云南省昆明市2023届“三诊一模”高三复习教学质量检测数学（解析版）

昆明市2023届“三诊一模”高三复习教学质量检测

数学

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,已知集合-={=123,可,3={x|lnx<l},则AB=()

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3)

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数求解集合8,再求交集即可得结果.

【详解】由题意可得：B={x|lnx<l}={x|0<x<e},

故AB={1,2}.

故选：A.

2.欧拉公式：e'?=cos，+*in6»将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地

位，根据欧拉公式，复数e%在复平面内对应的点所在的象限为()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的几何意义结合象限角的三角函数值的符号分析判断

【详解】由题意可得：=cos3+i-sin3对应点为(cos3,sin3),

则cos3<0,sin3>0,

故(cos3,sin3)位于第二象限.

故选：B.

3.某单位职工参加某APP推出的“二十大知识问答竞赛”活动，参与者每人每天可以作答三次，每次作答

20题，每题答对得5分，答错得0分，该单位从职工中随机抽取了10位，他们一天中三次作答的得分情况

如图：

得分

100

95~•-♦-第三次作答

一第二次作答

9§0乡H厂、_第一次作答

12345678910职主编号

根据图，估计该单位职工答题情况，则下列说法正确的是()

A.该单位职工一天中各次作答平均分保持一致

B.该单位职工一天中各次作答的正确率保持一致

C.该单位职工一天中第三次作答得分的极差小于第二次的极差

D.该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差

【答案】D

【解析】

【分析】根据给出统计图数据，分别计算出三次作答的平均分、正确率、极差、标准差，即可作出判断.

【详解】由题可得，该单位抽取的10位员工三次作答的得分分别为:

1号员2号员3号员4号员5号员6号员7号员8号员9号员10号员

工工工工工工工工工工

第一次

65808580909090859090

作答

第二次

80859090959095909595

作答

第三次

8590959510010010095100100

作答

对于A：第一次作答的平均分为：,X(65+80+85+80+90+90+90+85+90+90)=84.5,

第二次作答的平均分：焉x(80+85+90+90+95+90+95+90+95+95)=90.5,

第三次作答的平均分：^x(85+90+95+95+100+100+100+95+100+100)=96,

故该单位职工一天中各次作答的平均分不一致，故A错误；

845x10-5

对于B：第一次作答的正确率：x100%=84.5%,

20x10

905x1f)-5

第二次作答的正确率：-x100%=90.5%,

20x10

96x10-5

第三次作答的正确率：xl正％=96%,

20x10

故该单位职工一天中各次作答的正确率不一致，故B错误；

对于C：该单位职工一天中第三次作答得分的极差：100-85=15,

该单位职工一天中第二次作答得分的极差：95-80=15,

故该单位职工一天中第三次作答得分的极差等于第二次的极差，故C错误；

对于D：该单位职工一天中第三次作答得分的标准差：

2222

S3=x[(85-96)+(90-96)+(95-96)x3+(100-96)x5]=276,

该单位职工一天中第一次作答得分的标准差：

Si=，木x[(65-84.5)2+(80-84.5)2x2+(85-84.5)2x2+(90-84.5)2x5]=457.25>后=246,

故该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差，故D正确，

故选：D.

4.已知｛4｝和也｝均为等差数列，%=La=2,%O+4O=39,则数列｛%+〃｝的前50项的和为

()

A.5000B.5050C.5100D.5150

【答案】B

【解析】

【分析】由题设易知｛4+2｝为等差数列，结合已知求公差，应用等差数列前“项和公式求和即可.

【详解】由题设｛4+包｝也为等差数列，且公差d为｛4｝、也,｝公差的和，

39-3

又Q+4=3,%。+—39,故d=—=4,

/、SOx49

所以｛%+〃｝前50项和为50x3+—^—x4=5050.

故选：B

5.已知直线xcos8+ysine=l(〃eR)与圆。：12+,2=4交于4,3两点，则NAO§=()

A.eB.20C.-D.—

33

【答案】D

【解析】

【分析】根据垂径定理求弦长|A理，再结合余弦定理运算求解.

