2024年高考数学一模试题分类汇编：解析几何（原卷版）（广东专用）

专题10解析几何

题型01圆的方程

1.(2024下•广东•省一模)过4—1,0),3(0,3),C(9,0)三点的圆与V轴交于N两点,则

\MN\=()

A.3B.4C.8D.6

2.(2024下•广东•佛山禅城一模)在平面直角坐标系中，已知5(3,2),。(3,0),则△/BC

的外接圆的标准方程为.

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22

3.（2024下广东深圳•联考模拟）在平面直角坐标系中，已知椭圆氏=+与=1（。>6>0）的离心率

ab

为与,左焦点厂（-2,0）,直线/：>=/与椭圆交于A,B两点，M为椭圆上异W于A,B的点.则椭

圆£的标准方程为；若”（-直,-1）,以为直径的圆尸过点W,则圆P的标准方程

为.

题型02直线与圆的位置关系式

1.（2024下•广东•广州市二中模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知M,N为圆/+y2=9上两点，

点力（1,2）,且AMLHN,则线段MN的长的取值范围是（）

A.[4-V2,4+V2]B.[V13-V2,V13+V2]

C.[4-V5,4+V5]D.[V13-V5,V13+V5]

2.（2024下•广东•百校联考）（多选）已知圆C"：（"一"）+/="（">°）,则下列结论正确的

是（）

A.无论〃为何值，圆Q都与y轴相切

B.存在整数〃，使得圆Q与直线y=x+2相切

C.当〃=5时，圆C“上恰有11个整点（横、纵坐标都是整数的点）

D.若圆Q上恰有两个点到直线y=X的距离为行，则20-2<〃<2拒+2

3.（2024下•广东中山•模拟）（多选）已知抛物线C：/=以的焦点为凡过点（一1,0）的直线/与

抛物线C交于4,8两点，设直线/的斜率为后，则下列选项正确的有（）

A.0<网<1

B.若以线段为直径的圆过点R贝!||48|=4行

C.若以线段N3为直径的圆与了轴相切，则|48|=3

D.若以线段为直径的圆与x轴相切，则该圆必与抛物线C的准线相切

4.（2024下•广东•茂名市一模）动点尸与两个定点0（0,0）,/（0,3）满足归建|=2归。|,则点尸到

直线/：加x—y+4-3加=0的距离的最大值为.

5.（2024下•广东•梅州市一模）已知圆C:（x—4『+「=5,点尸在抛物线T：「=4x上运动，

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过点尸引圆。的切线，切点分别为A,B,则|48|的取值范围为.

题型03圆与圆的位置关系式

1.（2024下广东•广州天河区一模）若直线"+加=1与圆0：/+72=1相切，则圆

（X—。）2+（了—6）2=；与圆。（）

A.外切B.相交C.内切D,没有公共点

2.（2024下广东东莞•模拟）已知圆£：/+（了-3>=8与圆。2：（》-。）2+/=8相交于，、8两点,

直线交无轴于点P,则S4g的最小值为（）

3927J23

A.-B.-C.—D.

2222

3.（2024下•广东清远•模拟）画法几何学的创始人一一法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切

的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.

已知椭圆］+/=1e>6>0）的蒙日圆是x2+F=/+〃，若圆（欠-3）2+。-4『=9与椭圆

土+/=1的蒙日圆有且仅有一个公共点，则用的值为（）

m

A.2或8B.3或63C,百或闹D.4或64

4.（2024下.广东深圳•联考）（多选）已知meR,集合N={（x,y）|s+y-l=0},

3=y）\2mx+2y-9=0},C=^x,y^x2+y2+2x-4y+l=0},O={（x,y）卜？+/-2x=o},则下

列结论一定成立的是（）

A.AcB=0B./cC/0C.BC\C=0D.CnD=0

5.（2024下•广东珠海•模拟）（多选）已知圆C1：（x-3）2+/=i,C2：x2+3-a）2=16,则下列结论正

确的有（）

A.若圆£和圆。2外离，则。>4

B.若圆G和圆。2外切，则°=±4

C.当a=0时，圆c和圆有且仅有一条公切线

D.当。=一2时，圆£和圆C2相交

题型04椭圆的离心率

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1.（2024下•广东•广州市一模）设民与分别是椭圆。：4+==1伍〉6〉0）的右顶点和上焦点，

