专题08 易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解的问题压轴题四种模型全攻略（解析版）

专题08易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解的问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【易错点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】 1【易错点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】 4【易错点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】 9【易错点四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】 14【典型例题】【易错点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】例题：（2023春·江西萍乡·七年级统考期末）已知等腰三角形的一边长为4、另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为．【答案】20【分析】先分类讨论，然后利用三角形的三边关系进行验证即可．【详解】解：①若三角形的三边长为：所以不能构成三角形②若三角形的三边长为：此时能构成三角形故：等腰三角形的周长为：故答案为：20【点睛】本题考查等腰三角形的性质．考查学生分类讨论思想以及验证能力．【变式训练】1．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长为．【答案】15【分析】分两种情况：当3是腰长时，当6是腰长时，利用三角形的三边关系判断能否构成三角形，再根据三角形的周长公式进行计算即可．【详解】解：当3是腰长时，三角形的三边长分别为3，3，6，，不能构成三角形；当6是腰长时，三角形的三边长分别为3，6，6，，能构成三角形，周长为：，综上所述，三角形的周长为：15，故答案为：15．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边的关系及等腰三角形的性质，采用分类讨论的思想解题，是解本题的关键．2．（2023春·四川成都·七年级校考期中）已知等腰三角形两边的长为，，且满足．则这个等腰三角形的腰长为．【答案】22【分析】首先依据非负数的性质求得，的值，然后得到三角形的三边长，接下来，利用三角形的三边关系进行验证，最后求得三角形的周长即可．【详解】解：．，，解得，，①是腰长时，三角形的三边分别为、、，，不能组成三角形，②是底边时，三角形的三边分别为、、，能组成三角形，周长，所以，三角形的周长为．故答案为：．【点睛】本题主要考查的是非负数的性质、等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．3．（2023春·陕西宝鸡·七年级校考阶段练习）若等腰三角形的一边长为12，且腰长是底边长的，则这个三角形的周长为【答案】42或28/28或42【分析】分为等腰三角形的腰长和底边长两种情况计算即可．【详解】解：∵等腰三角形一边长为，且腰长是底边长的，①如果腰长为，则底边为：，∴等腰三角形的三边为12、12、18，能构成三角形，∴这个三角形的周长为：；②如果底长为，则腰长为：，∴等腰三角形的三边为12、8、8，能构成三角形，∴这个三角形的周长为：．故答案为：42或28．【点睛】本题考查等腰三角形的定义和构成三角形的条件，利用分类讨论思想求解是解题的关键．4．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考阶段练习）已知、是等腰的边且满足，则等腰的周长是．【答案】【分析】先变形得出，根据非负数的性质得出，根据等腰三角形的定义以及三角形三边关系分类讨论即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴∴，∵、是等腰的边，当是腰时，不能构成三角形，当是腰时，能构成三角形，则等腰的周长是，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形，三角形三边关系，因式分解的应用，注意分类讨论，把等式变形化为两个非负数的和为零是解题的关键．5．（2023春·四川成都·八年级统考期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做倍长三角形．若等腰是倍长三角形，腰的长为10，则底边的长为．【答案】5【分析】分两种情况讨论：当底边为腰长的2倍，当腰长为底边长的2倍，再由三角形三边关系验证即可．【详解】解：是等腰三角形，腰的长为10，∴，是倍长三角形，当时，底边为，此时符合题意；当时，底边为，此时不符合题意，故答案为：5．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题关键．【易错点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】例题：（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期末）等腰三角形的一个角的度数是，则它的底角的度数是．【答案】或【分析】分的角是是底角和顶角的情况分析，根据三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：当的角是底角时，则底角为，当的角是顶角时，则底角为，故答案为：或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）如果等腰三角形的一个角的度数为，那么其余的两个角的度数是______．【答案】，或，【分析】根据等腰三角形性质，分类讨论即可得到答案．【详解】解：①当时顶角时，其余两个角是底角且相等，则有：；②当时底角时，则有：顶角；故答案为：，或，．【点睛】本题考查等腰三角形性质：两个底角相等，还考查了分类讨论的思想．2．（2022春·黑龙江黑河·八年级校考期末）等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，则这个等腰三角形的顶角度数是_____．【答案】或或【分析】设另一个角是，表示出一个角是，然后分①是顶角，是底角，②是底角，是顶角，③与都是底角根据三角形的内角和等于与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．【详解】解：设另一个角是，表示出一个角是，①是顶角，是底角时，，解得，所以，顶角是；②是底角，是顶角时，，解得，所以，顶角是；③与都是底角时，，解得，所以，顶角是；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或．故答案为：或或．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．3．（2022春·江西赣州·八年级统考期中）如图，在中，，，点P在的三边上运动，当为等腰三角形时，顶角的度数是________．【答案】或或【分析】作出图形，然后分点P在上与上两种情况讨论求解．【详解】解：①如图1，点P在上时，，顶角为，②∵，，∴，如图2，点P在上时，若，顶角为，如图3，若，则顶角为，综上所述，顶角为或或．故答案为：或或．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，注意要分情况讨论求解．4．（2023春·江西吉安·八年级统考期中）已知：如图，线段的端点A在直线l上，与l的夹角为，点C在直线l上，若是等腰三角形．则这个等腰三角形顶角的度数是．

