2024年高考押题预测数学试卷（北京卷1）（考试版A4）

绝密★启用前

2024年高考押题预测卷01【北京卷】

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.设集合U={1,2,3,4},M={2,3},则用（）

A.{1,4}B.{1,3}C.{2,3}D.{354}

2.设xeR,则“x=0”是“炉=尤”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.抛物线V=2y的焦点坐标为（）

(0,1)

4.已知复数2是纯虚数，则在复平面中，复数z==a+i的共辗复数N对应的点坐标是（）

A.（-3,-1）B.（-3,1）C.（1,-3）D.（1,3）

5.已知角。的终边上有一点尸的坐标是（3,4）,则cos（：--4的值为（）

433D.1

A.——B.--C.-

5555

6.在数列{4}中，％=1,%=9,氏+2=3凡+]—2%—1。，则{《9}的前"项和S”的最大值为（）

A.64B.53C.42D.25

7.已知直线ax+y-l=O与圆C：(x-l)2+(y+a)2=i相交于A,B两点，且ABC为等腰直角三角形，则实

数。的值为()

A.一或一1B.—1C.1或一1D.1

7

8.设a=206,6=2%c=0.5%则()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<b<a

22

9.双曲线上-上=1的渐近线与圆f+丁—4x+3=0的位置关系为

124

A.相切B.相交但不经过圆心C.相交且经过圆心D.相离

10.已知/(X)是定义在(0,+8)上的增函数，其导函数/(元)满足第R+V>1,则下列结论正确的是

/(x)

A.对于任意尤w(0,+s),f(x)<0B.对于任意尤e(0,+<»),f(x)>。，

C.当且仅当xe(l,+8)J(x)<0D.当且仅当xe(l,—)J(x)>0

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.二项式(X-1)6展开式的常数项是.

X

12.函数小)=｛露:1::则U=一.

13.如图，在梯形A3CD中，AB//CD,AB=4,AD=3,CD=2,AM=2MD-如果AC-8M=-3，则

ABAD=.

14.在AABC中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,若2sinCcos3=2sinA+sin8,且AAFC的面积S=迫0,

4

则ab的最小值为

15.平面直角坐标系中，A(-LO),8(1.0),若曲线C上存在一点尸，使尸4尸2<0，则称曲线C为“合作曲

线“，有下列曲线①一+丁=；；②y=f+l；③2y2_/=1；④3x?+丁=1；⑤2x+y=4,

其中“合作曲线”是.(填写所有满足条件的序号)

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

16.（14分）

在如图所示的直三棱柱ABC-A4G中，D,E分别是BC,4用的中点.

⑴求证：上//平面4^弓4；

⑵若ABC为直角三角形，AB=BC=2,用=用，求直线OE与平面ABC所成角的大小；

（3）若ABC为正三角形，AB=AAl=4,问：在线段A3上是否存在一点M,使得二面角A,-ME-。的

冗

大小为2胃？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由.

17.（13分）

已知函数〃x）=2cosx-cos（x+eWd<]|,从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已

知，使函数“X）存在.

条件①:呜）=1;

JT

条件②：函数〃尤）在区间0,-上是增函数；

条件③：VxeR"（x）”用.

注：如果选择的条件不符合要求，得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计

分.

⑴求。的值；

（2）求/（X）在区间-万,0上的最大值和最小值.

18.（13分）

某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据

并按分数段[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]进行分组,假设同一组中的每个

数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.

本各分数段人数

O455565758595体育成绩

（1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有1000名学生，试估计

高一全年级中“体育良好”的学生人数；

（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体有成绩在［40,50）和［60,70）的样本学生中随机抽取2人，求

在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在［60,70）的概率；

（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a,b,c,且分别在［70,80）,［80,90）,［90,100］三组中,其

中a,b,ceN.当数据a,b,c的方差/最小时，写出a,b,c的值（结论不要求证明）

19.（15分）

fdL_113e

设椭圆二+1=1（a＞若）的右焦点为尸，右顶点为A,已知j西+同可=忻外，其中。为原点，《为

椭圆的离心率.

（I）求椭圆的方程；

（II）设过点A的直线/与椭圆交于点B（3不在x轴上），垂直于/的直线与1交于点与y轴交于

点H,若BFLHF,且/加。4=/他40,求直线的/斜率.

20.（15分）

已知函数/（尤）=6,11尤+3尤2+1

（1）求曲线y=f（x）在点（0,7（0））处的切线方程；

（2）若函数g（x）=a（ln尤-x）+/（尤）-e*sinx-l有两个极值点耳，x2（X）^x2）,且不等式

g（Xi）+g（%2）＜“七+马）恒成立，求实数2的取值范围.

21.（15分）

设有数列数“｝,若存在唯一的正整数人（入2）,使得则称｛4｝为“左坠点数列记｛“"｝的前”项

和为S“.

