2024年湖北省荆州市中考数学质检试卷（3月份）（附答案解析）

2024年湖北省荆州市中考数学质检试卷（3月份）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）下列各数中，为有理数的是（）

A.42024B.-4C.itD.V25

A.射击运动员射击一次，命中十环是必然事件.

B.两个负数相乘，积是正数是不可能事件.

C.了解某品牌手机电池待机时间用全面调查.

D.了解荆州市中学生目前的睡眠情况用抽样调查.

4.（3分）下列运算正确的是（）

A.'（-2）2=-2B.

C.（o-l）2—（r-1D.（a5）2—a10

5.（3分）若,〃>〃，下列不等式不一定成立的是（）

0。mn

A.nr>rrB.-3m<-3nC.一>一D.m+3>n+3

33

6.（3分）如图，h//h,AB±CD,若Nl=35°,则N2的度数是)

C.55°D.65°

7.（3分）如图，在四边形ABC。中，下列条件不能判定四边形ABC。是平行四边形的是（

A.OA=OC,OB=ODB.AB=DC,AD=BC

C.AD//BC,AB=DCD.AB//DC,AB=DC

8.（3分）已知一次函数y=fcc+6（%W0）的图象如图所示，则y=-b尤-无的图象一定不经

过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.（3分）若菱形的周长为16,高为2,则菱形两邻角的度数之比为（）

A.4：1B.5：1C.6：1D.7：1

10.（3分）已知二次函数y=/+6x+c（a,b,c为常数，aWO）的图象如图所示，有如下

结论：①。灰:>0；②2a+b=l；③3a+c>0；④方程以2+及+C=*有两个不相等的实数根;

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）据统计，2024年春节假日期间，荆州市累计接待游客4095000人次，4095000

用科学记数法可表示为.

12.（3分）若代数式运三有意义，则实数x的取值范围为______________________.

x-3

13.（3分）分解因式：3a?-naxy+l2ay1=.

14.（3分）已知4（xi,yi）,B（X2,>2）,C（阳，”）都在反比例函数y=图象上，且

满足xi<0<x2<x3,则yi,”，*的大小关系是.（用连接）

15.（3分）如图，将圆形纸片折叠使弧AB经过圆心O,过点0作半径0CLA8于点E,

点尸为圆上一点，则/APC的度数为.

p

三、解答题（共75分）

1

16.（6分）计算:-(nr-2024)°+2V3-cos600-

8尸V3+V2

17.（6分）已知机，w是方程7+3尤-4=0的两根，求2//+5/W-”-3的值.

18.（6分）48两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比8型机器人每小时多搬

运30像，A型机器人搬运900像所用时间与B型机器人搬运600像所用时间相等，求A

型机器人每小时搬运多少化工原料.

19.（8分）“除夕”是我国最重要的传统佳节，成都市民历来有“除夕”夜吃“饺子”的习

俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的猪肉馅饺、素菜馅饺、羊肉馅饺、牛肉

馅饺（以下分别用A、B、C、。表示）这四种不同口味饺子的喜爱情况，在节前对某居

民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图（尚不完整）.

请根据以上信息回答：

（1）本次参加抽样调查的居民有人？

（2）将两幅不完整的图补充完整；

（3）若有外型完全相同的A、B、C、。饺各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画

树状图的方法，求他两个都吃到肉馅饺（A、C、D）的概率.

20.（8分）如图，在6义6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，AABC的顶点

均在格点上.按要求完成下列画图.（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写

画法）

（1）在图①中画出一个△A8。，使SAABD=SMBC,。为格点（点。不在点C处）;

（2）在图②中的边BC上找一点E,连接AE,使AEL8C；

（3）在图③中的边BC上找一点凡使点尸到和AC所在直线的距离相等.

图①图②图③

21.（8分）如图，已知。为OO上一点，点C在直径的延长线上，8E与。0相切，交

CD的延长线于点E,且

（1）证明：CE是的切线；

22.（10分）某公司电商平台，在元旦期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某

种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表列出了该商品的售价

x,周销售量y,周销售利润W（元）的三组对应数据.

