上海市2024届崇明区高考一模数学

上海市2024届崇明区高考一模数学

考生注意：

1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.

2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,

在试卷上作答一律不得分.

3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1〜6题每题4分，7〜12题每题5分）

1.不等式|工-2卜1的解是.

2.双曲线X2-Zi=l的焦距是.

4----------------

3.若复数z=%2-4+（m+2）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数HI的值为.

4.已知等比数列｛a｝首项a=l,公比4=2,则5=

n15---------------------

5.1+怖]的展开式中X2的系数为•（用数字作答）

6.已知圆锥的母线与底面所成角为45。，高为1,则该圆锥的母线长为.

7.在空间直角坐标系中，点PQ,-2,3）到xOy平面的距离为

8.如图是小王同学在篮球赛中得分记录的茎叶图，03578

1012004

则他平均每场得分.

（第8题图）

9.已知事件/与事件2相互独立，如果尸（A）=0.4,P（B）=0.7,贝1」尸（,[8）=.

10.用易拉罐包装的饮料是超市和自动售卖机里的常见商品.如图，是某品牌的易

拉罐包装的饮料.在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成

本最低，也就是易拉罐本身的质量最小.某数学兴趣小组对此想法通过数学建

模进行验证.为了建立数学模型，他们提出以下3个假设：（1）易拉罐容积相

同；（2）易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体；（3）易拉罐的罐顶、罐体和罐

底的厚度和材质都相同.

你认为以此3个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若

不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线.

11.已知不平行的两个向量满足|q=1,a-b=^3.若对任意的feR,都有竹-加|22成立，则忖

的最小值等于.

12.已知正实数出反C,d满足〃2-出2+1=0,C2+J2=l,则当3-0）2+3-602取得最小值时,

ab=

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13〜14题每题4分，15〜16题每题5分）

【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得

零分.】

{"x|-2WxW3},B=|x>o},则(

13.已知集合4=)

A.[-2,3]B.[0,3]C.(0,+oo)

14.若％>y>0,则下列不等式正确的是（)

11D.于月

/.|川<3B.X2<y2c.-<-

%y

15.已知点M为正方体ABCD-ABC。内部（不包含表面）的一点.给出下列两个命题:

1111

q：过点〃有且只有一个平面与A4和5C都平行；

1111

q:过点M至少可以作两条直线与44和8C所在的直线都相交.

2111

则以下说法正确的是

A,命题q是真命题，命题q是假命题B.命题4是假命题，命题q是真命题

1212

C.命题q,q都是真命题D.命题q,q都是假命题

1212

16.若存在实数a.b,对任意实数xeOl],使得不等式X3-机WQX+6WX3+加恒成立，则实数加的取值

范围是（)

2+00

A.B.C.D.£J

99,3J2+)

J7

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】

17.（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分）

如图，四棱锥「一ABC。中，Q4_L平面ABC。，AB//CD9PA=AB=AD=2,CD=1,

ZADC=90°,E、F分别为PB、45的中点.

（1）求证：CE〃平面44。；

（2）求点5到平面Pb的距离.

18.(本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分)

在△ABC中，。=5,Z?=6.

4

(1)若cosN=-二，求Z和△ABC外接圆半径尺的值；

(2)若△ABC的面积5=及蛆，求c的值.

4

19.(本题满分14分，本题共有3个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分)

交通拥堵指数(TPD是表征交通拥堵程度的客观指标，用加表示，力以越大代表拥堵程度越高.某

实际行程时间

平台计算7P/的公式为：TIP=知并按777的大小将城市道路拥堵程度划分如下表所示的

C畅通£仃]程时间

4个等级:

TPI11,1.5)[1.5,2)L,4)不低于4

拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵

某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如下图:

0.5

。12月29而2月301力2月31rl月IH'I月2HT月3H'1月4H

-2023年—2022年

(1)从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；

(2)从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日77>/

高的天数记为X,求所有X的可能值及其发生的概率.

20.(本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分)

已知抛物线「:y2=4x,r:y2=2x,直线/交抛物线「于点4D,交抛物线T于点8、C,其中点/、

1212

2位于第一象限.

(1)若点/到抛物线「焦点的距离为2,求点/的坐标；

1

(2)若点/的坐标为(4,4),且线段NC的中点在x轴上，求原点。到直线/的距离；

(3)若A耳=2CD;求与△BOC的面积之比.

21.(本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8

分)

已知/(x)=/nx+sinx(meR且加w0).

