2023年全国硕士研究生招生考试 数学(三) 试题及其答案解析

2023年全国硕士研究生招生考试

数学二

试题及其答案解析

一、选择题：1〜10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项

是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

1.已知函数y)=ln(y+|xsiny|),则().

不存在，爻存在B.笠存在，红

A,更不存在

dx（0.1）及(0,1)②

(0,1)小(0,1)

存在，义存在D.且不存在，义

,<不存在

cdx(0.1)&

(0,1)办(0,1)分(0,1)

【答案】A.

［解析］由已知于（x,y）=In（「十|xsiny|）,则

/u,l)=ln(l+1xsin11),/(O,y)=Iny.

当X>0时，/(x,l)=ln(l+xsinl),讲")

=八=sml；

dxdx

x=0

dA(x,l).i

当％<0时，/(x,l)=ln(l-xsinl),二(内)=J=-sml；

dxdx

所以。(x,y)不存在.

&(0,1)

又守(x，y)=4T(°，y)=i,存在.

②(0,1)dy

y-i

故选A.

,1,X<0

2.函数/Xx)=Jl+炉的一个原函数为().

(x+1)cosx,x>0

In(-\/l+x2-x\,x<0

A.F(x)=I\)

(x+1)cosx-sin>0

F()In(A/1+X)一x)+1,xV0

B.

(x+1)cosx-sinx,x>0

In(A/1+x2-xVx<0

C.尸(%)={\/

(x+1)sinx+cosx,x>0

F()ln(Jl+d+xj+l9%<0

D.

(x+1)sinx+cosx,x>0

【答案】D.

【解析】由已知limf(x)=limf(x)=/(0)=1,即/(x)连续.

%—。+xf0一

所以尸(%)在X=0处连续且可导，排除A,C.

又x>0时，[(x+1)cosx-sinx]r=cosx-(x+l)sinx-cosx=-(x+1)sinx,

排除B.

故选D.

3.若丁"+纱'+外=0的通解在(一00,+00)上有界，则().

A.a<0,b>0B.a>0,b>0

C.a=0,b<0D.a=0,Z?>0

【答案】D.

［解析】微分方程y"+ay'+与=0的特征方程为产+々+b=0.

①若a2—4Z?<0，x)；

②若4b>0,

③若2

/—⑨=0,则通解为y(x)=(G+C2x)e

由于y(x)在(T»,+QO)上有界，若一T＞。，则①②③中xf+co时通解无界，若一T＜。，

则①②③中x-—8时通解无界，故a=0.

a=0时，若Z?＞0，贝!］今2=扬，，通解为y(x)=(Gcos扬x+Csin括x),在(一oo,+co)

上有界.

。=0时，若Z?<0,则仁=±赤，通解为N了）=。户疯+。2仁疯，在（—8,+8）上无界.

综上可得〃=0,b>0.

00000000

4.设4<以,且X4,与Z”收敛，2%绝对收敛是绝对收敛的（）.

n=ln=ln=\n=\

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既非充分又非必要条件

0000

【解析】由已知条件可知2（“-为）为收敛的正项级数，进而z（a一为）绝对收敛・

n=ln=l

0000

设Xan绝对收敛，则由同=h_4+小M”—4I+⑷与比较判别法，得Ebn

n=\n=\

绝对收玫；

00

设绝对收敛，则由同=1%-2+々闫2-⑷+可与比较判别法,得绝对

n=\

收敛.故选A.

5.A,B为可逆矩阵，E为单位阵，M*为M的伴随矩阵，则

I。B）

(\A\B*-5*4*、-4*5*、

A.B.ASIA*

<OB\A\<o\A\B\

r\B\A*-5*4*、r\A\Bf-4*5*、

C.D.

<oA\B\<o|B|A\

【答案】B.

