2024届高三期末适应性考数学试卷（含答案）

2024届高三期末适应性考

数学

本试卷共6页，22小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

I.己知复数二1=12-3i,二2=-9+i,则z+:2的实部与虚部分别为

A.3»—2B.3,-2iC.2,-3D.2,-3i

2.已知集合〃=卜,=111(1-2^)},N={y»=e*},则A/cN=

D.0

4.已知向量否满足同=2,,卜+可=而"，则向量£在向量1上的投影向量的

坐标为

A.2,2)B.(1,1)C.(-1,-1)D.--y-t-y-

数学试题（第1页，共6页）

5.已知角。的始边为x轴非负半轴，终边经过点（3,、。），将角。的终边顺时针旋转会后得

到角力，则tan/?=

A.—B.--C.V3D,-y/5

33

6.已知抛物线£:/=2「*（0>0）的焦点为尸，准线为/,过E上的一点4作/的垂线，垂

足为8,若|/切=3|。用（0为坐标原点），且的面积为12忘，则E的方程

为

A.y1=4xB.y2=C.y2=8^D.y2=Sy/3x

7.一个轴械面是边长为2道的正二角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为1的小球。।

后，再放入一个球。2,则球。2的表面积与容器表面积之比的最大值为

41J3J3

A.—B.—C.—D.—

8127273

8.已知函数/⑶的定义域为（专力，且/（x）=4n2x，smx<c°sx,若关于'的方程

144）[smx,sinx>cosx

/（x）=a有4个不同实根演,七,七,七（为<七<再<为），则/（xjsin*,*；/*"的取值范

围是

A.Q书B.jJC.（1,应）D.（-72,1）

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若a,Z>eR,则下列命题正确的是

A.若46工0且a<6,则一>—B.若a<b,则/<6，

ab

C.若a>b>0,则―+；<。D.若a同则

10.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：C）满足函数关系丁=。就"

（e=2.718…为自然对数的底数，A,b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192

小时，在14匕的保鲜时间是48小时（参考数据：2.85=172,2,76«387）,贝ij下列

说法正确的是

A.de（5,6）

数学试题（第2页，共6页）

B.若该食品储藏温度是2rC,则它的保鲜时间是16小时

C.A<0

D.若该食品保鲜时间超过96小时，则它的储藏温度不高于7C

11.欧拉函数夕（〃乂〃eN*）的函数值等于所有不超过正整数〃，且与"互质的正整数的个

数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：。（3）=2,。（4）=2,则

A.s（4>0（6）=°（8）B.当“为奇数时，s（〃）=〃—1

C.数列｛『（2"）｝为等比数列D.数列的前〃项和小于|

12.如图，在棱长为2的正方体/3CO-4gGA中，己知M,N,P分别是棱GR,AAt,

8C的中点，。为平面PMN上的动点，口直线。片与直线。片的夹角为30°,则

A.。用J■平面PAW

B.平面PMN故正方体所得的截面面积为3

C.点。的轨迹长度为兀

D.能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的

球的半径的最大值为上正

2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（2x2+x-y）’的展开式中*5歹2的系数为（用数字作答）.

14.某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合

格.现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值L2,3,…,100）,经计算

100100

»>,=7200,=100x（72?+36）.若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布

，=|1=1

N"）,则估计该市高中生身体素质的合格率为.（用百分数作答，精确到

0.1%）

参考数据：若随机变量X服从正态分布NJ,/）,则加-。4万%+。卜0.6827,

数学试题（第3页，共6页）

尸（〃一2aKXW〃+2a）之0.9545,P（p-3a<X<«0.9973.

15.已知函数〃x）=e2'-2a（x-2）e'-a2x2®>o）恰有两个零点，则。=.

16.在1,2，…，50中随机选取三个数，能构成公差不小于5的等差数列的概率为

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

记S”为数列｛3｝的前〃项和，若q=3,（〃+1）2勺+|+（2〃+1）5“=2.

（1）求S“；

⑵若心思病

,求数列｛4｝的前〃项和和.

18.（本小题满分12分）

已知—8C的内角45c的对边分别为o,6,c,A为锐角，的面积为S,

4bs=ae？+/-储）.

⑵如图，若及C=%BC=后,O为-BC内一点,且。求

。8的长.

数学试题（第4页，共6页）

19.（本小题满分12分）

如图，已知斜四棱柱力BCD-44CQI，底面43co为等腰梯形，48〃C。，点4在

底面的射影为O,且4。=8。=。。=44=1,AB=2,4。=（AA.LBC.

