2024届陕西省安康市高三年级下册三模理数试题及答案

2023—2024学年安康市高三年级第三次质量联考

理科数学

考试满分：150分考试时间：120分钟

注意事项：

L答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字

笔写在答题卡上.

4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设(l+i)Z=i2+i3+i4,则彳=()

2.集合M=卜|y=—=y=Jl—x卜则下列选项正确的是()

A.M2N=RB.MUN=N

C.McN=ND.McN=0

3.已知函数/'(x)=|x-l|,公差不为0的等差数列｛«„｝的前n项和为5,,.^/(^)=7(^3),则S2024=

()

A.1012B.2024C.3036D.4048

x-y>-l

4.若实数x,》满足约束条件(x+5y211,则z=2x—y的最大值为()

x+y<7

A.OB.2C.9D.11

5.甲、乙、丙三人被随机的安排在周六、周日值班，每天至少要有一人值班，每人只在其中一天值班.则甲、乙被

安排在同一天值班的概率为()

6.在.ABC中，舷是的中点，3=3M3,。^与台"相交于点「，则AP=()

3113

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

5555

1331

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

2442

7.己知tan[e—：]=2,则sin[2e+[]=()

A70口V2rV2_772

10101010

8.侧棱长与底面边长均为。的正三棱柱的外接球的表面积为84兀，则。=()

A.12B.8C.6D.4

2

9.己知直线/与椭圆上+%2=i在第四象限交于A、B两点，/与x轴，y轴分别交于c、o两点，若

3

体。=忸口，贝IJ/的倾斜角是()

兀兀兀5兀

A.—B.—C.—D.—

64312

34567

10.已矢口(1-2%y=%+axx+出炉+a3x+a4x+a5x+a6x+0yx,贝!J

CLQ+2q+3。2+4a3+5%+6a5+7g+8%—()

A.-15B.-6C.6D.15

n.若直线y=QX+b是曲线y=，的一条切线，贝()

A.a(1+Ina)B.a(1-Ina)

C.a(l+e")

12.已知直线丸：mx-y-相+3=0(meH)与直线4:X+即-利-5=0(meH)相交于点p,则P到直线

2x+y+7=0的距离的取值集合是()

A.节,3目B.心,3,⑸C12技4目D.(275,4^]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.写出一个对称中心为(1,0)的奇函数/•(无)=.

14.已知数列｛4｝的前〃项和为S,,,且4=25〃+2,则%+$9=.

15.已知抛物线。：丁=4%的焦点为F，位于第一象限的点尸在C上，。为坐标原点，且满足

\PO\=\PF\,贝|OP尸外接圆的半径为.

16.已知函数/（同=111¥+4»：+51叫”,吃6（0,+00）,玉0/,都有----=--------->1,则a的取值范围为

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）作为一个基于大型语言处理模型的文字聊天工具，ChatGPT走红后，大模型的热度持续不减，

并日渐形成了“千模大战”的局面.百度的文心一言、阿里的通义千问、华为的盘古、腾讯的混元以及科大讯飞的

星火等多种大模型正如火如茶的发布上线.现有某大模型给出了会员有效期30天的两种不同费用，100次的使

用费为6元，500次的使用费为24元.后台调取了购买会员的200名用户基本信息，包括个人和公司两种用

户，统计发现购买24元的用户数是140,其中个人用户数比公司用户数少20,购买6元的公司用户数是个人

用户数的一半.

（1）完成如下用户类别与购买意向的2x2列联表；

购买6元购买24元总计

个人用户

公司用户

总计

（2）能否有99.5%的把握认为购买意向与用户类别有关？（运算结果保留三位小数）

股

K2=_____n(ad-bc)2_____

L'(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

临界值表如下：

P(K0.100.050.0250.010.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.（12分）在三边均不相等的.A3C中，角A&C对应的边分别为a、Z\c,若

。卜足274-5布2。）=。3!126-5布2。）.点£）在线段48上，且CZ）平分角C.

（1）求C；

（2）若。=3力=5,求8的长度.

19.（12分）如图，在四棱锥尸―ABC。中，底面ABCD是边长为2的正方形，且_LBP,,

m=2,点及歹分别为的中点.

(1)求证：平面ABCD；

(2)求平面A即与平面上钻夹角的余弦值.

22

20.(12分)已知双曲线。：与-与=1(。〉0］〉0)的离心率为2,其中一个焦点到一条渐近线的距离等于

ab

273.