X407090

y24012040

W480060002800

（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）若该商品进价。（元/件），售价尤为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最

大利润；

（3）后来，该商品进价提高了m（元/件）（冽＞0）,公司为回馈消费者，规定该商品售

价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的

函数关系，若周销售最大利润是5400元，求机的值.

23.（11分）（1）如图1,已知正方形AE/G与正方形ABC。，将正方形AEFG绕点A按逆

时针方向旋转，求证：BE=DG,且BELDG；

4EAB2

（2）如图2,将（1）中的两个正方形分别改成矩形AE/G和矩形ABCD且一=——=-，

AGAD3

AE=2,AB=4,将矩形AEPG绕点A顺时针方向旋转，连接DE,BG,在旋转过程中,

。炉+^^的值是定值，请求出这个定值.

X-3与x轴、y轴分别交于点8、点C,经过8,C两点的抛物

线y=-/+/W+W与无轴的另一个交点为A,顶点为P.

（1）求抛物线的解析式;

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点。，使以C,P,。为顶点的三角形为直角三角

形？若存在，求出所有符合条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）将该抛物线在x轴上方的部分沿尤轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后

的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的图象，若直线y=x+6与该

形状的图象部分恰好有三个公共点，求6的值.

2024年湖北省荆州市中考数学质检试卷（3月份）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）下列各数中，为有理数的是（）

A.V2024B.C.itD.V25

【答案】B

【分析】整数和分数统称为有理数，据此进行判断即可.

【解答】解：V2024,1T,画是无限不循环小数，它们不是有理数；

-寺是分数，它是有理数；

故选：B.

【点评】本题考查有理数的识别，熟练掌握相关定义是解题的关键.

2.（3分）下面哪个图象不是正方体的表面展开图（）

【答案】B

【分析】正方体的展开图由六个正方形组成，且各个面不可重叠.

【解答】解：由展开图的知识可知8不可折叠成一个正方体，故B正确；

ACQ都可折叠成一个正方体，故AC£＞错误.

故选：B.

【点评】本题考查了正方体的侧面展开图的熟练掌握，由几何体的展开图形解题，较简

单.

3.（3分）下列说法正确的是（）

A.射击运动员射击一次，命中十环是必然事件.

B.两个负数相乘，积是正数是不可能事件.

C.了解某品牌手机电池待机时间用全面调查.

D.了解荆州市中学生目前的睡眠情况用抽样调查.

【答案】D

【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念、全面调查与抽样调查判断即可.

【解答】解：4射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故本选项说法不正确，不

符合题意；

8、两个负数相乘，积是正数是必然事件，故本选项说法不正确，不符合题意；

C、了解某品牌手机电池待机时间用抽样调查，故本选项说法不正确，不符合题意；

。、了解荆州市中学生目前的睡眠情况用抽样调查，说法正确，符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条

件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事

件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

4.（3分）下列运算正确的是（）

A.7（-2）2=-2B.a84-（z2=a4

C.（a-1）2=a2-1D.（a5）2=tz10

【答案】D

【分析】根据二次根式的性质与化简、同底数幕的除法、完全平方公式、幕的乘方法则

分别计算判断即可.

【解答】解：A、正下=2,故此选项不符合题意；

B、fl8-i-a2=a6,故此选项不符合题意；

C、（«-1）~—cr-2a+l,故此选项不符合题意；

D、（a5）2=a10,故此选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简、同底数幕的除法、完全平方公式、塞的乘

方，熟练掌握这些知识点是解题的关键.

5.（3分）若,〃>〃，下列不等式不一定成立的是（）

）、mn

A.mz>nzB.-3m<-3nC.一>一D.m+3>n+3

33

【答案】A

【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向

不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除

以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案.

【解答】解：A、如果根=2,n—-3,m>n,«?</；故A错误，符合题意；

2、不等式的两边都乘以-3,不等号的方向改变，故8正确，不符合题意;

C、不等式的两边都除以3,不等号的方向不变，故C正确，不符合题意;

。、不等式的两边都加3,不等号的方向不变，故。正确，不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查了不等式的基本性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的

问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱.

