重难点06 二次函数中四边形的存在性问题（解析版）

重难点06二次函数中四边形的存在性问题技巧技巧方法类型一：已知三点的平行四边形问题知识内容：已知三点后，其实已经固定了一个三角形（平行四边形的一半），如图．第四个点M则有3种取法，过3个顶点作对边的平行线且取相等长度即可（如图中3个M点）．解题思路：根据题目条件，求出已知3个点的坐标；用一点及其对边两点的关系，求出一个可能点；更换顶点，求出所有可能的点；根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．类型二：存在动边的平行四边形问题知识内容： 在此类问题中，往往是已知一条边，而它的对边为动边，需要利用这组对边平行且相等列出方程，进而解出相关数值．更复杂的有，一组对边的两条边长均为变量，需要分别表示后才可列出方程进行求解．解题思路：找到或设出一定平行的两条边（一组对边）；分别求出这组对边的值或函数表达式；列出方程并求解；返回题面，验证求得结果．能力拓展能力拓展一、填空题1．（2020·浙江·九年级期中）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于另一点（点在对称轴左侧），点在的延长线上，连结和．当四边形是平行四边形时，则点的坐标为_______．【答案】【分析】过C作y轴的垂线，过A、B作x轴的垂线，它们相交于E、F两点，可证明△AEC∽△BFC，得出，设点B的横坐标为3a，则点A的横坐标为-5a，根据平行四边形对角线互相平分和两点之间中点公式可求得a的值，可表示A点纵坐标，再根据相似表示B点纵坐标，根据两点之间中点公式可求得c，从而求得点A坐标．【详解】解：∵抛物线的解析式为，∴顶点坐标D为，，如图所示，过C作y轴的垂线，过A、B作x轴的垂线，它们相交于E、F两点，∵AE和BF与x轴垂直，∴AE//BF，∴△AEC∽△BFC，设点B的横坐标为3a，∵，∴，∴A的横坐标为-5a，若四边形AOBD是平行四边形，∴，解得，∴，当x=-5时，，即，∴，,∴B点的纵坐标为，∴，解得，∴．故答案为：．【点睛】本题考查二次函数综合．主要考查相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质．正确构造辅助线，作出相似三角形，并利用相似三角形的性质表示点的坐标或者线段的长度是解题关键．二、解答题2．（2020·浙江温州·模拟预测）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作轴交l于点D，轴交l于点E，求的最大值；(3)设F为直线l上的点，点P仍在直线l下方的抛物线上，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．【答案】(1)，(2)最大值是3，(3)能，或【分析】（1）先确定出点B、C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）先设出点P的坐标，进而得出点D、E的坐标，即可得出的函数关系式，即可得出结论；（3）分AB为边和对角线两种情况，利用平行四边形的性质即可得出结论．(1)解：∵直线与x轴、y轴分别交于点B、C，∴、，∵点、C在抛物线解上，∴，解得：，∴抛物线的解析式为．(2)∵点P在直线l下方的抛物线上，设，∵轴，轴，点D，E都在直线上，∴，，∴，，∴，即：，∴当时，的最大值是3．(3)能，理由如下：∵抛物线的解析式为，令，解得：或，∴，，∴，如图，若以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形，当以AB为边时，则且，设，则，∴，解得：或与A重合，舍去，∴，当以AB为对角线时，连接交AB于点G，则，，设，∵，，∴，∴，∴，作于点M，于点N，则，，设，则，∴，解得：或与A重合，舍去，∴，综上所述，以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形，此时点F的坐标为或．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数极值的确定方法，平行四边形的性质，二元一次方程组，一元二次方程，中点坐标，两点间距离公式等知识．用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．3．（2022·浙江湖州·一模）如图已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交二次函数的图象于点B，连接．(1)求该二次函数的表达式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向上平移个单位，使平移后每到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围；(3)若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)二次函数解析式为，点M的坐标为（1，-5）(2)(3)当点Q的横坐标为时，四边形CEQP为顶点的四边形为菱形【分析】（1）将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，进而求得该二次函数的表达式，通过配方法得到点M的坐标；（2）点M是沿着对称轴直线向上平移的，可先求出直线AC的解析式，将代入求出点M在向上平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；（3）由题意分析可得，设点坐标，根据菱形的性质，列方程求解，即可求出点Q坐标．