【详解】圆。：炉+产=4的圆心为0(0,0),半径r=2,

•.•圆心0(0,0)到直线xcos，+ysin。-1=0的距离d=,,+2力=1,

则|AB|=2y1r2—d2=2^/3,

|OA|2+|OB|2-|AB|24+4—12£

可得cosNA03=且NAO5w(0,7i),

2\OA\-\OB\2x2x22

2兀

・・・ZAOB=——

3

故选：D.

6.函数y=sin尤ln(e*+ef)在区间［―私兀］上的图象大致为()

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数奇偶性排除B、D,再取特值x=W排除C.

2

【详解】对于函数/(x)=sinxln(eX+eT),

/(%)+/(-x)=sinxln(e*+ex)+sin(-x)ln(e「*+e*)=sinxln(e*+-sin尤In(e*+b)=0,

故了(尤)为奇函数，图象关于原点对称，B、D错误;

nA1itit、

71It

1

又：=sin-Ine+e5=Ine?+e万且6万＞e,e万＞0，

2J\7

故/[]J=lne2+e2>ln(e+O)=l,C错误；

故选：A.

7.已知函数〃%),g(x)的定义域均为R,4%)为偶函数且〃x)+/(x+2)=3,g(x)+g(10—x)=2,

9

则Z[F(")+gG)]=()

；=i

4547

A.21B.22C.——D.—

22

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意证明/(x)+/(10—x)=3,结合对称性分析运算即可.

【详解】•."(％)为偶函数且〃x)+/(x+2)=3,则〃f)+/(x+2)=3,

故/(%)关于点]qJ对称，

XV/(x+2)+/(x+4)=3,则〃力=〃％+4),

则"％)是以周期为4的周期函数，故〃%)关于点对称，

A/(x)+/(10-x)=3,

则

>(，)=[〃1)+〃9)]+[〃2)+〃8)]+卜(3)+〃7)]+卜(4)+八6)]+；[〃5)+〃5)]=3*4+9司

又•:g(%)+g(10-X)=2,

则

91

Zg(^)=[g⑴+g⑼]+[g⑵+g⑻]+[g⑶+g⑺[+[g⑷+g⑹]+不[g(5)+g⑸]=2x4+l=9

i=l/

故£9[/a)+g(i)]=9£/(，)+9!>(，)=彳?7+9=47S.

1=11=11=1/乙

故选：C.

8.某机床厂工人利用实心的圆锥旧零件改造成一个正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上,

下底面在圆锥的底面内.已知该圆锥的底面圆半径为3cm,高为3cm,则该正四棱柱体积（单位：cm3）

的最大值为（）

A.54（10-7A/2）B.8C.yD.9

【答案】B

【解析】

【分析】设。C=x,借助于圆锥的轴截面分析可得CF=3-x,利用柱体体积公式可求得V=2（3%2-%3）,

求导，利用导数求最值.

【详解】显然当正四棱柱的上底面顶点在圆锥表面时的体积较大，

如图，借助于圆锥的轴截面，

由题意可得：OA=OB=OP=3cm,

0ApnACOP

设底面对角线0。=口111,%€（0,3）,则——■=——■,可得CE=-----------=AC=（3-x）cm,

v7ACCFOAv7

故该正四棱柱体积V=g（2x『•（3—x）=2（3X2-X3）,

构建/（X）=2（3V—J?）,则r（x）=6x（2-x）,

V%e（0,3），

当0<x<2时，/^）>0；当2<%<3时，尸（力<0；

则/（x）在（0,2）上单调递增，在（2,3）上单调递减，

A/（x）</（2）=8,

故该正四棱柱体积的最大值为8（cm3）.

【点睛】方法定睛：利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

⑴建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关

系式、=加）.

(2)求导：求函数的导数广(x),解方程广(x)=0.

(3)求最值：比较函数在区间端点和使1(x)=0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.

(4)作答：回归实际问题作答.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是

符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

Illiuuur/rr\

9.已知。力=0，忖=忖=1,设。4=。，OB=b，OC=c(cwO),则下列正确的是()

A.若a-c=b-c，贝Uc=a+6

B.c-a+b则o-c=Z?,c

C.以Q4,OC为邻边的平行四边形的面积为

D.若(a——c),则J°的最大值为也担

【答案】BCD

【解析】

【分析】对A、B、C：根据平面向量的数量积分析判断；对D：根据题意求得点C的轨迹方程，结合圆的

性质分析判断.

