2024年高考模拟数学试卷2(新高考II数学试卷专用)(解析版)

备战2024年高考数学模拟卷02(新高考II卷专用)

第I卷(选择题)

一、单项选择题

1.设全集U=|x|七1<0,xez},集合A={1,2,4},3=卜［«<2,xeN),则

3c@A)=().

A.{0,3,5}B.{0,1,3}C.{0,3}D.{3,5}

［答案』C

k解析1因为u=|<0,xeZj={xI-1<X<6,xeZ}={0,1,2,3,4,5},

又4={1,2,4},所以可A={0,3,5},

因为5=<2,xeN}={x［0<x<4,xeN}={0,l,2,3},

所以8c&A)={0,3},

故选：C.

2.已知复数z满足(l+i)z=3+5i,则|z|=()

A.2B.3C.4D.V17

［答案』D

［［祥解』先根据复数的四则运算化简复数，再计算模长即可.

[[解析工复数z=7—=:献一尸;=4菖有忖3

1+1

故选：D

3.已知向量a=（2,机），b►=（m+l,l）,且。与/?方向相反，若c=（2,l）,贝（la在c方向上的投

影向量的坐标是（）

A.1「｛IB.匿）m（-、-1）

K答案]]B

（解析U由题意知向量。=（2,rri）,b=（m+l,l）共线，

故2x1—皿机+1）=0,解得机=1或m=一2,

又因为且〃与b方向相反，故根=-2,

所以。=（2,—2）,而c=（2,l）,

...,,山…白/4三口a-cc2x2-2xl（2,1）42、

则n。在c万向上的投影向量是———7=——y=（二,二），

|c||c|V57555

即〃在c方向上的投影向量的坐标是《，功，

故选：B

4.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,31,37,m,42,49；乙组：24,n,33,

44,48,52,若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则m+n=（）

A.60B.65C.70D.71

工答案HD

（解析］］因为甲组：27,31,37,m,42,49；乙组：24,n,33,44,48,52,

由6x30%=1.8,得第30百分位数是第2个数据，故31=〃，

由6x50%=3,得第50百分位数是第3与4个数据平均值当竺，解得加=40.所

以m+〃=71.故选：D.

2兀

5.已知女＜。＜兀,0v月v兀，sin——。=cos。.若tana=33tan夕=3一”，贝!J左=()

6

A.-1

2

K答案』B

（解析》由题意可得cos£=sin

TTIT57r7TTT

因为上＜々＜兀，0＜力＜兀，则0＜«_上＜卫，可得夕=a—±,^a-/3=~,

66666

则tan3=tan(a-0=tana-tan分3J3-%3*-3一1_6

61+tantztanf31+3仙3-&-—2--V

令/=3"＞0,则'一；一退，整理得«产一2r-«=0,解得”后或t=-&（舍去），

613

即3k=/，解得A=1.故选：B.

6.定义在R上的奇函数〃x）,对任意。＜网＜%都有4—＜1,若/⑴=i,则不等

式/(x)-尤＞0的解集是()

A.(-co,-l)U(l,-H»)B.(TO)51,”)

C.(-w,-l)o(0,1)D.(-1,O)LJ(O,1)

[答案Uc

K解析[。<不<%,y(卬<1,则-,

设g(x)=/(x)-x,故g(%)<g(孑)，g(x)在(0,+e)上单调递减,

/(x)为奇函数，贝!]g(-x)=/(-x)+x=-〃x)+x=-g(x),g(x)为奇函数，

g(x)在(y,0)上单调递减,g⑴=/⑴T=。，g(T)=-g⑴=0,

f(x)-x>0,即g(x)>0,故xe(O,l)[

故选：C.

7.古希腊数学家阿波罗尼奥斯所著的八册《圆锥曲线论(Conics)》中，首次提出了圆锥曲

线的光学性质，其中之一的内容为：“若点P为椭圆上的一点，耳、尸2为椭圆的两个焦点，

22

则点尸处的切线平分/KP居外角”.根据此信息回答下列问题：已知椭圆c：；+3=i,。为

坐标原点，/是点42,0)处的切线，过左焦点£作/的垂线，垂足为知,则|。河|为()

A.2-72B.2C.3D.2至)

[答案》A

延长耳M、旦尸交于点N,由题意可知/片尸M=NNPM,

又因为则M为耳N的中点，且归耳|=|尸N],

所以，怩N|=|PN|+户周=|P耳|+|尸闾=2a=48，

又因为。为片鸟的中点，则|。”|=；怩时=3><40=2友.故选：A.