(1)解：把点A（3，-1），点C（0，-4）代入二次函数得：，解得：，∴二次函数解析式为，配方得，∴点M的坐标为（1，-5）；(2)解：设直线AC解析式为，把点A（3，-1），点C（0，-4）代入得：，解得：，∴直线AC的解析式为，如图所示，对称轴直线与△ABC两边分别交于点E、点F，把代入直线AC解析式，得：，∴点E坐标为（1，-3），点F坐标为（1，-1），∴，解得：；(3)解：存在点Q使以C、E、P、Q为顶点的四边形为菱形，理由如下：如图，由题意可知，且，过点P作轴于点H，直线AB与y轴交于点D设点P坐标为（m，m-4）则点Q坐标为（m，）∴AD=CD=3∴为等腰直角三角形∴∴CH=PH=m根据勾股定理可知∵∴解得（舍）∴点Q的横坐标为∴当点Q的横坐标为时，四边形CEQP为顶点的四边形为菱形【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的平移、菱形的判定及其性质，掌握以上知识点是解题的关键．4．（2020·浙江温州·九年级阶段练习）如图，抛物线y＝﹣x2＋2x＋3与y轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相较于点C，顶点为D．(1)直接写出A、B、C三点的坐标；(2)连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；①用含m的代数式表示PF的长，并求出当m为何值时四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．【答案】(1)A（-1，0），B（3，0），C（0，3）(2)①当m=2时，四边形PEDF为平行四边形②S=-m2+m（0≤m≤3）【分析】（1）已知了抛物线的解析式，当y=0时可求出A，B两点的坐标，当x=0时，可求出C点的坐标．（2）①PF的长就是当x=m时，抛物线的值与直线BC所在一次函数的值的差．可先根据B，C的坐标求出BC所在直线的解析式，然后将m分别代入直线BC和抛物线的解析式中，求得出两函数的值的差就是PF的长．根据直线BC的解析式，可得出E点的坐标，根据抛物线的解析式可求出D点的坐标，然后根据坐标系中两点的距离公式，可求出DE的长，然后让PF=DE，即可求出此时m的值．②可将三角形BCF分成两部分来求：一部分是三角形PFC，以PF为底边，以P的横坐标为高即可得出三角形PFC的面积．一部分是三角形PFB，以PF为底边，以P、B两点的横坐标差的绝对值为高，即可求出三角形PFB的面积．然后根据三角形BCF的面积=三角形PFC的面积+三角形PFB的面积，可求出关于S、m的函数关系式．(1)解：令y=0，则0=-x2+2x+3，解得：x=-1或3，∵抛物线y=-x2+2x+3与x相交于AB（点A在点B左侧），∴A（-1，0），B（3，0），令x=0，则y=3，∵抛物线与y轴相交于点C，∴C（0，3）．(2)解：①设直线BC的函数关系式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，3）分别代入，得，解得：，∴直线BC的函数关系式为y=-x+3．当x=1时，y=-1+3=2，∴E（1.2）．当x=m时，y=-m+3，∴P（m，-m+3）在y=-x2+2x+3中，当x=1时，y=4，∴D（1，4）．当x=m时，y=-m2+2m+3，∴F（m，-m2+2m+3），∴线段DE=4-2=2，线段PF=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m，∵PFDE，∴当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形．由-m2+3m=2，解得m=2或m=1（不合题意，舍去）．因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得OB=OM+MB=3．∵S=S△EPF+S△CPF，即S=PF•BM+PF•OM=PF（BM+OM）=PF•OB，∴S=×3（-m2+3m）=-m2+m（0≤m≤3）.【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，根据二次函数得出相关点的坐标是解题的基础，其中用到的知识点有平行四边形的判定和性质、解一元二次方程、用待定系数法确定一次函数的解析式，三角形面积公式的运用．5．（2021·浙江·嘉兴一中一模）已知抛物线y＝a（x－m）2＋n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D．若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线．(1)如图1，求抛物线y＝（x－3）2＋1的伴随直线的解析式．(2)如图2，若抛物线y＝a（x－m）2＋n（m＞0）的伴随直线是y＝x－3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式．(3)如图3，若抛物线y＝a（x－m）2＋n的伴随直线是y＝－2x＋b（b＞0），且伴随四边形ABCD是矩形．