2023-2024学年广西柳州市柳南区中考数学四模试卷含解析

2023-2024学年广西柳州市柳南区中考数学四模试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.小手盖住的点的坐标可能为（）

A.（5,2）B.（3,T）C.（-6,3）D.（-4,-6）

2.如图，矩形纸片ABC。中，AB=4,BC=6,将ABC沿AC折叠，使点3落在点E处，CE交AD于点F,

则。户的长等于（

3.如图①是半径为2的半圆，点C是弧AB的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点C与圆心O重合，则图中阴

影部分的面积是（）

4.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0,4）,将△ABO绕点B逆时针旋转60。

后得到AAlKy,若函数y="（x>0）的图象经过点OT则k的值为（）

X

C.473D.8

5.不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征.甲同学：它有4个面是三角形；乙同学:

它有8条棱.该模型的形状对应的立体图形可能是（）

A.三棱柱B.四棱柱C.三棱锥D.四棱锥

6.中国在第二十三届冬奥会闭幕式上奉献了《2022相约北京》的文艺表演，会后表演视频在网络上推出，即刻转发

量就超过810000这个数用科学记数法表示为（）

A.8.1X106B.8.1X105C.81X105D.81X104

7.已知一组数据:12,5,9,5,14,下列说法不正确的是（)

A.平均数是9B.中位数是9C.众数是5D.极差是5

8.如图，AO是。。的弦，过点。作AO的垂线，垂足为点C,交。。于点尸，过点A作。。的切线，交OF的延长

线于点E.若CO=LAO=26,则图中阴影部分的面积为

B.2y/3--兀

3

C.4-^/3--itD.2-兀

9.一元二次方程—1=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断

10.如图所示，在长为8cm,宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似,

那么剩下矩形的面积是（）

A.28cm2B.27cm2C.21cm2D.20cm2

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11.计算：2sin45°T—5|+[g+g]―弧.

x>11

12.不等式组有2个整数解，则m的取值范围是.

x<m

13.如图，四边形A5CZ)内接于。O,AD.18c的延长线相交于点E,AB.OC的延长线相交于点F.若NE+NF=

80°,则NA=

14.对于实数a,b,定义运算“※”如下：a^b=a2-ab,例如，5X3=52-5x3=1.若(x+1)JK(x-2)=6,则x的值

为.

15.将一副直角三角板如图放置，使含30。角的三角板的直角边和含45"角的三角板一条直角边在同一条直线上，则N1

的度数为__________

16.如图，四边形OABC中，AB/7OC,边OA在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，点B在第一象限内，点

D为AB的中点，CD与OB相交于点E,若△BDE、△OCE的面积分别为1和9,反比例函数y=^的图象经过点B,

X

贝!Ik=,

鼠x++5幺>小1+的2%解集是一

17.不等式组

三、解答题(共7小题，满分69分)

18.(10分)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30。，以BC为直径的。O与底边AB交于点D,过点D作DELAC,

垂足为E.

(2)连接DC,若BC=4,求弧DC与弦DC所围成的图形的面积.

m

19.(5分)如图，已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=—的图象的两个交

x

点.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及小AOB的面积；

(3)求方程丘+人-'0的解集(请直接写出答案).

20.(8分)如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,ZABC的平分线交边AC于点D,延长BD至点E,

且BD=2DE,连接AE.

(1)求线段CD的长；(2)求AADE的面积.

21.(10分)网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价特别引人关注，消费者在网店购买某种商品后,

对其有

“好评,,、“中评”、“差评,，三种评价，假设这三种评价是等可能的.

(1)小明对一家网店销售某种商品显示的评价信息进行了统计，并列出了两幅不完整的统计图.

利用图中所提供的信息解决以下问题：

①小明一共统计了个评价；

②请将图1补充完整；

③图2中“差评”所占的百分比是;

(2)若甲、乙两名消费者在该网店购买了同一商品，请你用列表格或画树状图的方法帮助店主求一下两人中至少有一

个给“好评,，的概率.