8.已知点尸在棱长为2的正方体表面上运动，48是该正方体外接球的一条直径，则尸4P8

的最小值为()

A.-2B.-8C.-1D.0

K答案IA

K解析》如图A5为棱长为2的正方体外接球的一条直径，。为球心，P为正方体表面上

的任一点，

则球心。也就是正方体的中心，

所以正方体的中心0到正方体表面任一点P的距离的最小值为正方体的内切球的半径,

它等于棱长的一半，即长度为1,4B的长为正方体的对角线长，为2月，

我们将三角形单独抽取出来如下图所示：

PAPB=(PO+OA)(PO+OB)=(PO+OA)-(PO-OA)=『-|OA|2

=1尸。『一［半)=|尸。/一3,所以PAPB的最小值为V-3=-2.

故选：A.

二、多项选择题

9.已知函数，(力=须也(8+夕)［4>0,。>0,|?|<方］的部分图象如图所示，下列说法正确

的是()

71

A.(p=—

3

B.函数/(x)的图象关于［%。］对称

~12-l

c.函数/(尤)在的值域为［-2,6］

63_

D.要得到函数g(x)=Acos(ox+0)的图象，只需将函数/(力的图象向左平移g个单位

K答案XACD

(解析U如图所示:

由图可知A==f又"J

所以7=1,口=2兀，所以/(x)=2sin(27tx+3),

又函数图象最高点为2，

所以=2sin[^+9=2，即sin(e+ej=l,

所以一+0=—+2E,左eZ,解得夕=—+2/CJI,kwZ,

623

ITTT

由题意10(不，所以只能％=0,0=w，故A选项正确；

由A选项分析可知/(x)=2sin(27Lx+2］,而5,0)是/(x)=2sin(2""的对称中心当

且仅当/(%)=25,2叫+々］=0,

®/Q^2sin^+^=V3^0,从而函数/⑺的图象不关于］土0)对称，故B选项错误;

而函数y=2sint在上单调递减，在上单调递增,

所以当xe时，-2=2x（-l）”（x）W2义岑=否，

2~1

所以函数/（X）在的值域为［-2,6］,故C选项正确；

63_

若将函数/（力=251"2也+「的图象向左平移;个单位，

则得到的新的函数K解析】式为

71

/?(%)=2sin+—故D选项正确.

3

故选：ACD.