①用含b的代数式表示m、n的值；②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标（用含b的代数式表示）；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)①；；②存在，（，）；（，）；（，）；（，）【分析】（1）利用抛物线y=（x﹣3）2+1的与y轴交于点A（0，10），它的顶点为点B（3，1），求出直线解析式即可；（2）首先得出点A的坐标为（0，-3），以及点C的坐标为（0，3），进而求出BE=3，得出顶点B的坐标求出解析式即可；（3）①由已知可得A坐标为（0，b），C点坐标为（0，﹣b），以及n=﹣2m+b，即点B点的坐标为（m，﹣2m+b），利用勾股定理求出；②利用①中B点坐标，以及BD的长度即可得出P点的坐标．(1)解：由抛物线y＝a（x-m）2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，∴抛物线y＝（x-3）2+1的与y轴交于点A（0，10），它的顶点为点B（3，1），设所求直线解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴所求直线解析式为y＝-3x+10；(2)如图，作BE⊥AC于点E由题意得四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为（0，-3），点C的坐标为（0，3），可得：AC＝6，∵平行四边形ABCD的面积为24，∴S△ABC＝12即S△ABC＝AC•BE＝12，∴BE＝3，∵m＞0，即顶点B在y轴的右侧，且在直线y＝x-4上，∴顶点B的坐标为（3，-1），又抛物线经过点A（0，-4），∴a＝-，∴y＝-（x-3）2-1；(3)①如图，作BF⊥x轴于点F由已知可得A坐标为（0，b），C点坐标为（0，-b），∵顶点B（m，n）在直线y＝-2x+b（b＞0）上，∴n＝-2m+b，即点B点的坐标为（m，-2m+b），在矩形ABCD中，CO＝BO．∴b＝，∴b2＝m2+4m2-4mb+b2，∴m＝b，n＝-2×b+b＝-b，②∵B点坐标为（m，n），即（b，-b），∴BO＝＝b，∴BD＝2b，当BD＝BP，∴PF＝2b-b＝b，∴P点的坐标为（b，b）；如图3，当DP＝PB时，过点D作DE⊥PB，于点E，∵B点坐标为（b，-b），∴D点坐标为（-b，b），∴DE＝b，BE＝b，设PE＝x，∴DP＝PB＝b+x，∴DE2+PE2＝DP2，∴+x2＝（b+x）2，解得：x＝b，∴PF＝PE+EF＝b+b＝b，∴此时P点坐标为：（b，b）；同理P可以为（b，-b）；（b，b），故P点坐标为：（b，b）；（b，b）；（b，-b）；（b，b）．【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，根据题意，认真审题是解题的关键.6．（2022·浙江台州·模拟预测）如图，抛物线的图象经过点C(0，2)，交x轴于点A(﹣1，0)和B，连接BC，直线y＝kx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．(1)求抛物线的表达式及点B的坐标；(2)求的最大值及此时点E的坐标；(3)在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，B(4，0)(2)2，(2，3)(3)或或或【分析】（1）运用待定系数法将点A，C的坐标代入求出抛物线解析式，再根据点B在x轴上，令y=0，即可求出点B的坐标；（2）由题意知，点E位于y轴右侧，作EGy轴交BC于点G，根据平行线截线段成比例可得，由于CD=1，即可将求的最大值转化为求EG的最大值，应用两点间距离公式即可；（3）设M(n，n+1)，用含m的代数式表示出BD，DM，BM，再根据以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形分两种情况：以BD为边，BD=DM或BD=BM；以BD为对角线；分别进行讨论即可．(1)解：设B，将A(-1，0)，C(0，2)代入中，得，解得∴抛物线的解析式为∵点B在x轴上，∴将代入得∴(不合题意，舍去)∴B(4，0)(2)由题意得，点E在y轴右侧，作EGy轴交BC于点G，如图∴CDEG∴∵直线y=kx+1与y轴交于点D∴D(0，1)∴CD=2-1=1∴设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0)将B(4，0)，C(0，2)代入，得，解得∴设直线BC的解析式为设点E(t，)，则G(t，)(0<t<4)∴EG=()-()==∴∵∴当t=2时，的值最大，最大值为2∴点E的坐标为(2，3)(3)设直线DE的解析式为y=kx+B，将D(0，1)，E(2，3)代入，得，解得∴直线DE的解析式为y=x+1设M(n，n+1)∴∵以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形∴分两种情况：BD为边和BD为对角线①BD为边MN=DM=BD(如图1)或MN=BM=BD(如图2)∴或即或解得(舍去)∴或或②BD为对角线，如图3设BD的中点为Q，则Q(2，)∵四边形BMDN是菱形∴MN⊥BD，QB=QD=∴即解得∴综上所求，点M的坐标为或或或．【点睛】本题考查了二次函数综合题型，待定系数法，菱形性质，平行线截线段成比例，勾股定理等知识点，综合性较强，有一定难度，熟练掌握待定系数法，二次函数图象和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想，方程思想和分类讨论思想是解题关键．7．（2016·浙江·海盐县滨海中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形（要求），直接写出相应的点Q的坐标．