备考2024年新高考数学一轮复习-直线的方程

直线的方程

日题型目录

题型一倾斜角与斜率

题型二直线与线段的相交关系求斜率范围

题型三求直线的方程

题型四直线的定点问题

题型五直线与坐标轴围成的三角形问题

题型六直线平行或垂直

题型七距离公式的应用

题型八对称问题

/典例集练

题型一倾斜角与斜率

例1.（2023春・湖北荆州•高三统考阶段练习）若直线经过两点B（2-3m,2）,且其倾斜角为135。，则机的

值为（）

A.0B.—C.■-D.—

224

例2.（2023春•上海黄浦•高三上海市敬业中学校考期中）直线（/+1卜-2皎+1=。的倾斜角的取值范围是（）

7171713兀

A.B.C.D.

畤45249T

举一反三

练习1.（2023秋•高二课时练习）若如图中的直线4,心4的斜率为《，&，%，贝U（）

练习2.（2023秋•高三课时练习）对于下列命题：①若夕是直线/的倾斜角，则0。<e<180。；②若直线倾斜角为

则它斜率左=tana；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角.其中正

确命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

练习3.（2023秋•高三课时练习）直线/的斜率为k,且道，当］，则直线/的倾斜角的取值范围是.

练习4.（2022秋・江西•高三校联考阶段练习）己知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为3,则该等腰直角

三角形两腰所在直线的斜率分别为,.

练习5.（2022秋.高三课时练习）（多选）若直线I与x轴交于点A,其倾斜角为«,直线/绕点A顺时针旋

转45。后得直线4,则直线k的倾斜角可能为（）

A.。+45°B.67+135°C.a—45°D.135°-（z

题型二直线与线段的相交关系求斜率范围

例3.（2023•全国•高三专题练习）若实数X、>满足y=-x+3,-1<X<1,则代数式*二的取值范围为

例4.（2023秋•高三课时练习）直线/：依+y+l=0与连接42,3）,8（-3,2）的线段相交，则a的取值范围是（）

A.[一1,2]B.[2,+a>)U(-«,-1)c.[-2,l]iJ(2,3)D.(-co,-2][1,+co)

举一反三

练习6.（2022秋.江苏连云港.高三校考阶段练习）已知点4（-2,3）,3（3,2）,若直线《x+y+2=0与线段A3没有交

点，则”的取值范围是（）

54

C.

2,3

练习7.（2023秋•高三课时练习）如图,已知两点A（-2,-3）,B（3,0）,过点P（-1,2）的直线I与线段AB始终有公共

练习8.（2023・全国•高三对口高考）已知点尸若直线/:无+的+%=0与P。的延长线（有方向）相交,

则小的取值范围为.

练习9.（2022•全国•高二专题练习）已知4T2）,2（2,4）,点尸（无,y）是线段A8上的动点，则上的取值范围是.

X

练习10.（2022秋・福建泉州•高三校考阶段练习）（多选）若直线/经过点4（1,2）,在无轴上的截距的取值范围是（-3,3）,

则直线/斜率的取值可能是（）

A.—B.—2C.1D.—

2-

题型三求直线的方程

例5.（2023秋•高二课时练习）由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式：

⑴斜率是经过点48,-2）；

（2）经过点2（4,2）,平行于x轴;

3

⑶在x轴和y轴上的截距分别是:，-3；

（4）经过两点A（3,-2）,3（5,-4）；

⑸在x轴上的截距是-7,倾斜角是45；

（6）倾斜角为60,与y轴的交点到x轴的距离是3.

例6.（2023•高三课时练习）已知直线/的倾斜角为a,sina=且这条直线经过点P（3,5）,求直线/的一般式方

程.

