8.6.2直线与平面垂直（8大题型）

8.6.2直线与平面垂直1、了解直线与平面垂直的定义和直线与平面所成的角的概念；2、理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直；3、能解决简单的线面角问题；4、理解平面与平面垂直的性质定理，并能够证明；2、能用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.一、直线与平面垂直的定义1、文字语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直2、符号语言：l⊥α3、有关概念：直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足4、图形语言：5、画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.6、空间距离①点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离②直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.③两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.【注意】过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.二、直线与平面垂直的判定定理1、文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直2、符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α3、图形语言：4、作用：证明线面垂直三、直线和平面所成的角1、有关概念：（1）斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA（2）斜足：斜线和平面的交点，图中点A（3）射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为AO2、直线与平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.（2）规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角3、取值范围：[0°，90°]四、直线与平面垂直的性质定理1、文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.2、符号语言：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b3、图形语言：4、作用：①线面垂直⇒线线平行②作平行线5、推论：（1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.（3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/（4）垂直于同一条直线的两个平行平行.五、三心问题结论设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影（1）若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB的中点．（2）若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．（3）若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心．题型一线面垂直的判定与性质定理【例1】（2223高一下·甘肃庆阳·月考）已知、表示两条不同的直线，表示平面，则下面四个命题正确的是（

）①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．A．①② B．②③ C．①③ D．③④【答案】D【解析】长方体中，平面为平面，直线BC为直线b，如图，当直线AD为直线a时，满足，，而，①不正确；当直线为直线a时，满足，，而，②不正确；在平面内取两条相交直线m，n，如图，因，则，而，则，又，m，n是相交直线，∴，③正确；因，过直线b作平面，如图，则有，又，，于是得，从而得，④正确，∴给定命题正确的是③④.故选：D.【变式11】（2223高一下·江苏苏州·月考）（多选）已知m，n是不同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中，真命题有（

）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则【答案】BCD【解析】对于选项A，若，，则或，选项A错误.对于选项B，若，，则，又有，则，选项B正确.对于选项C，若，，则，又有，则，选项C正确.对于选项D，若，，则，又有，由直线与平面平行的性质定理，可知存在使得，则，则.选项D正确.故选：BCD.【变式12】（2223高一下·山东临沂·月考）（多选）设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题不正确的是（

）A．，则B．，则C．，则D．，则【答案】ABC【解析】对于A，在长方体中，平面为平面分别为直线，显然满足，而，此时不成立，A不正确；对于B，在长方体中，平面，平面分别为平面为直线，显然满足，而，此时不成立，B不正确；对于C，在长方体中，平面，平面分别为平面为直线，显然满足，而，此时不成立，C不正确；对于D，因为，由线面垂直的性质知，，D正确.故选：ABC.【变式13】（2223高一下·山东济南·月考）已知在正方体中，，交于点，则（

