云南省曲靖2024年高三第五次模拟考试数学试卷含解析

云南省曲靖一中麒麟学校2024年高三第五次模拟考试数学试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

r\•

1.已知复数Z=j｝,则忖=（）

A.1+zB.1-iC.y/2D.2

2.已知复数z满足3z=3+2i（i是虚数单位），则三=（）

A.2+3，B.2-3iC.-2+3zD.-2-3z

3.如图，圆。的半径为1,A,3是圆上的定点，OBLOA,尸是圆上的动点，点尸关于直线08的对称点为P，

角x的始边为射线Q4,终边为射线。尸，将。尸-。尸'表示为x的函数/（尤），则y=/（%）在［0,句上的图像大致

为（）

B

P.1fP

（-------------'A

O）

•y।y

2\/

A.।J:B.c一

OxxOxXO\Kx

y

D♦1

—,---4_.

Oxx

4.等差数列｛4｝中，已知3a5=760，且q<0则数列｛qJ的前〃项和S〃（〃EN*）中最小的是（）

A.邑或邑B.Si2C.$13D.S14

6.记递增数列｛。J的前〃项和为5〃.若。］=1,%=9,且对｛4｝中的任意两项巴.与%(1<I<9),其和《•+%,

a.

或其积4勺，或其商」仍是该数列中的项，则()

%

A.a5>3,59<36B.%>3,59>36

C.a6>3,59>36D.4>3,59<36

Y2V2Y2V21

8.已知椭圆'+与=1(〃>>>())与双曲线二―4二」(«>0,8>0)的焦点相同，则双曲线渐近线方程为()

a2b2a2b22

B.y=+y/3x

C.y=土叵x

D.y=±A/2X

-2

9.如图，在棱长为4的正方体ABC。—A4G，中，E,F,G分别为棱AB,BC,CQ的中点，M为棱AD的中点,

设P,。为底面A5C。内的两个动点，满足。尸//平面EFG,DQ=后,则PM+尸。的最小值为()

D

4.

A.372-1B.3V2-2C.251D.2石-2

10.已知全集。=R,集合/={x|—3<x<l},N={x||x|,,l},则阴影部分表示的集合是()

A.[-1,1]B.(-3,1]C.(-w,-3)U(-l,+a))D.(-3,-1)

11.已知直线x+y=f与圆*+y2=2/—/QeH)有公共点，则[4—。的最大值为()

283232

A.4B.——C.—D.——

997

12.已知复数z,满足z(3_4if,则忖=()

A.1B.V5C.百D.5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知尤3公=明贝(――2](x+l)"展开式/的系数为.

14.棱长为。的正四面体ABC。与正三棱锥E-3CD的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的

球面上，则正三棱锥E-5CD的内切球半径为.

15.已知函数/。)=[2一"+1'*"1函数8(%)=/(%)+/(—%),则不等式g(x)«2的解集为一.

(x-1),^>1

16.三棱锥S-ABC中，点P是及AABC斜边A5上一点.给出下列四个命题：

①若平面ABC,则三棱锥S-ABC的四个面都是直角三角形；

②若AC=4,BC=4,SC=4,SC，平面ABC,则三棱锥S—ABC的外接球体积为32辰；

③若AC=3,BC=4,SC=5S在平面ABC上的射影是AABC内心，则三棱锥S—ABC的体积为2；

④若AC=3,BC=4,&L=3,&4,平面ABC,则直线PS与平面SBC所成的最大角为60°.

其中正确命题的序号是.（把你认为正确命题的序号都填上）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知三棱锥P—A3C中，ABC为等腰直角三角形，AB=AC=1,PB=PC=^,设点E为丛中点,

点。为AC中点，点F为PB上一点,且PF=2FB.

（1）证明：BD//平面CEF；

（2）若24,AC,求直线CE与平面尸3c所成角的正弦值.

18.（12分）如图（1）五边形A5C3E中，ED=EA,AB//CD,CD=2AB,

NEDC=15O,将AEAD沿AD折到ARAD的位置，得到四棱锥P—ABCD,如图（2）,点"为线段PC的中点,

且平面PCD.