ab

点尸在。上，且瓯=2可，则。的离心率为（）

.V3RV65_j__V3

r\tD•L.L/■

31322

22

2.（2024下•广东•茂名市一模）椭圆C：.+京=1（a〉6〉0）的左、右焦点分别为片,

F2,过片作垂直于x轴的直线/,交C于4,8两点，若|48|=|月月则C的离心率为（）

A.B.V2-1C.去—1D.2-V2

22

3.（2024下•广东•江门一模）设片，巴为双曲线C：=—1=1（a>0,6>0）的左、右焦点，点A

a~b"

为双曲线的左顶点，以4K为直径的圆交双曲线。的渐近线于M、N两点，且点M、N分别在

2

第一、三象限，若/MAN=—n,则双曲线的离心率为（）

3

A.gB.721。浮D.V15

4.（2024下•广东•佛山禅城一模）2020年12月17日，嫦娥五号的返回器携带1731克月球样本成功

返回地球，我国成为第三个实现月球采样返回的国家，中国人朝着成功登月又迈进了重要一步.下

图展示了嫦娥五号采样返回器从地球表面附近运行到月球表面附近的大致过程.点。表示地球中心,

点”表示月球中心.嫦娥五号采样返回器先沿近地球表面轨道作圆周运动，轨道半径约为地球半

径.在地球表面附近的点/处沿圆。的切线方向加速变轨后，改为沿椭圆轨道C运行，并且点。为

该椭圆的一个焦点.段时间后，再在近月球表面附近的点8处减速变轨作圆周运动，此时轨道半径

约为月球半径.已知月球中心与地球中心之间距离约为月球半径的222倍，地球半径约为月球半径

的3.7倍.则椭圆轨道C的离心率约为（）

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A.0.67B.0.77C.0.87D.0.97

5.（2024下•广东•番禺）（多选）已知椭圆3+%=1（0<6<3）的左、右焦点分别为片，耳，过点

片的直线/交椭圆于A,3两点，若的最小值为4,则（）

A.椭圆的短轴长为指

B.心|+忸最大值为8

c.离心率为立

3

D.椭圆上不存在点尸，使得/耳隼=90°

22

6.（2024下•广东广州•大联考）己知耳耳（c,0）分别为椭圆C：.+a=1（。〉6〉0）的

左、右焦点，过点P（3c,0）的直线/交椭圆。于/,8两点,若而=2百，|与目=3区山，则椭

圆C的离心率为.

题型05椭圆方程及直线与椭圆的位置关系

1.（2024下•广东•梅州市一模）如图，设片、与分别是椭圆的左、右焦点，点尸是以大名为直

径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长盟与椭圆交于点。，若|尸用=4|0工则直线PR

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A.--B.-1C.-2D.-3

2

2.（2024下•广东•省一模）已知直线/与椭圆C：工+匕=1在第一象限交于P,0两点，/与x

32~

\PM\\QM\\PN\\QN\

轴，V轴分别交于M,N两点，且满足房号+号号=*g，贝I"的斜率为______.

QMPMQNPN

3.（2024下•广东大湾区•校联考模拟预测）在直角坐标系xQy中，已知

2

G（-l,0）,C2（l,0）,P（x,J）,4qp-c7=3x.

（1）求点尸的轨迹C的方程；

⑵设直线/不过坐标原点且不垂直于坐标轴，/与。交于43两点，点M（X0,为）（%,%wo）为

弦的中点.过点M作/的垂线交C于。、E,N为弦。£的中点.

①证明：/与。N相交；

②已知/与直线ON交于T,若两=2而（2〉0）,求;I的最大值.

