2024年1月武威市高三数学高考一模试题卷附答案解析

2024年1月武威市高三数学高考一模试题卷

（试卷满分150分，考试时间120分钟）2024.1

本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知集合4={1，3,5,8,9},8={1,2,5,7,8,9,11},则AcB的子集个数为（）

A.4B.8C.16D.18

2.在复平面内，（2-公）（3+1）对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.函数/（力=/—31的图象在点（TJ（T）处的切线方程为（）

A2尤+y+4=0B=OQx-2y-3=0口x+2y+5=0

4.若力＞。，且a+»=/，则2a+b的最小值为（）

A.6B.9C.4D.8

5.如图，在棱长都相等的正三棱柱AB。-AgC中，尸为棱CG的中点，则直线4瓦与直线BP所成的角

为（）

A.30°B.45°c.60°D,90°

6,已知向量满足忖WK卜+2可=2四则［%=（）

5^_54_4

A.4B.4c.D.§

7.已知函数"x）=4sinxcosx,g（x）=sin2x-Wcos2x的定义域均为R,则（）

A.当“幻取得最大值时，8（尤）取得最小值

B.当8（幻取得最大值时，八无）=一1

C./⑺与才（尤）的图象关于点13J对称

1

JQ—__

D.八九）与g（©的图象关于直线3对称

/、f|3x-l|,x<l

/（x）=F

8.已知函数U°g2尤"*1,若函数g（x）=/（x）+，”有3个零点，则优的取值范围是（）

A.（a4,（-2,啖,（。,1）D（-1,0）

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某市组织举办了信息安全知识竞赛.已知某校现有高一学生1200人、高二学生1000人、高三学生1800

人，利用分层抽样的方式随机抽取100人参加校内选拔赛，赛后前10名学生成绩（满分100分）为75,

78,80,84,84,85,88,92,92,92,则（）

A.选拔赛中高一学生有30人

B.选拔赛前10名学生成绩的第60百分位数为85

C.选拔赛前10名学生成绩的平均数为85

D.选拔赛前10名学生成绩的方差为33.2

22

10.已知直线1：如+（%一2）y+2=0与圆Jx+y-4x+6y-23=0）点p在圆c上，则（）

A.直线1过定点0」）

B.圆C的半径是6

C.直线1与圆C一定相交

D.点P到直线1的距离的最大值是6+宕

E•土+匕=l（a>6>0）e=FF

11.已知椭圆,/b2的离心率22分别为它的左、右焦点，48分别为它的左、

右顶点，P是椭圆E上的一个动点，且伊耳闾的最大值为26，则下列选项正确的是（）

A.当尸不与左、右端点重合时，△尸片工的周长为定值4+2石

B.当尸尸J?解时，忸闾=1

C.有且仅有4个点尸，使得APG工为直角三角形

D.当直线丛的斜率为1时，直线PB的斜率为4

12.如图，在边长为4的正方形ABC。中剪掉四个阴影部分的等腰三角形，其中。为正方形对角线的交

点，OE=OE'=OF=OF'=OG=OG=OH=OH',将其余部分折叠围成一个封闭的正四棱锥，若该正

四棱锥的内切球半径为5,则该正四棱锥的表面积可能为（）

2

AFrB

A.12B.4+4&c.8D.5+2石

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

--工

13.二项式I的展开式的常数项为

14.已知尸为抛物线。：/=2刃(。>0)上一点，点7^^的焦点的距离为16,到x轴的距离为10,则

p=

15.奇函数满足"4-x)=/(x),〃l)=l,则〃5)=

16.古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率.黄金分割率的值

6T=2sinlS°sind-

也可以用2sinl8°表示，即2~,设6为正五边形的一个内角，则sin36°

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

.„„.a—2,c—3>/3,B—-

17.在"RC中，角A，6，C所对的边分别为”,瓦C,已知6.

⑴求生

⑵求sin2A.

18.已知｛%｝是递增的等差数列，电，为是方程/-1"+70=0的根.

(1)求｛%｝的通项公式;

(2)求数列的前〃项和.

19.某单位招聘会设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试.笔试设有三门测试，三门测试相互独立,

三门测试至少两门通过即通过笔试，通过笔试后进入面试环节，若不通过，则不予录用.面试只有一次机

会，通过后即被录用.已知每一门测试通过的概率均为2,面试通过的概率为5.

⑴求甲通过了笔试的条件下，第三门测试没有通过的概率；

(2)已知有100人参加了招聘会，X为被录取的人数，求X的期望.

