安徽省华大新高考联盟2024届高三年级下册4月教学质量测评二模 数学 含解析

华大新高考联盟2024届高三4月教学质量测评

数学试卷

本试题卷共4页。满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核

对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。

2.选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。

3.非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。答

在试题卷上或答题卷指定区域外无效。

4.考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.若集合4={小%2,8={x[y=ln(5x_2)},则AIB=

16

A.X0<x<—>B.<X--->

2,23,

rr

八2216、

C.<XQ<x<-D.X-<x<—

553

2

2.已知z=(2a-l)+(a+l)z.(aeR),贝!]'[z]=夜"是"a"的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2

3.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点。出发，每次向左移动的概率为一，向右移动的概率

3

为g,若该质点每次移动一个单位长度，记经过5次移动后，该质点位于X的位置，则尸(X>0)=

X

-4-3-2TO123456

5052217

A.-----B.—c.一D.—

243243981

4.青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法

记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV,已知小明和小李视力的五

分记录法的数据分别为4.5和4.9,记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为匕，匕，则e

匕

A.（1.5,2）B.（2,2.5）C.（2.5,3）D.（3,3.5）

1+tan190°2cos70°

5.----------------------------------=

1-tan370°sin40°

A.tan20°B.tan70°C.-tan10°D.-tan40°

6.已知正方体ABC。—4月。12中，点E是线段881上靠近用的三等分点，点方是线段2G上靠近R

的三等分点，则平面AM截正方体ABC。-AgG2形成的截面图形为

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

3

7.已知数列｛4｝的前〃项和为S,，，=1,邑=3,且耳。用是2%,a.的等差中项，则使得

nj509

V—>---成立的最小的n的值为

£4128

A.8B.9C.10D.11

8.若关于尤的不等式。（111%+111。）4262”在（0,内）上恒成立，则实数。的取值范围为

A.（0,e]B.（Q,2e]C.D.（0,e2]

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.若函数/（力=,_（加—2卜+1]在一上单调，则实数根的值可以为

1、5

A.-1B.——C.一D.3

22

10.已知函数=sin（0r+0）（ty>O）,则

兀57r

A.若。=3,（p=~,则将函数/（%）的图象向右平移）个单位后关于y轴对称

318

，一一、兀'

TCz\TCTC

B.若。—,函数/（X）在—-上有最小值，无最大值，且/:二/，则=5

3,，（633J167\7

、

JT（5兀）

C.若直线％=:为函数/（五）图象的一条对称轴，—,0为函数/（五）图象的一个对称中心，且/（%）

4\3J7

18

在二，L上单调递减，则出的最大值为不

U6J17

、

D.若〃尤）=；在X兀3）兀».16

G—上至少有2个解，至多有3个解，则。C4,—

4437

11.已知抛物线C：/=2.（P>0）的焦点为R点〃，N在抛物线C上，则

\MF\33

A.若M,N,尸三点共线，且^一=-,则直线MN的倾斜角的余弦值为土一

\NF\47

近2

B.若M,N,尸三点共线，且直线的倾斜角为45。，则ZkO肱V的面积为《-夕一

C.若点A（4,4）在抛物线C上，且跖N异于点A,AMLAN,则点跖N到直线y=—4的距离之积

为定值

D.若点A（2,2）在抛物线C上，且M,N异于点A,kAM+kAN=0,其中kAM>1,则

|sinZFMN-sinZFNM\<-

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

尤22

12.关于双曲线C：/—6=1（。>0/>0）,四位同学给出了四个说法：

小明：双曲线C的实轴长为8；

小红：双曲线C的焦点到渐近线的距离为3；

3

小强：双曲线c的离心率为一；

2

小同：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1;

若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是；双曲线C的方程为.（第一空

的横线上填“小明”、“小红”、“小强”或“小同”）

13.已知等边/XABC的外接圆。面积为36兀，动点M在圆。上，若+则实数

2的取值范围为.

14.已知空间四面体ABC。满足=AD=2BC=6,则该四面体外接球的体积的

最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物

的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该

作物的高度变化.

天数X12345678910

作物高度y/cm9101011121313141414

(1)观察散点图可知，天数X与作物高度y之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度y关

于天数x的线性回归方程$=gx+6(其中6,6用分数表示)；

(2)小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3cm,请根据(1)中的结果预测第22天该作物的

高度的残差.