22

C:二+\=l（a〉b〉o）

4.（2024下•广东•百校联考）已知椭圆a~b-的左、右顶点分别是A,B,点、

小I①：］在椭圆°上，尸是椭圆C上异于点A,3的动点，且直线PZ,尸8的斜率之积为--4.

（1）求椭圆C的标准方程.

（2）过点（1,0）的直线/与椭圆。交于M,N（异于A,B）两点，直线与5N交于点。，

试问点。是否恒在一条直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.

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5.（2024下•广东・番禺）把半个椭圆与圆的一段圆弧拼凑于一起，我们把这种曲线称之为“扁圆”.现

22

有半椭圆G:三+3=1（x20,4〉6〉0）与圆弧。2：（xT）2+V=q2（x<0）组成扁圆，其中尸

为G的右焦点，4,4分别为“扁圆”与无轴的左右交点，4,当分别为“扁圆，，与y轴的上下交点，已

知/男方纥=120°,过尸的直线与“扁圆”交于P,。两点.

（1）求出G与G的方程；

⑵当44〃尸。时，求,0国；

6.（2024下•广东•广州天河区一模）已知直线/：y=1x,/,：y=—YZx，动点48分别在直线

1-22

Z1；/2±,\AB\=142,可是线段4B的中点，记点”的轨迹为曲线

（1）求曲线「的方程；

（2）已知点尸（-2,1）,过点尸作直线/与曲线「交于不同的两点C,。，线段C£>上一点。满足

|PC|\QC\..

匹｝=鬲求|。。|的最小值.

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226

7.（2024下•广东•江门一模）己知椭圆E:j+4=l（a〉b〉0）的离心率是火，过点M（2,o）的

ab3

动直线/与椭圆相交于A,B两点，当直线/与x轴垂直时，直线/被椭圆E截得的线段长为述.

3

（1）求椭圆£的方程;

|W|\MA\

（2）是否存在与点W不同的定点N,使得扁=晶恒成立?若存在，求出点N的坐标；若不

存在，请说明理由.

22

8.已知椭圆。a+今=l（a>b>0）的上、下顶点分别是4B,点、P（异于4B两点）在椭圆C上，

直线P2与PB的斜率之积为-半椭圆C的短轴长为4.

⑴求C的标准方程；

（2）已知7（0,1）,直线PT与椭圆C的另一个交点为Q,且直线4P与BQ相交于点。，证明：点。在定直线

上.

题型06双曲线的性质

2

1.（2024下•广东•省一模）双曲线上-1?=1的顶点到其渐近线的距离为（）

3•

D.2

A.V3B.1

3

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22

2.（2024下•广东广州市二中模拟）已知双曲线C京一看=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为％,F2,

过&的直线交双曲线。的右支于BQ两点，若比而,且|配|二|砧|，则双曲线C的离心率为

（）

A.3B.4C.6D.2

2222

3.（2024下•广东•梅州市一模）如果双曲线二-4=1的离心率为2,那么椭圆=+'=1的

mnmn

离心率为（）

aLR^2V3nV6

2223

22

4.（2024下•广东•深圳市一模）已知双曲线£：二—二=1伍〉01〉0）的左、右焦点分别为

ab

F[,F?,过点心的直线与双曲线E的右支交于48两点，若|48|=|2用，且双曲线E的离心率为

42，则cosNBAF]=（）

3^/7311

A.一一—B.——C.-D.——

8488

5.（2024下•广东・广州天河区一模）（多选）双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平

22

分该点与两焦点连线的夹角.设。为坐标原点，双曲线C:六-%=1（6>0）的左右焦点分别为

月典,右顶点A到一条渐近线的距离为2,右支上一动点P处的切线记为/,则（）

A,双曲线。的渐近线方程为y=±gx

B.双曲线C的离心率为场

5

C当尸修，x轴时，|丑闻=皿5

,2

D.过点片作片K，/,垂足为K,|OK|=2j$

6.（2024下•广东•江门一模）（多选）已知曲线£：必^+幽=1,则下列结论正确的是（）

48

A.歹随着x增大而减小

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B.曲线E的横坐标取值范围为[-2,2]