【答案】或或．【分析】分情况讨论：如图，当时，C在A的右边，如图，当时，C在A的左边，当时，再分别画出图形求解即可．【详解】解：如图，当时，C在A的右边，则顶角，

，如图，当时，C在A的左边，则顶角，

如图，当时，则，

∴顶角；如图，当时，则，

此时顶角，故答案为：或或．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记等腰三角形的顶角的含义与等腰三角形的性质是解本题的关键．【易错点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】例题：（2023秋·江西萍乡·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知，，点C在x轴上，且在点B的左侧，若是等腰三角形，则点C的坐标是．【答案】或或．【分析】分类讨论：①当时，②当时和③当时，画出图形，结合等腰三角形的定义和性质，勾股定理求解即可．【详解】解：分类讨论：①当时，如图，此时为，∵，∴，∴；②当时，如图，此时为，∵，，∴，∴，∴；③当时，如图，此时为，设，则，∴．在中，，∴，解得：，∴．综上可知，点C的坐标是或或．故答案为：或或．【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的定义和性质，勾股定理．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．【变式训练】1．（2022春·河北石家庄·八年级石家庄市第十七中学校考阶段练习）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为______．【答案】或或【分析】求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．【详解】∵平分，∴，分三种情况：①当时，如图，∵，∴，∴；②当时，如图，∵，∴；③当时，如图，∵，∴，∴，综上，的度数为：或或，故答案为：或或【点睛】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．2．（2023春·江西九江·八年级统考期末）已知中，，，若沿射线方向平移m个单位得到，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是．【答案】或或【分析】分，，三种情况进行讨论求解即可．【详解】解：∵，，∴，沿射线方向平移m个单位得到，∴，，点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况①当时：如图，此时；

②当时：如图，

则：，在中，，即：，解得：；③当时，如图：

此时，∵，∴，∴；综上：，或；故答案为：或或．【点睛】本题考查平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质．根据题意，准确的画图，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．3．（2023·江西新余·统考一模）在中，，，，、分别是边、上的动点将沿直线翻折，使点的对应点恰好落在边上若是等腰三角形，则的长是．【答案】或或【分析】分三种情况讨论：当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形，分别根据等腰三角形的性质以及勾股定理进行计算，即可得到的值．【详解】解：，，，，，分三种情况讨论：如图所示，当点与点重合时，，

，，，，即是等腰三角形，此时，；如图所示，当时，是等腰三角形，

，由折叠可得，，，又，是等腰直角三角形，设，则，中，，解得，舍去，；如图所示，当点与点重合时，，

，，即是等腰三角形，此时，综上所述，当是等腰三角形时，的值是或或．故答案为：或或．【点睛】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是依据是等腰三角形，画出图形进行分类讨论，解题时注意方程思想的运用．【易错点四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】例题：（2023秋·山东泰安·七年级东平县实验中学校考期末）等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为和两部分,则此三角形的底边长为(

)A． B． C．或 D．无法确定【答案】C【分析】根据题意作出图形，设，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可求解．【详解】解：如图所示，根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：．可设，∴．由题意得：或，解得：或．当时，即此时等腰三角形的三边为，，，，符合三角形的三边关系，此情况成立；当时，即此时等腰三角形的三边为，，，，符合三角形的三边关系，此情况成立．综上可知这个等腰三角形的底边长是或．故选：C．【点睛】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，三角形中线的性质．利用分类讨论的思想是解题关键．【变式训练】1．（2022秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为．【答案】或【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．【详解】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是；②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是．

故答案为或．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，注灵活运用相关性质是解答本题的关键．2．（2023秋·山西临汾·八年级统考期末）在中，，是边上的高，，则．【答案】或/或【分析】根据三角形的内角和定理，求出的度数然后再求出的度数；【详解】如图，当在内时

如图当在外时

故答案为或【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理及推论此题难度不大，属于中等题；3．（2022春·广东广州·八年级校考阶段练习）在中，，上的中线把三角形的周长分成和两部分，则底边的长为______．【答案】或【分析】分两种情况：；，可得的长，再由另一部周长即可求得底边的长．【详解】解：由题意得：；当时，即，，，；当时，即，，，；综上，底边的长为或；故答案为：或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，中线的含义，涉及分类讨论．4．（2022·陕西·交大附中分校七年级期末）已知中，，在AB边上有一点D，若CD将分为两个等腰三角形，则________．【答案】100°，70°，40°或者10°【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三种情况讨论即可求解．【详解】第一种请况：BD=CD时，如图，∵BD=CD，∠B=20°，∴∠B=∠DCB=20°，∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°，（1）当DA=DC时，∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°，∴∠A=∠ACD=70°；（2）当DA=AC时，即有∠ADC=∠ACD=40°，∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°；（3）当CD=CA时，∠A=∠ADC=40°；第二种请况：BC=CD时，如图，∵∠B=20°，BC=CD，∴∠B=∠BDC=20°，∴∠ADC=180°-∠BDC=1