22.(10分)如图，已知在RSABC中，/ACB=90。，AOBC,CD是RtZkABC的高，E是AC的中点，ED的延

长线与CB的延长线相交于点F.

(1)求证：DF是BF和CF的比例中项；

(2)在AB上取一点G,如果AE・AC=AG・AD,求证：EG«CF=ED«DF.

23.(12分)在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(—3,0),B(0,一3),C(l,0)三点.

⑴求抛物线的解析式；

⑵若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m,AAMB的面积为S.求S

关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

⑶若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边

24.（14分）某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息:

①该产品90天售量（n件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：

时间（第X天）12310・・・

日销售量（n件）198196194?・・・

②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表:

时间（第X天）l<x<5050<x<90

销售价格（元/件）x+60100

⑴求出第10天日销售量；

⑵设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品的销售利润最大?最大利润

是多少？（提示：每天销售利润=日销售量x（每件销售价格一每件成本））

⑶在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】

根据题意，小手盖住的点在第四象限，结合第四象限点的坐标特点，分析选项可得答案.

【详解】

根据图示，小手盖住的点在第四象限，第四象限的点坐标特点是：横正纵负；

分析选项可得只有B符合.

故选：B.

【点睛】

此题考查点的坐标，解题的关键是记住各象限内点的坐标的符号，进而对号入座，四个象限的符号特点分别是：第一

象限（+,+）;第二象限（-，+）;第三象限（-，-）;第四象限（+,-）.

2、B

【解析】

由折叠的性质得到AE=AB,/E=NB=90。，易证RtAAEF^RtACDF,即可得到结论EF=DF；易得FC=FA,设FA=x,

则FC=x,FD=6-x,在RtACDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=4?+（6-x）2,解方程求出x即可.

【详解】

•.•矩形ABCD沿对角线AC对折，使小ABC落在△ACE的位置，

；.AE=AB,NE=NB=90°,

又•四边形ABCD为矩形，

/.AB=CD,

.\AE=DC,

而NAFE=NDFC,

•.•在△AEF-^ACDF中，

NAFE=NCFD

<ZE=ZD,

AE=CD

/.△AEF^ACDF（AAS）,

.\EF=DF；

•.•四边形ABCD为矩形，

/.AD=BC=6,CD=AB=4,

VRtAAEF^RtACDF,

.\FC=FA,

设FA=x,贝!|FC=x,FD=6-x,

13

在RtACDF中，CF2=CD2+DF2,即x2=4?+（6-x）解得x=—,

3

5

贝！］FD=6-x=—.

3

故选B.

【点睛】

考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等.也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与

性质以及勾股定理.

3、D

【解析】

连接OC交MN于点P,连接OM、ON,根据折叠的性质得到OP=LOM,得到NPOM=60。，根据勾股定理求出MN,

2

结合图形计算即可.

【详解】

解：连接OC交MN于点P,连接OM、ON,

由题意知，OC_LMN,且OP=PC=L

在RtAMOP中，,.•OM=2,OP=1,

Qp]________

cosZPOM==-,AC=yloM2-OP2=V3,

/.ZPOM=60°,MN=2MP=273，

:.ZAOB=2ZAOC=120°,

则图中阴影部分的面积=5半圆-2S弓形MCN

=—X7tx22-2x(120万x2

23602

=2布-1~兀，

故选D.

【点睛】

本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式

的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键.

4、C

【解析】

根据题意可以求得点O,的坐标，从而可以求得k的值.

【详解】

:点B的坐标为(0,4),

.\OB=4,

作。CLOB于点C,

,/△ABO绕点B逆时针旋转60。后得到△ABO',

.\OrB=OB=4,

・・・O'C=4xsin600=26,BC=4xcos600=2,

AOC=2,

・••点。的坐标为：(26，2),

•.•函数y=A(x>0)的图象经过点OT

X

k,

,*•2=2下,得k=4布r,

故选C.

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化，解题的关键是利用数形结合的思想和反比例函数的

性质解答.