举一反三

练习11.（2023秋•高三课时练习）经过点且倾斜角为60。的直线的一般式方程为（）

A.\/3x—y—1=0B.s[3x—^+1=0C.x—+1=0D.x—s[3y—1=0

练习12.（2022秋•高三校考课时练习）直线4：^+y+6=0和直线4：6x+y+a=。在同一平面直角坐标系中的图像

练习13.（2022秋•高三校考课时练习）已知uABC的三个顶点分别为A（L1）,3（3,1）,C（4,5）,〃为AB的中点，则中

线CM所在直线的方程为（）

A.2尤+y-3=0B.2x-y+3=0

C.2x+y+3=0D.2x-y-3=0

练习14.（2023•全国•高三对口高考）过点P（2,l）作直线/分别交x,》的正半轴于A,B两点.

（1）求aABO面积的最小值及相应的直线/的方程;

⑵当|OA|+|QB］取最小值时，求直线/的方程；

（3）当|摩卜户却取最小值时，求直线/的方程.

练习15.（2023春•上海徐汇・高三上海中学校考期中）过点尸（3,0）作一条直线/,它夹在两条直线乙：2尤-y-2=0和

k：尤+>+3=0之间的线段恰被点P平分，则直线/的方程为（）

A.8x+y-24=0B.8尤-y-24=0

C.8x+y+24=0D.尤+8y+24=0

题型四直线的定点问题

例7.（2022•全国•高三专题练习）直线丘-〉+1=3环当上变动时，所有直线恒过定点坐标为（）

A.（0,0）B.（0,1）C.（3,1）D.（2,1）

例8.（2023・全国•高二对口高考）以下关于直线标-冲+1=0的说法中，不正确的是（）

A.直线标--+1=。一定不经过原点

B.直线3尤-ay+l=0一定不经过第三象限

C.直线3尤-砂+1=0一定经过第二象限

D.直线标-冲+1=0可表示经过点,o］的所有直线

举一反三

练习16.（2023•全国•高三专题练习）直线依-y+1-3左=0,当左变动时，所有直线都通过定点（）

A.（3,1）B.（0,1）C.（0,0）D.（2,1）

练习17.（2022秋•福建福州•高二福建省连江第一中学校联考期中）已知向量。=（x-3力,1）,6=（1,ny+2）,且

alb.若点（X，y）的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（）

A.（-2,3）B.（3,-2）C.（-3,2）D.（2,-3）

练习18.（2023春・上海长宁•高三上海市第三女子中学校考期中）＜^（m-6）x+2（m-l）y-m-4=0（meR）必

过点.

练习19.（2023春•上海浦东新•高三上海师大附中校考阶段练习）已知实数”,瓦c成等差数列，则直线诉+力+c=0必

过定点.

练习20.（2023春・湖南•高三临澧县第一中学校联考期中）已知。为坐标原点，直线外x+蛆-2=0与3

mx-y+2祖=0交于点P,则的值为.

题型五直线与坐标轴围成的三角形问题

例9.（2023春・湖南常德•高三常德市一中校考期中）已知直线/的方程为（o+l）x+y-5-2a=0（aeR）.

（1）求直线/过的定点P的坐标；

（2）直线/与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于点A,B,当493面积最小时，求直线/的方程；

例10.（2023秋•高三课时练习）过点口2,4）且在坐标轴上的截距相等的直线一般式方程为.

幽一反三

练习21.（2022秋•高三校考课时练习）过点（2,0）,且在两坐标轴上截距之和等于6的直线方程是—.

练习22.（2023・上海•高三专题练习）求过点尸（2,3）,并且在两轴上的截距相等的直线方程.

练习23.（2022秋・安徽六安•高三校考阶段练习）已知直线/经过点P（-5,T）且/与两坐标轴围成的三角形的面积为

5,则直线/的方程为.

练习24.（2023春•四川内江•高三四川省资中县第二中学校考开学考试）己知直线/：（2a+3）x-（a-l）y+3“+7=0,

（1）证明直线/过定点A,并求出点A的坐标；

⑵在（1）的条件下，若直线/'过点A,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的求直线/'的方程.