（1）求证：平面B4D_L平面ABC。；

JT

19.（12分）如图，在AABC中，AC=2,ZA=y,点。在线段AB上.

(2)若4£>=2。8,sinZACD=77sinZBCD,求AABC的面积.

20.(12分)已知凸〃边形A4A34的面积为L边长A4+1=q(i=l,2,,n-l),4A=4，其内部一点尸到边

4A+1=弓。=1,2,，〃一1)的距离分别为4,4，4，&.求证：学■+华■++学(做/记―Zy.

v4|Cc-2

21.(12分)a,4c分别为ABC的内角A,B,C的对边.已知a(sinA+4sinB)=8sinA.

JT

(1)若b=l,A=—,求sin5；

6

71

(2)已知C=§,当.ABC的面积取得最大值时，求ABC的周长.

22.(10分)为迎接2022年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记

X表示学生的考核成绩，并规定X285为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了

30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：

(I)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；

(II)从图中考核成绩满足Xe［80,89］的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；

(x—85、

(III)记P(a<X<b)表示学生的考核成绩在区间［a,可的概率，根据以往培训数据，规定当P――<1之0.5时

培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

根据复数模的性质即可求解.

【详解】

*|=皿=推=后，

11|1+Z|V2，

故选：C

【点睛】

本题主要考查了复数模的性质，属于容易题.

2、A

【解析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【详解】

解：由3z=3+2"得z=2=(3+2i"=2_3i,

i-i2

z=2+3z-

故选A.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

3、B

【解析】

根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解.

【详解】

由题意，当x=0时，P与A重合，则P与B重合，

所以—。耳=|BA|=2,故排除C,D选项；

当0＜x＜］时，|OP-OP'\=|P'P|=2sin(1-x)=2cos%,由图象可知选B.

故选：B

【点睛】

本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.

4、C

【解析】

设公差为d,则由题意可得3(%+4d)=7(4+9d),解得d=—等，可得4=(55才4.令554n＜。，可得当

〃之14时，«„＞0,当〃W13时，＜0,由此可得数列｛%｝前九项和'("eN*)中最小的.

【详解】

解：等差数列｛4｝中，已知3%=7%),且q<0,设公差为d,

则3(4+44)=7(4+94),解得d=—粤，

,八)(55-4n)a

L

an=q+(〃-l)a=--------.

55—4〃55

令也——<0,可得〃故当〃之14时，an>Q,当〃W13时，an<0,

514

故数列｛4｝前〃项和SneN*)中最小的是儿.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题.

5、A

【解析】

根据/(x)>0排除C,D,利用极限思想进行排除即可.

【详解】

解：函数的定义域为｛xlx/0｝,/(x)>0恒成立，排除C,D,

x2ex

当了>0时，/a)=H=",当xfo,/(x)-o,排除3,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题.

6、D

【解析】

由题意可得%=四，从而得到%=3,再由%=3就可以得出其它各项的值，进而判断出S9的范围.

a5

【详解】

a；

解：。,+%,或其积%%,或其商工仍是该数列中的项，

%

+%或者。2a9或者£是该数列中的项，

又数列｛%｝是递增数列,

4<〃2V〈…V，

•*>CI9,^^9>C^g,只有，是该数列中的项，

同理可以得到及，”，血也是该数列中的项，且有4〈发〈&<...<发〈佝，

%〃408“8%%

%c

•*.a5=—，/.%=3或。5=-3（舍），>3,

“5

根据=1,%=3,%=9,

23537

同理易得的=3!,9999

a3=y%=3"，a6=yay=yas=3^

9

1-3^”

.*.Sg=q+%+♦..+%—----<36,

i-y

故选：D.

【点睛】

本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题.

7、D

【解析】

由题可得函数F（x）的定义域为｛X|X*±1｝,

因为〃-尤）=111|*|=-111|?|=-/（》），所以函数〃尤）为奇函数，排除选项B；

1+x1-x

又/'（LDTnZl〉：!，/（3）=ln2<l,所以排除选项A、C,故选D.