【解析】由于

E'(AEX_AE(E01_,A||5|0、

1°B,[oB)~OB100\A\\B\^

故

町*EY1(\A\\B\O、

©S3。B)1O\A\\B\,

"A-1-A-'B^YIA||B|O、

、1

OB)[o\A\\B\y

(\A\A-'\B\-|A|A-1

OB-l\A\\B\J

Z*|5|-4*5*、

、O5*|A|,

故选B..

6./（%,%2，%3）=（再+%）2+（芯+%3>一4（马一毛）2的规范形为

A2,222„2,22

A.%+v2B.%-%D-X+%一%

【答案】B

2-3%；+2元]

211

二次型的矩阵为4=1-34

14-37

2-2112-210

\A-AE|=1-3-24=(2+7)1-3-21

14-3-214-1

2-210

=(4+7)21-20=—〃/1+7)(2—3)=0,

14-1

4=3,4=—7/=0,故规范形为故选B.

1

7.已知向量组名=2,%=1，用=5，夕2=1°I,若/既可由线性表示,

3JV1

又可由61，四线性表示，则/=（）

3'3、

A.k,keRB.k5,kGR

JO,

C.k1,kGRD.kJ,keR

J,

【答案】D.

【解析】设/=+k2a2=k3j3]+k4j32,则左乌+k2a2-k3/3}-k4j32-0,对关于

kvk2,的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形,

ri2-2-0ri003、

A=(CK],a、、—5)=21—50—>010-1

31-900117

解得(%4,%,%)T=C(-3,1,-1,1)T+(3,-1,1,0)T=(3-3C,-1+C,1-C,C)T,故

(1-C、1

/=+k2a2=(3-3C)at+(C-l)a2=5(1-C)=k\5LA：e7?.

8(1-Qj8

8.设X服从参数为1的泊松分布，则E(|X—E(X)|)=().

112

A..B.-c.一D.1

e2e

【答案】c.

-1

e

【解析】方法一：由已知可得，P{X=Z}=—(Z:=0,l,2,.),E(X)=1,故

k\

E(|X-E(X)I)=E(|X-11)=^LLdle-iJ+J

=1

心ok\W-

2e-1+E(X-l)=-.

e

故选C.

0000丫攵100k+1x

方法二：由于1=£标,于是£语正名x士e-Xr-1!于是

(Z+l)!x

’00

f、•Xk+\、(x-l)er+l

义(左+1)!=z2

yk-1a+1)!)(4+1)!,\xJx

-1

由已知可得，P{X=k}=——e(左=0,1,2,),E(X)=1,故

k\

00(D00

E(|X-E(X)I)=E(|X-11)=J+J工=e-1+e-1J

k=\k\k=la+i)!

x

-1-1(x-l)e+le-i+e-'Z

=e+e

2e

xX=1

E(|X-E(X)I)=E(|yI)=[e-1+E(y)]=e-'+E(X)-l=e-1.

故选c.

9.设X],X2，〃为来自总体NO],/)的简单随机样本，几打,，，工为来自总体

一1n_1m

阳42,2/)的简单随机样本，且两样本相互独立，Hx=-Yxi

1n一1m

s；=一^(X厂X)2,1;J=-则()

"T,=1

m-1,=i

Q2,2

A-念F(n,m)B.*-F(n-l,m-l)

2S,2j、?V2

C-不-F(n,m)D.F(n-l,m-l)

与

【答案】D.

【解析】由两样本相互独立可得史芈L与如二芈工相互独立，且

O-22cr-

3*i),然屋/(…,

bIcy1

(DS「乙八

2/("1)2q2

因此一丘一，//-----=二。F(n-l,m-l),故选D.

(H〃D'J

2b/

10.已知总体X服从正态分布N(〃,(T2),其中(T>0为未知参数，X],X2为来自总体X

的简单随机样本，记d=a|X]—X?|,若E(cr)=cr,则。=().

V71/-r~-

A.2B.———C.yj7iD.J27r

【答案】A.