练习25.（2022秋・安徽六安•高三校考阶段练习）若直线/与直线4x-3y=l平行，且在x轴上的截距比在y轴上的

截距大7,求直线/的方程.

题型六直线平行或垂直

例11.（2022秋•高二校考课时练习）与直线y=-x+2垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（）.

A.y=x+2B.y=x-2

C.y=-x+2D.y=-x+4

例12.（2023・高三课时练习）已知直线/i：x+ay+2=0和/2：（。一2）%+3>+6。=0,若/〃*贝

举一反三

练习26.（2023•河南郑州•校考模拟预测）已知直线/与直线x+2y+l=0垂直，若直线/的倾斜角为。，则

练习27.（2022秋•四川泸州•高三统考期末）点（。,0）与点（-2,2）关于直线/对称，则/的方程是（）

A.x+y+2=0B.x-y+2=0C.x+y-2=0D.x-y-2=0

练习28.（2023・全国•高三对口高考）直线4：x+〃zy+6=0和/2：（〃L2）x+3y+2〃z=0,当加=时，//心

当"z=时，I』；当加=时，4与［相交.

练习29.（2023秋•高三课时练习）已知直线如+牡+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在>轴上的截距为g,则加,

n的值分别为和.

练习30.（2023秋・青海西宁•高三统考期末）已知直线4：2x-y+l=0,：3x+ay+7=0,4：尿+2y-l=0,若4_L4且

卜川3,则加6的值为（）

A.-5B.5C.-7D.7

题型七距离公式的应用

例13.（2022秋・广东揭阳•高三校考期中）直线/过点P（2,-l）.求分别满足下列条件的直线方程.

⑴若直线/与直线x+y+l=0平行；

⑵若点A（l,2）到直线/的距离为1.

例14.（2023•全国•高三对口高考）过点尸（0,1）且和A（3,3）,3（5,-1）的距离相等的直线方程是.

举一m

练习31.（2023春・河南洛阳•高三校考阶段练习）两条平行线小3x+4y-6=0,£9x+12y-10=0间的距离等于（）

A.AB.工C.&D.2

15151515

练习32.（2022秋•高三单元测试）己知直线过点A（l,2）,且原点到这条直线的距离为1,则这条直线的方程是（）

A.3%一4y+5=0和光=1B.4%—3y+5=0和y=1

C.3%-4y+5=0和y=1D.4%—3>+5=0和芯=1

练习33.（2022秋•高三校考课时练习）若点A在直线2x+3y-3=0上，且点A到直线2x+y=0的距离为有，则点

A的坐标为.

练习34.（2023・全国•高三对口高考）过点以0,1）且和4（3,3）1（5,-1）的距离相等的直线方程是.

练习35.（2023秋•高三课时练习）在直线2元-y=0上求一点尸，使它到点”（5,8）的距离为5,并求直线尸/的方程.

题型八对称问题

例15.（2022秋•高三校考课时练习）己知点A（。+2,6+2）和B（b-a,-b）关于直线4x+3y=ll对称，则a,b的

值为（）.

A.a=-l,b=2B.〃=4,b=-2

C.a=2,b=4D.a=4,b=2

例16.（2022秋・安徽六安•高三校考阶段练习）已知直线《的方程为x-2y+4=0.

（1）若直线（和直线4关于点（0,0）对称，求直线4的方程;

（2）若直线乙和直线乙关于直线，=了对称，求直线乙的方程.

举一反三

练习36.（2023秋・上海奉贤•高三校考期末）唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏

饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先

到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B（T,0）,若将

军从山脚下的点0（0,0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3,贝广将军饮马”的最短总路程是（）

A.2B.3C.4D.5

练习37.（2023春•上海闵行•高三校考阶段练习）函数3=&一2%+5+&—4X+13的值域为.

练习38.（2022秋•高三单元测试）己知AABC三个顶点的坐标分别为A（2,4）,B（0,-5）,C（10,0）,线段AC的垂直平

分线为/.