（1）求证：平面Z8CO1平面4CC/：

（2）若A/为线段片。上一点，且平面M8c与平面夹角的余弦值为浮，求直

线4M与平面MBC所成角的正弦值.

20.（本小题满分12分）

杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗

址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时

代精神和精致和谐的人文精神.甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物：

方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、

宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是

等可能的：

方式二：直接购买吉祥物，每个30元.

（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开.当中买到的吉祥物首次出

现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列：

（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐

再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲

盒？

数学试题（第5页，共6页）

21.(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xQy中，点尸「6,0),点p(x,y)是平面内的动点.若以PF为

直径的圆与圆。“2+必=4内切，记点P的轨迹为曲线E.

(1)求E的方程：

(2)设点』(0,1),N(4-，,0)QH2),直线ZN分别与曲线E交于

点S,T(S,7■异于4),AHLST,垂足为H,求的最小值.

22.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=Inx+〃aH—.

(1)讨论函数/(x)的单调性：

(2)己知keN'，若Va,6e(0,+e),

当a>6时，2b+小。+,<f(G+：+mb恒成立,求〃的最大值.

数学试题(第6页，共6页)

6.C【解析】由题意，在抛物线Ej2=2px(p>0)中，|朋=3］。日,

焦点?已0),准线/:x=-§

/.|0F|=y,\AB\=.则4(p,±VIp)

二S-叱=；|/印必|=；TPJ±0P|=12应，解得：p=4

.•.E的方程为：y2=8x.

故选：C.

7.A【解析】

由边长为2、万的正三角形的内切圆半径为q=；x2jjx*=l,

即轴截面是边长为26的正三角形的圆锥内切球半径为1,

所以放入一个半径为1的小球。后，再放一个球。2,如下困,

要使球。2的表面积与容器表面积之比的最大，即球。2的半径4最大，

所以只需球。2与球。I、圆锥都相切，其轴截面如上图，此时4=；x(2Gx?-2q)=；,

所以球Q的表面积为4巧2=彳‘圆锥表面积为3TI+；X2JJX267r=9兀,

八4

所以球。2的表面积与容器表面积之比的最大值为—.

故选：A

8.A【解析】

由sinx-cosx=＞^sin（x一四），

4

若sinxvcosx,则sin（x-：）＜0,可得（2〃+1）兀＜不一彳＜2俏+1）兀,人£2,

5兀〜，9711r

所以2A兀Hvx＜2E+—、kGZ,

44

若sinxNcosx,则sin（A--）＞0,可得2An＜A--＜（2A：+1）兀,AGZ,

44

数学答案(第2页，共14页)

2024届高三期末适应性考

数学参考答案

题号123456789101112

答案AACBBCAABDACDACDABD

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）

1.A【解析】因为二］=12-3i,二2=-9+i,所以w+:2=3-2i,其实部与虚部分别为

3,-2.

2.A【解析】由1—2x>0,解得x<；,所以M={x|x<g

而丫=6">0,所以N={y|y>0},

所以MnN=

故选：A.

3.C【解析】因为解（'）=sinx的定义域为R.

定义域关于原点对称,

所以/（x）是偶函数，图象关于）'轴对称，故排除选项B、D,

当x>0时，令/(x)=0可得x=0或x=eZ),

所以x>0时，两个相邻的零点为x=0和X=7t,

当0<x<7t时，上£<0,sinx>0,/(x)=［匕三］sinx<0,故排除选项A,故选：C.

1+e、U+eJ

B【解析】由右=(1,1),得卜|=J+1=丘,则卜+0=Ja+223+］=V10,

即4+2+2)5=10,则11=2,

ci»bbr

所以向量£在向量不上的投影向量的坐标为（可）同=6=（11）.故选:B.

5.B【解析】因角。的终边经过点（3,JJ）,由三角函数的定义可得tan。=

3

兀

tan。-tan—r

又依题意得力=6—冷，所以tanQ=tan（。7T

-------------=-----,故选：B.