8、A

【解析】

由题意可得2/一2k="+62,即6=3〃，代入双曲线的渐近线方程可得答案.

【详解】

x2y2

X2y2=19〉6〉0）与双曲线工一［=工9〉0,1〉0）即7一万=101>°，15>0）

依题意椭圆二+5的焦点相同，可

ab2ab2

22

得：

b

即Y=3〃，=无，可得正=W，

a3a3

V2

b

双曲线的渐近线方程为：y=±正x=±gx,

a3

忑

故选：A.

【点睛】

本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

9、C

【解析】

把截面跳G画完整，可得P在AC上，由。］。=而知。在以。为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得

PM+P。的最小值.

【详解】

如图，分别取GD，AA的中点连接易证及£G,共面，即平面跳G为截面

EFGHIJ,连接AQ,DC，AC,由中位线定理可得AC//E尸，AC<z平面跳G,叮匚平面瓦弓，则AC//平

面EFG,同理可得A"//平面跳G,由ACIA。=A可得平面A"C//平面跳G,又RP//平面EFG,尸在

平面ABC。上，,PeAC.

正方体中。A，平面ABCI）,从而有。:.DQ=8Q2一DD：=1,二。在以。为圆心1为半径的四

分之一圆（圆在正方形A5CD内的部分）上，

显然M关于直线AC的对称点为E,

PM+PQ=PE+PQ>PE+PD-DQ>ED-DQ=742+22-1=2石—1，当且仅当E,P,Q,。共线时取等号，

，所求最小值为2出-1.

故选：C.

【点睛】

本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出。点

轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值.

10、D

【解析】

先求出集合N的补集gN,再求出集合M与eN的交集，即为所求阴影部分表示的集合.

【详解】

由。=R,N={x||x|”1},可得,N={x|x<—l或x>l},

又M={x|-3<%<1}

所以AfceN={x|-3<x<-4}.

故选：D.

【点睛】

本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题.

11、C

【解析】

根据三+丁2=27—表示圆和直线x+y=/与圆/+丁2=2,—/QeH)有公共点，得到ow/wg,再利用

二次函数的性质求解.

【详解】

因为f+y2表示圆，

所以2/—/>0,解得。</<2,

因为直线x+y=/与圆/+丁2=2/—产(/eR)有公共点，

所以圆心到直线的距离dWr,

4

解得

4

此时041工一，

3

0「4一

因为/（。=《4一。=一/+41=一。一2）+4,在0,-递增,

所以14—。的最大值/

故选：C

【点睛】

本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

12、A

【解析】

首先根据复数代数形式的除法运算求出z,求出z的模即可.

【详解】

—4+3,

5

【点睛】

本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、—8

【解析】

先根据定积分求出«的值，再用二项展开式公式即可求解.

【详解】

=—x24=4

4

所以〃=4

4r

(x+1)的通项公式为Tr+X=C；x14f.Z=C;x

当r=2时，7；=qxl4-r-Z=C^x2=6x2

当厂=3时，7；=Cy=4x3

故2卜+1)"展开式中必的系数为4+(—2)x6=-8

故答案为：-8

【点睛】

此题考查定积分公式，二项展开式公式等知识点，属于简单题目.

14372-A/6

14、---------a

12

【解析】

由棱长为。的正四面体ABC。求出外接球的半径，进而求出正三棱锥E-5CD的高及侧棱长，可得正三棱锥

E-38的三条侧棱两两相互垂直，进而求出体积与表面积，设内切圆的半径，由等体积丫=：5表面积求出内

切圆的半径.

【详解】

由题意可知：

多面体ABCDE的外接球即正四面体ABCD的外接球

作面5C。交于歹，连接CV,如图

则CT=2•走。=且。，且AE为外接球的直径，可得

323

2rBC_a

设三角形5C。的外接圆的半径为厂，则sin60。二耳,解得r=

设外接球的半径为R,则改=r+(AF-Ri可得2AF.R=r2+AF2>

即2.典・R=4+g，解得R="q,

3394

设正三棱锥E-5CD的高为〃，

因为AE=2R=4a，所以h=EF=2R—AF=(^—q)a=4a，

所以BE=CE=DE=y]EF2+CF2=J-a+-a=—a,

V632

而BD=BC=CD-a,

所以正三棱锥E-BCD的三条侧棱两两相互垂直,

设内切球的半径为R',=：SMc。•EE=g(SE_BC»)表面积-R，

即L立/.逅0=1.2±2/1/出,解得：R_30®.