【详•军】对A：若a.c=6c，贝Ua-c-4c=(a—人)•c=0,可得(a-6)_Lc,

YYY

注意到W=W=1,可得c=4(〃+b),XwO,A错误；

iiiirzrrxzrrxzrnr2r2

对B：若c=a+b，且M==则c,(a—=(a+/?),(a-Z?)=a—b=1—1=0,

rzrr、rrrr

则c-a—6=c-〃_c-6=0,故=B正确；

对C：以Q4,OC为邻边的平行四边形的面积

1|UWuumr

S=2x—xOAxOCx|sinZAOC|=ac|sinZAOC\=\c\|sinZAOC\,

2I

b・=|/?||c|cosZ.BOC-c|cosZBOC\,

JT

「则〃J_b，即NAO3=5，则有:

当ZAOC=]+ZBOC时，则卜inZAOC|=sin^+NBOc)=\cosZBOC\,

当ZAOC=-|-ZBOC时，则卜inZAOC\=sm\^~ZBOcj=|cosZBOC\,

故S="c；

当ZAOC=］+ZBOC时，贝］sinZAOC=—=\cosZBOC\,

故S=〃•(?；

综上所述：以。4,OC为邻边的平行四边形的面积为卜式卜C正确；

对D：不妨设4(1,0),3(0,1),C(x,y),则】=(l,O)»=(O,l)：=(x,y),

1111

可得a_c=(l_jv,_y),Z?_c=(一%,］-y),

—c)M。—c),贝ij(l—%)(—%)+(—y)(l—y)=0,整理得［一£|=g,

点C(x,y)的轨迹为以为圆心，半径厂=1的圆

又=由圆可知x<^+r=叵匕，

22

故a.c的最大值为叵U，D正确；

2

故选：BCD.

22

10.已知双曲线E：丹一2=1(。〉0］〉0)的左、右焦点分别为耳，B，过原点的直线/与双曲线交

于A,3两点，若四边形月为矩形且|A4|=2|Ag|,则下列正确的是()

A.\AB\=245aB.E的渐近线方程为y=±岳

4

C.矩形445月的面积为4a2D./的斜率为土耳

【答案】AD

【解析】

【分析】对A、C：根据题意结合双曲线的定义可求得|A娟=2|A阊=4a,|A@=|4阊=2氐，分析运算；

对B：由°=氐，可得b=2a,进而可求E的渐近线方程；对D：利用余弦定理可求COS/AO8,进而

可求tanNA。玛，注意结合双曲线的对称性分析判断.

【详解】不妨设点A在第一象限，

如图，由题意可得：四边形人43层为平行四边形,

由双曲线的定义可得：|A£H"|=2|"H"l=l"l=2a，则|明|=2|9|=4a,

对A：；四边形骂为矩形，则|A3|=|耳目=用2=收疗+伽丫=2氐，A正

确；

对B：由选项A可得：2c=2y[5a，则c=y[5a.b-yjc2—a2—2a,

b

注意到双曲线E的焦点在x轴上，则石的渐近线方程为y=±—x=±2x,B错误;

a

对C：矩形AfjB8的面积为S=2xg|A周义M阊=4424=8〃，c错误；

对D：可知：|Q4|=|（词=J5alA闾=2〃，

5/+5。2—443

则2〃」*瑞;;『「且NAOKeO,'

W-5

/------2-------4qin/AOF4

可得sinZAOF2=Jl-COSZAOF2=—,故tanZAOF2=-------=

-5cosZAOF3

4

由双曲线的对称性可得：/的斜率为土一，D正确；

3

故选：AD.

11.三棱锥P—ABC中，R4,平面ABC,PBLBC,记NPC4=a,NPCB=0,ZACB=y,则

下列正确的是（）

A.cosa<cosf3B.cosP<cosy

C.COS7=%2D.若tantz=sin/,则24与平面尸5c所成的角为

cosa

45°

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据题意结合线面垂直可证8C，AB,利用直角三角形的余弦值的定义与取值范围分析可判断A、

sin0=,

B、C；对D：建系，利用空间向量求线面夹角可得IrU/°丫，根据题意分析判断.