3

1+tan。tan一

3

数学答案（第1页，共14页）

所以2依+巴《X42〃兀+」,人GZ,

44

要使/0)=。有4个不同实根玉,电，七户4(*<x2<毛<%)，则¥<。<1,

-HA兀,，Xi+X)+工？+工4兀J2

由图知：x}+x2=——,x3+x4=it,故---------------=■—,且—<f(xx)<1>

2242

所以/(xjsin&±&^士工的范围为

故选：A

二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)

9.BD【解析】对选项A,取。=-1,b=1,满足次>/0且。<6,则错误；

ab

对选项B,因为函数y=x3单调递增，当时，a3<b3,正确；

L_|_|匕

对选项C,a>b>0t要使----<—,即a6+av〃6+力，即。<6,错误；

Q+1a

Y*X>0

对选项D,因为函数y=x忖=1'一'单调递增，当丽|<方同，则。<力，正确.

［一x,x<0

故选BD.

10.ACD【解析】在函数》=6小&中，当x=0时，e"=192,

由20=172,2)6=387知，Z>e(5,6),故A正确：

当x=14时，e14*+A=48,所以eM*=%=L,则

19242

当x=21时，J•一=(；)xl92=24,故B不正确：

数学答案(第3贞，共14贞)

由e"=L,得％=,lnL<0,故C正确：

272

X

由yN96,得964eh-e"=192[1p,所以x«7,故D正确.故选ACD.

11.ACD【解析】对于A,因为0(4)=2,0(6)=2,0(8)=4,

所以0（4>g（6）=0（8）,故A正确:

对于R,由于0（9）=6#8,故B错误;

对于C,因为小于2”的所有正奇数与2”均互质，且小于2”的所有正奇数有2"“个,

所以O（2"）=2"T,因此数列加（2"）｝为等比数列，故C正确；

对于D,同理S（3"）=2X3"T,所以"（2"）=2"~'=j_.（2r,令〃=_1.（2丫’，

''.（3"）2x3"-'2⑴"2⑴

<二，故D正确，故选ACD.

2

12.ABD【解析】A选项，以。为坐标原点，D4,QC,O£）i所在直线分别为xj;轴,

建立空间直角坐标系，

尸（1,2,0）,收（0,1,2）,代（2,0,1）,。（0,0,0）,耳（2,2,2）,

故函=(2,2,2),由=(-1,-1,2),丽=(1,-2,%

设平面PMN的法向量为m=(x,乂二),

m*PM=(x,y,z)・(_1,_L2)=_x_y+2z=0

th'PN-(1,-2,1)=x-2j+z=0

令==1得，x=y=\,故机=(1,1」)，

因为DB]=2m,故DB[_L平面PMN,A正确：

数学答案（第4页，共14页）

B选项，取4R,/B,CG的中点E,£。，

连接MQ,ME,EN,NF,FP,PQ,EP,AB，CD\,

因为MN,尸分别是棱GA，AAt,BC的中点,

Mv^NFUA'B、MQ"CD\,又CR〃EP//&B,

所以Nk〃儿@//£p，所以平面2MV截正方体所得的截面为正六边形FPQMEN,

其中边长为J7,故面积为6x=3>/3>B正确:

C选项，0为平面PMV上的动点，直线。片与直线£＞鸟的夹角为30°,

又。与J.平面PAW,设垂足为S,以S为圆心，r=*4S为半径作圆，

即为点。的轨迹，

其中&D=|丽|=14+4+4=2班,由对称性可知，B、S=；B]D=百,

故半径r=——Xyji=1,

3

数学答案（第5页，共14页）

故点。的轨迹长度为2兀，C错误；

D选项，因为M,N,尸分别是棱GD，AA,,8c的中点，

所以平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体对称，

不妨求能放入含有顶点。的空间几何体的球的半径最大值，

该球与平面PMV切与点S,与平面力。。4，平面4。。？，平面。CC|R相切,

由对称性可知，球心在耳。上，设球心为则半径为f,

5(1,1,1),故|丽卜1,即6(1—)=/,解得,=三叵,

故球的半径的最大值为上I叵，D正确.

2

故选：ABD.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.120【解析】由于xV=（x2『.x.y2,

所以（2x2+x-y）’的展开式中含x5j?的项为

C；（2、2『xC,xc；（-y）2=120?/,

所以（2/+、一»5的展开式中x5y2的系数为120.

故答案为：120.

I100

14.97.7%【解析】因为100个数据与，X”毛，…，Xoo的平均值k=诉2%=72,

100fs）

方是S,喘自—）2$唇-*卜/[W0x（722+36）T00x72}36,

所以〃的估计值为〃=72,o■的估计值为0=6.