(1)求该双曲线的标准方程；

(2)若直线/与双曲线C交于P、Q两点，且坐标原点。在以P。为直径的圆上，求|PQ|的最小值.

21.(12分)已知函数/'(x)=/+ax-Z?co&x.

(1)当)=0时，求/'(X)的单调区间；

(2)当a=2/(0)且6=1时，讨论/(x)在R上的零点个数.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计

分.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

在直角坐标系X0Y中，以坐标原点。为极点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为

psinf--^=—,曲线的参数方程为=+1)—，(/为参数)，

'3J4卜=/-1

(1)分别求曲线C和直线/的直角坐标方程；

(2)若直线/交曲线C于两点，过线段AB的中点。作x轴的平行线交C于一点P，求点尸的横坐标.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

已知函数/(x)=|x+l|+|2x+4|.

(1)求函数/(x)的最小值；

149

(2)若a,瓦c为正实数，且/■(«)+/■仅)+〃c)=27,求—+：+—的最小值.

abc

2023—2024学年安康市高三年级第三次质量联考

理科数学参考答案

1.【答案】D

/、/、—i（—i）（l-i）—i—11i

【解析】由条件可得（1+1）Z=-1+（T）+1=T,所以Z=「=：<J=1^=一丁；,即

''''1+1（l+i）（l-i）222

]i

z=---F—.故选D.

22

2.【答案】A

【解析】由条件可得"={'x〈l},N={y|yNO},所以MuN=R,McN=[O,l],故选A.

3.【答案】B

【解析】由题可知函数/（X）的图象关于直线x=l对称，所以人。12；q013=1,所以4012+^013=2,又

S2024=2024（“；+"2024）=2°24\+/3）=2024，故选巳

4.【答案】D

x-y>-l

【解析】由约束条件+5>211,画出可行域，

x+y<l

z=2x-y,化为斜截式方程得y=2x-z,

x+5y=11fx=6、

联立4r得4」即。z（6,1）.

[x+y=7[y=i

由题意可知，当直线y=2x-z过点。时，直线在y轴上的截距最小，此时z最大.

把点c（6,l）代入目标函数可得最大值，即最大值z=2x6—1=n.故选D.

5.【答案】C

【解析】由题意可知将3人分成两组，其中一组只有1人，另一组有2人.分别安排在周六、周日值班共有6

种情况（甲乙，丙）、（甲丙，乙）、（乙丙，甲）、（甲，乙丙）、（乙，甲丙）、（丙，甲乙）.显然甲、乙被

安排在同一天有2种情况，所以甲、乙被安排在同一天的概率为3j.故选C.

6.【答案】B

4

【解析】设AP=XA5+〃AC,由M是AB的中点，得AB=2AM，由AN=3NC，得AC=§AN.

一一4一

所以AP=2XAM+4AC,且AP=4A3+m〃A7V

由CM与5N相交于点尸可知，点尸在线段CM上，也在线段5N上，由三点共线的条件可得

24+〃=1

513

4解得《；，所以AP=—AB+—AC,故选B.

2+—//=1355

7.【答案】A

兀

(\tang—tan一

【解析】由tan=--------------工=2,解得tan6»=—3,所以

(*i+tan，tan兀

4

222

--八-.八八2sin8cos92tan932八.2八cos6,-sin6*l-tan6>4

sin26^=2sin"cos”=——；--------=——------=——,cos2"=cos'"-sm0=---------------=-------—

sin-^+cos2^tarr9+l5cos"^+sin_6>l+tan~95

，所以sin[2e+2]=^^sin2e+^^cos2。=—.故选A.

I4J2210

8.【答案】C

【解析】由球的表面积公式S=4通2=84兀，解得外接球半径R=J五.因为底面三角形是边长为。的等边

三角形，所以此三角形的外接圆半径为工。义也x2=^a，由正三棱柱的外接球的特点可得,

233

解得a=6.故选C.

9.【答案】C

【解析】由|AC|=|即可得线段AB的中点，也是线段的中点，设4（%,%）,5（々,%），

%+x

xo=2

2

线段A3的中点坐标为/（%，%），则C（2xo,O），D（O,2%），＜

X+上

2

纭=1

又点A,B在椭圆上，所以＜,两式相减可得y了2+1_%；=o,

，+%R=_3,所以"匹•生』=一3,所以当•左的=一3,即&(B=-3.

又因为A&C、。四点共线，所以左相=左。。=言?=一个，综上可得左.=±百，由48在第四象限得

上AB〉O即七5=6,所以直线的倾斜角为m.故选C.

