浙江省台金七校联盟高二下学期4月期中联考试题数学

【新结构】20232024学年浙江省台金七校联盟高二年级第二学期数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A53A.20 B.40 C.−110 D.−102.4名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、兵乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是(

)A.6 B.24 C.64 D.813.若双曲线x2a2−y2A.y=±33x B.y=±54.8个人分成3人、3人、2人三组，共有种不同的分组方法．(

)A.1120 B.840 C.560 D.2805.函数y=cos(xA.y′=−12xsin(6.设(x2−3x−2)5=aA.−800 B.−640 C.800 D.6407.将三颗骰子各掷一次，记事件A=“三个点数互不相同”，事件B=“至少出现一个5点”，则P(A|B)=(

)A.20216 B.2091 C.60918.已知7m=11，a=9m−13，A.a>b>0 B.a>0>b C.b>a>0 D.b>0>a二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.随机变量X的分布列如下：X−101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(X=1)可以为(

)A.13 B.12 C.3510.如图，直线y=kx+b与曲线y=f(x)相切于两点，则ℎ(x)=f(x)−kx有(

)

A.2个极大值点 B.3个极大值点 C.2个极小值点 D.3个极小值点11.一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球2个，黑球1个，则下列选项正确的有(

)A.从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为ξ，则数学期望E(ξ)=158

B.每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的红球次数为η，则方差D(η)=4564

C.从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望E(X)=83三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知随机变量ξ∼N(1,σ2)，且P(1<ξ≤1.5)=0.34，则P(ξ>1.5)=__________13.若直线x−y=1与直线(m+3)x+my−8=0平行，则m=__________，它们之间的距离为__________.14.甲乙两人轮流投掷一枚质地均匀的骰子，规定谁先掷出6点为胜者；前一场的胜者，则下一场后掷(分出胜者算一场).若第一场时是甲先掷，则第2场甲胜的概率为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知x−ax(Ⅰ)求实数a和n的值；(Ⅱ)求展开式中系数最小的项．16.(本小题15分)如图，边长为2的等边△PDC所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=22，M为(Ⅰ)求证：PD⊥BC；(Ⅱ)若N为直线PA上一点，且MN⊥PA，求直线DN与平面PAM所成角的正弦值．17.(本小题15分)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N(Ⅰ)求数列{a(Ⅱ)已知数列{bn}满足b1=1，bn+1bn18.(本小题17分)某火锅店为了鼓励顾客们办理本店的会员卡，在持有会员卡的顾客点单后，推出“玩游戏，送果盘”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数超过4点，获得1分，否则获得2分．进行若干轮游戏，若累计得分为9分，则游戏结束，可得到“果盘”一份；若累计得分为10分，则游戏结束，可得“牛肉卷”一份，最多进行9轮游戏．(Ⅰ)当进行完3轮游戏时，总分为X，求X的分布列和数学期望；(Ⅱ)若累计得分为i的概率为pi(i=1,2,…，9)，初始分数为0(ⅰ)证明：数列{pi−(ⅱ)求活动参与者得到“牛肉卷”的概率．19.(本小题17分)已知函数f(x)=ax−1−lnx(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若函数f(x)与函数g(x)=ex−ax−1(Ⅲ)证明：对于任意正整数n，1+12!1+2答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本题考查排列、组合数的计算，属于基础题．

由排列、组合数公式求解即可．【解答】

解：

A2.【答案】D

【解析】【分析】本题考查分步计数原理的应用，属于基础题.

每名同学有3种不同的选择，根据分步计数原理解答即可.【解答】

解：由分步乘法计数原理可得：

不同报法的种数是3×3×3×3=81；

故选D.3.【答案】C

【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，双曲线的离心率e=2，求出ba=【解答】解：∵双曲线x2a2−∴e=ca∴c=2a，∴由c2=a2+b2可得3a2=b24.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查排列组合的应用，属于基础题.

根据平均分组求法即可求解.