C.曲线E与直线y=-L4x相交，且交点在第二象限

D.〃（演，九）是曲线E上任意一点，则|岳。+为|的取值范围为（0,4]

22

。:飞―台=1（。>。/>0）直F

7.（2024下•广东•百校联考）已知双曲线ab的左、右焦点分别为4,r2,

过点片的直线/与双曲线C的两支分别交于A,3两点.若&B=3BF\,且I典|=此1,则双曲

线°的离心率是.

题型07直线与双曲线的位置关系

22

1.（2024下•广东大湾区•校联考模拟预测）已知点尸是曲线「：土—乙=1在第一象限内的一点，

44

/为「的左顶点，R为期的中点，尸为「的右焦点.若直线OR（。为原点）的斜率为V5，则AP4F

的面积为（）

A.V10+V5B.V10-V5C.372+3D.3A/2-3

2.（2024下•广东・番禺）已知双曲线C：.一%=1（。〉0）〉0）的左，右焦点分别为耳，O

为坐标原点，点尸是双曲线。上的一点，|。刊=|。5|,且△产用的面积为4,则实数6=（）

A.V2B.2C.2A/2D.4

22

3.已知双曲线E：二—匕=1（a>0）的左焦点为E,A,B分别为双曲线的左、右顶点，顶点

a23

到双曲线的渐近线的距离为Y3.

2

（1）求E的标准方程；

（2）过点8的直线与双曲线左支交于点尸（异于点A）,直线AP与直线/：x=—1交于点M,ZPFA

的角平分线交直线/于点N,证明：N是的中点.

22

4.（2024下•广东湛江•高三一模）已知P（4,3）为双曲线C：=—==1,>0/>0）上一点，M,N

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分别为双曲线C的左、右顶点，且直线PM与PN的斜率之和为2.

（1）求双曲线。的方程；

（2）不过点p的直线/:y=依+/与双曲线。交于48两点，若直线P4PB的倾斜角分别为a和

3兀

B,且a+月=彳，证明：直线/过定点.

5.（2024下广东广州市一模）已知O为坐标原点，双曲线C：=-4=l（a〉0,6〉0）的焦距为4,

ab

且经过点（、历，百）.

（1）求。的方程；

（2）若直线/与。交于45两点，且方.砺=0,求|48|的取值范围；

（3）已知点P是C上的动点，是否存在定圆0:/+；/=/2。〉0）,使得当过点？能作圆。的两

条切线尸时（其中M,N分别是两切线与C的另一交点），总满足1PMi=|PN|?若存在，求

出圆。的半径人若不存在，请说明理由.

题型08抛物线

1.（2024下•广东广州市二中模拟）动圆M经过定点P（4,-1）,且与y轴相切，则圆心M的轨迹为（）

A.圆B.椭圆

C.双曲线D.抛物线

2.（2024下•广东•广州天河区一模）若抛物线C:/=>0）上一点M（2,加）到焦点的距离为3,

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贝"=()

A.6B.4C.2D.1

3.（2024下•广东•百校联考）跃鲤桥，为单孔石拱桥，该石拱桥内侧曲线呈抛物线型，如图.当水

面宽度为24米时，该石拱桥的拱顶离水面的高度为12米，若以该石拱桥的拱顶为坐标原点，桥面

为x轴（不考虑拱部顶端的厚度），竖直向上为了轴正方向建立直角坐标系，则该抛物线的焦点坐标

是（）

A.（0,-3）B,（0,-6）c,（0,-12）D,（0,-24）

4.（2024下•广东•茂名市一模）（多选）过抛物线C：的焦点/作直线/交c于48两点，

则（）

A.0的准线方程为'=-2

B.以42为直径的圆与°的准线相切

3

C.若以0=5,则线段28中点的横坐标为5

D.若1ABl=矢则直线/有且只有一条

Y2

5.（2024下•广东大湾区•校联考模拟预测）若圆C与抛物线「：y=土在公共点3处有相同的切线,

6

且。与了轴切于T的焦点贝|sin-^=.