10.【答案】A

【解析】令/(%)=4%+/%2+/三+/%4+%%5+/X6+4/+47必,即/(X)=X。-2%)，,

5

对函数/(%)求导可得，/'(%)=%+24%+3a2Y+4生%3+5〃4%4+6a5x+7〃6f+8%%，,

且广(%)=(1—2%)7+x.7(l—2%)6.(—2),所以

7

OQ+2ciy+3a2+4q+5〃4+6a5+7g+8%—/'(1)=(—I)+1,7(—1)，•(-2)——1—14——15.故选A.

11.【答案】B

【解析】设切点坐标为Q(%,%)，则切点在直线上，也在曲线上，所以｛，又切线斜率

左=(e)=e%,且左=。，所以a=e"/=Ina,代入可得

l%=%0

b=y0—ax0—ax0=a—alna=a(l—Im),故选B.

12.【答案】D

【解析】由两直线垂直的判断条件A4+与耳=0,可知根」+(—1＞加=0,所以直线4与4始终垂直，又

由条件可得直线/］恒过定点M(1,3),直线4恒过定点N(5,l),所以两直线的交点p是在以线段MN为直

径的圆上，所以该圆的圆心坐标为(3,2),半径为岔，但需挖去点(1,1),此点(1,1)是过定点M(1,3)且斜

率不存在的直线与过定点N(5,l)且斜率为0的直线的交点，故点P到直线2x+y+7=0的距离的最大值与

最小值可转化为圆心(3,2)到直线2x+y+7=0的距离375再加减半径岔，又需要去掉点(1』)到直线

2x+y+7=0的距离为2岔，所以取值集合是(2d,4行］.选D.

13.【答案】sinux

【解析】因为奇函数关于原点对称，且此函数又关于点(L0)对称，所以此函数可类比于正弦函数，因为正

弦函数y=sinx是奇函数，且关于点(兀,0)对称，所以可联想到〃x)=sing.

14.【答案】-4

【解析】当〃=1时，6=25]+2,解得％=—2.

当〃22时，a“=2S,,+2,ai=2Si+2,两式相减得a,=—a,7,

因为。i=-2/0,所以所以‘工=-1,所以数列｛%｝是首项为-2,公比为-1的等比数列，所以

an-\

a“=(—2>(—1尸，即数列｛4｝是一2,2,—2,2,……,故％=-2,品=-2,所以%+Sg=—4.

15.【答案】速

16

【解析】由题可得尸(L0),由|PO|=|PR|,可得点p的横坐标为;，所以P，,、历；所以

]3.2^^

Pa=PN=5+l=5，sin/POR=亍=,，设OFF外接圆的半径为R,则由正弦定理可得

2

3

\PF\299A/29立

2R=—1~1—=入言=:后=丁，所以外接圆的半径R为止.

sinZPOF2V24.2816

3

16.【答案】[2+8)

【解析】由e(0,+8),玉，不妨设％<%2，则々―王〉0,

所以正匕S1,

%2一石

可变形化简为了(%)一％</(々)一了2，

构造函数g(X)=/(X)—X,则g(%)<g(x2)，

所以g(x)在(0,+。)上是单调递增函数，

所以g'(x)=y'(x)—1=工+4+<»5工一1»0恒成立，

X

即a2—1—\-cosx)+1在xw(0,+8)上恒成立，

当x>0时，一>0,cosxe[―1,1],

又xf+oo时，—->0,cos%e[-1,11,所以4+cosx>-l,

xx

所以-1—Fcosx)+1<2,

所以a的取值范围为［2,+8）.

故答案为：［2,+8）

17.【解析】（1）设购买24元的个人用户数为x,则购买24元的公司用户数为x+20,

设购买6元的公司用户数为》，则购买6元的个人用户数为2y,

2%+20=140

则有《解得光=60,y=20,

y+2y=60

所以用户类别与购买意向2x2列联表如下:

购买6元购买24元总计

个人用户4060100

公司用户2080100

总计60140200

（2）由（1）中2x2列联表得

陵=n(ad-bcY=2°°义(320°-1200)2工笫24>7.879,

(〃+Z?)(c+d)(〃+c)(b+d)100x100x140x60

所以有99.5%的把握认为用户类别与购买意向有关系.