【解析】由与X],X2为来自总体X的简单随机样本，X],X?相互独立，且

X]N(〃,/),X2-N(〃02),

因而x「X2~N(o,2b2),令y=X1—X2,所以y的概率密度为

1-A

"=而后,

所以

2a

y/Tr

由石(3)=〃E(|X1—乂2。=。，即

aE(\V|)=a•b,

解得a=YZ,故选A.

2

二、填空题：11~16小题,每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.

11.求极限lim%?2-xsin——cos—=__________.

18Ixx)

【答案】2.

3

2(11Y=-2-----cos/

limx2-xsin—cos——Llim-----------------

18lXX)t

,sin/12

]-------------t

「1-cosrr％—sin/

=lim-----；-----blim----T1—t=+lim----------

r->0f;->0Fr->0厂r->0f*5*7

11

—+—

26

_2

-3

12已知函数”2)满足小，跖且"』)号则八尺)=

71

【答案】一.

3

【解析】由已知或箸73f(x,y)x

x2+y29dyx2+y2

以x,y)=f?<h-=-arctan—+(p(y),

Jx+yy

所以智"W7+92即如）=°,°（y）=C'

XTTTT

从而/（2）=-"m匕+0’又八1』）=“解得。7，故

“、乃X/(V3,3)=y-arctan与=鼻

j(%,y)=---arctan—,

2y

EooX2n

—

〃=。(2〃)！

_e+e

【答案】-------

2

82n

【解析】令S(x)=£7r贝i|S(0)=l,且

oo2n-l

s,(x)=y——S'(0)=0,

£(2f!

oo2n—2ooX2n

sff(x)=Y———=Y--=S(x),

tT(2n-2)!士(20!

x

从而可得微分方程S〃(x)-S(x)=0,解得S(x)=Ge*+C2e,

又s（o）=i,s'（o）=o,解得c=C2=g,故

2

9«「％I

sy缶v三

14.某公司在1时刻的资产为了«）,则从o时刻到，时刻的平均资产等于以假设

/⑺连续且/(0)=0,则/«)=

【答案】2（e?-Z-l）.

【解析】由已知可得皿：一二十一1,整理变形J。/⑺由=/«）—»,

等式两边求导/«）=/'⑺—2人即/'«）—/⑺=2人解得一阶线性微分方程通解为

f(0=-2(r+l)+Cez,

又〃0）=0,解得。=2,故/⑺=2(3—1).

ax+x=1,

{3<701lai

石+ax+$=0,

15.2有解，其中凡。为常数若1a1=4则12〃=

x+2X+ax=0,

12312aabQ

axx+bx2=2

【答案】8

aQ11

laia01

-1a1Q

【解析】方程组有解，则|A|二12a+21a1=0故

12a0

abQ12a

ab02

lai

12〃=8.

ab0

16.设随机变量X与y相互独立，且XYB(2,p),pe(0,l)则X+Y

与x-y的相关系数为.

【答案】」

3

【解析】由题意可得，£>（x）=p（i—°）,D（y）=2p（i—必，又由x与y相互独立可

知，D（x±r）=D（x）+D（r）,故

_Cov（X+y,X—y）_________D（X）—D（Y）_______

P（X+Y'X-Y）~JD（X+Y》JD（X-Y）—6（X）+D（Y>6（X）+D（Y）

D(X)-D(y)=p(l-p)-2pQ-p)=」

D(X)+D(Y)~p(l-p)+2p(l-p)~3

三、解答题：17~22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本题满分10分)

已知函数y=y(x)满足aex+y~+y-ln(l+x)cosy+b-0,且y(0)=0,y'(0)=0.

(1)求a,6的值；

(2)判断x=0是否为函数y=y(x)的极值点.

【解】(1)将y(0)=0代入aeX+y2+_y-ln(l+x)cosy+Z?=0得a+Z?=0.

方程aex+y2+y-ln(l+x)cosy+b=0两边对x求导得

aex+2yy'+y'----cosy+ln(l+x)siny•y，=0,

1+x

将y'(0)=0代入上式得a—1=0,解得a=l,b=-1.