）A．平面 B．平面C．平面 D．【答案】C【解析】连接，作出图形如图所示，因为且，所以为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，同理可证，即可证明平面，又，平面，所以平面平面，故平面，故C正确；对于A，因为，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，而与不平行，所以不垂直于平面，故A错误；对于B，同理可证平面，而与不平行，所以不垂直于平面，故B错误；对于D，易知，而，，共面且与不平行，所以不垂直于，故D错误．故选：C．题型二线面垂直的证明【例2】（2324高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，已知，.证明：平面；【答案】证明见解析【解析】在中，，所以.所以，故，则.又，即.平面，所以平面.【变式21】（2324高一下·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，，是的中点，且.（1）求证：平面；（2）若，求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）因为，是的中点，所以.在中，，由已知，所以，所以.又平面，所以平面.（2）因为，是的中点，所以.由（1）知.又因为平面，所以平面.【变式22】（2223高一下·全国·练习）如图，在圆锥PO中，已知，的直径，点C在上，且，点D为AC的中点．证明：平面【答案】证明见解析【解析】证明：连接，则，因为点D为AC的中点，所以，因为为的直径，所以，所以，因为为的中点，D为AC的中点，所以‖，，所以，因为，平面，所以平面.【变式23】（2324高一下·全国·专题练习）如图所示，在四面体中，已知，，，.是线段上一点，，点在线段上，且.证明：平面；【答案】证明见解析【解析】，所以，即，又.而.故，又，，平面，所以平面.题型三由线面垂直证明线线垂直【例3】（2324高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.【答案】证明见解析【解析】因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.【变式31】（2324高一下·全国·专题练习）如图，已知正方体的棱长为2．，分别为与上的点，且，．求证：.【答案】证明见解析【解析】证明：如图，连接，．∵平面，平面，∴．∵四边形是正方形，∴，又∵，平面，∴平面．又∵平面，∴．同理可得，又∵，平面，∴平面．∵，，∴四边形为平行四边形，∴．∵，∴．又∵，，平面，∴平面．∴．【变式32】（2223高一下·新疆·月考）如图，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，，F为CD的中点，求证：∥平面BCE.【答案】证明见解析【解析】因为平面ACD，平面ACD，则∥，取的中点，连接，因为分别为的中点，则∥，且，由题意可得：∥，且，则∥，且，则为平行四边形，可得∥，且平面BCE，平面BCE，所以∥平面BCE.【变式33】（2023高三·全国·专题练习）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：【答案】证明见解析【解析】证明：在中，，所以，，在中，，，，由余弦定理得，所以，所以，同理可得，在中，，且，在中，，所以，因为，，平面，所以平面，在中，，在中，，则，因为，平面，所以平面，所以.题型四由线面垂直证明线线垂直【例4】（2223高一下·河南商丘·月考）已知四边形是矩形，平面，，，为的中点.求证：.【答案】证明见解析【解析】因为为的中点，，所以为等腰直角三角形，由此可得，同理，所以，即，又因为平面，且平面，所以，又因为，，平面，所以平面，又因为平面，所以.【变式41】（2324高一下·全国·练习）如图所示，在正方体中，为棱的中点，N为棱上的点，且，求证：.【答案】证明见解析【解析】连接，设，则，，，又，∴.∴，又，∴，即，又平面，平面，所以，平面，所以平面，平面，∴.【变式42】（2223高一下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，边长为，，点为侧棱的中点，过，，三点的平面交侧棱于点.（1）求四棱锥的体积；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）∵平面，平面，∴，∵，，∴，∴四棱锥的体积.（2）∵PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，∴PD⊥DC，∵DC⊥AD，AD∩PD＝D，AD，PD平面PAD，∴DC⊥平面PAD，又PA平面PAD，∴DC⊥PA，∵PD＝AD，E为侧棱PA的中点，∴DE⊥PA，∵DC∩DE＝D，DC，DE平面CDEF，∴PA⊥平面CDEF，∵CF平面CDEF，∴PA⊥CF．【变式43】（2223高一下·四川绵阳·期末）如图，在四棱锥中，，，平面，与交于点，，点为的三等分点（靠近点），点为的中点，连接.（1）求证：平面；（2）求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）连接，，，，点为的三等分点（靠近点），，，，又平面，平面，平面.（2），为中点，；平面，平面，，平面，平面，平面，；，，四边形为平行四边形，又平面，平面，，四边形为矩形，，又，平面，平面，又平面，.题型五求直线与平面所成角【例5】（2223高一下·广西玉林·月考）在正三棱锥中，，则侧棱PA与底面ABC所成角为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设的中心点为，连接，则底面，所以为侧棱与底面所成的角，为的外接圆的半径，因为，所以，所以，因为，所以.故选：B.【变式51】（2223高一下·重庆·期末）如图，在长方体中，.则直线与平面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，连接直线，显然，在长方体中，平面，故即为直线与平面所成角，在中，，，，，故选：C.【变式52】（2223高一下·江苏苏州·月考）直三棱柱中，，，则与平面所成的角为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，将直三棱柱补全为如下图示的正方体，为上底面对角线交点，所以，而面，面，故，又，面，故面，则与平面所成角为，若，所以，，则，故.故选：A【变式53】（2223高一下·山西·月考）如图，在圆柱OP中，底面圆的半径为2，高为4，AB为底面圆O的直径，C为上更靠近A的三等分点，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，取OA的中点D，连接CO，PO，CD，PD，由题意得，所以△AOC为正三角形，则，因为平面，平面，所以，同理，而平面，所以平面，而平面，则，由平面可得直线与平面所成的角为．由等边三角形及可得．又，得．故选：A.题型六利用线面角求其他问题【例6】（2223高一下·山东青岛·期末）已知圆锥的母线与底面所成角为，侧面积为，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为圆锥的母线与底面所成角为，则该圆锥的轴截面是正三角形，令圆锥底面圆半径为，则母线，圆锥侧面积，解得，圆锥的高，所以该圆锥的体积为.故选：B【变式61】（2223高二上·安徽马鞍山·期中）在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知，是直角三角形，且即为与平面所成的角，即，，则，则.长方体的体积.故选：C.【变式62】（2324高二上·上海长宁·期末）已知斜三棱柱的底面是正三角形，与底面中心的连线垂直于底面，侧棱，，且与底面所成角的大小是，则此三棱柱的底面边长是．【答案】【解析】令正的中心为，连接，由平面，得是直线与底面所成的角，即，而平面，则有，，因此正边上的高，所以正的边长为.【变式63】（2324高一下·河北保定·开学考试）如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为.【答案】【解析】若直线与平面所成的角为，则点的轨迹为圆锥的侧面与正方体的表面的交轨，在平面内，点的轨迹为对角线（除掉点，不影响）；在平面内，点的轨迹为对角线（除掉点，不影响）；在平面内是以点为圆心2为半径的圆弧，如图，故点的轨迹长度为．题型七求点面距、线面距、面面距【例7】（2324高一下·北京顺义·月考）如图，在四面体中，，，两两垂直，已知，，则点O到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，在中，由余弦定理得，所以，所以，设点O到平面的距离为，由，得，解得，即点O到平面的距离为.故选：D.【变式71】（2223高一下·云南·期末）如图，正方体的棱长为是棱的中点，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，利用等体积法，，设点到平面的距离为d，正方体的棱长为4，故，如图，设中为边的高，，即，又点到平面的距离，即到平面的距离，为，，由得，即，故.故选：D【变式72】（2223高一下·福建南平·期末）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB=2，CC1=E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A．2 B． C． D．1【答案】D【解析】平面，到平面的距离等于到平面的距离，由题计算得，在中，，边上的高，所以，所以，利用等体积法，得:,解得:【变式73】（2324高一下·全国·练习）用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知：正六面体是棱长为的正方体，，，，，平面平面，连接，，，，平面，又平面，，同理可证得：，又平面，，平面，平面，设垂足分别为，则平面与平面间的距离为.正方体的体对角线长为.在三棱锥中，由等体积法求得：，∴平面与平面间的距离为：.故选：.题型八立体几何中的动点探究问题【例8】（2324高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点．在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】存在，【解析】存在点，使得平面，此时，证明如下：连接，为中点，连接，直角梯形中，，，，，则，，四边形为平行四边形，有，则，所以，又底面，底面，则，则，，则，得，又，，，由余弦定理得，，则，，又，是的中点，则，，平面，则平面，故存在点，使得平面，此时．【变式81】（2223高一下·湖南永州·期末）如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，E是