18.【解析】(1)由〃($111224—51112。)=/?(511125—01112。)，得〃(a?一02)=〃(人2一。2)

化简得(〃-6)(/+//+历_。2)=0

因为ABC三边均不相等，所以aw6即〃2+/+〃匕一，二（）

M*人2_21

由余弦定理得cos。=巴二^―-二--

lab2

在/ABC中，由0＜。＜180,得C=120

(2)在工ABC中，c2=a1+b2+ab=A9故。=7

由工=上部段=到型=遇，易得c°sA=JlJ述［=上

sinCsinA714V14J14

在,ACD中，ZACD=6Q,ZADC+ZA+ZACD=^Q,所以

sin^ADC=sin(60+A)=—x—+-x^=

'>2142147

、vx_3百

,,CDb„„Z?-sinA1415

在aACD中，由----=-----------，得CD=~~=——f=—=—

sinAsin/ADCsin^fADC4438

7

19.【解析】(1)证明：因为底面A3CD为正方形，所以CBLA5,

又因为CB_LBP,ABcBP=B,AB,BPu平面ABP,

所以Cfi,平面A3。

因为Q4u平面ABP，所以C5LK4,

同理CDLB4,又因为底八。=。,匿,。。匚平面48。，所以平面ABCD,

(2)由(1)知R4_L底面ABCD,即AB,ARAP两两相互垂直,

如图，以点A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、》轴、z轴，建立空间直角坐标系.

则4(0,0,0),3(2,0,0),0(0,2,0),尸(0,0,2),石(1,0,1),尸(0,1,1),

A£=(l,O,l),AF=(O,l,l).

设平面A即的一个法向量为々=(x,y,z),

AE-ni=(1,0,1)-(%,y,z^=x+z=0

则

AF♦耳=(0,1,1)♦(%,y,z)=y+z=0

令x=l,则y=l,z=-l,得

巧=(1,1,-1),

由（1）知平面八钻的一个法向量为BC=（0,2,0）,

%BC

所以平面A印与平面Q4B夹角的余弦值是cos（4,BC

'/4M3

20.【解析】（1）解：由题意得6=工=2/=26

a

22

又因为c2=/+/,解得a=2.所以双曲线方程为：—-^=1

412

（2）因为以PQ为直径的圆过坐标原点，所以。P_LOQ,所以OP，。。，即：OPOQ=0：

①当直线/的斜率不存在时，设直线/的方程为x=〃，设尸（〃/）,Q5，T）（f＞0）,

由OP-OQ=0可得〃2—r=o，

22

又点P、Q在双曲线上，代入可得工—三=1,解得*=6,/=6.

412

所以|PQ|=2f=2&.

②当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为了=丘+m,

2kmx

由＜3；2一联立消去》整理得（3_廿）/_-m-12^0（*）,

因为直线/与双曲线交于P,Q两点，所以3—42/0,

且判别式A=（2版了—4（3—/）（—机2一12）=12（加2一4%2+12）＞0.

设尸（不，%），。（%，%），

2km

X+X=------7

1-93-k2

则

trr+12

XX=---------Z-

1}?23-k2

由OP-OQ=0得到：石%+M%=°，所以%9+（g+机）（也+根）=0,

即（1+左2）王马+初々）+加2=0,

2

m+12,2km2八

所以（1+k2）—km•—：----\-m=U,

k2-3P-3

化简得m2=6k2+6-

>276

当k=0时上式取等号，且方程(*)有解.

综上可得忸。|的最小值是2#.

21.【解析】(1)显然/(x)定义域为R,由/(耳=>+⑪得广(%)=甘+。

当时，/'a)=eX+a>0"a)单调递增区间为(―8,+"),无减区间，

当a<0时，由/■'(%)=，+a>0,得x>ln(-a),所以/(x)单调递增区间为(in(-a),+oo}

由ra)=/+a<0,得x<ln(—a),所以/(x)单调递减区间为(一”』n(—a))

(2)由题可得函数/(x)=e*+2/'(0)x—cosx,所以/'(x)=e*+2/'(0)+sinx

/(O)=e°+2/(0)+sinO=1+2/(0),解得/''⑼=一1

所以/(x)=eY-2x-cos%

①当x<0时，有e*<Lsiru<l,

所以/=e*+sinx-2VO恒成立，

所以，/(x)在(—”,0］上单调递减，“X)2/(0)=0,0是一个零点;

②当x>0时，/,(x)=ev+sinA-2,

设g(尤)=ex+sinx-2,则g'(x)=ex+cosx>1+COST>0恒成立，

即f'(x)在(0,+“)上单调递增.

又八0)=—l<