6.（3分）如图，h//12,AB±CD,若Nl=35°,则N2的度数是（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

【答案】A

【分析】根据两直线平行，同位角相等解答即可.

【解答】解：

.-.Z2=Z1=35°,

故选：A.

【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答.

7.（3分）如图，在四边形488中，下列条件不能判定四边形ABC。是平行四边形的是（）

C.AD//BC,AB=DCD.AB//DC,AB=DC

【答案】C

【分析】由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可.

【解答］解：\'OA=OC,OB=OD,

:.四边形ABC。是平行四边形，故选项A不符合题意；

B、'：AB=DC,AD=BC,

四边形ABC。是平行四边形，故选项B不符合题意;

C、由AD〃2C,AB=DC,不能判定四边形ABC。是平行四边形，故选项C符合题意;

。、'."AB//DC,AB=DC,

二四边形ABC。是平行四边形，故选项。不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的

关键.

8.（3分）已知一次函数（ZWO）的图象如图所示，则y=--%的图象一定不经

过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】根据是一次函数y=fcc+6的图象经过一、三、四象限得出入b的取值范围解答

即可.

【解答】解：因为一次函数的图象经过一、三、四象限，

可得：k>0,b<0,

所以直线>=-fcv-左的图象经过一、三、四象限，即不经过第二象限.

故选：B.

【点评】此题考查一次函数图象和一次函数的性质，关键是根据是一次函数y=kx+b的

图象经过一、三、四象限得出匕6的取值范围.

9.（3分）若菱形的周长为16,高为2,则菱形两邻角的度数之比为（）

A.4：1B.5：1C.6：1D.7：1

【答案】B

【分析】如图，为菱形A8C。的高，AH=2,利用菱形的性质得到AB=4,利用正弦

的定义得到/8=30°,则/C=150°,从而得到/C：的比值.

【解答】解:如图，A//为菱形ABC。的高，AH=2,

•••菱形的周长为16,

：.AB=4,

AfJ21

在RdABH中，sin8=^W=*,

.,.ZB=30°,

'."AB//CD,

.1.ZC=150°,

：.ZC：/B=5：1.

故选：B.

【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相

等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.也考查了直角三角

形斜边上的中线性质.

10.（3分）己知二次函数yuaW+fcr+c（a,b,c为常数，a=0）的图象如图所示，有如下

结论：①abc>0；②2a+6=l；③3a+c>0；④方程±有两个不相等的实数根;

【答案】A

【分析】利用抛物线对称轴与抛物线与y轴的交点位置可以判定“6、。的符号，可判断

①；由抛物线对称轴公式可以判断②；由图象上的特殊点尤=-1,y=a-b+c<0,可判

断③；结合根与系数的关系，可判断抛物线与x轴的交点问题，进而判断④.

【解答】解：①V该抛物线的对称轴位于y轴的右侧，

'.a>b异号.

ab<0.

:抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，

：.c>0,

abc<0,

故①结论不正确；

②•••抛物线的对称轴为直线x=-六=1，

:・b=-2a>0,/?+2。=0,

故②结论不正确；

③由图象可知，当x=-l时，y=a-Z?+c<0,

**•Q+2Q+C=3〃+CV0,

故③结论不正确；

④求方程ax1+bx+c=g勺根的问题可以转化为抛物线y=cu?+bx+c与直线y=4交点问题.

观察函数图象知：抛物线产依2+bx+c与直线产：有两个交点，则方程办2+次+。另有两

个不相等的实数根.

故④结论正确.

综上所述，正确的结论有1个.

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点等问题，主要考

查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与6的关系，以及二次函

数与方程之间的转换.

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）据统计,2024年春节假日期间，荆州市累计接待游客4095000人次，4095000

用科学记数法可表示为4.095X106.

【答案】4.095X106.

【分析】科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中lW|a|<10,a为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值210时，〃是正整数；当原数的绝对值<1时，〃是负整数.

【解答】解：4095000用科学记数法可表示为4.095X1（）6.

故答案为：4.095X106.

【点评】此题考查科学记数法，关键是掌握〃的值的确定方法，当原数大于等于10时,

〃等于原数的整数数位减L

12.（3分）若代数式上二有意义，则实数x的取值范围为行）且xW3.

