜花（如图），现有四种不同品种的鲜花可供选择，每个区域只能种一种鲜花，要求相邻区域不能种同一种鲜花，则符合条件的方案有（）种A.36 B.48 C.54 D.72〖答案〗D〖解析〗如图所示，依顺序，A区域可种4种颜色，B区域可种3种颜色，C区域可种2种颜色，①D区域若与B区域同色，则E有两种颜色可选；②D区域若不与B区域同色，则只有1种颜色可选，E也只有1种颜色可选，故有种方案.故选：D.8.已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同，则（）A.－1 B.－2 C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗根据常用函数的导数可知：，，则两函数在点和处的切线分别为：，化简得由题意可得：，化简得.故选：B.9.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设球O的半径为R，的外心为，由题意得外接圆半径为，面积为，所以，所以最大值，所以，即，解得，所以球O的表面积为.故选:A.10.设函数的导函数为，对任意都有成立，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，则，设，，则在上单调递减.则，即，即.故选：A.11.若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，，分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若，则（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗C〖解析〗设椭圆长轴为，双曲线的实轴为，焦点为，设，，所以，，平方和相加可得，由则，所以，所以，即，，即.故选：C.12.函数，．若，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据题意，可得，则，由，可得，即，令（其中且）且，①当时，可得，所以，不满足题意，舍去；②当时，，且，令，解得或（舍去），当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得极小值，也为最小值，所以，即，所以的最小值为.故选：C.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．将〖答案〗填在答题卡上）13.若复数（i为虚数单位），z的共轭复数记为，则______．〖答案〗〖解析〗由共轭复数的概念可知，复数的共轭复数；所以.故〖答案〗为：.14.已知，求的常数项系数为______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，展开式的通项为，令，解得，所以，故展开式的常数项为.故〖答案〗为：.15.设，过定点的动直线与过定点的动直线交于点，则的最大值是______．〖答案〗10〖解析〗由得，故,由得,由于直线与直线互相垂直，所以,故所以,当且仅当时取等号，故的最大值是10.故〖答案〗为：10.16.在如图棱长为的正方体中，点、在棱、上，且，在棱上，为过、、三点的平面，则下列说法正确的是__________．①存在无数个点，使面与正方体的截面为五边形；②当时，面与正方体的截面面积为；③只有一个点，使面与正方体的截面为四边形；④当面交棱于点，则、、三条直线交于一点．〖答案〗①②④〖解析〗由题设可得为所在棱的中点.当时，如图（1），直线分别交与，连接并延长于，连接交于，则与正方体的截面为五边形，故①正确.当，如图（2），此时与正方体的截面为正六边形，其边长为，其面积为，故B正确.当重合或重合时，如图（3），与正方体的截面均为四边形，故③错误.如图（4），在平面内，设，则，而平面，故平面，同理平面，故平面平面即、、三条直线交于一点.故〖答案〗为：①②④.三、解答题（本大题共6个小题，满分70分．解答应写在文字说明及演算步骤．）17.2022年1月初，某市爆发了一种新型呼吸道传染疾病，该疾病具有较强的传染性，为了尽快控制住该传染病引起的疫情，该市疫情监控机构统计了1月12日到15日每天新增病例的情况，统计数据如表：1月x日12131415新增病例y人26292831（1）疫情监控机构对题中的统计数据作线性回归分析，可以根据表格中的数据建立y关于x的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（2）预测到哪一天新增病例人数将超过36人.附：对于一组组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．参考数据：．解：（1），，，∴，，∴回归直线方程为y＝1.4x＋9.6.（2）由1.4x＋9.6＞36，，解得,所以1月19日新增病例人数将超过36人．18.在中，内角所对的边长分别为a，b，c，已知．（1）求角A的大小；（2）求的取值范围．解：（1）因为，由正弦定理得,又由余弦定理得，因为，所以.（2）由，可得，所以，且，则，因为，所以，结合正弦函数图象，可得，，所以的取值范围为．19.如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且是棱上一点.（1）若平面，证明：是的中点.（2）线段上是否存在点，使二面角的余弦值是?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.（1）证明：如图，连接交于点O，连接，因为是正方形，所以O是的中点，又平面，平面，平面平面，所以，因为O为的中点，所以E是的中点.（2）解：以C为坐标原点，建立如图所示的空