设该市高中生的身体素质指标值为X,

由P（jj-2a<X</j+2a）^0.9545,

得P（72-12WXW72+12）=P（60WX484）=0.9545,

数学答案（第6页，共14页）

/、/、/、\-P(u-2a<X<u+2a)1-0,9545

P(X>84)=P(X>〃+2o)=P(X<〃一2o)=——------——----U---

所以P(XN60)=尸(60<>V<84)+P(X>84)=0.9545+；x(I-0.9545)=0.97725N97.7%.

故答案为：97.7%.

15.y【解析】因为/卜)=62"—2。(/一2户一以2/(4>0),

所以''(x)=2e2x_2q,+(x—2)e[-2a2x=2©—oxj(e'+

令y=e"-ar,则y'=e"-a,令/>0,

故当x>Ina时)/>0,函数y=e"-ax为增函数,

当x<lna时''<0,函数y=ex-ax为藏函数,

即当x=Ina时函数y=ex—ar有最小值Ina),

若a(l-lna)N0,即0<aWe时/'(x)N0,

此时函数/(x)在R上为增函数，与题意不符：

若4(1-lna)<0,即a>e时，此时函数》二/一4工(4>0)与X轴有两个不同交点,

设交点为(王,0卜。2，°),且0<演<%，即,e"”，

2

e'=ax2

所以当x<玉或3>再时y>0,即/'(x)>0,此时函数/(x)为增函数，

当x1Vx时Vv0，即/'(x)<0,此时函数/(x)为减函数，

依题意,函数/(x)恰有两个零点即函数/卜)与x轴有两个不同的交点，

即/(xJ=0或/(石)=0,

X222

所以e?%—2。(占-2)e*—。匕；=。或冷-2a(x2-2)e-ax2=0,

化简潺再=2或》=2,所以a=£，=J,

占2

2

故答案为：e

2

350x49x48

16.——【解析】在1,2,…,50中随机选取三个数有：C；o=----------=19600,

1403x2x1

数学答案(第7页，共14页)

公差为5的等差数列有：(1,6,11),(2,7,12)..........(40,45,50),共40个:

公差为6的等差数列有：(1,7,13),(2,8,14),……，(38,44,50),共38个;

公差为24的等差数列有：(1,25,49),(2,26,50),共2个:

-20(2+40)

所以共有：2+4+6+…+40=—i-------^=420,

2

4203

所以能构成公差不小于的等差数列的概率为：

519600-140

3

故答•案为:

140

四、解答题(本题共6小题,共70分.)

17.【解析】(1)由题设(〃+1)2(5„+|-5,)+(2〃+1)5“=2,则(〃+1)251+1-〃25.=2,

又12XR=%=3,故｛/SJ是首项为3,公差为2的等差数列,

所以〃2s,=3+2(〃-1)=2〃+1,则S.=空它.

YT

LII11、

(2)由(1)得b”=--------------=一(z-------------),

〃(2〃-1)(2〃+1)22〃-12〃+1

所以—1-••・+------------------)=—(1----------)=---------

52H-12/7+122〃+12H+1

18.【解析】(1)v4bS=a(b2+c2-a2),

4A•—/>csinA=a-2hccosA,BPAsin=acosJ,

2

再由正弦定理边化角得sinBsin/=sin/cos/,

•/sin/w0,

sinB=cosJ,又A为锐角,

/.sinB=sin——A

B='-4或B+土-4=n,

22

.•.8+力=&或8=力+4，

22

:.^ABC为直角三角形或钝角三角形；

TTTT

(2)由(1)的结果以及48。=一，可得NA4C=N/BC=2,

44

.•.△N5C为等腰直角三角形，又BC=下,

数学答案(第8页，共14页)

4C=BC=下，

在—OC中，

则cos40C=收+1二5=_也,解得力。=应，负值舍去,

2AO2

„AOAC

sinZACOsinZ?40c

B也

-AOsinZAOCVZXTy/5,

/.sinZ.ACO=------------------=------尸4-=——

ACy[55

.".cosZBCO=cosl^-ZACO=sinZ.ACO=,

在ABOC中，BO2=OC2+BC2-2OC-BC-cosZBCO=1+5-2x&8=4

:.B0=2.