【答案】X22且尤#3.

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得

到答案.

【解答】解：由题意得：2x-120且X-3W0,

1

解得：%之）且

故答案为：尤2号且xW3.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分

母不为零是解题的关键.

13.（3分）分解因式：Sox2-12axy+12〃y2=3a（x-2y）2.

【答案】3a（x-2y）2.

【分析】提公因式后利用完全平方公式计算即可.

【解答】解：原式=3〃（--4孙+4y2）

=3a（x-2y）2,

故答案为：3a（x-2y）2.

【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

14.（3分）已知A（xi,yi）,B（%2,>2）,C（工3,*）都在反比例函数y=—（图象上，且

满足xiVOVx2Vx3,则yi,y2,”的大小关系是v2〈y3Vyi.（用“V”连接）

【答案】y2<y3<yi.

【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据X1V0VX2VX3

即可得出结论.

【解答】解：.••反比例函数尸七中k=-6<0,

函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大.

*.*X1<O<X2<X3,

：.B、C两点在第四象限，A点在第二象限，

•*.y2<j3<yi.

故答案为：y2<y3<yi.

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的

坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.

15.（3分）如图，将圆形纸片折叠使弧AB经过圆心。，过点。作半径OCLAB于点E,

点尸为圆上一点，则ZAPC的度数为30°.

【答案】30°.

【分析】连接OA,由题意知垂直平分OC,得到AO=AC,判定△OAC是等边三角

形，得到NAOC=60°,由由圆周角定理得到NAPC=*NAOC=30°.

【解答】解：连接。4,

由题意知AB垂直平分OC,

：.AO=AC,

：OA=OC,

...△O4C是等边三角形,

AZAOC=60°,

1

AZAPC=|ZAOC=30°.

故答案为：30°.

【点评】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，关键是由轴对称的性质推出

△O4C是等边三角形.

三、解答题（共75分）

1

16.（6分）计算:（护-(7T-2024)°+2V3-cos60°一

V3+V2

【答案】1+V2.

【分析】先根据负整数指数塞、零指数累和特殊角的三角函数值计算，然后进行分母有

理化，最后合并即可.

【解答】解：原式=2-1+2V3x—（V3—V2）

=2-1+V3-V3+V2

=1+近.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法

和除法法则、零指数幕和负整数指数累是解决问题的关键.

17.（6分）已知机，九是方程/+3x-4=0的两根，求2川+5机-〃-3的值.

【答案】8.

【分析】根据两根之和等于表示出机+〃的值；再将机代入方程中，得到关于机的

式子；最后将2川+5%-”-3进行变形，将数值代入，求出结果.

【解答】解：•.•加，〃是方程f+3x-4=0的两根，

m2+3m-4=0,

即m2+3m=4；

3

m+n=-j=-3,

2m2+5m-n-3

=2（m2+3根）-（m+n）-3

=2X4-(-3)-3

=8.

【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是求出式子的数值，再运用数值代入

法来解答.

18.（6分）A,5两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比3型机器人每小时多搬

运30炊，A型机器人搬运900依所用时间与3型机器人搬运600依所用时间相等，求A

型机器人每小时搬运多少化工原料.

【答案】A型机器人每小时搬运90kg化工原料.

【分析】设B型机器人每小时搬运x依化工原料，则A型机器人每小时搬运（x+30）kg

化工原料，利用工作时间=工作总量+工作效率，结合A型机器人搬运900依所用时间

与8型机器人搬运600像所用时间相等，可得出关于x的分式方程，解之经检验后可得

出8型机器人每小时搬运化工原料的重量，再将其代入（x+30）中即可求出A型机器人

每小时搬运化工原料的重量.

【解答】解：设B型机器人每小时搬运x依化工原料，则A型机器人每小时搬运（x+30）

依化工原料,

900600

根据题思得：―=工

解得：尤=60,

经检验，尤=60是所列方程的解，且符合题意,

/.x+30=60+30=90(.kg).

答：A型机器人每小时搬运90七化工原料.