详解】平面ABC，且AC,5Cu平面ABC,则上4_LAC,PALBC,

PB±BC,PAIPB=P,PA,PBu平面PAB，

3cl平面R43,

由A3u平面R43，可得3CLAB,

设AB=a,3C="PA=c,则=y/a2+c2,AC=J/+加,PC=y/a2+b2+c2，

22

可得costz=4£y/a+bnBCbBCb

—卜,cosp-=—/,cosy-=—,­-

PCVa2+^2+c2PC力2+/+。2AC777^

,,COS/?口Lc

故cosy----,即cosp=cosacos/,

cosa

0,1,则cosa,cos/£（0,1）,

cosp<cosa.cos/3<cos/,

故A错误，B、C正确;

如图，以3为坐标原点建立空间直角坐标系，则4(040),5(0,0,0)，。鱼0,0),P(0,a,c),

UUULUllUUU

可得3C=(d0,0),3P=(0,a,c),AP=(0,0,c),

设平面尸3。的法向量为〃=(x,y,z),贝!,

n-BP=ay+cz=0

令y=c,则％=0,z=—〃，即〃=(0,G—a),

IT

设以与平面尸5c所成的角为0,-,

PAAB

当tanCL-sin/时，即---=----，则PA-AB，即。=〃，

ACAC

此时£=1,Sin6»=—,则6=45°,

a2

即Q4与平面P5C所成的角为45。，D正确.

故选：BCD.

12.对于函数/(%),若存在两个常数。，b,^f(a+x)-f(a-x)=b,则称函数/(%)是“J函

数”，则下列函数能被称为“J函数”的是()

A./(x)=eT

C./(x)=3x-lD./(x)=tanx

【答案】ABD

【解析】

14-2〃

【分析】对A：根据题意结合指数哥运算分析判断;对B：根据题意整理得/(〃+%)./(〃-x)+1

ya2-x2

分析判断；对C：根据题意整理得“a+力"(a—x)=—9尤2+(3a—l广，分析判断，对口：根据题意结合

两角和差的正切公式运算分析.

【详解】对A：若〃x)=e"则/(。+分/(。_'=y'4-=62\

即存在两个常数aeR，b=e2a，使得使得/(a+a/(a—x)=b成立,

故/(x)=e"为“/函数”，A正确;

对B：若/⑺=小一,则

2-(a+x)2-(a-x)_4-2a+a2-x24-2a,

f(a+x)-f(a-x)=

a+xVa-xa2-x2二L’

±^<+1为定值，则4—2a=0,解得a=2,且4一2。一

若

a-x

故存在两个常数a=2力=1,/(2+x)-/(2-x)=L

上方为“/函数”，B正确;

则〃x)=

X

对C：若/(x)=3x-l,则/(a+x)"(a—x)=[3(a+无一九)-1]=—9/+(3«-1)"

：-9尤2+(3a-l)2不为定值,

即不存在两个常数。，b,使得x)=b,

〃x)=3x-l不为“/函数”，C错误;

对D：若/(x)=tanx,则

“、“、/、/、tana+tan%tantz-tanxtan2«-tan2x

j(a+x)-jla-x)=tanla-bx)-tanla-x)=----------------------------x-------------------------------=-----------------------------

1-tanatanx1+tanatanx1-tanatanx

22

若tan61__tanx=匕，gp(^tan2«-Z?^-(l-Z?tan2ajtan2x=0,

1-tan2tztan2x

tan2a-b=0

可得《解得b=tan2a=l，

1-Z?tan2a=0

即存在两个常数4=弓+£/€2,。=1,使得使得/(a+x>/(a—力=人成立,

故〃x)=tanx为“J函数”，D正确;

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：对于新定义问题要充分理解定义，严格按照定义的要求推理、运算，注意区别我们已

学的相近知识.该题型重点考查学生的思维逻辑能力.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若函数/(x)=2x+〃cosx在定义域R上不单调，则正整数九的最小值是.