10.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ZADC=60°,PAD为

正三角形，。为AZ）的中点，且平面平面是线段尸。上的一点，则以下说

法正确的是（）

A.OMVPD

B.OM1BC

C.若点"为线段PC的中点，则直线加〃平面

D.若瞿=上则直线AM与平面所成角的余弦值为巫

［答案XBCD

［解析》连接OC,因为底面ABCD是边长为2的菱形，NA£）C=60。，又皿）为正三角

形，。为AD的中点，所以ADLPO,ADLCO,又「OCO=O,PO,COu平面POC,

所以平面尸OC,又OMu平面尸OC,所以又ADHBC,所以OMLBC,

故B正确；

当点M为线段PC的中点时，取8P的中点N,连接MN,AN,则MM/3C,且"N=；BC,

又。为AD的中点，底面ABCD是边长为2的菱形，所以A0//3C,MAO--BC,所以

2

MN//AO,且MV=AO,所以四边形AOMN为平行四边形，所以。心〃AN,又OW平面

PAB,ANu平面所以OM//平面故C正确；

因为平面E4D_L平面ABC。，“E4D为正三角形，。为AD中点,所以尸0_LAD,平面IDc

平面ABCD=Ar>,尸Ou平面PAD,所以尸平面ABCD,且OCu平面ABCD,所以

尸。_LOC,又OD_LOC,QDcOP=O,O。,。尸u平面OPD，所以OCJ_平面OPD，又PDu

平面0尸£>,所以OCLPD,显然尸。与平面OPC不垂直，故当点/运动到点C位置时，才

有OM_LPD,故A错误；

建立如图所示的空间直角坐标系，则0（0,0,0"（1,0,0）,8（2,忘0）（（0,后0）,尸（0,0,若）,

XPM=|PC,所以M。,当,贝-1,等,孚），=（1,73,0）,

//-\.（n-AB=x+A/3y=0「

A尸=-1,0,石，设平面RW的法向量为“=x,y,z）,贝。二，令X=6

''n-AP=-x+>J3z=0

则y=-l,z=l,所以〃设直线AM与平面2B的夹角为0,则

।।273_

..n-AM&/Tn_______&布

sinO=\cos<n,AM>~=—:^==——,则cos。=Jl-sin?0=又一,所以直线

11WAM\岳A10i。

AM与平面上针所成角的余弦值为血，故D正确；

10

故选：BCD

11.下列式子中最小值为4的是（）

4

A.sin9x+-丁B.2X+22-x

sinx

c3+3

D.41n+1-x+In+1+x

sinxcosx

K答案XBC

K解析』对于选项A：因为sir?%>。，则sin2%+,Nzjsin?.，=4,

sinxVsinx

当且仅当sin2x=—,即sinx=±2时等号成立，

sinx

但sinxw±2,所以sin2x+'厂的最小值不为4,故A错误;

sinx

对于选项B：因为2*>0,22T>0,贝i]2工+22T>2J2,-22T=4，

当且仅当寸=22-3即%=1时，等号成立,

所以2”+22T的最小值为4故B正确;

对于选项C：因为sin2%,cos2x>0,

11/.92\(1cos2xsin2x八

则+——^(sinx+cosx)—+——=—^-+——+2

sinxcosxv\sinxcosxJsinxcosx

I2­~2-

ccosxsmx-4

^2J———-+2=4,

Vsinxcosx

2-2

当且仅当色」='?，即tanx=±l时，等号成立，故C成立；

sinxcosx

对于选项D：令x=0,可得41n(n7W—oj+lMV6r公+0)=0,

所以4不是41nq+ln(7Z7T+q的最小值，故D错误；

故选：BC.

12.已知抛物线E：d=2py(p>0),过其准线上的点作E的两条切线，切点分别

为民C,则下列说法正确的是()

A.抛物线E的方程为/=2>B.AB1AC

C.直线BC的斜率为-gD.直线BC的方程为尤+2y-2=0

K答案XBCD

K解析》因为A(T-1)在准线上，所以准线方程为y=-i,所以P=2,抛物线E的方程

为/=4y,故A错误；

设直线>+1=左（犬+1）,代入/=4y,得x2—4Ax-4左+4=0,

当直线与E相切时，A=0,即左2+左_1=0,

设A氏AC的斜率分别为《,月，易知《，质是上述方程的两根，故仁+&=-1，尢自=-1,

所以AB1AC,故B正确；

设3(%,3),C(x2,y2),则占分别是方程一一4勺-4尢+4=0,尤2-4自x-4左2+4=。的根，

所以％=2匕,々=2网，所以原c=y—_、=%：尤2=,故c正确；

x1—x24(石一z)422

%=2(左+&)=-2,玉%2=4左他=-4,y+y=芯+%=(无1+9)―2,「2=3,

■44

所以8c的中点为直线8c的方程为y-|=-1x+l),即x+2y-2=0,故D正确.

故选：BCD.

第n卷(非选择题)

三、填空题

13.已知累函数/(x)=(疗-2m-2)廿7在区间(0,+8)上单调递减，则优=.

K答案』-1

K解析U由幕函数的定义知，M-2"2-2=l,HP—2m—3=0,解得〃z=3或租=-l,

当"7=3时，/(x)=Y在区间(0,+8)上单调递增，不符合题意，

当根=-1时，/(x)=x-2在区间(0,+8)上单调递减，符合题意，所以根=T.

故K答案』为：-1

14.已知圆M的圆心在直线y=-x-3上，且过(1,-2),(-1,0),则圆M的方程为.

K答案］(无+iy+(y+2)2=4

K解析》因为圆M的圆心在直线y=-x-3上，且过(L-2),(-1,0),

所以设圆心为(租,T"—3),r=“加-1)~+(-m-3+2)~=^(m+1)2+(-771-3)",

解得m=-l,则圆心为(-1,-2),r=2,

所以圆的方程为：(尤+l)2+(y+2『=4,

故K答案』为：(x+l)2+(y+2)2=4

15.已知二项式12尤+^J,eN*)的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式

中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为.

k答案』|

［［解析》因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，

所以展开式的总项数为7项，故九=6,

展开式的通项Tr+l=q(2x)6-［A)=,

当〃是偶数时该项为有理项，

；.厂=0,2,4,6时，项为有理项，共有4项，

所以所有项中任取2项，都是有理项的概率为P=!|='.

故［答案』为：!2

X2,x<0

16.已知函数〃x)=x，若关于x的方程尸⑺-2〃x)+2m—1=0恰有4个不同

—r，X>0

实数根，则实数加的取值范围为.