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

19.（8分）“除夕”是我国最重要的传统佳节，成都市民历来有“除夕”夜吃“饺子”的习

俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的猪肉馅饺、素菜馅饺、羊肉馅饺、牛肉

馅饺（以下分别用4B、C、D表示）这四种不同口味饺子的喜爱情况，在节前对某居

民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图（尚不完整）.

请根据以上信息回答:

（1）本次参加抽样调查的居民有600人?

（2）将两幅不完整的图补充完整;

（3）若有外型完全相同的A、B、C、。饺各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画

树状图的方法，求他两个都吃到肉馅饺（A、C、D）的概率.

【答案】（1）600；

（2）见解析;

【分析】（1）根据B类有60人，所占的百分比是10%即可求解；

（2）利用总人数减去其他类型的人数即可求得C类型的人数，然后根据百分比的意义求

出A组和C组所占的百分比，将两幅不完整的图补充完整即可；

（3）画树状图或列出表，再由概率公式求解即可.

【解答】解：（1）本次参加抽样调查的居民有60・10%=600（人）.

故答案为：600；

(2)V600-180-60-240=120,

.•.1204-600X100%=20%,

A100%-10%-40%-20%=30%,

将两幅不完整的图补充完整如图所不:

人数

图1图2

（3）列表如下:

ABcD

A(B,A)(C,A)（。，A）

B(A,B)(C,B)(D,B)

C(A,C)(B,C)(D,C)

D(A,D)(B,D)(C,D)

共有12种等可能，符合条件的有6种,

：.P（他两个都吃到肉馅饺）=^=|.

【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率、条形统计图与扇形统计图的知识.用到

的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

20.（8分）如图，在6X6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点

均在格点上.按要求完成下列画图.（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写

画法）

（1）在图①中画出一个△AB。，使。为格点（点D不在点C处）；

（2）在图②中的边8C上找一点E,连接AE,使AELBC；

（3）在图③中的边BC上找一点凡使点尸到AB和AC所在直线的距离相等.

图①图②图③

【答案】（1）见解答.

（2）见解答.

（3）见解答.

【分析】（1）根据题意，使格点。到直线A3的距离等于4个小正方形边长即可.

（2）根据垂线的定义可得答案.

（3）结合角平分线的性质，取格点O,使AZ）=AC=5,再取的中点E,连接AE,

与8c的交点即为点F.

【解答】解：（1）如图①，△A3。即为所求（答案不唯一）.

（2）如图②，点E即为所求.

（3）由勾股定理得，AC=V42+32=5,

如图③，取格点。，使AO=AC=5,再取CD的中点E,连接AE,交BC于点、F,

可知AE为NBAC的平分线，

则点F到AB和AC所在直线的距离相等，

则点尸即为所求.

【点评】本题考查作图一应用与设计作图、角平分线的性质、垂线、三角形的面积，解

题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

21.（8分）如图，已知3为。。上一点，点C在直径8A的延长线上，8E与。。相切，交

的延长线于点E,且

（1）证明：CE是的切线；

（2）若AC=2,sinC==，①求O。的半径；②求8。的长.

【答案】（1）见解答；

（2）①1；②BD=2k=字

【分析】（1）如图，连接OD.是。。的切线；只要证明OOLC。即可；

（2）①根据sinC岩，构建方程求解即可；

40AC\[2

②证明△CD4s△eg。，推出一=一=一,设AZ）=BD=2k,利用勾股定理求

BDCD2

解即可.

【解答】（1）证明：如图，连接0D

•：EB=ED,OB=OD,

：.ZEBD=ZEDBfZOBD=ZODB,

〈BE是。。的切线，05是半径，

OBLBE,

：.ZOBE=90°,

：.ZEBD+ZOBD=90°,

；・NEDB+NODB=90°,

ODLDE,

0。是半径，

；・CE是OO的切线；

①设0D=0A=r,

u：0DLCD,

..OD1r1

'-smCr=0C=37+2=3'

，OO的半径为1;