（1）求直线/的方程;

(2)点P在直线/上运动，当IAPI+IBPI最小时，求点尸的坐标.

练习39.(2022秋・安徽六安.高三校考阶段练习)一条光线从点A。』)发出，经过丫轴反射，反射光线经过点3(4,5).

(1)求反射光线所在的直线方程；

(2)求反射光线所在直线与坐标轴所围成的三角形面积的大小.

练习40.(2023・高三课时练习)若点A(a+2,Z?+2)关于直线4x+3y+11=0对称的点是B(b—a,a—b),求〃、/?的值.

专题9.1直线的方程

日题型目录

题型一倾斜角与斜率

题型二直线与线段的相交关系求斜率范围

题型三求直线的方程

题型四直线的定点问题

题型五直线与坐标轴围成的三角形问题

题型六直线平行或垂直

题型七距离公式的应用

题型八对称问题

/典例集练

题型一倾斜角与斜率

例1.（2023春・湖北荆州•高三统考阶段练习）若直线经过两点A（加,1）,B（2-3m,2）,且其倾斜角为135。，则机的

值为（）

A.0B.—C.—D.—

224

【答案】D

【分析】根据两点斜率公式求解即可.

o_i1

【详解】经过两点A（肛1）,3（2—3W2）的直线的斜率为1=.；=­＞，

2—3m—m2-4m

13

又直线的倾斜角为135。，.•.丁丁=-1,解得机=：.

2-4m4

故选：D

例2.（2023春•上海黄浦•高三上海市敬业中学校考期中）直线（4+1卜-2叶+1=。的倾斜角的取值范围是（）

_717T7T

A.0,—B.—

-4」142_

【答案】C

【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可.

TT

【详解】由题意知，若4=0，则倾斜角为

a1

若贝=—H------

2la

①当。＞0时，3+工22、口^=1（当且仅当。=1时，取“=”），

22a\22a

②当。＜0时，-（W+—1—]＜-2,昆-一一=-1（当且仅当。=一1时，取“=

I2—2a）V2-2Q

丘口也），故。小目口已于，

71371

综上，4'T

故选：C.

举一反三

练习1.（2023秋•高二课时练习）若如图中的直线412，/3的斜率为勺，&，匕，则（）

【答案】C

【分析】设出三条直线的倾斜角，结合直线斜率的定义和正切函数图象，数形结合得到答案.

【详解】设直线4,的倾斜角分别为“人显然内（0段J,*1,且

所以23=tan/＞0,左=tana＜0,k2=tan,＜0,

又〉=1311工在xeg,“上单调递增，故勺=tana＞tan£=心,

所以&＜发＜公.

故选：C

练习2.（2023秋•高三课时练习）对于下列命题：①若。是直线/的倾斜角，则0。＜。＜180。；②若直线倾斜角为a,

则它斜率左=tanc；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角.其中正

确命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】通过直线的倾斜角的范围判断①的正误；直线的斜率的定义，判断②的正误；直线的斜率与倾斜角的关系

判断③和④的正误.

【详解】对于①：若e是直线的倾斜角，则。。＜夕＜180。；满足直线倾斜角的定义，则①正确；

对于②：直线倾斜角为a且打工90。，它的斜率左=tan夕；倾斜角为90。时没有斜率，所以②错误；

对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为90。时没有斜率，所以③正确；④错误；

其中正确说法的个数为2.

故选：B.

练习3.（2023秋•高三课时练习）直线/的斜率为鼠且％e则直线/的倾斜角的取值范围是.

【答案】［词

【分析】画出直线的区域，由图直观看出直线的倾斜角范围即可.

【详解】如图：

斗

\

\\

\\

当直线/的斜率左£-，

直线’的倾斜角的取值范围为：。，胃俘，无］

故答案为：0,口样，兀］

练习4.（2022秋・江西•高三校联考阶段练习）已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为3,则该等腰直角

三角形两腰所在直线的斜率分别为，.