K答案H

X1—Y

［解析［当x>。时，/(X)--,贝4'(x)=F，/⑴=1，

ee

令/'(x)=0,解得x=l,

所以当xe(O,l)时，/^x)>0,/(x)单调递增,

当时，r(x)<0,〃x)单调递减，

根据题意可作出“X)的图象如下：

若关于X的方程r(x)-2/(x)+2租-1=0恰有4个不同实数根,

令t==厂—2t+2根—1,贝！］/z(r)=厂—2r+2〃z—1=0有两个不等实数根％,

故yj,y=t2与〃x)都有2个交点，或者＞=%与“X)有1个交点，V=L与/(%)有3个

交点；

当yf.yj与/(%)都有2个交点，根据图象可得4=G=I,不满足一，2，舍去；

当y=4与“X)有1个交点，＞=4与有3个交点，

则f］e｛0｝U(l,+8)J2e(0,l),当4=0时，2:〃一1=0,解得m=：,

故无(/)=产-2/=0,解得4=。或右=2e(0,1),舍去；

故h(t)=t2-2t+2〃z-1=«-+2/72-2=0,

两个实数根的范围为4w(l,+co)氏w(0,l),

J/7（l）=2/77-2<0解得g<777<l,

所以1/X0）=2m-l>0

所以实数用的取值范围为，」

故K答案』为：仁』］.

四、解答题

17.记数列｛4｝的前"项和为s“，对任意正整数”，有2S”=〃a“，且%=3.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)设以=攀，数列出｝的前“项和为(，求证：Tn＜4.

⑴解：由题意对任意正整数〃，有2S“=w”，

则Yi—\时，2S]=%,即2%=%,..〃]—0；

当时，2s"+]=（九+1）4+1,贝1]2综+1=（a+l）a“+i-na”，

即（〃一l）%+i=也“，即午=（：[，

n-1n-2

a2

故"22时，„=―-,—■a23=3（WT，

aa・：

n-\n-2“2n-2n-3

。1=0也适合上式，故q=3(〃-1)；

1+_3n-2

(2)证明：由(1)可得a=

2〃2〃

i473〃一53〃一2

故方=万+了+了++-------i----1------------

2〃TX

贝=*+(+*+3〃一53〃一2

H-------------1--------:—,

2〃2〃+i

+)-3〃+4

故;T+3++*+*F3"2lI"击)3ti-2

〃+3x=2--------—

2+i21-12用2〃+i

2

I-,3〃+4,3n+4八

故(=4一一—,由于〃eN，故行^>0,故(<4.

18.在中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,已知=2cosC.

acosB+bcosA

⑴求角C;

(2)CD是/ACB的角平分线，若CD=史,°=26，求.ABC的面积.

3

sinCsinC

解：⑴由=2cosC,得:=1=2cosC,即cosC=—,

acosB+bcosAsinAcosB+sinBcosAsinC

JT

又Ce(0,兀)，所以C=§.

2.»22]22

(2)在,ABC中，cosC=----------工得：-a+b-U

①,又sABC=sACD+sBCD,

lab2lab

得：—absin—=—a-•sin—+—Z?•-sin—,化简得：。力=j(a+b)②，

232362363V

由①②得：曲=8,所以SMC=2g.

19.如图，在直三棱柱ABC-A3cl中，ZACB=90°fAC=BC=CCX,〃为AB的中点,

。在上且

G

⑴求证：平面CMD_L平面48耳4；

(2)求直线CM与平面所成角的正弦值；

(3)求二面角B-CD-M的余弦值.

(1)证明：直三棱柱ABC-A4cl中，AC=BC=CCl,M为AB的中点,

CMLAB,平面ABC,CMu平面ABC

:.CM_LN,又A4jAB=A,AA{,ABu平面ABB^,

:.CM±平面ABBA，又CMu平面CMD,

平面QWD_L平面；

(2)解：以C为原点，C4为x轴，CB为y轴，CG为z轴，建立空间直角坐标系,

设AC=BC=CQ=4a,

则C(0,0,0),B(0,4a,0),D(a,3a,4a),M(2a,2a,0),

BD=(a,-67,4a),BC=(0,-4a,0),CM=(2a,2a,0)

设面J5DC的法向量。=(x,y,z),

n•BD=xa—ya+4z〃=0

则,取z=l,得〃=(zT,0,l),

n-BC=-4ya=0

设直线CM与平面CBO所成角为8,

...-8〃2134

sina=|cos<CM,n>=Hr=-/==——；

瓜a.后17

(3)解：设面COM的法向量为根=(x',y,z'),又。£>=(〃,3〃,4〃),。1=(2〃,2。,0),

mCD=x'a+3yra+4Z'Q=0

取x'=2得力=（2,—2,1）,

m-CM=2xfa+2y'a=0

/\m-n-8+17JF7

cos{m,n)=1-；----=t-/=-----------------------

'/m'|n|A/16+1-V4+4+151'

所以二面角8-CD-M的余弦值为也.