【答案】3

【解析】

2

【分析】求导，令/'(1)=0,得到”=^,再根据sinxe[—1,1],且〃eN*求解.

sinx

【详解】解：因为函数/(x)=2x+〃cosx,

所以/'(x)=2-wsin%,

7

令/''(x)=0，^n=--，

sinx

因为sinxe[-l,l],且〃eN*，

所以〃22,

当九=2时，/,(x)=2-2sin%>0,则〃尤)单调递增，

当〃>2时，当/'(x)=2—〃sinx>。时，sinx<—；

n

2

当了'(X)=2—〃sinx<0时，sinx>—,

n

所以了(%)不单调递增，

所以正整数〃的最小值是3,

故答案为：3

14.一个数学兴趣小组共有2名男生3名女生，从中随机选出2名参加交流会，在已知选出的2名中有1

名是男生的条件下，另1名是女生的概率为.

【答案】|

【解析】

【分析】首先求出男女生各1名的概率，再应用对立事件概率求法求至少有1名男生的概率，最后应用条

件概率公式求概率.

【详解】若A表示“2名中至少有1名男生”，2表示“2名中有1名女生”，

P(AB)

所以2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为尸(314)=^^,

P(A)

C1C13C27

而P(AB)=T&=—,P(A)=1一~|■一，故P(B|A)=。.

C5C；10

故答案为：!

15.已知/(x)=2sin(ox+G)10〉O,[d<m

|的部分图象如图所示，A[：，"，等，④]为

y=/(x)的图象上两点，则〃2兀)=_____.

【答案】-1

【解析】

【分析】首先根据题意得到丁=3兀，从而得到0==，根据孚=1得到夕=-g再计算“2兀)即可.

3J6

【详解】因为A，为y=/(x)的图象上两点,

11兀兀3兀CC

------------------------71---，兀2

所以82_46>解得7=3兀=——，即。=—

-不-=~①3

T2兀

所以/(x)=2sin]gx+0

又因为/||J=2sin[l+Gj=l,5皿[三+夕)=5，

TTTTTT)TT

所以—+°=—+2而，左£2或一+夕=——+2依次wZ,

3636

TT兀

即0=----F2左兀,keZ或(p=—+2kit,kuZ,

62

因为悯<g，所以0=_‘，即/(x)=2sin[；x_g]

266J

471

=2sin—71------=2sin-=-2sin-=-1.

3666

故答案为：-1

3

16.已知抛物线C：y2=4x的焦点为尸，经过抛物线上一点P,作斜率为a的直线交。的准线于点。，

R为准线上异于。的一点，当=时，上周=

37

2

99-

【解析】

【分析】根据题设条件确定P在第一象限内，且"_LQP,设尸（七,加）且加＞0,结合门•/。=0得

4

到关于m的方程并求值，又=|尸司=?+1即可得结果.

不妨令R为过尸点垂直于准线的垂足，又NPQR=NPQF,即QE为NFQR角平分线,

3

。是斜率为一的直线与抛物线准线的交点，则尸在第一象限内，

4

而PRLQR,且|m|二|。尸I,根据角平分线性质知：PhQF,如上图示，

2Q2

vnSn?16m—3m2-12

令尸附且加＞0,则直线尸。为y-加=z（%--^-）,令k=-1,则=

16

,__尸八m21、/与I6m-3m2-12__m216m2-3m3-I2m八

由".尸Q=（z彳—l,m）・（-2,----------------）=2--+----------------二0，

Q

整理可得3m3-8m~+12相—32=（zn2+4）（3m-8）=0,则加=耳，

故|尸码=|尸目=]+1=曰.

25

故答案为：百~

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子・离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构

成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm,较短边

为5cm,如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点A,瓦C都在圆周上，角A瓦C的对

边分别为。，b,c,满足c=46cm

X

（1）求sinC；

（2）若ABC的面积为8cm叱且”>c,求ABC的周长

4

【答案】（1）j

（2）12+4百cm

【解析】

【分析】（1）根据题意可求圆的直径2R=5岔，再结合正弦定理运算求解；

（2）根据题意结合面积公式和余弦定理运算求解.