【答案】一21/0.5

【分析】由己知结合直线的倾斜角与斜率关系及两角和与差的正切公式可求.

【详解】解：设等腰直角三角形斜边上的高所在直线的倾斜角为贝ijtana=3,

由题意得该等腰直角三角形两腰所在直线的倾斜角分别为。+45。，a-45。，

e、r/tana+tan4503+1-/…、tana-tan4501

因为tan（a+45°）=-------------------=----------=-2,tan（a-45°）=--------------------=-,

1-tanatan4501-3x11+tanatan4502

所以该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为为-2,1.

故答案为：-2,g.

练习5.（2022秋•高三课时练习）（多选）若直线I与x轴交于点A,其倾斜角为«,直线/绕点A顺时针旋

转45。后得直线4,则直线乙的倾斜角可能为（）

A.a+45°B.a+135°C,a-45°D.1350-a

【答案】BC

【分析】由倾斜角的定义，分类讨论作出图形，数形结合分析即可.

【详解】解析：当口245。时，直线4的倾斜角为勿-45。（如直线AC旋转至直线A。）；

当0。4a<45。时，直线人的倾斜角为180。-（45。-a）=135。+a（如直线4。旋转至直线AB）.

题型二直线与线段的相交关系求斜率范围

例3.（2。23•全国•高三专题练习）若实数",满足>=T+3,—Kg】,则代数式号的取值范围为一

【答案】*7

【分析】作图，根据代数式二的几何意义，结合图象即可得出答案.

【详解】

如图，A（l,2）,B（-l,4）,C（-2,-3）,

5k—3—4

则kAC=^BC=7

-2-1-2-(-1)

因为951=三号，可表示点C与线段AB上任意一点M(x,y)连线的斜率,

由图象可知，“AC—^MC—%5C，

所以有：4丝=左m47.

故答案为：|,7.

例4.(2023秋•高三课时练习)直线/：依+>+1=。与连接人(2,3),3(-3,2)的线段相交，则。的取值范围是()

A.[-1,2]B.[2,-H»)Il(^»,-l)C.[-2,1](2,3)D.(-℃,-2]1[1,+<»)

【答案】D

【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率坐公式结合图形求解作答.

【详解】直线6+y+i=o过点P(o,-1).

如图,

由题意，直线/与线段A3总有公共点,

即直线/以直线24为起始位置，绕点尸逆时针旋转到直线尸3即可,

直线/的斜率为左，直线尸4PB的斜率分别为怎A，七B，于是心喘或八%,

而即A=\^=2,怎B==U=-1,因止匕左W—1或左22,

2—。—3—0

所以-aW-1或-,解得aV-2或a21,即。的取值范围是(―0,-2][1,+<»).

故选：D.

举一反三

练习6.(2022秋•江苏连云港•高三校考阶段练习)已知点4(-2,3),3(3,2),若直线依+>+2=0与线段Ag没有交

点，则”的取值范围是()

54

C.

253

【答案】B

【分析】求出直线的斜率，结合图形得出。的范围.

【详解】直线"+>+2=0过定点C（0,-2）,且葭=高,7=；

54

由图可知直线与线段AB没有交点时，斜率一。满足

练习7.（2023秋•高三课时练习）如图，已知两点4（-2,-3）,3（3,0）,过点P（-l,2）的直线/与线段A8始终有公共

【分析】根据题意结合图形求出直线AP的斜率心.，直线BP的斜率心「，即得直线/斜率的取值范围.

2-（-3）

【详解】根据图形，•••直线AP的斜率是心「=।><=5,

T-（R

2-01

直线BP的斜率是kBP=44=-4，

...过点尸的直线/与线段A3有公共点时，

直线/的斜率的取值范围是1-巩-;[5,+8）.

故答案为：1c°，一；B+CO）.

