2024年中考数学复习-数与式 测试（解析版）（全国版）

第一章数与式

（考试时间：100分钟试卷满分：120分）

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1•【原创题】《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆.”说明了大数之间的关系：1亿

=1万xl万，1兆=1万xl万xl亿，贝IJ1兆等于（）

A.108B.1012C.IQ16D.1024

【答案】C

【分析】将1万表示成10,1亿表示成108,然后用同底数幕的乘法法则计算即可.

【详解】兆=1万xl万xl亿，

・・J兆=1（/创04108=1016（

故选：C.

【点睛】本题考查同底数事的乘法法则，科学记数法的表示方法，其中。的范围是14同＜10,〃是整数，

正确确定〃的值是解答本题的关键.

2.不一定相等的一组是（）

A.a+b与b+aB.3a与a+a+a

C./与D.3（〃+Z?）与3。+/?

【答案】D

【分析】分别根据加法交换律、合并同类项、同底数幕的乘法以及去括号法则计算各项后，再进行判断即

可得到结论.

【详解】解：A.a+b=b+a,故选项A不符合题意；

B.a+a+a=3a,故选项8不符合题意；

C.a-a-a=a3，故选项C不符合题意；

D.3（a+b）=3a+3Z?H3a+6,故选项。符合题意，

故选：D.

【点睛】此题主要考查了加法交换律、合并同类项、同底数塞的乘法以及去括号法则，熟练掌握相关运算

法则是解答此题的关键.

【新考法】数学与实际生活一一生活中的数学原理

3.照相机成像应用了一个重要原理，用公式!=表示，其中7•表示照相机镜头的焦距，"表示

/〃U

物体到镜头的距离，V表示胶片（像）到镜头的距离.已知力V,则"=（）

f-Vv-f

A.-----B.2-―仁春D.-T-

f—v找

【答案】C

【分析】利用分式的基本性质，把等式!=」+,3*/）恒等变形，用含/、V的代数式表示

/〃v

【详解】解：

111

uV

ufv

u=

v-f

故选：C.

【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则.

4.与百万二F结果相同的是（）.

A.3-2+1B.3+2-1

C.3+2+1D.3—2—1

【答案】A

【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案.

【详解】732-22-12=79-4-1=2

：3—2+1=2,且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0

故选：A.

【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混

合运算的性质，即可得到答案.

5.若我取1.442,计算的-3%-98狗的结果是（）

A.-100B.-144.2

C.144.2D.-0.01442

【答案】B

【分析】类比二次根式的计算，提取公因数，代入求值即可.

【详解】，­%=1.442

^/3-3^/3-98^3=(1-3-98)^3=-100^/3

.-.-100^3=-144.2

故选B.

【点睛】本题考查了根式的加减运算，类比二次根式的计算，提取系数，正确的计算是解题的关键.

6•【原创题】要比较4=2■与B=中的大小(X是正数)，知道的正负就可以判断，则下列说法

正确的是()

A.A>BB.A>BC.A<BD.A<B

【答案】C

【分析】将A-B进行化简得到利用》是正数，可得出A-BW0,即可判断A和2的大

2(x+l)

小，进而可得答案.

【详解】解：由题意可知：

A_B=4x-(x+l)-=_(1)-

2(x+l)-2(x+l)

•/x>0,

x+lX),(x-1)2>0,

A即

故选：C.

【点睛】本题考查比较分式大小，完全平方公式，解题的关键在于正确的通分化简.

7.已知3*=y,贝！)3用=()

A.yB.1+yC.3+yD.3y

【答案】D

【分析】利用同底数幕的乘法的逆运算可得31=3”3,再代入计算即可.

【详解】解：..苫、，

3加=3"3=3〃

故选D

【点睛】本题考查的是同底数幕的乘法运算的逆运算，熟记“优5=力.优”是解本题的关键.