⑵由(1)知e*+2yy'+y'---—cosy+ln(l+x)siny-yf=0,上式两边再对x求导得

1+x

e'+2(y)2+2y/+/+—:--cosyH-----siny-+----siny+ln(l+x)cosy-y'yf+ln(l+%)siny-y

(1+x)-1+x■\_l+x■■_'

将y(0)=0,y(0)=0代入上式得/(0)=-2,所以x=0是函数y=y(x)的极大值点.

18.(本题满分12分)

己知平面区域。

、xyll+x2,

(1)求平面区域。的面积S.

(2)求平面区域。绕x一周所形成得旋转体的体积

1712.711

［解］⑴S=C2——dx=psec由=fjLk

Jlx\/l+x24tanrsec?smt

71

=fncosZ^-1万

COS1+1n2V2-1

4

r+oo1

(2)丫=4■dr=

%2(l+x2)

19.(本题满分12分)

已知D={(x,y)|(x-l)2+/<1),求JJ|荷+/-l|dxdy.

D

【解】令2={(x,y)|(x-l)2+y2wi,x2+y2<i},则

jjl+—l|dxdy

D

p2cos8/•—)，八4〃/-^ig，八32—71

=fo匕。飒"1+至一用2rLJ”dode=。

23，

20.(本题满分12分)

设函数/(x)在［-«,«］上有二阶连续导数.

(1)证明：若/(0)=0,存在Je(—a,a),使得广©=［"⑷+/(—a)］；

a

(2)若/(%)在(—a,a)上存在极值，证明：存在〃£(一〃,〃)，使得

2a

【证明】⑴将人工)在飞=。处展开为

……0M+可二…？

其中5介于。与工之间.

分别令%=一。和X=Q，则

«。)=八。)(-。)+丁，

/(iO)⑷+当心0<“，

两式相加可得

/(-«)+/(«)="♦.)；­，

又函数/(%)在[—0,0上有二阶连续导数，由介值定理知存在Je[q,2]u(-a,a),使得

即/C)=±"(—a)+y(a)].

a

(2)设/(X)在/处取得极值，则/(x°)=0.

将/(x)在X。处展开为

2

〃、"一心v尸3)(X-Xo)2〃/Wx-Xo)

f(x)=f(x0)+f(x0)(x-Xo)+-----------=/(/)+------------，

其中3介于％与X之间.

分别令x=-a和x=a,则

举,、J、尸(〃1)(。+/)2

于(-a)=/(x0)+-----------,-a<T]i<x0,

一、j、/"(小)("超)2

/(«)=/(%)+-~—，x0<r/2<a,

两式相减可得

f(Qf(〃—/"(〃2)("/)2/"(〃1)(。+/)2

J\u)_J\~a)~--，

所以

I"力"力，"(〃2)("5)2/(〃1)(。+公)2

I/⑷一/{-a)\=--------------------------------------

w"”(7)|(a+Xo)2।"〃(%)|(。一.)2

22

<Lq221[(a+/)2+3_/)2K"“⑺|=max("〃(q)|,"〃(%)I))

<+/)+(a—Xo)F=2a2"〃⑺)|,

21.（本题满分12分）

(X1+%+彳3、

设矩阵4满足对任意的石,%2，％3均有Ax2=2玉一X2+X3.

⑴求4

⑵求可逆矩阵尸与对角阵/,使得尸一1人尸=/.

【解】（1）由Ax2=2玉一々+九3,得

、(111、、

A2-11

、

01-1J\7

(111、<111、

即方程组A-2-11-11

x2=0对任意的%1，%2，%3均成立，故4=2

、01-101-1

1—A111-A01

(2)1A-2E|=2-1-21=(2+2)20-A

01-1-201-1-2

=—(2+4)(%—2)(2+1)=0,

特征值为4=—2,4=2,4=—1.

311、(100、，0、

A+2E211011«i=-1

、

0117000>17

J111、(10—4、4

A-2E=2-31—>01—3,a2=

、01-3J000；

，211](I01、,-1、

A+E=201-0—1