5^D

【解析】

试题分析：根据有四个三角形的面，且有8条棱，可知是四棱锥.而三棱柱有两个三角形的面，四棱柱没有三角形的面,

三棱锥有四个三角形的面，但是只有6条棱.

故选D

考点：几何体的形状

6、B

【解析】

科学记数法的表示形式为axl()n的形式，其中lw|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负

数.

【详解】

810000=8.1x1.

故选B.

【点睛】

本题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中K|a|<10,n为整数，表示时关键

要正确确定a的值以及n的值.

7、D

【解析】

分别计算该组数据的平均数、中位数、众数及极差后即可得到正确的答案

平均数为(12+5+9+5+14)+5=9,故选项A正确；

重新排列为5,5,9,12,14,.,.中位数为9,故选项B正确；

5出现了2次，最多，，众数是5,故选项C正确；

极差为：14-5=9,故选项D错误.

故选D

8、B

【解析】

S阴影=SAOAE-S扇形OAF,分别求出SAOAE>S扇形OAF即可;

【详解】

连接OA,OD

VOF1AD,

.•.AC=CD=73,

在RtAOAC中，由tanNAOC=g知，ZAOC=60°,

则NDOA=120°,OA=2,

.,.RtZkOAE中，ZAOE=60°,OA=2

2

AE=2@,SW»=SAOAE-S扇形OAF=一x2x2班2=273--".

23603

故选B.

【点睛】

考查了切线的判定和性质；能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键要证某线是

圆的切线，对于切线的判定：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.

9、A

【解析】

把a=l,b=-l,c=-l,代入八=廿一七/,然后计算/,最后根据计算结果判断方程根的情况.

【详解】

a=l,b=-l,c=-1

AZ?2-4ac=1+4=5

•••方程有两个不相等的实数根.

故选A.

【点睛】

本题考查根的判别式，把a=l,b=-l,c=-l,代入A=b2-4ac计算是解题的突破口.

10、B

【解析】

根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得.

【详解】

AEC

RFD

解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE,

则矩形ABDCs矩形FDCE,

ABBD

则一=——

DFDC

68

设DF=xcm,得到：———

x6

解得：x=4.5,

则剩下的矩形面积是：4.5x6=17cm1.

【点睛】

本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、—4-20

【解析】

此题涉及特殊角的三角函数值、零指数易、二次根式化简，绝对值的性质.在计算时，需要针对每个考点分别进行计

算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.

【详解】

原式=2x也-5+1-30

2

=72-4-372

=-4-26

【点睛】

此题考查特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数事，绝对值，解题关键在于掌握运算法则.

12、l<m<2

【解析】

首先根据不等式恰好有2个整数解求出不等式组的解集为-1<x<机，再确定l<m<2.

【详解】

x>一1

不等式组有2个整数解，

x<m

,其整数解有0、1这2个，

l<m<2.

故答案为：1<根42.

【点睛】

此题主要考查了解不等式组，关键是正确理解解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到.

13、50

【解析】

试题分析：连结EF,如图，根据圆内接四边形的性质得NA+NBCD=180。，根据对顶角相等得NBCD=NECF,则

ZA+ZECF=180°,根据三角形内角和定理得NECF+N1+N2=18O。，所以N1+N2=NA,再利用三角形内角和定理得

到NA+NAEB+N1+N2+NAFD=18O。，则NA+8(r+NA=180。，然后解方程即可.

试题解析：连结EF,如图，

.,.ZA+ZBCD=180°,

而NBCD=NECF,

:.ZA+ZECF=180°,

■:ZECF+Z1+Z2=18O°,

/.Z1+Z2=ZA,

■:ZA+ZAEF+ZAFE=180°,

BPZA+ZAEB+Z1+Z2+ZAFD=18O°,

.,.ZA+80°+ZA=180°,

.,.ZA=50°.

考点：圆内接四边形的性质.

14、2

【解析】

根据新定义运算对式子进行变形得到关于x的方程，解方程即可得解.

【详解】

由题意得，(x+2)2-(x+2)(x-2)=6,

整理得，3x+3=6,

解得，x=2,

故答案为2.