♦(%-元)(y-3)

参考公式：石=上―-------------，d^y-bx.

之(七-元『

i=l

10

参考数据：Z%y=710.

Z=1

16.(15分)

已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且g=3,2S“=n(an+2).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若存在“cN*,使得'+'+成立，求实数％的取值范围.

a2a3

17.(15分)

已知四棱柱ABCD—如图所示，底面ABCD为平行四边形，其中点D在平面人与弓乌内的投

影为点4，且AB=AA=2A。，ZABC=120°.

(1)求证：平面，平面AORA；

(2)己知点E在线段G。上(不含端点位置)，且平面ABE与平面BCG4的夹角的余弦值为方-,求

DE

――的值•

HC]

18.(17分)

已知函数/(x)=ln(l+x)=/—.

yjl+x

（1）求曲线>=/（%）在（0,/（0））处的切线方程；

（2）若讨论曲线>=/（%）与曲线y=-2cos尤的交点个数.

19.（17分）

%22

已知椭圆C：膜+R=l（a>b>0）短轴长为2,左、右焦点分别为弓，F2,过点尸2的直线/与椭圆C

UUULUULLUULLUUUL

交于M,N两点，其中跖N分别在x轴上方和下方，MP=PFl,NQ=QF[,直线P鸟与直线交

于点G],直线。鸟与直线NO交于点G2.

（11A

（1）若G1的坐标为,求椭圆C的方程;

136J

（2）在（1）的条件下，过点心并垂直于x轴的直线交C于点8,椭圆上不同的两点A,。满足|gA，

|月耳，|乙。|成等差数列.求弦AO的中垂线的纵截距的取值范围；

⑶若4sAUNG243s△NF[G[W5s△"NG?’求实数。的取值范围.

机密★启用前（新教材卷）

华大新高考联盟2024届高三4月教学质量测评

数学参考答案和评分标准

一、选择题

题号1234567891011

答案DBDCACDBCDACDBCD

1.【答案】D

【命题立意】本题考查函数的定义域、一元二次不等式的解法、集合的运算，考查数学运算、逻辑推理的核

心素养.

]A9

【解析】因为A=1x|x（3x-16）<o!=<%0<x<—>,B=1x|5x-2>0j=<xx>—>,则

216

AB=<x-<尤<■—■>,故选D.

53

2.【答案】B

【命题立意】本题考查复数的概念、充要条件的判定，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.

【解析】因为|z|=^(2a-l)2+(a+l)2=J5,化简得5a2—2a=0,解得a=O或a=[,故“目=夜”

是“。=2”的必要不充分条件，故选B.

5

3.【答案】D

【命题立意】本题考查互斥事件的概率、二项分布，考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.

【解析】依题意

P（X>0）=P（X=5）+P（X=3）+P（X=l—,故选D.

81

4.【答案】C

【命题立意】本题考查指对数的运算，考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.

【解析】依题意，4.5=5+坨匕，4.9=5+lg%,两式相减可得，0.4=lg%—坨匕=lg上，故

H=10°4=^/100,而2S

«98<100<35=243,故W（2.5,3）,故选C.

5.【答案】A

【命题立意】本题考查三角函数的诱导公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系，考查数学运算、逻辑

推理、直观想象的核心素养.

sin10°

+

.aql.辽l+tanl90°2cos70°1+tan1002sin200Cos10°2sin20°

【解析】依题意-----------------------=----------------------=—c°s*。----------

1-tan370°sin40°1-tan10°sin40°।sin102sin200cos20°

cos10°

(cos100+sin100)"1_l+sin20°

---------=tan20°,故选A.

cos2100-sin210°cos20°cos20°cos20°

6.【答案】C

【命题立意】本题考查空间线面的位置关系、基本事实以及面面平行的性质定理，考查数学运算、逻辑推理、

直观想象的核心素养.

【解析】作出图形如图所示；不妨设A8=6,分别延长AE,4线交于点G,此时4G=3,连接尸G交4G

于H,连接即，设平面A所与平面。CG2的交线为/，则Fe/,因为平面〃平面。CG2,

平面AEFI平面平面AEFI平面DCC]R=/,所以/〃AE,设/ID}D=I,则

4

FI//AE,此时故/R=§；连接4,则五边形为所求截面图形，故选C.