【解答】

解：根据题意，分组方法数为

C83C55.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了了导数的基本公式，属于基础题．

根据复合函数的求导法则，和导数的基本公式计算即可．

【解答】

解：∵y=cos(6.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查二项展开式的特定项和特定项系数，属于基础题.

要得到a2,分两种情况讨论即可求解；

【解答】

解：因为

(x2−3x−2)5=(x2−3x−2)(x2−3x−2)(x2−3x−2)(x2−3x−2)(x2−3x−2)，

要得到a2,分两种情况讨论：

①5个因式取1个x27.【答案】C

【解析】【分析】本题考查条件概率，属于基础题．根据要求的结果等于PABP(B)，需要求出A、B同时发生的概率以及B【解答】解：∵P(A|B)=PABP(B)，

P(AB)=C52A338.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查利用导数比较大小，属于中等题.

构造函数f(x)=xm−x−4，利用导数研究函数的单调性可知函数f(x)=xm−x−4在1,+∞上单调递增，且f(7)=0，即可得到答案.

【解答】

解：因为7m=11，所以m=log711∈1,1.5，

令函数f(x)=xm−x−4，f′(x)=mxm−1−1，

因为f′(x)=mxm−1−1在9.【答案】ABC

【解析】【分析】本题考查随机变量的分布列和等差数列的性质的合理运用，属于基础题.由随机变量X的分布列的性质得a+b+c=1，且a，b，c∈[0,1].由a，b，c成等差数列，得2b=a+c，可以求出c的取值范围，从而能求出P(X=1)=c的可以取的值．【解答】解：∵随机变量X的分布列如下：X−101Pabc∴a+b+c=1，且a，b，c∈[0,1].①

∵a，b，c成等差数列，

∴2b=a+c，②

联立①②，得b=13，a+c=23，

所以0≤c≤23

∴P(X=1)=c，

∴c可以为13

，110.【答案】BC

【解析】解：ℎ(x)=f(x)−kx，ℎ′(x)=f′(x)−k，

由题意易得，ℎ(x)=f(x)−kx的极小值点，相当于G(x)=(kx+b)−f(x)的极大值点，

ℎ(x)=f(x)−kx的极大值点，相当于G(x)=(kx+b)−f(x)的极小值点，

而G(x)相当于图像上直线y=kx+m与曲线y=f(x)的差值函数，

由单调性分析可得：

G(x)有3个极小值点，2个极大值点，故F(x)有3个极大值点，2个极小值点.

故答案为BC.

本题考查函数极值(极值点)的概念，属于基础题.

利用函数极值(极值点11.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查了古典概型和离散型随机变量的期望、方差，属于较难题.

对选项A，ξ的可能取值为0，1，2，3，求出概率，再由公式求得E(ξ)；对选项B，η∽B(3,58)，再由二项分布的方差公式求得D(η)；对选项C，X的可能取值为1，2，3，求出概率，再由公式求得E(X)；对选项D，Y的可能取值为0，1，【解答】解：对选项A，从该口袋中任取3个球，取出的红球个数ξ的可能取值为0，1，2，3，

则p(ξ=0)=C33C83=156，p(ξ=1)=C51C32C83=1556，p(ξ=2)=C52C31C83=3056=1528，p(ξ=3)=C53C83=1056=528，

则E(ξ)=0×156+1×1556+2×1528+3×528=158，故A正确；

对选项B，每次从该口袋中任取一个球，是红球的概率为58，则取出的红球次数为η∽B(3,512.【答案】0.16

【解析】【分析】本题考查正态分布曲线的对称性，考查学生的计算能力，属于基础题．利用ξ∼N(1,σ2)，可得图象关于x=1【解答】解：∵ξ∼N(1,σ2)，∴图象关于x=1对称.