【点睛】

本题考查了解方程，涉及到完全平方公式、多项式乘法的运算等，根据题意正确得到方程是解题的关键.

15、75°

【解析】

先根据同旁内角互补，两直线平行得出AC〃。尸，再根据两直线平行内错角相等得出N2=NA=45。，然后根据三角形

内角与外角的关系可得N1的度数.

【详解】

VZACB^ZDFE=90°,：.ZACB+ZDFE=180°,J.AC//DF,，N2=NA=45°,/.Zl=Z2+ZD=45°+30°=75°.

故答案为：75°.

D

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，求出N2=NA=45。是解题的关键.

16、16

【解析】

根据题意得SABDE：SAOCE=1：9,故BD：OC=1:3,设D(a,b)则A(a,0),B(a,2b),得C(0,3b),由SAOCE=9得ab=8,

故可得解.

【详解】

解：设D(a,b)则A(a,0),B(a,2b)

SABDE：SAOCE=1:9

ABD：OC=1:3

/.C(0,3b)

3

/.△COE高是OA的一，

4

31

:.SAocE=3bax—x—=9

42

解得ab=8

k=ax2b=2ab=2x8=16

故答案为16.

【点睛】

此题利用了：①过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；②所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标

有关的形式.

17、2<x<l

【解析】

分别解两个不等式得到x<l和x>2,然后根据大小小大中间找确定不等数组的解集.

【详解】

fx+5>1+2%(1)

解・<,

,[3%+2,,4x(2)

解①得xVl,

解②得x>2,

所以不等式组的解集为2<x<l.

故答案为2WxVl.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共

部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找

不到.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)详见解析；(2)|^-V3.

【解析】

(1)连接OD,由平行线的判定定理可得OD〃AC,禾！］用平行线的性质得NODE=NDEA=90。，可得DE为。O的切

线；

(2)连接CD,求弧DC与弦DC所围成的图形的面积利用扇形DOC面积-三角形DOC的面积计算即可.

【详解】

解：

(1)证明：连接

*；OD=OB,

：.N0DB=NB,

；AC=5C,

/.NA=NB,

:・N0DB=NA,

：.OD//AC9

：.ZODE=ZDEA=90°,

・・・DE为。。的切线；

(2)连接CD,

VZA=30°,AC=BC9」

r.ZBCA=120°,

•・,5C为直径，

:.ZA£>C=90°,

：.CD±ABf

：.ZBCD=60°f

•：OD=OC,

：.NDOC=60。，

・・・△DOC是等边三角形，

,:BC=4,

：.OC=DC=2,

**•SADOC—工DCX、A=

.•.弧DC与弦DC所围成的图形的面积=6°xnx4-G斗y.

3603

【点睛】

本题考查的知识点是等腰三角形的性质、切线的判定与性质以及扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握等腰三角

形的性质、切线的判定与性质以及扇形面积的计算.

8

19、(1)y=-----,y=-x-2(2)3(3)-4<xV0或x>2

'x

【解析】

试题分析：(1)将B坐标代入反比例解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式；将A坐标代入反比例解析式

求出n的值，确定出A的坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式;

(2)对于直线AB,令y=0求出x的值，即可确定出C坐标，三角形AOB面积=三角形AOC面积+三角形BOC面积,

求出即可；

(3)由两函数交点A与B的横坐标，利用图象即可求出所求不等式的解集.

加

试题解析：(1)VB(2)-4)在丫=一上，

X

.*.m=-1.

Q

J反比例函数的解析式为丫=-一,

X

Q

•・•点A(-4,n)在y=-----上，

X

:.n=2.

AA(-4,2).

；y=kx+b经过A(-4,2),B(2,-4),

J-4左+Z?=2

2左+b=-4'

解之得

b=—2

一次函数的解析式为y=-x-2.

(2)VC是直线AB与x轴的交点,

・••当y=0时，x=-2.

.•.点C(-2,0).

/.OC=2.

11

••SAAOB=SAACO+SABCO=X2X2HX2X4=3.