7.【答案】D

【命题立意】本题考查数列的递推关系、等比数列的定义、累加法、错位相减法，考查数学运算、逻辑推理

的核心素养.

【解析】依题意，4+2=3a“+1-2an,故an+2-an+l=2（a„+1-a„）,而出一4=S2-2S1=1w0,故数列

1

{an+1-an}是公比为2的等比数列，则an+i-an=2'-,由累加法可知，%=2,故

9i12_ncSi12zi白iA2+n

=+尹，227=广+京+TL+后，两式相减可得，=4一不丁，令

i=lClj乙乙乙，=1Clj乙乙乙，=1LZ-乙

.2+n5092+n3

4------->-----,即n----—<---,

2"T1282”T128

在（0,+8）上单调递减，解得">10,故选D.

8.【答案】B

【命题立意】本题考查利用导数研究函数的性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.

【解析】依题意，ax]n^ax)＜2xe2x,故6侬叫11(砒)42比2*,令/(%)=叱，XER,由

/'(x)=(x+1)e"可得x=—1是/(九)的极小值点，/⑴在(-00,—1)上单调递减，在(-1,+00)上单调递

增，且当x<0时，/(x)<0,当％>0时，/(x)>0.由/(lna¥)W/(2x)(x>0),得ln(ar)W2x

2x(2x-l)e2x

则aW—对任意的xe(O,+x))恒成立，令g(x)=——，xe(0,+x)),则g'(x)=~——r—，故当

XJCx

(1

XG0,—时，g'(%)＜。，g(x)单调递减，当-,+°°时，g'(x)>0,g(x)单调递增，故

I212

⑴c71

[g(x)L=

g-=2ef则〃<2e,故〃£(0,2e],故选B.

二、选择题

9.【答案】CD

【命题立意】本题考查二次函数的图象与性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.

m-21m-21m-21

2,----<

222222,

【解析】令/z(x)=x2-(m-2)x+l,则<

门、或,(1、或＜(或

h一>0,h——<0,h——>0,

1UJ1I2j1I2j

m-21

“不

22c91,

解得34机<一或一一<m<1,故选CD.

h{-、22

<0,

2)

10.【答案】ACD

【命题立意】本题考、查三角函数的图象与性质,考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.

(5兀sinfs%--+-.C乃

【解析】/^-―sin3x---=-COS3x,其图象关于y轴对称，故A正确;

I2J

1IX7I63)

7171

当x=B

=(时，有最小值，所以等1CD71TC8737r/7

sin+——I,所以一^—F——+~^~ykEZj

3Jf

、

1]44[7171nn.TI

所以0=8左+1(左eZ),因为在区间仁’上有最小值，无最大值，所以不—：＜一,即刃＜2,

33)34®

CD7C_7T/-\

—\-（p—2k7]7i+7eZ）

1453n/、618

令左=0,得①=可，故B错误；令'+（p-k7iykeZJ则①二一或一,故c正确；令

3221717

T715TT5717»

—~—>--------=—

2a）~6412

0%+°=2&%+个（左eZ）或。龙+0=2左左+葛（左eZ）,则*=0+2左乃十*（左^Z）或

-(P+2k7T5%/,71

X=------+—(kEZ),则需要上述相邻三个根的距离不超过不，相邻四个根(距离较小的四个)

。6。''2

2»<〃

7ico2「“16)

的距离超过；7，即J。解得①e4,—,故D正确；故选ACD.

28»%3J

-->—

、3(02

11.【答案】BCD

【命题立意】本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的综合性问题，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的

核心素养.