2〃+1,62*

⑴判断：4=（-2）"抱,=：是否为"左坠点数列，，，并说明理由;

2,n＞2

c

⑵已知｛4｝满足4=1,|%+1-㈤=4+1,且是“5坠点数列"，若lim笠=3,求”的值；

zoon

⑶设数列｛凡｝共有2022项且可＞。.已知G-4T+/T=S,a2+a3++a2022=t.若｛%｝为“P坠点数

列”且｛SJ为F坠点数列”,试用小f表示次必.

2024年高考押题预测卷01【北京卷】

数学.参考答案

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

910

12345678

AB

AAAADBCD

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

Q3

11.1512.-13.-14.315.①③④

92

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

16.（14分）

【详解】（1）取AG中点f，连接跖,b,

因为E为A片的中点，所以斯〃用G,E尸=：耳G,

又因为。为8c的中点，所以C£>〃BC,C£>=；8C=gBG，

所以EF//CD,EF=CD,

所以四边形EFCD是平行四边形，

所以CF//DE,

又C/u平面ACGA，平面ACC0,

所以DE//平面ACGA；

（2）取中点G,连接EG,OG,

因为四边形用为矩形，且E,G为4瓦,43的中点,

所以B[E//BG,B]E=BG,

所以四边形用EGB为平行四边形，所以84//EG

因为几何体为直三棱柱，

所以平面ABC,所以EGJ_平面ABC,

所以直线OE与平面ABC所成角即为NEDG,

因为2G为8C,AB中点，

所以DG=[AC=；JAB2+BC2=0,且BB[=EG=6

所以tanNE£»G=^=^=@,

DG拒2

所以Z.EDG=arctan，

2

所以直线与平面ABC所成角的大小为arctan

2

(3)设存在“满足条件，

连接EQ,因为.ABC为正三角形，所以△4百£也是正三角形，

因为E为4月中点，所以EC|_LAB],

因为几何体为直三棱柱，所以，平面A4G,

因为EGu平面ABG,所以3片，EC,,

因为BBXABX=B{,,AB】u平面\ABB{,

所以EG，平面AAB与，

以E为原点，以EA，EG方向为％z轴正方向，在平面442片内过点E垂直于4月方向为>轴，建立如图所

示空间直角坐标系，

则矶0,0,0）,。卜1,4,退）,4（2,4,0）,3（-2,4,0）,设=e[0,1]）,

所以（2—税,4—%,-%）=44,0,0）,所以“（2—444,0）,

所以EM=(2-444,0),网＞=卜1,4,73),

设平面MED的一个法向量为n=(苍y,z),

n-EM=(2-42)x+4y=0

所以＜，令x=2,则〃二

n-ED=—x+4y+A/3Z=0

取平面AME的一个法向量加=(o,o,i),

所以〃卜就1

5,

lx4+(2A-l)2+6-82

5

解得几=]1或几=3/1(舍去)，

此时由图可知，二面角A-狼-。的平面角为钝角，

所以当M为A3中点时，二面角A-ME-。的大小为茎27r.

17.(13分)

【详解】(1)由题意得：/(x)=2cosx-cos(x+^)=2cosx-[cosxcos-sinxsin(p\

-2cosQOS2%-2sin夕cosxsinx=cos0(cos2x+l)-sin夕sinlx

=cos夕cos2x-sincpsin2x+coscp=cos(lx-(p)+coscp

当选条件①：f[三]=cos°[cos/+1)—‘in0sin/=gcoscp-sincp-cos=1,

又因为悯＜£,所以一所以一3＜0+?＜学，

222636

所以cos[°+[=1时，即得：夕+5=0,即夕=4.

当选条件②：

/(x)=2cos%•cos(x+cp)=cos(2%-何+coscp

从而得:当2E-兀＜2]-。＜2阮,左wZ时，/(%)单调递增，

化简得：当祈-万+与VxVE+称,％£Z时，＞/*(%)单调递增,

JT

又因为函数“X)在区间0,-上是增函数，

far--+—<0

99TT

所以得：，左eZ,解之得：-2E+—V0V-2E+兀4eZ,

而+”2

I24

当％=0时，得兀，与已知条件同矛盾，故条件②不能使函数/（x）存在.

故：若选条件②，。不存在.