3463412

【点睛】

本题考查多面体与球的内切和外接问题，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意借助

几何体的直观图进行分析.

15、[-2,2]

【解析】

3+x,x<-13-x,x>1

/(%)=<l-x,-l<x<l,/(-x)=<l+x,-l<x<l,

(x-l)2,%>1(x+1)',x<-1

x+3x+4,x<—1

所以g(x)=<2,-1<X<1

x2-3x+4,x>1

所以g(x)W2的解集为［—2,2］。

点睛：本题考查绝对值不等式。本题先对绝对值函数进行分段处理，再得到了(-#的解析式，求得g(x)的分段函数

解析式，再解不等式g(x)W2即可。绝对值函数一般都去绝对值转化为分段函数处理。

16、①②③

【解析】

对①，由线面平行的性质可判断正确；

对②，三棱锥外接球可看作正方体的外接球，结合外接球半径公式即可求解；

对③，结合题意作出图形，由勾股定理和内接圆对应面积公式求出锥体的高，则可求解；

对④，由动点分析可知，当P点与A点重合时，直线PS与平面SBC所成的角最大，结合几何关系可判断错误;

【详解】

对于①，因为平面ABC,所以SA±AB,SALBC,又

所以平面S4C,所以3CLSC,故四个面都是直角三角形，...①正确；

对于②，若AC=4,BC=4,SC=4,SC，平面ABC,

...三棱锥S-ABC的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，

/.2R=A/42+42+42=473»尺=23，••.体积为V=g»(2G)3=32岳，.•.②正确;

对于③，设AABC内心是。，则SOJ_平面ABC,连接OC,

则有SO2+OC2=SC2，又内切圆半径厂=g(3+4—5)=1,

所以OC=0，SO?=SC?—=3—2=1,故SO=1,

...三棱锥S—ABC的体积为丫=!><5枷c义SO=工x工x3x4xl=2,.•.③正确；

332

对于④，•若必=3,S4_L平面ABC,则直线PS与平面SfiC所成的角最大时，P点与4点重合,

3

在H/ASC4中，tanZASC=-=l,：.ZASC=45°,即直线PS与平面S3。所成的最大角为45。，

【点睛】

本题考查立体几何基本关系的应用，线面垂直的性质及判定、锥体体积、外接球半径求解，线面角的求解，属于中档

题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析；(2)YZ

6

【解析】

(1)连接交CE于G点，连接尸G,通过证&5/AFG,并说明FGu平面CEF,来证明班＞//平面CEF

(2)采用建系法以AB、AC.AP所在直线分别为x、＞、z轴建立空间直角坐标系A-孙z,分别表示出对应的

点及C,P,E坐标，设平面尸5c的一个法向量为力=(x,y,z),结合直线对应的和法向量〃，利用向量夹角的余

弦公式进行求解即可

【详解】

(1)证明：如图,

p

连接P£)交CE于G点，连接FG,点E为？A的中点，点。为AC的中点，

.,.点G为AR4C的重心，则PG=2GD,PF=2FB,：.FG//BD,

又FGu平面CEF,BDU平面CEF,:.BD//平面CEF；

(2)AB=AC,PB=PC,PA=PA,:.APAB=APAC,

PA±AC,:.PA±AB,可得B4=2,又ABLAC,

则以A3、AC.AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A-孙z,

则A(0,0,0),3(1,0,0),C(0,l,0),P(0,0,2),E(0,0,1)

BC=(-1,1,0),BP=(-1,0,2),CE=(0,-l,l).

n-BC=—x+y=0

设平面尸的一个法向量为H=(x,y,z),由｛-

n-BP=-x+2z=0

取z=l,得”=(2,2,1).设直线CE与平面尸5c所成角为凡

则sin0=\cos<n,CE>|==皂.：.直线CE与平面PBC所成角的正弦值为—.