练习8.（2023・全国•高三对口高考）已知点尸若直线/：X+冲+加=0与尸2的延长线（有方向）相交,

则加的取值范围为.

【答案】

【分析】先求出PQ的斜率，再利用数形结合思想，分情况讨论出直线的几种特殊情况，综合即可得到答案.

【详解】如下图所示,

72-11

由题知女尸°=2_(_1)=§，

直线%相=0过点Af

当m=0时，直线化为％=0,一定与PQ相交，所以相。0,

当加NO时，k,=--,考虑直线/的两个极限位置.

m

①/经过。，即直线4,则号乂口=3；

'12-02

②/与直线P。平行，即直线3则勺=%=：，

因为直线I与PQ的延长线相交，

113?(2、

所以:＜一_1＜:,解得_3＜机＜一彳，所以机e_3,-胃.

3m23I3)

故答案为：

练习9.(2022•全国•高二专题练习)已知4-1,2),8(2,4),点P(x,y)是线段上的动点，则上的取值范围是

X

【答案】(-8,-2］优2收)

【分析】根据上的几何意义即可求解.

所以左3=5~^=一2，k=——=2,

—1—UZ—UOB

_y-O_y

(0P_八一，

x-0x

因为点尸(无,y)是线段A3上的动点，

所以kop=—e(—00,-2][2,+oo).

x

故答案为：⑵出)

练习10.(2022秋・福建泉州•高三校考阶段练习)(多选)若直线/经过点4L2),在无轴上的截距的取值范围是(-3,3),

则直线/斜率的取值可能是()

A.—-B.-2C.1D.—

【答案】BC

【分析】根据给定条件，结合图形求出直线/的斜率取值范围，即可作答.

【详解】令点3(-3,0),C(3,0),依题意，直线/与x轴的交点在线段BC上(不含端点8,C),如图，

2—012—f)

直线A3斜率=直线AC斜率热。===-1,

1一，1—3

因此直线/的斜率上＜-1或左＞;,

所以直线/斜率的取值可能是-2或L

故选：BC

题型三求直线的方程

例5.(2023秋•高二课时练习)由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式:

(1)斜率是经过点A(8,-2)；

(2)经过点3(4,2),平行于x轴；

3

⑶在x轴和y轴上的截距分别是万,-3；

⑷经过两点43,-2),B(5,T)；

⑸在x轴上的截距是-7,倾斜角是45;

(6)倾斜角为60，与y轴的交点到x轴的距离是3.

【答案】⑴x+2y-4=。

⑵'-2=0

⑶2x—y—3=0

(4)无+y—1=0

(5)x—y+7=0

⑹氐-y+3=0或氐_y_3=0

【分析】（1）由点斜式可得结果；（2）由点斜式可得结果；（3）由截距式可得结果；（4）由两点式可得结果；（5）

由点斜式可得结果；（6）由斜截式可得结果.

【详解】（1）由点斜式得y+2=-g（无-8）,即x+2y-4=0.

（2）因为直线平行于x轴，所以斜率等于0,

由点斜式得＞—2=0x（无一4）,即尸2=0.

3

（3）因为在无轴和y轴上的截距分别是万,-3；

上+上=1

所以直线方程的截距式为：3-3一，即2x-y-3=0.

2

（4）由两点式得上三=泻，即x+y-l=0.

（5）斜率左=tan45=1,

由点斜式得y-0=%+7,即X-y+7=0.

（6）斜率为tan60=石，

因为直线与y轴的交点到入轴的距离是3,所以直线在丁轴上的截距为±3,

所以所求直线方程为y=百冗+3或y=6不一3,即Vix—y+3=0或百x—y—3=0.

例6.（2023・高三课时练习）已知直线/的倾斜角为。，sin«=-,且这条直线经过点P（3,5）,求直线/的一般式方

程.

【答案】3x-4y+H=0或3x+4y-29=0.