【答案】(1)(2)：当m＝﹣2时，S的最大值为4(3)或或（﹣4，4）．【分析】（1）先假设出函数解析式，利用待定系数法求解函数解析式即可；（2）设出M点的坐标，利用S＝S△AOM+S△OBM﹣S△AOB，即可进行解答；（3）由，则OB，PQ是平行四边形的边，根据平行四边形的对边相等，列出方程求解即可．(1)解：设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），将A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点代入函数解析式得：，解得，所以此函数解析式为：；(2)解：连接∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，∴M点的坐标为，∴S＝S△AOM+S△OBM﹣S△AOB＝×4×（﹣m+4）+×4×（﹣m）﹣×4×4＝﹣（m+2）2+4，∵﹣4＜m＜0，当m＝﹣2时，S有最大值为：S＝0+4＝4．答：m＝﹣2时，S的最大值为4；(3)解：设P（x，x2+x﹣4）．根据平行四边形的性质知，且PQ＝OB，则OB，PQ为平行四边形的边，∴Q的横坐标等于P的横坐标，又∵直线的解析式为y＝﹣x，则Q（x，﹣x）．由PQ＝OB，得，整理得：所以或解得x＝0或﹣4或（不符合题意，舍去）．由此可得：或或（﹣4，4）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、面积的计算等，有一定的综合性，熟练的利用二次函数的性质与平行四边形的性质解题是关键．8．（2022·浙江金华·一模）如图，把两个全等的和分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F，抛物线经过O、A、C三点．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)点G为抛物线上位于线段OC所在直线上方部分的一动点，求G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标；(3)点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM的边AM与边BP相等？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)G点到直线OC的最大距离为，此时G(2，4)(3)存在，P点的坐标为【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求得直线OC的解析式，再利用二次函数的性质求解即可；（3）确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解．(1)解：由题意：A(2，4)，C(4，2)，O(0，0)，因为抛物线y=ax2+bx+c经过点O，A，C，∴，解得，，，∴抛物线解析式为；(2)解：连接GO，GC，过G点作x轴的垂线交OC于点K，GH⊥OC于点H．令G点的横坐标为m（0<m<4），则G(m，−m2+m)．设直线OC的解析式为y=kx+b，把C(4，2)，O(0，0)代入得：b=0，4k+b=2，k=，∴直线OC的解析式为y=x，则K(m，m)∴，当时，的值最大为6，此时GH的值为最大，，∴，，∴G点到直线OC的最大距离为，此时G(2，4)；(3)解：存在．如图所示，过点M作于点R，过点P作于点T．由题意：，∴MR=PT，∵AM=BP，∴．∴设点M的横坐标为t，则．由（2）知：直线OC的解析式为，则∴，当时，解得：，（不合题意，舍去）；当时，无实数解．∴，此时∴P点的坐标为．【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的最值、相似三角形，涉及到的知识点众多，难度较大，对学生能力要求较高，有利于训练并提升学生解决复杂问题的能力．9．（2020·浙江宁波·九年级期中）如图，抛物线y＝﹣与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．(1)求点A、点B、点C的坐标；(2)求直线BD的解析式；(3)当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；(4)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）(2)y＝x﹣2(3)当m＝2时，四边形CQMD是平行四边形(4)存在，（3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）【分析】（1）根据函数解析式列方程即可得到结论；（2）由点C与点D关于x轴对称，得到D（0，﹣2），解方程即可得到结论；（3）如图1所示：根据平行四边形的性质得到QM＝CD，设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），则M（m，m﹣2），列方程即可得到结论；（4）设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），分两种情况：①当∠QBD＝90°时，根据勾股定理列方程求得m＝3，m＝4（不合题意，舍去），②当∠QDB＝90°时，根据勾股定理列方程求得m＝8，m＝﹣1，于是得到结论．(1)解：∵令x＝0得；y＝2，∴C（0，2）．