P

\MF\1—COS—3\MF\1+cosa3

【解析】对A,设直线MN的倾斜角为a,则仗j=/或同j=“解得

1+C0S6Z1-cosa

22

,1cp_p_A/22一

cosa=±-,故A错误；对B,ZoMN=F—=---q=FP,故B正确；对c,此时抛物线c：

72sinaJ22

2x——

2

x-4=t（y-4）

2“4」则

y=4x,设直线AM：%-4=《y—4）aw0）,设/（4乂），N[x2,y2）,联立<

y2-4/y+16（r-l）=0,故y=4或y=454,则点M到直线y=-4的距离为|y+4|=固，则点N

“14/4

到直线y=-4的距离为4-二=『，故所求距离之积为4f=16,故c正确；对D,此时抛物线c

y2=2x,设直线AM：y-2=k(x-2),与抛物线方程联立可得6？—2y+4—44=0,则

4—4左2—2k2+2k

则W丁用-左替换可得以则

，/、2、，/\2、

%-%_%-加_2_12（1一左）2-2k2（l+k）2+2k

~22—.一G，贝72，7，N万，■

XM~XNIkk

22

2-2k12(14)211।

故直线MN：y-1-%--2，即y=—彳％+万—i，则点F到直线MN的距离

rZk2化

12-2左2

2J

2回I)

11

而|sinZFMN-sinZFNM\=d=d=d

1J|1\FM\|FN|rr

XM+2XN+2

5k-45人」

5132k316kk

-2A/5F-25P-24F+16飞’25左2—24+牛4丫

5k-+16

k2k）

令t=5k-—>l故

k

]At1611_161275

|sinZFMN-sinZFNM\=-=・-——<飞一,当且仅当

，5t+16~16十予蓝8

忑/+——

/=4时等号成立，故D正确；故选BCD.

三、填空题

22

12.【答案】小强；--^=1

169

【命题立意】本题考查双曲线的标准方程、双曲线的性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.

【解析】分析可知，小明、小红、小强三个人中必有1位同学说法错误，则小同的说法一定是正确的，即

xy[

c-a=L则小明和小红正确，即双曲线C77—彳=1，故小强的说法错误.

169

13.【答案】[72,+8).

【命题立意】本题考查平面向量的数量积，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.

【解析】依题意，1N=36兀,故R=6,在△ABC中由正弦定理得=12,则43=68；取

sin60°

线段AC的中点N,MAMB+MBMC=MB（MA+MC^=2MBMN；取线段BN的中点P,则

21226+

MBMN=MP——BNMP=MP2<（MO+OP）=|^1^|二竽，故

4

22581

MBMN<-----------=36,则4272.

44

14.【答案】367t.

【命题立意】本题考查空间几何体的表面积与体积，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.

【解析】设E,尸分别为8C,的中点，连接AE,DE,BF,CF,由已知，AB=DB,AC=BC,BC=BC,

故△ABC/ZXDBC；因为E是2C的中点，所以AE=OE；因为故石k^AD,即所是线段A。

的垂直平分线，同理可得，EF是线段BC的垂直平分线，故球心在EF上，设球的半径为R,则

OB+OC>BC=327?>3

即4故R23,当且仅当。为线段的中点时等号成立，故所求外接球体积

0A+0D>AD=62R>6

的最小值为367t.

四、解答题

15.【命题立意】本题考查回归直线方程的概念与运算，考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.

-1+2+3+4+5+6+7+8+9+10__

［解析］（D依题息，x=-----------------------------------------=5.5,

10

—1+1+2+3+3+4+4

9=10+=12,

10

1010

Y^-^y.-y）Z^-w710_10x55xl220

故"=-------------=--------------=不

2（七一元）2^xf-10x2385l0x5.533

i=li=l

-2-巴3竺故所求回归直线方程为J=—X+y.

3323

(2)由(1)可知，当％=22时，y——x22H----=22cm,

333

故所求残差为21.3—22=-0.7cm.

16.【命题立意】本题考查数列的递推关系、裂项相消法，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.

【解析】(1)当“=1时，2S]=2q=q+2,解得q=2；

当篦N3时,2Sn=n(a„+2),2sl=("-1)(%+2),

两式相减可得，(〃—2)%—=—2,

1111

则1_2__2

Ti-ln-2n—2n—1n-2n-3n-3n—2…，万一T

aa、4—2〃

累加可得，—------=------,则4=〃+1；

n-l1n-l

而〃=1,2时也符合题意，故。〃=〃+1；

1111

(2)依题意，------=----------=-----------

anan+x(〃+1)(〃+2)n+1n+2

故，i1111111n

H---------F-+-—I—--I——I---

anan+l2334n+1n+22("+2)

111rin

解法一:故----+----++>2a=>------->2(/z+2)=>2<

"M2(〃+2)2(〃+2)2'

dZja?a2a3anan+l

n

贝”W

2(〃+2产

max

n11

而u-----P477(当且仅当"=2时取等号),

2(〃+2)~2.+壮+416

(1

故实数％的取值范围为—8,二•

I16」

解法故

111111111

>+2)=2<

----1----++2

a2a2%"”+12n+22("+2)(n+2)n+24

111

当〃+2=4即”=2时,

2(〃+2)(〃+2)216

max

1(11

则2W—,故实数7的取值范围为-8,、.