72x366

【点睛】

本题考查线面平行的判定定理的使用，利用建系法来求解线面夹角问题，整体难度不大，本题中的线面夹角的正弦值

公式sin6=|cos<%C£>>|使用广泛，需要识记

18、(1)见解析(2)空

7

【解析】

试题分析：(1)根据已知条件由线线垂直得出线面垂直，再根据面面垂直的判定定理证得成立；(2)通过已知条件求

出各边长度,建系如图所示，求出平面PDB的法向量，根据线面角公式代入坐标求得结果.

试题解析：(1)证明：取PD的中点N,连接AN,MN,则MN//CD,MN=LCD,

2

又ABI/CD,AB=LCD,所以MN//AB,MN=AB,则四边形ABMN为平行四边形，所以ANIIBM,

2

又平面PCD,

...4VL平面PCD,

AN±PD,AN±CD.

由石。=E4即=及N为的中点，可得△/%£>为等边三角形，

/.ZPDA=60°.

又NEQC=150°，•••NCZM=90°，二。£>，>10,

CD,平面PAD,CDu平面ABCD,

：.平面PAD，平面ABCD.

(2)解：

AB//CD,二NPCD为直线PC与A5所成的角，

_PD1

由（1）可得NP£）C=90°，,tanNPC£>=——：.CD=2PD,

CD2

设PD=1,则CD=2,PA=AD=AB=1,

取AO的中点。，连接PO,过。作A3的平行线,

可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,

则g,o,o],31g1,l,o],c1—g1,2,o1,P0,0,

22

、

「’4

(36

所以。3=(1,1,0),,BM=——,0,—

44

7

%+y=0

n-DB-0

设M=(x,y,z)为平面的法向量，贝！H,即｛173八，

n-PB-0—x+y------z=0

22

取x=3,则〃=卜,一3,一百)为平面PBD的一个法向量,

/…彳、n-BM-3_2A/7

..cos<n,BM>=—|——।

•\n\\BM\后出7

V21x——

2

则直线BM与平面PDB所成角的正弦值为巫.

7

点睛：判定直线和平面垂直的方法:①定义法.②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该

直线和此平面垂直.③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.平

面与平面垂直的判定方法:①定义法.②利用判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直.

19、(1)CD=—(2)氧।

42

【解析】

(1)先根据平方关系求出sin/CZM,再根据正弦定理即可求出CD；

(2)分别在AADC和ABDC中，根据正弦定理列出两个等式，两式相除，利用题目条件即可求出CB,再根据余弦

定理求出AB,即可根据S=LAC•A3•sinA求出AABC的面积.

2

【详解】

(1)由cosNCD3=—工，得cosNOM=工，所以sin/OM=迪.

333

CD_2

CD得3乎.

由正弦定理得,,即正一互

sinAsi.n。工

X.CDA

23

AT)

AC右

(2)由正弦定理，在AADC中，------

sinZACDsinZADC

DBCB

在ABDC中,

sinZBCDsinZBDC

又sinZADC=sinN6r>C,AD=2DB,sinZACD=V7sinZBCD,

由不■得CB=J7，

由余弦定理得CB?=Ac2+Ag2_2AC.ABcosA，

即7=4+482—2AB，解得AB=3,

所以AASC的面积S=』AC-A3-sinA=仝2.

22

【点睛】

本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用,意在考查学生的数学运算能力，属于基

础题.

20、证明见解析

【解析】

由已知，易得%4+a2d2T-----1■qd〃=2,所以

生+也+…+也=2但+&+-+”]=(G4+d第++«A)f—+^++2利用柯西不等式和基本不等式即

4d?dn(4d2dnj(4d2

可证明.

【详解】

因为凸九边形的面积为1,所以44+电4+…+%4=2,

~…2a,2&2〃“

所以一+…+-L=2幺+&+..•+2