∵令y＝0得：﹣x2+x+2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4．∴A（﹣1，0），B（4，0）．(2)解：∵点C与点D关于x轴对称，∴D（0，﹣2）．设直线BD的解析式为y＝kx﹣2．∵将（4，0）代入得：4k﹣2＝0，∴k＝．∴直线BD的解析式为y＝x﹣2．(3)解：如图1所示：∵，∴当QM＝CD时，四边形CQMD是平行四边形．设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），则M（m，m﹣2），∴﹣m2+m+2﹣（m﹣2）＝4，解得：m＝2，m＝0（不合题意，舍去），∴当m＝2时，四边形CQMD是平行四边形；(4)解：存在，设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），∵△BDQ是以BD为直角边的直角三角形，∴①当∠QBD＝90°时，由勾股定理得：BQ2+BD2＝DQ2，即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2+20＝m2+（﹣m2+m+2+2）2，解得：m＝3，m＝4（不合题意，舍去），∴Q（3，2）；②当∠QDB＝90°时，由勾股定理得：BQ2＝BD2+DQ2，即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2＝20+m2+（﹣m2+m+2+2）2，解得：m＝8，m＝﹣1，∴Q（8，﹣18），（﹣1，0），综上所述：点Q的坐标为（3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）．【点睛】此题考查了求抛物线与坐标轴的交点，求一次函数的解析式，平行四边形的性质，解一元二次方程，勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，综合掌握各知识点并应用解决问题．10．（2020·浙江·浣江教育九年级期中）如图，已知抛物线的图象经过点，，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线上点B和点D之间是否存在一点H使得四边形OBHC的面积最大，若存在求出四边形OBHC的最大面积，若不存在，请说明理由．（3）直线BD上有一点P，使得时，过P作轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．【答案】（1）；（2）存在，；（3）点M的坐标为，，，【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出C、D的坐标，设点，即可得到，由此求解即可；（3）先求出E点坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，利用求出P点坐标，设设，则，，利用建立方程求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线的图象经过点，∴，∴，∴抛物线的解析式为；（2）当时，，所以点，当时，所以点设点所以当时，．（3）由（1）知，抛物线的解析式为；∴，抛物线的顶点，∴，设直线BD的解析式为，∴，∴∴直线BD的解析式为，设点，∵，，根据勾股定理得，，，∵，∴∴，∴，∴，如图，作轴于F，∵，设，则，∴以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形，必有，∴∴或，∴点M的坐标为，，，．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，两点距离公式等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．11．（2022·浙江·舟山市定海区第七中学一模）【基础巩固】（1）如图1，AC∥DF，Rt△ABC≌Rt△DEF，连结AD，BE，求证：四边形ABED是平行四边形．【尝试应用】（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B的坐标分别是A（1，3），B（4，1），点C在x轴上，点D在y轴上．若以AB为边，其余两个顶点为C，D的四边形是平行四边形，求点C，D的坐标．【拓展提高】（3）如图3，抛物线y＝x2﹣4x+3与直线y＝x+3交于C，D两点，点E是抛物线上任意一点，在对称轴上是否存在点F，使得以CD为边，其余两个顶点为E，F的四边形是平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）C（3，0），D（0，2）或C（-3，0），D（0，-2）；（3）点E的坐标为（，）或（7，）．【分析】（1）由AC∥DF，得到∠CAD+∠ADF=180°，再全等三角形的性质得到∠BAC=∠EDF，AB=DE，从而得到∠BAD+∠ADE=180°，即可得到四边形ABED是平行四边形；（2）分点C、D都在坐标轴正半轴和在坐标轴负半轴时两种情况讨论，利用AAS证明三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解；（3）解方程组确定C（5，8），D（0，3），设E（m，），D（2，n），分两种情况讨论，利用平行四边形对角线交点坐标相同，求解即可．