②在RtACOD中，CD=y!0C2-OD2=V62-22=4V2,

9：AB是直径，

ZAZ)B=90°,

AZDBA+ZBAD=9G°,

OD=OA,

：.ZOAD=ZODA,

VZADC+ZODA=90°,

・•・ZADC=ZCBD,

vzc=zc,

・••△CDAs/\CBD,

在中，一。

RtACOZ)CD=70c202=V32_22=2A/2

9：AB是直径，

AZADB=90°,

・・・NO3A+N3AO=90°,

OD=OA,

：.ZOAD=ZODA,

VZADC+ZODA=90°,

NADC=NCBD,

•・・NC=NC,

:.ACDAsACBD,

.ADAC2V2

''BD~CD~2V2—2

设AD=V2fc,BD^lkaADr+BD1=AB2

（同）2+（2k）2=22Ck=坐负值舍去）.

【点评】本题考查作切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知

识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

22.（10分）某公司电商平台，在元旦期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某

种商品的周销售量y（件）是关于售价元/件）的一次函数，下表列出了该商品的售价

x,周销售量》周销售利润W（元）的三组对应数据.

X407090

y24012040

W480060002800

（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最

大利润；

（3）后来，该商品进价提高了m（元/件）（机＞0）,公司为回馈消费者，规定该商品售

价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的

函数关系，若周销售最大利润是5400元，求机的值.

【答案】（1）y=-4x+400；（2）当x=60时，W最大值为6400；（3）m=5.

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）由题意得卬=（-4.r+400）（尤-a）,将尤=40,w=4800代入即可求得a,再化为顶

点式即可求得；

（3）由题意得W=-4（x-100）（x-20-m）（%W55）,再根据对称轴及增减性即可求

得.

【解答】解：（1）y关于尤的函数解析式为〉=日+儿

由表格可得

1120=70k+b

解得:*=意，

5=400

二•y关于x的函数解析式为y=-4x+400.

(2)由(1)得w=(-4x+400)(%-〃)，

由表知x=40时段=4800,得

4800=(-4X40+400)(40-。)，

**•。=20,

.”=-4(%-60)2+6400,

...当x=60时，卬最大值为6400.

(3)由题意W=-4(x-100)(x-20-m)GW55),其对称轴x=60+y>60,

...当0<xW55时，W的值随x的增大而增大，

...当x=55时周销售利润最大，

.,.5400=-4(55-100)(55-20-m),

••〃z=5.

【点评】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意是解题的关键.

23.（11分）（1）如图1,已知正方形AE/G与正方形ABC。，将正方形AEPG绕点A按逆

时针方向旋转，求证：BE=DG,且BELDG-,

ZEAB2

⑵如图2,将⑴中的两个正方形分别改成矩形由G和矩形且而=-=?

AE=2,A3=4,将矩形AEFG绕点A顺时针方向旋转，连接。E,BG,在旋转过程中,

DF+BG?的值是定值，请求出这个定值.

【答案】（1）证明见解答过程;

（2）65.

【分析】（1）由正方形的性质得出ZEAG=90°,AB^AD,ZBAD=9Q°,

得出NEAB=NGA。，证明△AEB0△AGO(SAS),则可得出结论；

(2)设BE与。G交于0,与AG交于点P,证明△EA8s/\GA。，得出NE8A=/

GDA,得出GO_LE8,连接EG,BD,由勾股定理可求出答案.

【解答】(1)证明：如图1,延长。G交8E于”，交AB于点。，

图1

四边形AEFG与ABCD为正方形,

：.AB=AD,AE=AG,ZBAD=ZEAG=90°,

:.NEAB=/GAD,

：.AAEB^AAGD(SAS),

:.BE=DG,NADG=/ABE,

,/ZAOG^ZBOH,

：.ZBHO=ZGAO=90°,

即BELDG；

(2)解：如图2,连接EG,BD,设BE与。G交于。，BE与AG交于点P,AB与DG

交于点H,

：.ZBAD=ZEAG=90°,

：.ZEAB=ZGDA=90°+ZGAB,

AEAB2

又；一=—=AE=2,AB=4,

AGAD3

：./\EAB^/\GAD,AG=3,AD=6,

：.ZEBA=ZGDA,

ZAHD+ZA