16\1166

17.【命题立意】本题考查空间线面的位置关系、向量法求空间角，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的

核心素养.

【解析】不妨设AZA1.

(1)证明：因为4。，平面ABC。，ADu平面ABC。，故4£>_LA£>；

在/XADB中，48=2,AD=1,ZDAB=60°,

由余弦定理，=452+32—2AB-AD.COSNZM3U22+F—2x2xlxcos60°=3,得百;

故4。2+5£>2=.2,则加，..

因为AOcDB：。，所以平面48。；

而ADu平面ADR4,所以平面43。，平面ADRA.

（2）由（1）知，DA,DB,两两垂直，以。为坐标原点，分别以向量OA,DB,D4的方向为x,

y,z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系£>-邙.

A

则D（0,0,0）,4（1,0,0）,5（0,^,0）,4（0,0,A/3）,C（-l,V3,0）,AC=（-2,73,0）,AG=C-

:.C卜2,区司,

所以45=（0,6,—6）,DJ=（-2,区塔,

设DE=2DC1（O<2<1）,则DE=ADC,=（-22,732,732）,即E（—22,后，后）

所以4E=卜24后,后—百）；

（rUULI

rn-A^B=0

设“=（再,乂，4）为平面4防的一个法向量，贝卜

ruuur

〃Ai£=0

岛-后=0

即<.

—24玉+百孙+（后-后）4=0

令4=22,则％=2；1,西=2后一取三=（2⑨一行,2424卜

易知W平面BCC4,故克=（0,1,0）为平面5CC］耳的一个法向量；

设平面\EB与平面BCCXBX的夹角为a,

\n-m\22V5

则cosa=',.-----

川•网V2O22-122+3

八1DE1

解得"7,故西=§.

18.【命题立意】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想

象的核心素养.

【解析】(1)依题意，/'(%)=J+--~r,

1+x2(1+中

故广(0)=5，

33

而/(o)=—1,故所求切线方程为y+1=5无，即y=5九—1；

(2)令ln(l+x)——2-——=-2cosx,故ln(l+x)+2cos

%—/=0,

A/1+x

令S(%)=In(1+1)+2cosx—/

A/1+x

11_21l_3

-2sinx+—(1+%)2,令可尤)=g[x)=-2sinx++%)2

1+X1+X

13_5

〃(%)=--2cosx-a(l+%)2,

(1+4

(71?_5

①当工£—1,—时，cosxNO,(1+X)>0,(l+x)-2>0,

k2_

JI/

;./?(%)在T,》上为减函数，即g'(%)<0在一1,不上为减函数,

iii_2i11

又g'(0)=i+5>0，^，(1)=7-2sinl+7,22<7-2,7+?=0,

.•.g'(x)在(0,1)上有唯一的零点，设为X。,即g'(Xo)=O(O<%o<l).

/冗

g(x)在(-1,%°］上为增函数，在Xo,—上为减函数.

方7777|

又g(0)=2-1>0,g(-1)=皿1-J+2cos(--)—=ln(l--)+72-I<0,

f4

4FI

、

71=lnfl+-

g—।>0,

2.I2j

/n

71

g(x)在(T,%)]上有且只有一个零点,在飞,彳上无零点;

\2_

715兀1]_2

时，g'(x)—l+/(l+x)2<0,g(x)单调递减,

②当XG~2"~6<-----

1+X

1

5吟=ln1+2/\-2

又g—>0，g-A/3—1H------<In4—s/3<0,

I2J67I6I6)

(71571

***g(%)在xe

、万'不内恰有一零点;

5413_5

③当xe~6,71时，”(力=一-2cos%—7(1+X)2为增函数,

(1+X『

5

：.”(九)>h1---1+—>0,