3

20.如图，在长方体ABCD-4耳£"中，点E,尸分别在棱8月上，AB=2,AD=1,M=3；

DtE=BF=l

(1)证明：£F±A>£.

⑵求平面A'EF与平面ABCD的夹角的余弦值.

22

C:工-当=l(a>0,b>0)

21.已知双曲线或b-的右焦点为-2，°),实轴长为2后.

(1)求双曲线C的标准方程；

⑵过点4(°/)，且斜率不为0的直线/与双曲线c交于P，Q两点，°为坐标原点，若△°尸。的

面积为求直线/的方程.

f(x)=—+671n(.x+l)

22.已知函数e，\

⑴当a=O时，求的最大值；

⑵若"X)4°在^口口)上恒成立，求实数a的取值范围.

4

1.c

【分析】根据求出AcB中元素个数，然后由集合子集个数公式求解即可.

【详解】因为A8={1,5,8,9},所以AcB有4个元素，故子集个数为24=16.

故选：C

2.D

【分析】先根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解.

【详解】因为於-万川+岭―4i,

所以其对应的点位于第四象限.

故选：D.

3.B

【分析】求得「（门=4二-6x,结合导数的几何意义，即可求解.

【详解】由函数”为）=丁-31,可得/（彳）=4/-6x,所以尸（-1）=2且=

所以所求切线方程为＞+2=2（%+1）,即2x-y=0.

故选:B.

4.B

【分析】根据条件得至然后将原式变形为（如咕+力，再利用基本不等式求解出最小值.

“+2"=2+_!=1

【详解】因为。+必=。匕，所以abab

2a+Z?=（2a+b）]—i—=5H---1----N5+2J------=9

因为b）ab\ab

2bla

当且仅当a~b,即a=6=3时，等号成立,

所以勿+6的最小值为9,

故选：B.

5.D

【分析】作直线A片与直线成的平行线，然后解三角形即可得出答案.

5

【详解】

如图设E,F分别为棱AB,B片的中点，连接麻，FG,EC%EC,

E,F分别为棱肛明的中点，所以EF/m,

因为尸为棱CG的中点，所以GPm且"=阿，

所以四边形C/忙为平行四边形，所以“「/BP,

所以/匹G（或其补角）为直线4月与直线3尸所成的角.

设正三棱柱ABC-A4G的棱长为2“，

则阿|=2缶四=小周=缶阳|=忸4=6

\EC\=J忸cf_|BC『=y/3aEG=J|EC'+|CC/二77a

所以环「+附小=的「，所以所厂G,"FG=90；

故选:D.

6.B

【分析】根据题意，结合向量的数量积和模的计算公式，准确计算，即可求解.

If/I=l,|z?|=2,la+2Z?|=2A/3

【详解】由门口।।,

一（°+2b）2=|a|+4（t-b+4\b\=l+4a-Z?+16=12,„a'^~~~T

可得।।11解得4.

故选:B.

7.D

【分析】利用三角恒等变换与三角函数的图象及其性质，对每个选项逐一判断即可.

g(x)=2sin2x~—2x=—+7.kn(keZ)

［详解】对于选项A：f（x）=2sin2xI3人当了⑺取得最大值时，2

则g（x）=l,A错误.

TTTT、冗

/、2x----=—+2k/r(k€Z)2x=——+2k7T(kGZ)//、1

对于选项B：当g(x)取得最大值时，32，则6,〃x)=l,B错误.

6

——n

所以/(元)与g(x)的图象关于直线-3对称，c错误，D正确.

故选：D.

8.D

【分析】转化为/(“)与丁=一根图象有3个不同的交点，画出两函数图象，数形结合得到答案.

［详解］令g(x)=/(x)+〃y°,故f(x)=T\

的图象,

函数g(x)=/(x)+”2有3个零点，即“6与y=-加图象有3个不同的交点,

则

解得硝TO).

故选：D

9.ACD

【分析】对于A,按分层比例验算即可；对于BCD,由百分位数的概念、平均数以及方差运算公式逐一验

算即可.

1200x---------------------=30

【详解】选拔赛中高一学生有1200+1000+1800人，所以A正确；

85+88_E5

因为10x60%=6,所以选拔赛前10名学生成绩的第60百分位数为一二一.，所以B错误；

-1

x=—x(75+78+80+84+84+85+88+92+92+92)=85

因为1°,所以c正确；

s1」(100+49+25+1+1+0+9+49+49+49)=33.2

因为1°,所以D正确.