8.己知：.=,6=(—2)，c=(%—2023)”,贝Ua,b,c大小关系是()

A.b<a<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

【答案】C

【分析】首先求出“，b,c的值，然后根据实数大小比较的方法，判断出“，b,c大小关系即可.

［详角星］。=8'8=(-2)2=4,c=(^-2023)°=1,

:.c<b<a,

故选：C.

【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键要明确：正实数>0>负实数，两个负实数

绝对值大的反而小.

【新考法】数学与规律探究一一乘方类规律

9.我国宋代数学家杨辉发现了S+6)"n=0,1,2,3,...)展开式系数的规律:

(a+5)°=11展开式系数和为1

(a+b^=a+b11展开式系数和为1+1

(<7+Z>)2=a2+2ab+b2121展开式系数和为1+2+1

(<7+Z>)3=a3+3a2b+3ab2+b31331展开式系数和为1+3+3+1

(a+i)4=a4+4a3b+6a2b2+40^+b414641展开式系数和为1+4+6+4+1

以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，(”+38展开式的系数和是(

A.64B.128C.256D.612

【答案】C

【分析】由“杨辉三角”的规律可知，(a+b)8所有项的系数和为28,即可得出答案.

【详解】解：由“杨辉三角”的规律可知，

(a+为°展开式中所有项的系数和为1,

(a+”展开式中所有项的系数和为2,

(a+b)2展开式中所有项的系数和为4,

(a+4展开式中所有项的系数和为g,

S+3"展开式中所有项的系数和为2"，

展开式中所有项的系数和为28=256.

故选：C.

【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，解题关键是通过观察得出系数和的规律.

10.对于多项式a-6-c+d+e,在任意一个字母前加负号，称为“加负运算”，例如：对匕和d进行“加负运

算”，得到：a-(-b)-c+{-d)+e=a+b-c-d+e.规定甲同学每次对三个字母进行“加负运算”，乙同学每

次对两个字母进行“加负运算”，下列说法正确的个数为()

①乙同学连续两次“加负运算”后可以得到a-b-c-d-e；②对于乙同学“加负运算''后得到的任何代数式，

甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式；③乙同学通过“加负运算”后可以得到16个不同的

代数式

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】①乙同学第一次对a和乙第二次对a和e进行加负运算，可得①正确；若乙同学对。和6进行加

负运算得：-a-(rb)-c+d+e=-a+b-c+d+e,可得其相反的代数式为a-b+c—d—e,贝U甲同学对c、d、

e进行加负运算，可得与之相反的代数式，同理乙同学可改变字母碇或ad或ae或be或64或加或cd或ce或

de,甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式，可得②正确；若固定改变a,乙同学可改变字

母0。或ac或泅或ae；若固定改变6,乙同学可改变字母6c或瓦/或；固定改变c,乙同学可改变字母cd

或ce；固定改变d,乙同学可改变字母de,可得③错误，即可.

【详解】解：①乙同学第一次对。和1进行加负运算得

(一—b—c+(-d)+e——a—b-c—d+e；

第二次对a和e进行加负运算得

—(^—ci^—b—c—d+=a—b—c—d—e,故①正确；

②若乙同学对。和6进行加负运算得：

—a—(—b)—c+d+e=—a+b—c+d+e,

则其相反的代数式为a-6+c-d-e,

:甲同学对c、d、e进行力口负运算得：＜7—c)+(—+e)—a—b+c—d—e,

同理乙同学可改变字母“C或以/或“e或儿或㈤或加或〃或ce或曲，甲同学都可以通过“加负运算”后得到

与之相反的代数式，故②正确；

若固定改变。，乙同学可改变字母而或碇或4d或ae；

若固定改变b,乙同学可改变字母6c或6d或加；

固定改变以乙同学可改变字母〃或ce；

固定改变d,乙同学可改变字母曲，

所以一共有4+3+2+1=10种，故③错误.