【小问1详解】

设，ABC的外接圆半径为R,贝U2R=，1。2+52=54（cm）,

Cc4J54

由正弦定理——=27?,可得sinC='一=学=

sinC2R5V55

【小问2详解】

•：a>c,则A>C,故。为锐角，

cosC=A/1-sin2C=g,

114

由面积公式S=—absinC,即8=—ab?—,可得〃Z?=20,

225

由余弦定理cose=a?+万一》=（a+b）2—2ab-c\即3_（"4-40-80

2ab2ab540

可得（a+b『=144,解得a+/?=12（cm）,

故.ABC的周长为a+b+c=12+4A后（cm）.

18.某新能源汽车公司从2018年到2022年汽车年销售量》（单位：万辆）的散点图如下:

九

80-

70-

60-

50-

40-

30-

20-

10-

O20182019202020222022辜份

记年份代码为X(X=1，2,3,4,5)

(1)根据散点图判断，模型①y"与模型②丁二仁十公2,哪一个更适宜作为年销售量y关于年份代

码x的回归方程？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果，建立y关于x的回归方程;

(3)预测2023年该公司新能源汽车销售量.

参考数据：

5555

y

Z=1«=1Z=1Z=1

34559796572805

参考公式：回归方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

2(%——y)皂％/一〃％•y

b='T——=个丁，B=y一/

Y^xj-nx

z=li=l

【答案】(1)y^c+dx2

(2)，=6.5+2.5f

(3)预测2023年该公司新能源汽车销售量96.5万辆

【解析】

【分析】(1)根据散点图结合一次函数、二次函数的图象特征分析判断;

(2)换元令/=/，结合题中数据与公式运算求解;

(3)令1=6,代入回归方程运算求解.

【小问1详解】

由散点图可知：散点图与一次函数偏差较大，与二次函数较接近，故模型②丁二,+弓犬更适合.

【小问2详解】

5555_1515

令/=必，则=979，Z%“=ZX»=2805j=wZq=^Zx；=1L9=34,

i=li=li=li=l3i=l?i=l

对于回归方程§=也+加,

5_

2805-5x11x34935

可得：---------­=2.5,6=亍—际=34-2.5x11=6.5,

979-5xll2374

Z=1

故回归方程为§=6.5+25t，即4=6.5+2.5%2.

【小问3详解】

由(2)可得：，=6.5+2.5_?,

令x=6,则§=6.5+2.5x62=96.5，

预测2023年该公司新能源汽车销售量96.5万辆.

19.已知数列｛。”｝的前〃项和为5元,q=；，且满足("T)S“+2解=0

(1)设证明：仙“｝是等比数列

(2)设C〃=22，数列｛%｝的前几项和为北，证明：Tn<2

4,an+1

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

S1S

【分析】(1)由题设可得("—l)S"+2”(S,,+]—S〃)=0,整理变形得*L=-结合等比数列定义即

n+12n

可证结论；

(2)根据4,5“的关系求与通项公式，进而可得。=二，在〃上放缩g<,1八，结合裂项求和证

n-n(n-l)

结论.

【小问1详解】

由题设，(〃-l)S”+2〃(S)+i-S”)=0,则2g,+1=(〃+1电，

V1C1C1

所以—=X。，即％=彳2，而4=摩=%=；,

n+12n212

故｛%｝是首项与公比都为3的等比数列.

【小问2详解】

由⑴+=G)”，即S"="g)"，

1

当心2时，an=Sn-Sn_r=„.(1)«--1),(I)-=(2-«).(1)",

显然勾=」满足上式，

2

所以。"=(2—〃)・(3)"，贝u=[(2—〃一2)•(g)"2]2=1.4-2,

1111111

则G=4"+27=4"+2"2=/，又“22时G=—<—~-=--一一，

4.。计24•〃・4nnn(n—l)n—1n

所以(<1+(1-----1-------------------------)=2—S.n>2,故看<2.

223n-1nn

20.如图，直四棱柱ABC。—4与。]口中，ABC是等边三角形，ABLAD

B

（1）从三个条件：9ACJ.BD；②NA£>C=120。；③应）=2AZ）中任选一个作为已知条件，证明：

BC±DC[.

（2）在（1）的前提下，若AB=Ji4A，P是棱8月的中点，求平面PDC]与平面所成角的余弦

值.