51

20.后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数，国家先后出台了多项减税增效政策.

某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得500位在职员工的个

人所得税(单位：百元)数据，按所2],(2,4],(4,6],(6,数(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]分

成九组，制成如图所示的频率分布直方图：假设每个组内的数据是均匀分布的.

(1)求这500名在职员工的个人所得税的中位数(保留到小数点后一位)；

⑵从个人所得税在(6,8],(14,16],(16,18]三组内的在职员工中，采用分层抽样的方法抽取了

10人，现从这10人中随机抽取3人，记年个税在(14,16]内的员工人数为X,求X的分布

列和数学期望；

(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，记年个税在

(14,18]内的员工人数为y,求Y的数学期望与方差.

解：⑴设这500名在职员工的个人所得税的中位数为。,

贝IJ由频率分布直方图得2x(0.02+0.03+0.05+0.05)+(a-8)x0.15=0.5,

解得a=丁Q9.3,

所以这500名在职员工的个人所得税的中位数为9.3百元.

（2）由题意抽取的10人中，年个税在（6,8］内的员工人数为10x:方八八，=5人,

0.05+0.04+0.01

0.04

年个税在（14,16］内的员工人数为10x=4人,

0.05+0.04+0.01

0.01

年个税在（16,18］内的员工人数为10x=1人,

0.05+0.04+0.01

若现从这10人中随机抽取3人，记年个税在（14,16］内的员工人数为X,

则X的所有可能取值为0』,2,3,

4_16x6_3

所以「。=3）=叁P(X=2)=f^

-I20-io

jo12030Jo

「

c2rl15x413ro20

尸(X=l)=中P(x=o)=叁

Jo120Jo1206

所以X的分布列为:

X=k0123

J_31

P(X=k)

6~2W30

X的数学期望为：£（X）=3x^+2x^+lx|+0xl=|.

（3）由频率分布直方图可知年个税在（14,18］内的概率为（0.04+0.01）x2=0.10,

从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，恰有左（。＜左W100/eN）个员工的年个税在

（14,18］内的分布列服从二项分布y3（100,0.10）,

由二项分布的数学期望、方差公式可得“（¥）=100乂0.10=10,£＞（¥）=100乂0.10、（1-0.10）=9,

即y的数学期望与方差分别为1。,9.

21.在△尸月居中，已知点月卜6,0），耳（石,0），尸片边上的中线长与PK边上的中线长之

和为6,记△尸片居的重心G的轨迹为曲线C.

（1）求c的方程;

（2）若圆O：x2+y2=l,E（O,-1）,过坐标原点。且与y轴不重合的任意直线/与圆。相交于点

A,B,直线E4,仍与曲线C的另一个交点分别是点求，项W面积的最大值.

解：⑴设尸月的中点为S,尸鸟的中点为T,所以叵G|=js周，怩G|=jT周，

所以内G|+怩G|=g（|S&|+|*|）=4,所以闺G|+/G|=4＞闺周=26，

所以G点的轨迹是以片鸟为焦点，长轴长2a=4的椭圆.所以a=2,

所以c=7L6=1,所以曲线C的方程为?+丁=1（尸o）.

（2）设直线到/为。=心-1（不妨设左＞0）,设"（占,％）,N（x2,y2）,

y=kx-l

所以x?+4（左V-2Ax+l）-4=0,（4K+1）V-8fcc=0,

2

%+4/-4=0

解得寸QK目“。舍去），则"o&7r2士4r-1

4k2+1

由于AB是单位圆的直径，所以A£_L龙;,

所以直线硒的斜率为一直线EN的方程为y

-3k1_Rk4-公

同理可求得无2=E'贝5=一层出*一1二

+i

8k4/一1-8k4-k2

由上述分析可知加,N,而E（0,T）,

、4正+1'4防+1左？+4'左？+4

所以相…3所平时心(言：+［某*“*

所以SEMN=25X/