【分析】根据给定条件，求出直线/的斜率，再利用点斜式方程求解作答.

343

【详解】直线/的倾斜角为。，sina=g,当。为锐角时，cos^=-,直线/的斜率匕=tana=,

3

由直线点斜式方程得：y—5=［（尤—3）,即3%—4y+H=0,

4

43

当a为钝角时，coscr=-j,直线/的斜率上?=tan。=一^,

3

由直线点斜式方程得：y—5=-—（%—3）,即3、+4y—29=。，

4

所以直线/的一般式方程为3x—4y+ll=0或3x+4y—29=0.

举一反三

练习11.（2023秋•高三课时练习）经过点（0,-1）,且倾斜角为60。的直线的一般式方程为（）

A.\/3x-y-l=0B.\f3x—y+l=0C.x-^/3y+l=0D.x-退y-l=0

【答案】A

【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程.

【详解】由直线的倾斜角为60。知，直线的斜率k=6，

因此，其直线方程为y-（-l）=有（无-0）,即瓜-y-l=0.

故选：A

练习12.（2022秋•高三校考课时练习）直线/］：依+>+6=。和直线4：bx+y+a=0在同一平面直角坐标系中的图像

有可能是（）

城L；

ATVIV

c0人

【答案】B

【分析】化简直线方程分别为4：y=-办-。和/2：丫=-桁-。，结合选项，逐项判定,即可求解.

【详解】化简直线方程分别为4：y=6和4：y=-法一°,

显然乙的斜率是4的纵截距，4的纵截距是4的斜率，

对于A中，由乙的图象，可得一“<0,-6>0,即。>0,。<0；

由4的图象，可得即6>0,a>0,显然不成立；

对于B中，由/1的图象，可得一。<0,-6<0,即。>0,6>0；

由4的图象，可得一即6>0,a>0,显然成立；

对于C中，由4的图象，可得一。>0,-6<0,即“<0力>。；

由4的图象，可得-人>0,-“>0,即6<0,。<0,显然不成立；

对于D中，由乙的图象，可得一。>0,—6>0,即。<0,6<0；

由4的图象，可得-6<0,-。>0,即b>0,a<0,显然不成立；

故选：B.

练习13.(2022秋.高三校考课时练习)已知..ABC的三个顶点分别为4(1,1),3(3,1),C(4,5),M为AB的中点，则中

线CM所在直线的方程为()

A.2x+y-3=0B.2x-y+3=0

C.2x+y+3=0D.2x-y-3=0

【答案】D

【分析】求得点M的坐标，由直线的两点式方程求解.

【详解】点M的坐标为(2,1),由直线的两点式方程得二=三|,即2尤-y-3=0.

故选：D

练习14.(2023•全国•高三对口高考)过点42,1)作直线/分别交x,y的正半轴于A,B两点.

(1)求ABO面积的最小值及相应的直线/的方程；

⑵当|OA|+|O8|取最小值时，求直线/的方程；

⑶当|上叫尸耳取最小值时，求直线/的方程.

【答案】⑴(SmL=4,此时直线/的方程为x+2y-4=0.

(2)x+>/2y-2-^=0

(3)x+j-3=0

【分析】(1)设A3。)，3(0,6),(«,&>0),则直线/的方程为2+；=1,依题意可得2+：=1,利用基本不等式求

abab

出"的最小值，即可得解；

71

(2)由(1)可知二+；=1,利用基本不等式求出|。山+|。同的最小值，即可求出此时。、匕的值，从而求出直线方

程；

(3)依题意直线/的斜率存在且左<0,设直线/:y-l=%(x-2),分别求出A,8的坐标，求出|以卜|即的方程，

根据基本不等式的性质求出直线方程即可.