【答案】（1）证明见详解

⑵—

10

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析证明；

（2）建系，利用空间向量求面面夹角.

【小问1详解】

对①：设AC与3D的交点为E,

•；是等边三角形，且AC13。，则E为AC的中点,

可得ZM=DC,且AB=BC,BD=BD,则KWMBCD,

故NBCD=N84r>=90。，即BCCD,

又•・•cq1平面ABCD,3CU平面ABCD,

BCICC,,且CDICQ=C,CD,CC,u平面CDDXCX,

故3cl平面CDRG，

注意到DC,u平面CDDg,故3C，DC1；

r»i

B

对②：VZADC+ZABC=180°,则/500+/£^4£)=180°,

又：AB_LAD,即NaM)=90°,

可得/BCD=90°,即5CLCD,

又eq±平面ABCD,BCU平面ABCD,

BCICQ,且CDICq=C,CD,CCXu平面CDD£,

故3cl平面CD2C，

注意到DC]u平面CDD}CX,故5c_LDC】；

对③：VABLAD,即ZfiAD=90°,

AT)1

在Rt54。中，则sinNA3£>=—=-,可得NABD=30。，

BD2

故ZABDMNCmMBOO.ABnBCBDnB。，贝h5AD=BCD,

故ZBCD=Zfi4D=90。，即BCLCD,

又•••eq±平面ABCD,BCu平面ABCD,

BCICQ,且CDICQ=C,CD,CCXu平面CDDg,

故3cl平面C£>QG，

注意到DC]u平面CDDG,故BC，£>G・

【小问2详解】

如图，建立空间直角坐标系A-孙z,设A4=2,

则。（0,2,0）,〃（0,2,2）,P（2百,0,1）,G（3,3,21

UUULUUULz_、UUUL（_、

可得DDX=（0,0,2）,DCX=（V3,1,2）,DP=（2V3,-2,1）

n-Dq=下＞X[+%+2Z]=0

设平面PDG的法向量为〃=（玉，x,4）则《

n-DP=2\/3xj-2yl+z1=0

令石=5,则X=3』,Z]=TQ,即Jz=S，36,一4君）,

m-DD]=2Z2=0

设平面法向量为加=（9,％*2），则<

m-DP-2S/3X2—2y2+z2=0

令W=l，则%=6*2=0，即加=（1，百,0）,

I11

/trYl'YYl5+97

贝Ucos（n,m

2x10To1

7

故平面PDQ与平面PDD｝所成角的余弦值为—.

21.已知过点（l,e）的椭圆£：=l（a〉》〉0）的焦距为2,其中e为椭圆E的离心率.

/b2

（1）求E的标准方程;

（2）设。为坐标原点，直线/与E交于AC两点，以。4,0C为邻边作平行四边形Q钻C,且点B恰

好在E上，试问：平行四边形Q钻C的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由.

【答案】（1）—+/=1

2

（2）是定值，定值为Y5

2

【解析】

【分析】（1）根据题意列式求解/仇。，即可得结果;

4km2m

（2）根据题意结合韦达定理求点C，代入椭圆方程可得4〃/1+2左2,结合弦长公式

1+242'1+242

求面积即可，注意讨论直线的斜率是否存在.

【小问1详解】

c1

设椭圆E的焦距为2c,则c=1,e=—=一,

aa

J_

1/"2=2

由题意可得《二+年=1,解得｛2，

ab廿=i

a2=b2+l

故E的标准方程为L+y2=l.

2一

【小问2详解】

平行四边形。的面积为定值且，理由如下:

2

由（1）可得：a—5/2,Z?=1,则有：

当直线/的斜率不存在时，设A（%，x）,C（玉,一%）,

若Q46c为平行四边形，则点B为长轴顶点，不妨设3（、历,0卜

［二正［二变

可得,；2,解得，12

故平行四边形Q45C的面积S=2XLX0X，3=Y&；

222

当直线/的斜率存在时，设/:y=Ax+m（mwO）,A（石,%）,8（%2，%），

y—kx+m

2

联立方程V21消去y得(1+242)f+4kmx+2m-2=0,

——+V=1

12J

4km2m2一2

则2左(疗)(2-ZTI2

A=16knr-4(