6.如图，己知抛物线C:/=4y,其上有定点4-2,1）,8（6,9）,动点尸在抛物线上，且点P位

于点2之间的曲线段上（不与点A,8重合），过点8作直线NP的垂线，垂足为Q.

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（1）若点P是2。的中点，求点尸的坐标.

（2）求证：忸无最大值.

题型09动点轨迹方程

1.（2024下•广东•深圳模拟）已知/（-2,0）,8（2,0）,设点P是圆f+/=1上的点，若动点。满足:

QPPB=Q,方=九1湛而+由而J,则0的轨迹方程为（）

222

A.x-^=lB.—-7=1C.—+y=lD.—+^=1

335-62

jr

2.（2024下广东广州•模拟）（多选）直四棱柱/8CD-44GA的所有棱长都为4,NBAD时,点、

P在四边形瓦及其内部运动，且满足|尸/|+|尸。=8,则下列选项正确的是（）

A.点尸的轨迹的长度为工

B.直线/尸与平面瓦》）由所成的角为定值.

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c.点尸到平面/，4的距离的最小值为坦.

7

D.可•西的最小值为-2.

3.（2024下•广东・广州市一模）已知曲线。是平面内到定点/（0,-2）与到定直线l:y=2的距离之

和等于6的点的轨迹，若点尸在C上，对给定的点T（-2J）,用加Q）表示|PR|+|PT|的最小值，

则m（t）的最小值为.

4.（2024下•广东东莞•模拟）已知平面上一动点尸到定点/（g,。］的距离比到定直线x=-2023的距

离小”40子45，记动点尸的轨迹为曲线C.

2

（1）求。的方程；

⑵点/（2,1）,/,N为C上的两个动点，若5恰好为平行四边形M4g的其中三个顶点，且该

平行四边形对角线的交点在第一、三象限的角平分线上，记平行四边形的面积为S,求证：

SM巫.

9

5.（2024下•广东广州・模拟）在“3C中，己知见-1,0）,C（l,0）,设G,H,甲分别是“3C的重心、

垂心、外心，且存在2eR使曲=2前.

（1）求点A的轨迹r的方程；

（2）求“3C的外心平的纵坐标机的取值范围；

⑶设直线/用与：T的另一个交点为记△/少G与AMGH的面积分别为H，邑，是否存在实数彳使

S7

寸=不？若存在，求出2的值；若不存在，请说明理由.

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题型10圆锥曲线创新题型

1.（2024下•广东•梅州市一模）如图，正四棱柱43co—44G。中，24=248=2,点p是

面上的动点，若点尸到点。的距离是点P到直线48的距离的2倍，则动点P的轨迹是

（）的一部分

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

2.（2024下•广东•梅州市一模）（多选）如图，是连接河岸N3与0c的一座古桥，因保护古

迹与发展的需要，现规划建一座新桥5C,同时设立一个圆形保护区.规划要求:

①新桥与河岸AB垂直；

②保护区的边界为一个圆，该圆与相切，且圆心M在线段。4上；

③古桥两端。和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.

4

经测量，点4c分别位于点。正北方向60m、正东方向170m处，tan/8C0=§.根据图中所给

的平面直角坐标系，下列结论中，正确的是（）

A.新桥的长为150m

B.圆心/可以在点A处

C.圆心V到点。的距离至多为35m

D.当。〃长为20m时，圆形保护区的面积最大

3.（2024下•广东东莞•模拟）已知以下事实：反比例函数y=七（左彳0）的图象是双曲线，两

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条坐标轴是其两条渐近线.

(1)(i)直接写出函数y=二-的图象孰的实轴长；

2x

TT

(ii)将曲线孰绕原点顺