故选：ACD.

10.BC

【分析】求解直线经过的定点，圆心与半径，两点间的距离判断选项的正误即可.

［详解］直线1：7.+0"—2)y+2=0,gpm(x+y)-2y+2=0

7

卜+y=0\x=-l

由［一2y+2=0,解得［y=l,则直线1过定点（T/），故A错误；

圆C：炉+>2-4%+6>—23=0,即（工一2）2+（>+3）?=36,

则圆C的圆心坐标为C（2，—3）,半径为6,故B正确；

因为点（TJ）与。（2厂3）的距离为d=7（2+1）2+（-3-1）2=5<6,

则点（T/）在圆C的内部，所以直线1与圆C一定相交，故C正确；

点P到直线1的距离的最大值是1+5=6+5=11,故D错误.

故选：BC.

11.ABD

【分析】A：先求解出椭圆方程，然后根据焦点三角形的周长等于%+2c求得结果；B：先求解出尸的纵

坐标，由此可求归制，根据椭圆定义可求LI；C：先计算焦点三角形顶角的最大值，然后再分析「点

的个数；D：先计算出原B-怎A为定值，然后可计算出心也

【详解】对于A：因为忸尸与同耳闻，当且仅当尸为右顶点时取等号，

又因为阀的最大值为2班,所以2c=2"。=昆

cA/3X21

c——=—.----1-y2=1

因为a2,所以"=21=1,所以椭圆石的方程为4•,

因为△尸%的周长为附+幽+1月闾=2。+2c=4+2色故A正确;

32_

对于B：当尸月,斗8时，与=一石，所以1+为，

|P/\|=—

所以yP=+—2,所以।112,

7

因为也用明=2a=4,所以“-5,故B正确;

八tanZF.QO=tanZF,QO=-=—=y/3

对于C：设椭圆的上顶点为0,因为b1

所以3QO=5QO=60。，所以“P6的最大值为120。，

所以存在4个点P,使得〃尸耳=90。，

又因为存在2个点P使/尸肥=90°,存在2个点p使2尸6片=90°,

8

所以存在8个点尸，使得耳鸟为直角三角形，故C错误;

对于D：因为“（一2，。），3（2,0）,设尸1,%）（/，±2）,

尤+*=1北=1-江

则4，所以°4,

1_芯_

kk____--4_=_1

所以PAPB入0-2%+2需一4只一44,

=-4=_J_

因为“以=1,所以建kpA4,故D正确，

故选：ABD.

12.BC

【分析】设翻折前隹'=M°<x<2）,根据三角形及棱锥的性质可得棱锥的高与斜高，进而可得四棱锥

的体积与表面积，结合内切球的性质可得解.

。//HC

MF

【详解】

设翻折前隹'="（°<》<2）,则翻折后EF=0x,OM=2叵-

斜高

OO22

该四棱锥的高'=>IOM-O'M=V8-4X；

11i-----4

=£。。'.8四边形MG”=£XJ8—4xx2%2=—

则333

.........................一S=S正方形的8-4s△。底尸，=16-4xx2x(4-2x)=8x

9

13%FFGH_J_____

因为该正四棱锥的内切球半径为万，所以S-2,即=

+_1—^/5

则X-1=（无T（f-1）=0,解得x=^x=F-或"二-（舍）

故S=8或4+4指.

故选：BC.

13.7

【分析】求出展开式的通项，再令未知数的次数等于零，即可得解.

(41丫(-Y-r(1丫8-4r

5-丁Tr+l=c[/--X-'=(-iyq2-^―

【详解】I义町展开式的通项为<>27

U=o

令3,得厂=2,

所以常数项为C>2~=7.

故答案为：7

14.12

【分析】根据题意结合抛物线的定义分析求解.

__P_

【详解】由题意可知抛物线C"=2刀(°>0)的准线方程为'=-5,

4+10=1610

根据抛物线的定义可得2,所以P=12.

故答案为：12

15.-1

【分析】直接由函数的对称性、奇函数的性质进行转换运算即可.

【详解】由八"无)=/(力可得“X)的图象关于直线x=2对称,所以〃5)=/(-1)=-”1)=-1

故答案为：-L

丁+1

16.2

【分析】根据条件先求解出e的值，然后根据诱导公式以及二倍角的正弦公式求解出结果.

生*。8。

【详解】由题可知5,

sin。_sin108°_sin(9。。+18。)_cos18°_cos18°_]_2_后+1

所以sin360sin36sin36sin362sin18°cos1802sin18°百-12,

石+1

故答案为：

10

_逑

17.⑴旧；⑵13.