22

(3)不等式Ax+b<0的解集为：-4VxV0或x>2.

x

20、⑴/(2)

_J

【解析】

分析：(1)过点。作根据角平分线的性质得到根据正弦的定义列出方程，解方程即可;

(2)根据三角形的面积公式计算.

详解：(1)过点。作垂足为点”.平分/ABC,/C=90。，：.DH=DC=x,贝!J40=3-x.1ZC=90°,

AC=3,BC=4,：.AB=1.

,即CD二；

*•*二.-_-£.*.——I一-，f.

3一■JJ3

(2)

_JI.•・力=

♦:BD=2DE,：.

——'—

B

点睛：本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.

21、（1）①150；②作图见解析；③13.3%；（2）

9

【解析】

（1）①用“中评”、“差评”的人数除以二者的百分比之和即可得总人数；②用总人数减去“中评”、“差评”的人数可得“好

评”的人数，补全条形图即可；③根据“差评”的人数+总人数X100%即可得“差评”所占的百分比；

（2）可通过列表表示出甲、乙对商品评价的所有可能结果数，根据概率公式即可计算出两人中至少有一个给“好评”

的概率.

【详解】

①小明统计的评价一共有：（40+20）+（1-60%=150（个）；

②“好评”一共有150x60%=90（个），补全条形图如图1：

③图2中“差评”所占的百分比是：—xl00%=13.3%；

（2）列表如下：

好中差

好好，好好，中好，差

中中，好中，中中，差

差差，好差，中差，差

由表可知，一共有9种等可能结果，其中至少有一个给“好评”的有5种,

二两人中至少有一个给“好评”的概率是.

考点：扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法.

22、证明见解析

【解析】

试题分析：（1）根据已知求得NBDF=NBCD,再根据NBFD=NDFC,证明△BFDs/\DFC,从而得BF：DF=DF：

FC,进行变形即得；

EGBF

(2)由已知证明△AEGsaADC,得到NAEG二NADC=90。，从而得EG〃BC,继而得——=——

EDDF

由(1)可得空=2£,从而得空=空，问题得证.

DFCFEDCF

试题解析：(1)VZACB=90°,.'.ZBCD+ZACD=90o,

,:CD是RtAABC的高，,NADC=NBDC=90。，:.ZA+ZACD=90°,/.NA=NBCD,

；E是AC的中点，

/.DE=AE=CE,/.ZA=ZEDA,ZACD=ZEDC,

VZEDC+ZBDF=180°-ZBDC=90°,/.ZBDF=ZBCD,

XVZBFD=ZDFC,

.,.△BFD^ADFC,

/.BF：DF=DF：FC,

.,.DF2=BFCF；

(2)VAEAC=EDDF,

.AEAG

••—9

ADAC

又♦:4N=4A,

.,.△AEG^AADC,

/.ZAEG=ZADC=90°,

；.EG〃BC,

.EGBF

••—9

EDDF

由(1)知△DFDsADFC,

•BF_DF

••一9

DFCF

.EGDF

••一9

EDCF

AEGCF=EDDF.

23、(1)y-+2x—3

3.„,27

m=一一时，S最大为一

28

【解析】

试题分析：(1)先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式.

(2)设出M点的坐标，利用S=SAAOM+SAOB“-SAAOB即可进行解答；

(1)当03是平行四边形的边时，表示出尸。的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当03是对角

线时，由图可知点A与P应该重合，即可得出结论.

试题解析：解：(1)设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c(存0),

9a-3b+c=0

将A(-1,0),B(0,-1),C(1,0)三点代入函数解析式得：＜c=-3

a+b+c=Q

a=l

解得：(b=2,所以此函数解析式为：y=£+2x-3.

c=-3

(2)点的横坐标为机，且点M在这条抛物线上，点的坐标为：(m,nr+2m-3\

S=SAAOM+SAOBM-SAAOB=-xlx(-+Im—3)—xlx(-/n)--Xlxl="(ZTZH--)2H---,

22228

327

当时，S有最大值为：S=-