19.【解析】(1)证明：等腰梯形/BCD中，48=2,BC=CD=AD=\,

作CEUAD交AB于E,如图，则4OCE是菱形，AE=CD=EB=CE=BC,

△8CE是等边三角形，则N4BC=60。，NDCE=NECB=60°,ZACD=ZACE=30°,

所以44c8=90。,即/C/以C,

又5CJ.M，AAtC\AB=A,.44，NBu平面44GC,

所以BC/平面//CG，又5Cu平面XBCD,

所以平面ABCD1平面A,ACC,；

(2)点4在底面48CD的射影为O,由(1),得。在4c上，且

又“=；,回=1,所以加邛，而由(1)知4。=有，因此CO=4,

建立如图所示空间直角坐标系C-X.K:,

则4(30,0),B(0,l,0),。(§0,0.

一I一(611

则C£>=F笈1=、-,一不0,

2.ZZJ

又44=30=*,-?,()］，叫=回=(-*。』，所以〃(0,-器

设口/0=/1£)内——-AA,0(0W4W1),M

22

数学答案(第9页，共14页)

c5=(0,l,0),CM

222

设平面AYC的法向量为〃=（xj,二）,

>?-CA7=O

则《

nCB=Q

取x=l,则3=（1,0,a）,取平面Z8C。的法向量面=（0,0,1）,

ni-n则；l=g（负值舍去），

设直线4财与平面MBC所成的角为

20.【解析】（1）由题意可知X所有可能取值为2,3,4,

d3

「（丫=2）=台71"（丫=3）=竽A2c=4/（X=4）=受A=?

所以X的分布列如卜：

X234

142

P—»—>

399

（2）设甲一次性购买x个吉祥物盲盒，集齐三款吉祥物需要的总费用为Z.

依题意，x可取0,1,2,3.

方案1：不购买盲盒时，则需要直接购买三款吉祥物，总费用乙=3x30=90元.

方案2：购买1个盲盒时，则需要直接购买另外两款吉祥物，

总费用Z2=19+2x30=79元.

方案3：购买2个盲盒时，

当2个盲盒打开后款式不同，则只需直接购买剩下•款古祥物,

数学答案（第10页，共14页）

A22

总费用Z3=2X19+30=68,P(Z3=68)=^-=|

当2个盲盒打开后款式相同，则需要直接购买另外2款吉祥物,

总费用Z3=2x19+2x30=98,尸（Z3=98）=c；x；x；=；,

71

所以£（Zj=68x：+98x：=78元.

方案4：购买3个盲盒时，

当3个盲盒打开后款式各不相同，则总费用4=3x19=57,尸（ZJ=A；电《

当3个盲盒打开后恰有2款相同，则需要直接购买剩下•款吉祥物，

ill?

则总费用zd=3x19+30=87,2亿4=87）=C3CJC3X-X-X-=-

当3个盲盒打开后款式全部相同，则需要直接购买另外两款吉祥物，

总费用Z4=3x19+60=117,P(Z4=117)=C；x

221251

所以片（24）=57'3+87*§+117、§=亍元.

对比4个方案可知，第3个方案总费用的期望值最小,

故应该一次性购买2个吉祥物苜盒.

+1/，

化简得点P的轨迹方程E:—+/=1

4

<2）设5（士,乂）,7（9,%）,先证直线sr恒过定点，理由如下:

由对称性可知宜线ST的斜率不为0,所以可设直线ST:x=my+n,

2八4_2_1

联立直线sr与E:二+/=],<4)_=(/+4)/+2加〃y+〃2-4=0,

x=my-\-n

则A>0=>4+加2一〃2>0,①

数学答案（第11页，共14页）

-2mnn2-4

/*'X%=萨&②

所以令y=0,得点M横坐标，=口7

必-1乂-1

-x,

同理可得点N横坐标4-1=

必7

故日★优

将士=myx+n,x2=my2+n代入上式整理得：

(2/n+4)弘%+(〃一6一4)(弘+y2)+4—2n=0,

将②代入得+2加〃+〃'-2加-2〃=0=(m+〃)(加+〃-2)=0,

若加+〃=0,则直线ST:x=m(y-l),恒过力(0,1)不合题意：

若m+〃一2=0,则ST:x=/w(y-l)+2,恒过。(2,1),

因为直线ST恒过。(2,1)，且与£：—+/=1始终有两个交点，

4

又4(0,1),AH1ST,垂足为H,

所以点”轨迹是以力。为直径的半圆(不含点4Q,在直线力。下方部分)，

设/。中点为C,则圆心C(l,l),半径为1,

所以|0”12|OC|-1