【详解】（1）证明：∵AC∥DF，∴∠CAD+∠ADF=180°，∵Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠BAC=∠EDF，AB=DE，∴∠BAD+∠ADE=180°，∴AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形；（2）当点C、D都在坐标轴正半轴时，如图，过点A作AM⊥y轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，连接AC，∵AM∥ON，∴∠MAC=∠ACN，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠MAD=∠BCN，在△AMD与△BCN中，，∴△AMD≌△BCN(AAS)，∴AM=CN=1，MD=BN=1，∴OD=2，OC=3，∴C（3，0），D（0，2）；当点C、D都在坐标轴负半轴时，如图，过点A作AP⊥x轴于P，过点B作BQ⊥y轴于Q，同理可证△APC≌△DQB(AAS)，∴AP=QD=3，CP=BQ=4，∴OD=2，OC=3，∴C（-3，0），D（0，-2）；综上，点C，D的坐标为C（3，0），D（0，2）或C（-3，0），D（0，-2）；（3）存在，理由如下：解方程组，得或，∴C（5，8），D（0，3），抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为，∵以CD为边，其余两个顶点为E，F的四边形是平行四边形，显然，点E，F在边CD的上方，设E（m，），D（2，n），当DE为对角线时，则D、E与F、C的中点坐标相同，则，解得：，则，∴E（7，）；当DF为对角线时，则D、F与E、C的中点坐标相同，则，解得：，则，∴E（，）；综上，点E的坐标为（，）或（7，）．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、轴对称的性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中正确运用平行四边形的判定定理是解题的关键，在（2）中利用全等三角形的判定求得AM=CN=1，MD=BN=1是解题的关键，在（3）中确定出E、F的位置是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．12．（2021·浙江金华·九年级期中）如图，已知抛物线经过，两点，交轴于点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接，求直线的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标，并求出此时的最小值；（4）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）直线的解析式为；（3），此时的最小值为；（4）存在，或．【分析】（1）把点A、B的坐标代入求解即可；（2）设直线的解析式为，然后把点B、C的坐标代入求解即可；（3）由题意易得点A、B关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称的性质可得，要使的值为最小，则需满足点B、P、C三点共线时，即为BC的长，然后问题可求解；（4）由题意可设点，然后可分①当AC为对角线时，②当AM为对角线时，③当AN为对角线时，进而根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解．【详解】解：（1）∵抛物线经过，两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）由（1）可得抛物线的解析式为，∵抛物线与y轴的交点为C，∴，设直线的解析式为，把点B、C的坐标代入得：，解得：，∴直线的解析式为；（3）由抛物线可得对称轴为直线，由题意可得如图所示：连接BP、BC，∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，∴，∴，要使的值为最小，则需满足点B、P、C三点共线时，即为BC的长，此时BC与对称轴的交点即为所求的P点，∵，∴，∴的最小值为，∵点P在直线BC上，∴把代入得：，∴；（4）存在，理由如下：由题意可设点，，当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则可分：①当AC为对角线时，如图所示：连接MN，交AC于点D，∵四边形ANCM是平行四边形，∴点D为AC、MN的中点，∴根据中点坐标公式可得：，即，解得：，∴；②当AM为对角线时，同理可得：，即，解得：，∴；③当AN为对角线时，同理可得：，即，解得：，∴；∴综上所述：当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与图象是解题的关键．13．（2021·浙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求A、C两点的坐标；（2）当为轴对称图形时，求抛物线的解析式；（3）当关于y轴成轴对称时，若点M、N是抛物线上的动点，且有轴，点P是x轴上的动点，在坐标平面内是否存在一点Q，使以M、N、P、Q为顶点的四边形构成正方形？若存在，求出Q点坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）当时，；当时，；当时，；；（3）存在，；；；．【分析】（1）分别令代入解析式求出坐标即可；（2）当为轴对称图形时时，要进行分论讨论所有存在的情况，求出点的坐标，根据两根式求出解析式；（2）利用分论讨论思想和图形关于轴的对称性来求解．