(1)若函数y=/(x)是实数集K上的严格增函数，求实数加的取值范围；

(2)已知数列｛a｝是等差数列(公差dwO),b是否存在数列｛〃｝使得数列屹｝是等差数列？

nnnnn

若存在，请写出一个满足条件的数列｛a｝,并证明此时的数列g｝是等差数列；若不存在，请说明理

nn

由；

(3)若m=1,是否存在直线y=履+b满足：①对任意的xeR都有/(x)》fcr+b成立，

②存在xeR使得/(x)=丘+b?若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由.

000

答案

一、填空题

1.（1,3）；2.2邪;3.2；4.31；5.10；6.6；

7.3；8,9；9.0.42；10.假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐

lJ2

底材质比罐体的材质厚；11.6;12.g+L

二、选择题

13.D；14.C；15.A；16.A.

三、解答题

17.解（1）证明：取PA中点G,连接GE、GD,则,GE=-AB，

2

由于CDUAB,CD=^-AB.所以GE//CD,GE=CD,

2

所以四边形CDGE是平行四边形，所以CE〃GD,...................4分

由于CE不在平面PAD上，OGu平面PAO,

所以CE〃平面PA。；............................................7分

（2）设点3到平面PCT的距离为人，

由题意，CFLAB,又尸4,平面A8CD,所以CFLPb

在歹中，=/，所以S=1CFPF=邪...........4分

APFC2

由V=V得一S-PA=-S-h

P-BCFB-PCF3△BCF3△尸。尸

所以//二手，即点3到平面pa的距离为手....................7分

18.解（1）因为cosB=——,Be（0,兀）,所以sinB—J1-COS2B——...2分

由正弦定理，得「7T=2R,即/..................4分

sinAsinBsinA3

5

所以sinA=—,R=5,

因为a<b,所以因此A=>,R=5..........................6分

、15"

2x—2—万

12S4=4

(2)由S=—absinCsinC=—4&BC=..........2分

△ABC2ab5x6丁,

,3

于是cosC=±Jl-sin2C=±-..........4分

33

当cosC=二时，由余弦定理，得C2=52+62-2x5x6x=16..........6分

44

当cosC=——时,由余弦定理，得。=52+62-2x5x6x106.

4

所以，0=4或。=>/1砺................................................................................................8分

19.解(1)根据统计数据可得：2022年元旦及前后共7天中，共有2天交通高峰期城市道路拥堵程度为

“拥堵”;3分

设7天中任取1天，这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为p,

2

则尸二一................................6分

7

(2)根据统计数据可得：2023年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路777比2022年同日777高的

天数共有2天，故X=0],2.....................2分

尸(x=o)=三竺二；P(X=1)=HS20_4

C3357C335-7

77

尸(X=2)=CiC2518分

357

7

20.解(1)抛物线y2=4x的准线为x=—l,

因为点/到抛物线:r焦点的距离为2,所以点/到抛物线「准线的距离为2,

11

所以点A的横坐标为1,故点A的坐标为(1,2)....................4分

4+x4+y

(2)设C(x,y),则线段zc的中点坐标为

oo22

4+V

由题意，一z-e-=0,故y=-4,所以C(8,-4).....................2分

2o

所以直线/的方程为：2x+y-12=0.....................4分

,1212J5、

所以原点。到直线/的距离d=/，......................6分

02+125

(3)由题意，直线/的斜率上显然存在且kw。，设直线/的方程为y=丘+8

设4“产(”2),8(”3)，。(〉力)

由A月=2。方，得y—y=2(y—y)①，..........2分

3124

fy2=4xk,44b

由<,得：-y^-y+b=0,所以y+y=-,yy

y=kx+b4i2左i2k

22b、

同理，y+y=J，yy=-.....................4分

34k34k

所以y+y=2(y+y)②，yy=2yy③

12341234

由①，②得：y=—y,代入③得y=-2y，代入②得3y=4y

231424

_9_4

缶2sy->’45’410八

所以△AOQ=­I——-3-=——-----------------=——................................................................................................................8分

Sy-V—47

/\BOC34—y—y

344

21.解(1)因为函数y=/(x)是实数集K上的严格增函数，

所以/'(%)=m+cosx>0对任意的&都成立..............2分

因为函数丁=〃z+cosx的最小值为〃?一1,所以加>1.........4分

(2)b=sina+ma,若/｝是等差数列，则b+b=2b对一切正整数〃成立,

nnnnnn+2n+1

即sina+ma+sin〃+ma=2sina+2ma

nnn+2n+2n+ln+l

将Q+〃=2a代入化简得sin〃+sino=2sin〃,

nn+2n+1