故选：C

【点睛】本题主要考察逻辑分析，注意甲乙同学可改变字母个数的不同是解题的关键.

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.【原创题】总的倒数是.12024|的相反数是.-［+（-2024）］=.

【答案】2024,-2024,-2024

12.写出一个无理数无，使得l<x<4,则x可以是（只要写出一个满足条件的尤即可）

【答案】答案不唯一（如夜，万,1.010010001…等）

【分析】从无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有兀的数，

【详解】根据无理数的定义写一个无理数，满足l<x<4即可；

所以可以写：

①开方开不尽的数：V2,

②无限不循环小数，1.010010001.......,

③含有兀的数］，等.只要写出一个满足条件的X即可.

故答案为：答案不唯一（如加，万,1.010010001.......等）

【点睛】本题考查了无理数的定义，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限

不循环小数，③含有久的数.

【新考法】数学与实际生活—游戏中的数学

13.小明和同学们玩扑克牌游戏.游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据

牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24.小明抽到的牌如图所示，

请帮小明列出一个结果等于24的算式—.

【答案】（5-3+2）x6（答案不唯一）

【分析】根据有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，进行计算即可解答.

【详解】解：由题意得：

（5-3+2）x6=24,

故答案为：（5-3+2）x6（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则是解题的关键.

1（

14.如果单项式-山"-2y与2/严3的和是单项式，那么N=_____

2）

【答案】-1

【分析】由题意推出2y与2小了+3是同类项，即可求解.

【详解】解：由题意得：-与2x、"+3是同类项，

/.m+2=4,n+3=1,

/.m=2,n=—2,

故答案为：-1.

【点睛】本题考查同类项的定义：如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相

同，那么就称这两个单项式为同类项.掌握相关定义即可求解.

15.现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）.

(1)取甲、乙纸片各1块，其面积和为;

(2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片_

块.

【答案】/+〃4

【分析】(1)直接利用正方形面积公式进行计算即可；

(2)根据已知图形的面积公式的特征，利用完全平方公式即可判定应增加的项，再对应到图形上即可.

【详解】解：(1),•甲、乙都是正方形纸片，其边长分别为

，取甲、乙纸片各1块，其面积和为/+〃；

故答案为：a2+b2.

(2)要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则它们的面积和为

a2+4b2,若再加上4"(刚好是4个丙)，贝U〃+462+4a6=(a+26)2,则刚好能组成边长为a+2b的正方

形，图形如下所示，所以应取丙纸片4块.

故答案为：4.

【点睛】本题考查了正方形的面积公式以及完全平方公式的几何意义，解决本题的关键是牢记公式特点，

灵活运用公式等，本题涉及到的方法为观察、假设与实践，涉及到的思想为数形结合的思想.

【新考法】信息题

16.当今大数据时代，“二维码”具有存储量大.保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常

生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力.看似“码码相同”，实则“码

码不同”.通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用

途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码.根据相关数学知识，这200个方格可以生成

2200个不同的数据二维码，现有四名网友对22。。的理解如下：

yyos(永远的神)：22°°就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；

DDDD(懂的都懂)：22°°等于2(X)2.

JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；

QGJW（强国有我）：我知道21°=1024,103=1000,所以我估计220°比1O60大.

其中对2?°°的理解错误的网友是（填写网名字母代号）.

【答案】DDDD

【分析】根据乘方的含义即可判断1TOS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将2?0°化为

（2100）2,再与ZOO?比较，即可判断0。。。（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律

即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得22。。=（2|。产』06。=（IO?）?。，即可判

断。G1W（强国有我）的理解是正确的.

【详解】2项是200个2相乘，KKDS（永远的神）的理解是正确的；

2*（2—2002,DDDD（懂的都懂）的理解是错误的;

-21=2,22=4,23=8,24=16,25=32•,

2的乘方的个位数字4个一循环，

200+4=50,

22。。的个位数字是6,JXND（觉醒年代）的理解是正确的；

2200=（210）20,10S0=（1O3）20,210=1024,103=1000,且*>103

2200>1060，故QGKW（强国有我）的理解是正确的；

故答案为：DDDD.