【详解】(1)依题意设4“，。)，B(0,b),(。/>0),

设直线/的方程为2+；=1,代入P(2,l)得2+。=1,

abab

9ik21

所以±+!=则就28,当且仅当一=：,即〃=4、0=2时取等号，

ab\abab

121

当且仅当一=7，即〃=4、。=2时取等号,

2ab

此时直线/的方程为:+]=1,即x+2y_4=0,

所以（S=4,此时直线I的方程为x+2y-4=0.

21

(2)由(1)可得—H—=1(a,b>0),

ab

所以侬+3|=0+。=(0+/二+口=3+呸+也3+2、口^=3+2夜,

\ab)ba\ba

当且仅当/=攻，即4=2+0，6=后+1时取等号，

ba

此时直线I的方程为2+五+/+]=1，即％+血丁-2-0=0.

（3）依题意直线/的斜率存在且左＜0,设直线Z：y-l=Mx-2）,

令y=o,解得x=2」令x=0,解得了=1-2k,所以A(2—%,。1,8(0,l—2人),

k

则|叫|PB|=J(4+4k8+4x2卜/=4,

当且仅当上2=},BPk2=l,即左=一1时，|上4Hp@取最小值,

此时直线/的方程为无+＞-3=0.

练习15.（2023春•上海徐汇・高三上海中学校考期中）过点P（3,0）作一条直线/,它夹在两条直线4：2x-y-2=0和

4：%+y+3=0之间的线段恰被点P平分，则直线/的方程为（）

A.8x+y-24=0B.8x-y-24=0

C.8x+y+24=0D.x+8y+24=0

【答案】B

【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为y=k（x-3）,进而得出交点，根据点尸

为两交点的中点建立等式，求出左的值，从而即可解决问题.

【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：尤=3,不符合题意;

所以直线斜率存在设为3

则直线/方程为尸-3）,

3k—2

x=--------

y=Z(x-3)k-2

联立直线4得：＜

2x-y-2=04k

y=------

〔k-2

3k-3

x=-------

'y=k(x-3)^k+1

联立直线4得：，＜

x+y+3=0-ok

y=------

女+1

所以直线/与直线4,直线4的交点为:

3k-24k](3k-3-6k}

k-2k+1，I+1J

又直线i夹在两条直线4和，2之间的线段恰被点P平分,

3k-23k—34左-6k

所以-----1-----=6,----1----=0,

k-2k+1k-2k+1

解得：k=8,

所以直线/的方程为：8%-y-24=0,

故选：B.

题型四直线的定点问题

例7.（2022•全国•高三专题练习）直线区->+1=3左，当％变动时，所有直线恒过定点坐标为（）

A.（0,0）B.（0,1）C.（3,1）D.（2,1）

【答案】C

【分析】整理所得直线方程为Mx-3）-y+l=0,根据题意，即可求得结果.

【详解】把直线方程整理为人"-3）-y+l=0,

fx—3=0[x=3（、

令1_y+l=0'故t=l'所以直线恒过定点为（3，1）.

故选：C.

例8.（2023・全国•高二对口高考）以下关于直线3x-ay+l=o的说法中，不正确的是（）

A.直线标-殴+1=0一定不经过原点

B.直线3尤--+1=0一定不经过第三象限

C.直线3x-冲+1=。一定经过第二象限

D.直线标-冲+1=0可表示经过点，和的所有直线

【答案】B

【分析】首先求出直线过定点坐标，即可判断A、D,再分。=0、。>0、a<0三种情况讨论，分别判断直线所过象

限，即可判断B、C；

【详解】对于直线3》一©+1=。，令y=。，解得x=-g,故直线恒过点（一;,0）

一定不经过原点，故A正确；

当4=0时直线即为X=-；,直线过二、三象限，

31

当时直线即为y=—x+—,

aa

13

若〃>0,则一>0,->o,直线过一、二、三象限，

aa

13

若Q<0,则上<0,-<0,直线过二、三、四象限，

aa

所以直线一定过二、三象限，故B错误，C正确；

因为直线恒过点1-g,o],所以直线3%-世+1=0可表