∵P(1<ξ≤1.5)=0.34，

∴P(ξ>1.5)=0.5−0.34=0.16.13.【答案】−13

【解析】【分析】本题主要考查由两条平行求参数的值，以及两平行线间的距离公式的应用，属于基础题.根据两直线平行的条件，求出m的值，再把直线方程中未知数的系数化为相同的，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．【解答】解：由直线x−y=1与直线(m+3)x+my−8=0平行，可得m+31=m−1≠−8−1，

解得m=−32，

所以直线(m+3)x+my−8=0的方程可化简3x−3y−16=0，

而直线x−y=1，即直线14.【答案】60121【解析】【分析】本题考查相互独立事件的概率，等比数列的前n项和，属于拔高题.

根据题意先求得一场中先掷的人赢的概率为611，后掷的人赢的概率为511【解答】

解：一场中先掷的人赢的概率为16+(56)2×16+(56)4×16+⋯+(56)2n−2×16+⋯，n∈N∗

由16+(15.【答案】解：(Ⅰ)仅有第5项的二项式系数最大，则n=8.

令x=1，则(1−a)8=1，又a≠0，则a=2.

(Ⅱ)二项展开式的通项为：Tr+1=C8r(x)8−r(−2x2)r=C8r(−2)r【解析】本题考查二项式定理，属于中档题.

(Ⅰ)由题得到n=8，再令x=1，即可求出a；

(Ⅱ)写出二项展开式的通项公式，则C8k16.【答案】解：(I)∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，

∴BC⊥平面PDC，又因为PD⊂平面PDC

∴PD⊥BC.

(Ⅱ)如图，以D点为原点，分别以直线DA，DC为x轴、y轴，

依题意，可得D(0,0,0)，P(0,1,3)，C(0,2,0)，A(22,0,0)，M(2,2,0).

∴|PM|=(2)2+(2−1)2+(3)2=6，|AM|=6，

又∵MN⊥PA，∴N为PA中点.

∴N(2,12,【解析】本题主要考查面面垂直的性质，线面垂直的性质，利用空间向量求二面角，属于中档题.

(1)利用面面垂直的性质证明线面垂直进而得到线线垂直;

(2)求出平面PAM的法向量，利用向量从而求出直线DN与平面PAM所成角的正弦值.17.【答案】解：(I)由题意得：9a1+36d=452a1+3d=5

解得：a1=1，d=1，∴an=n.

(Ⅱ【解析】本题主要考查等差数列通项，前n项和，二项式系数和，属于中档题.

(Ⅰ)由9a1+36d=452a1+3d=5解得a1，d，得数列{a18.【答案】解：(I)由题意得：每轮游戏获得1分的概率为13，获得2分的概率为23.

当进行完3轮游戏时，随机变量X可能取值为3，4，5，6.

P(X=3)=(13)3=127，X3456P16128∴E(X)=5

(Ⅱ)(i)证明：累计得分为1分的概率为13，即p1=13，∴p1−p0=−23.

累计得分为i分的情况有两种：

①i=(i−2)+2，即前一轮累计得i−2分，又掷骰子点数不超过4点得2分，其概率为23pi−2，

②i=(i−1)+1，即前一轮累计得i−1分，又掷骰子点数超过4点得1分，其概率为13pi−1，

∴pi=13pi−1+23pi−2，(2≤i≤9,i∈【解析】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望，等比数列的判定，累加法求数列的通项公式，属于较难题.

(Ⅰ)由题意得每轮游戏获得1分的概率，获得2分的概率，X可能取值为3，4，5，6，列出分布列，求得期望；

(Ⅱ)(i)累计得分为1分的概率为13，即p1=13，则p1−p0=−23.累计得分为i分的情况有两种：①i=(i−2)+2，其概率为219.【答案】解：(Ⅰ)f(x)的定义域：(0,+∞)，f′(x)=a−1x，

①当a≤0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0,+∞)上单调递减：

②当a>0时，令f′(x)=0，则x=1a，

此时，当x∈(0,1a)时，f′(x)<0，∴fx)在(0,1a)上单调递减;

当x∈(1a,+∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在(1a,+∞)上单调递增：

综上可得：当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增：

当a>0时，f(x)在(0,1a)上单调递减，在(1a,+∞)上单调递增.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得：a>0，且f(x)min=f(1a)=lna.

g′(x)=ex−a，令