当选条件③：

由VxeR,/（x）>/（x）=2cosx-cos（x+9）=cos（2x-e）+cose，

得当x专时，cos（2x,）=cosf=-l,又因为网后，

所以得事一夕=兀，得。=5，

（2）当选条件①：

由⑴知：W=-]，则得：/（x）=cos（2x+g）+；,

又因为xe-1-,0,所以2x+5e-y,1-,

所以当X=一弓时，/（同有最大值/[一已]=1：05]-三+1）+3=850+；=|；

所以当x=_5时，/（“有最小值/（一]]=cos[—兀+]]+；=cos1_g]+；=0；

当选条件③：

由（1）知：/=2，则得：/（x）=cos[2x-1]+g,

「L.、t兀八LL,IC7T4兀兀

又因为一5‘°'所以--，

所以当x=0时，八到有最大值〃0）=cos1-3+；=<+；=1；

所以当X=_g时，"%）有最小=COs[_?_g]+；=COS（_7l）+；=一；；

18.（13分）

【详解】（1）由折线图，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有40-2-6-2=30人,

30

所以该校高一年级学生中“体育良好”的学生人数大约为lOOOx—=750人；

40

（2）成绩在[40,50）有2名学生，设为1,2；[60,70）有2名学生，设为A,3,

故抽取2名学生的情况有：（1,2）,（1,A）,（l,3）,（2,A）,（2,3）,（A3）,共6种情况,

其中恰有1人体育成绩在［60,70）的情况有：。,4）,（1,3）,（2,4）,（2,3）,共4种情况,

49

故在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在［60,70）的概率为尸=：=；；

（3）甲、乙、丙三人的体育成绩分别为且分别在［70,80）,［80,90）,［90,100］三组中，其中a,6,cwN,

要想数据c的方差d最小，则b,c三个数据的差的绝对值越小越好，故a=79,c=90,

则甲、乙、丙二人的体育成绩平均值为——-——=--—,

故方差

心上79一丁］+,一”＞（9。一等斗；.…RM"。。­）,］

=捺(6/-10148+43386),

-1014

对称轴为人-k=84.5,

故当8=84或85时，S2取得最小值,

。瓦c的值为79,84,90或79,85,90.

19.（15分）

/、113c113c

【详解】解：（I）设/（G。），由西+网=回，即％+%=而向，

可得"一。2=3/,^a2-c2=b2=3,

22

所以02=1,因此〃=4,所以椭圆的方程为上+匕=1.

43

（II）设3（乙,方），直线的斜率为M%w。），则直线/的方程为y=«（x—2）,

£匚1

由方程组彳43'消去九整理得（4左2+3卜2―16公元+16左2-12=0,

y=k（x-2）,

解得x=2或x=

4k2+3

由题意得与=专心，从而力式，

4k+34K+3

（9一4"212k、

设”（0,%）,由（1）知网1,0）,有m=（T%）,BF=\—^,—^\

\^TK十D^TKiDI

由即UHF,得BF-HF=0,

止_9nkyH9-4左2

所以4F+3+4A:2+3=0，解得yH=

12k

因此直线的方程为y=-工工+9-4左2

k12k

19-4k2

■y-__JQ_|________2042+9

设M（均,％）,由方程组＜

k12k'消去y,得x“=12俨+1)，

y=k(x-2),

在AM40中，ZMOA=ZMAOo\MA\=\MO\,

20k2+9

即(与-2)2+熄化简得〜=1,即］2e+i)=l,

解得左=_包或左=逅，

44

所以直线/的斜率为左=-逅或左

44

20.(15分)

【详解】解:(1)因为f(x)=e*sinx+g尤?+1,

所以/'(X)=exsinx+excosx+x,

所以切线斜率左=/（。）=1,又以切=1,

故曲线y=/（%）在点（o,/（o））处的切线方程为:

y-l=lx(x-0),即％-y+l=0.

(2)因为g(x)=<7(lnx-x)+f(x)-exsinx-1=a(lnx-x)+^x2,

所以g，(x)=xix+"(x>0),

X

因为函数g（%）=〃（ln%-%）+/（%）-/sin%-1有两个极值点不，巧（%=%），

则g，（X）=0有两个不同的正根，即％2一利+々=0有两个不同的正根,

A—a?—4。>0

则xl+x2=a>0=>。〉4,

玉％2=。>0

不等式武%）+双X2）＜〃石+%2）恒成立等价于

屋g（%i）+g（%2）=gQl）+gQ2）

恒成立,

Xy+X2a

1212

又g(%)+g(x2)=Q(ln玉—xi')+—xl+dt(lnx2—x2)+—x2

=a(lnXj+lnx2)-a(Xj+々)+；(%；+%；)

12

=QinXxX2—〃(玉+x2)+—[(%1+x2)—2玉％21

=aIna-Q2+—(Q2-2a)=QIna—-Q2-a,

所以彳〉g&)+g®)=ina_；a_l,

令y=lna-ga-l(a>4),贝！Jy，=L_g<0,

所以y=lna—；Q—l在(4,+oo)上单调递减,

所以y<21n2—3,所以XZ21n2—3.

所以实数丸的取值范围为：［21n2-3,y).

21.(15分)