【点睛】本题考查了乘方的含义，幕的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的

关键.

三.解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23

题9分，24题10分，25题13分）

【新考法】数学与实际生活一一游戏中的数学

17.如图，佳佳玩一个摸球计算游戏，在一个密闭的容器中放入五个小球，小球分别标有如图所示的数（尤

为正整数）；现从容器中摸取小球，规定：若摸取到白色球，就加上球上的数：若摸到灰色球，就减去球上

的数.

(1)若佳佳摸取到如下两个小球，请计算出结果;

(2)佳佳摸出全部的五个球，若计算结果为3,求出x的值.

【答案】(1)3

(2)x的值为S'+1

【分析】(1)由题意得，-2020°+'1?,计算求解即可；

(2)由题意得，712-2020°+^-|l-^|-x=3,计算求解即可.

【详解】(1)解：由题意得，一2020°+[g]=-1+4=3,

,结果为3；

(2)解：由题意得，A/T2-2020°+^一|1一道|一无=3,

.••后+4-x=3,解得了=省+1,

尤的值为石+1.

【点睛】本题考查了根据二次根式的性质化简，零指数累，负整数指数累，绝对值，解一元一次方程.解

题的关键在于根据题意列方程并正确的计算求解.

18•【原创题】根据时2°这条性质，解答下列问题：

(1)当"=时，卜-4|有最小值，此时最小值为；

⑵己知a,6互为相反数，且a<0,b>0,求|a-4+2a+例的值.

【答案】⑴4；0

⑵6/-。

【分析】(1)根据|。|20,可知|。-4白0,即最小值为0,此时”4=0,解出。即可；

(2)根据。，6互为相反数，可知a=-b,再去绝对值计算即可.

【详解】(1)解：

.•.当1=0时，|a-4|有最小值0,

.'•<7=4,

故答案为：4：0.

(2)解：b互为相反数，

••ci——b，

又b>0,

；Ja-4+2a+网

=|a+o|+2o+|Z?|

——2a+2a+b

=b.

【点睛】本题考查了绝对值的非负性，整式的绝对值的求解，对绝对值性质的理解和掌握是解答本题的关

键.

19.发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两

个正整数的平方和.验证：如，(2+1)2+(2-1)2=10为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和.探

究：设“发现”中的两个已知正整数为相，”，请论证“发现”中的结论正确.

【答案】验证：22+12=5;论证见解析

【分析】通过观察分析验证10的一半为5,22+12=5;将加和〃代入发现中验证即可证明.

【详解】证明：验证：10的一半为5,22+12=5；

设“发现”中的两个已知正整数为加，n,

(m+«)2+(7w-a)2=2(1+n2),其中2(M+")为偶数，

且其一半疗+”2正好是两个正整数加和n的平方和,

“发现”中的结论正确.

【点睛】本题考查列代数式，根据题目要求列出代数式是解答本题的关键.

20.(1)计算：A/12+3tan30°-12-+(71-1)°+82021x(-0.125)2021.

/八、zr2Tlm4mn,m1

(2)化简求值：——+-----+-^~~0其中一==.

m+2n2n—m—mn5

・小/＜、r-/_、2n+m11

【答案】(1)4石—2；(2)-----.