【分析】（1）应用余弦定理解三角形;

sinA=^

（2）由正弦定理求得13,根据平方关系、二倍角正弦公式求结果.

a=2,c—3下,B――

【详解】（1）因为6,

b1=a2+c2-2«ccosB=4+27-2x2x373x^-=13

所以2

所以b

.l7i.AasinB屈

a=2,c=3。3,B=—sinA=-

（2）因为6及（1）结果，所以bVi3-IT

cosA=Jl-sin2A=

因为。<6,所以A为锐角，则13

sin2A=2sinAcosA=------

故13.

S76n+7

18.⑴%=3〃-1⑵3"=丁而T

【分析】（1）根据题意，求得出和。5的值，结合等差数列的基本量运算，进而求得数列的通项公式;

生=（3w-l）x.]

（2）由（1）得到3"[3）,结合乘公比错位法求和，即可求解.

【详解】⑴解:由出和%是*T9x+70=（x-5）（14）=。，

又由｛%｝是递增的等差数列，可得出=5,%=14,

a5-a2_

设｛""｝的公差为d,则5-2,可得纥=%+（"-2）d=3w-l.

所以数列｛"'｝的通项公式为%=3"1.

^=（3«-1）XQT,

（2）解：由（1）知3",记数列13"J的前〃项和为S”,

则S"2xg+5><tj+8xgj+…+（3”l）xg]

11

所以gS"2x]j+5xg]+…+（3〃一4）xg）+（3*l）x]j

|s"+3x；+；+...+；-（3«-l）x

两式相减，得LV7v7I/」

c76n+7\^n_\076n+7

所以〃44x3〃,即数列㈠J的前〃项和为〃44x3〃.

j_

19.（1）4（2）20

【分析】（1）根据条件概率计算即可；

（2）易得X服从二项分布，再根据二项分布的期望公式计算即可.

【详解】（1）设A事件为甲通过了笔试，B事件为甲第三门测试没有通过,

尸（田=嗯2

则

j.

尸（45）=

8

1

P（AB）=8=1

尸例A）=

P⑷j_4

故甲通过了笔试的条件下，第三门测试没有通过的概率为

（2）设某人被录取的概率为P,

x-BIioo,1

由题可知

E（X）=100xl=20

所以5

20.（1）证明见解析（2）3.

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用数量积证明垂直即可；

（2）建立空间直角坐标系，以向量法去求平面人口与平面MCD的夹角的余弦值即可解决.

12

【详解】(1)以G为坐标原点，G2,G耳，GC所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间

直角坐标系，

则A(2,1,0),E(2,0,l),尸(0,1,2),所以AE=(O，T，1),EF=(-2,1,1),

因为A£EF=0x(-2)—lxl+lxl=0,所以

(2)由⑴4£-(0,-U),^-(-2,1,1),

\E-m=0

<

设平面4M的法向量为机=(x,y,z),则［£小机=0,

f—y+z=0

即［-2无+y+z=0,不妨取z=l,则加=(11,1).

易得平面A5C。，所以GC是平面A5c。的一个法向量，且。,=(0,。,3).

cosd=kos(〃7,C［C

设平面设4或7与平面ABC。的夹角为。，所以

且

故平面4或7与平面ABC。的夹角的余弦值为3.

-21=1y=/x+ly=-也x+1

⑵或」

21.(1)2233

【分析】(1)焦点坐标和实轴长得到“，°,再结合-储得到人,即可得到双曲线方程；

(2)联立直线和双曲线方程，利用韦达定理得到「Qi,根据点到直线的距离公式得到点°到直线/的距

离，然后利用三角形面积公式列方程，解方程即可.

【详解】⑴由题意得。=2,2a=28,则”=忘，6=归一片=0,

看上一1

所以双曲线C的标准方程为22.

13

⑵]

设直线/的方程为1质+1,化*°）,尸（为％）,0区必）,

y-kx+\

1件(1_〃卜2_2爪_3=0

联立〔22

△=4左2+120-左2)>0

22k-3

令[1-左230Q<k<-2贝/+%=可，

,解得2且

212—8左2

IPQ|=yjl+k,J(%1+%2)2_4玉%2

2

设点。到直线/的距离为d,则

12—8左2

SOPQ=^d-\PQ\=^-6，解彳或o（舍去），即J与

2

所以

y工+1y=H+l

所以直线’的方程为.3或-3

2

22.