【详解】解：（1）当时，，解得：；当时，；，（2）当时，有一种情况：设，，由两点间距离公式得：，解得：（与重合，舍去）、、根据两根式，设抛物线的解析式为：，将点代入上式，解得：，当时，有一种情况：同理：设，，由两点之间的距离公式得：，解得：，、、由两根式，设抛物线的方程为：，将点代入上式，解得：，当时，有两种情况：同理：设，，由两点之间的距离公式得：，解得：，分论如下：、、由两根式，抛物线的方程设为：，将点代入上式，解得：，、、由两根式，抛物线的方程设为：，将点代入上式，解得：，（3）由（2）知，抛物线解析式为当为正方形一边时，设，，①当在x轴上方，且为正方形一边时，，根据对称性；有；②当在x轴下方，且为正方形一边时，，根据对称性：有；当为正方形对角线时时，设，解得：，③当在x轴上方，且为正方形对角线时，，有；④当在x轴下方，且为正方形对角线时，，有．【点睛】本题考查了求解函数与坐标轴的交点坐标，分类讨论求解二次函数的解析式，动点问题，是函数与几何问题的综合题型，题目较难，解题的关键是：利用数形结合的思想，进行分类讨论，逐一解决．14．（2020·浙江·九年级期中）如图，已如在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是点关于轴的对称点，抛物线经过点和点，与直线交于点．（1）求和的坐标，并求出抛物线的函数表达式；（2）点是直线下方的抛物线上的一动点，连结．求的最大面积并写出点的坐标；（3）点是抛物线上一点，点在轴上，在（2）的条件下，是否存在以为顶点且为边的平行四边形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1），，；（2），；（3）存在，或或(，)．【分析】（1）把和分别代入，即可求得点和的坐标，再把点和的坐标代入求出和的值即可；（2）过点作轴的平行线交于点，利用函数的式子表达出和的坐标，再代入运算求解即可；（3）平移得出所有可能的情形，利用平行四边形的对称性得到坐标的关系，即可求解．【详解】解：（1）把代入可得：∴把代入可得：∴又∵点是点关于轴的对称点∴把，代入得：解得：∴抛物线解析式为（2）过点作轴的平行线交于点，如图所示：设点，则点∴∴当时，，且∴的最大值为，此时的坐标为（3）由题意可得：，，设点，∴存在以为顶点且为边的平行四边形时，如图：由于平行四边形的对称性可得：图中点到轴的距离和点到轴的距离相等∴，解得：，，，(舍去)，∴存在，或或(，)．【点睛】本题主要考查了二次函数综合运用，其中涉及到的知识点有一次函数，平行四边形的性质，三角形面积的计算等，熟悉二次函数的图象性质结合图象数形结合列式是解题的关键．15．（2020·浙江绍兴·模拟预测）定义：如果一条直线把一个封闭的平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条中分线．如三角形的中线所在的直线是三角形的一条中分线．（1）按上述定义，分别作出图1，图2的一条中分线．（2）如图3，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，顶点为D．①求m的值和点D的坐标；②探究在坐标平面内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的平行四边形的一条中分线经过点O．若存在，求出中分线的解析式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①，；②存在，或或【分析】（1）对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线；（2）①将代入抛物线，得，解得，抛物线解析式，顶点为；②根据抛物线解析式求出，，，当、、、为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．Ⅰ．当为对角线时，对角线交点坐标为，中分线解析式为；Ⅱ．当为对角线时，对角线交点坐标．中分线解析式为；Ⅲ．当为对角线时，对角线交点坐标为，中分线解析式为．【详解】解：（1）如图，对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线，（2）①将代入抛物线，得，解得，抛物线解析式，顶点为；②将代入抛物线解析式，得，解得或4，，，令，则，，当、、、为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．Ⅰ．当为对角线时，对角线交点坐标为，即，中分线经过点，中分线解析式为；Ⅱ．当为对角线时，对角线交点坐标为，即．中分线经过点，中分线解析式为；Ⅲ．当为对角线时，对角线交点坐标为，即，中分线经过点，中分线解析式为，综上，中分线的解析式为式为或为或为．【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质与平行四边形的性质是解题的关键．16．（2020·浙江省温岭市第四中学九年级期中）如图，点A、D是平面直角坐标系中y轴正半轴上的点，B、C分别在x轴的负半轴和x轴的正半轴上，且OA=OB=6，BD=AC，OC=m，E、F、G分别是AB、CD、BC的中点．（1）求证：BD⊥AC；（2）用含m的式子表示△EFG的面积，并直接写出当∠BDO=4∠ACD时．△EFG的面积：（3）抛物线l₁：y=ax²+bx+c经过

A、B、C三点，顶点为P．①求a的值（用m的式子表示），并判断是否存在m的值，使得四边形APDC为平行四边形，若存在，求出此时m的值，若不存在，请说明理由．②连结AF，当经过G、O、F三点的抛物线h与抛物线l关于某点成中心对