2n-m9

【分析】(1)先化简二次根式、特殊角的正切三角函数、化简绝对值、零指数毫、积的乘方的逆用，再计

算实数的混合运算即可得；

(2)先计算分式的加法运算，再根据'得出〃=5租代入求值即可得.

n5

【详解】解：(1)原式=2芯+3x*(2叫+1+1,

=273+^-2+^+1-1,

=4若一2；

In（in-m）+m（2n+m）+4mn

(2)原式=

（2n+m）（2n-m）

4/-2mn+2mn+m2+4mn

（2n+m）（2n-m）

4M2+4mn+m2

（2n+m）（2n-m）

（2n+mf

（2n+m）（2n-m）

_2n+m

2n—m

..m_1

n5'

n=5m，

lOm+m11

lOm—m9

【点睛】本题考查了化简二次根式、特殊角的正切三角函数、零指数哥、分式的化简求值等知识点，熟练

掌握各运算法则是解题关键.

21.已知数轴上有两个点A：-3,B：1.

।।।।।।।।।»

-4-3-2-101234

(1)求线段42的长；

⑵若同=2,且加＜0；在点8右侧且到点8距离为5的点表示的数为w.

①求m与几;

②计算2m+n+mn；

【答案】(1)4

(2)®m=-2,n=6；②一10

【分析】(1)根据数轴上两点间距离计算方法求解；

(2)①先根据加的绝对值及根的取值范围求出根值，再根据〃与1的距离为5,求出〃值；

②将①中的加、n的值代入代数式求值即可.

【详解】(1)解：:A点表示的数为一3,3点表示的数为1,

：.AB=1-(-3)=4.

(2)解：①•.1时=2,且根＜0,

m=-2,

・・,在点3右侧且到点8距离为5的点表示的数为几,

n=1+5=6.

②当根二-2,九=6时，

原式=2x(-2)+6+(-2)x6

=-4+6—12

=-10.

【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的意义及有理数混合运算等知识，掌握数轴上两点间距

离计算方法(较大数减去较小数)是解题关键.

22.仔细阅读下列解题过程：

若］2+2〃。+2。2一6。+9=0,求〃、人的值.

解：a2+2ab+2b2-6b+9=0

***a2+lab+b2+b2-6b+9=0

(a+域+e_3)2-Q

a+》=0,Z?-3=0

a=—3,b=3

根据以上解题过程，试探究下列问题：

(1)已矢口f一2孙+2/一2丁+1=0,求x+2y的值；

(2)已矢口/+5"-408—2^+1=0,求〃、b的值；

(3)若m=〃+4,+»—8/+20=0,求〃2“T的值.

【答案】(l)x+2y=3

(2)a=2,b=l

⑶4二i

【分析】(1)首先把第3项2y2裂项，拆成丁+产，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得尤

和H代入求得数值；

2

(2)首先把第2项立2裂项，拆成4。+廿，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得。和6;

(3)先把加=〃+4代入〃次+/_8/+20=0，得到关于〃和r的式子，再仿照(1)(2)题求解.

【详解】(1)解：,x2-2xy+2y2-2y+1=0,

x2—^xy+y~+y~—2y+l=0,

;.(尤_y)2+(y_l)2=0,

/.x-y=0,y—l=0,

.x=y,y=lf

..%=y=l,

x+2y=3；

(2)解：,-a2+5b2-4ab-2b+l=0,

.-.a2+4b2-4ab+b2-2b+l=0,

二.("26)2+3_I)2=0,

.,.a—2b=0fb—1=0,

..ci2Z?,Z?—1,

a=2,b=l；

(3)角军：m=n+4,

/.(n+4)n+?-8r+20=0,

"+4〃+4+产―8/+16=0,

(n+2)2+(r-4)2=0,

二.”+2=0,4=0,

n——2,t—4,

:.m-n+4-2,

n2m~,=(-2)2X2-4=(-2)°=1.

【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、非负数的性质、零指数幕等，对于项数较多的多项式因式分

解，掌握分组分解法是解题的关键.

【新考法】与实数有关的新定义问题

23.对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N,若N能被它的各数位上的数字之和“整除，则称

N是m的“和倍数”.

例如：：247+(2+4+7)=247+13=19,，247是13的“和倍数”.

又如：•.•214+(2+1+4)=214+7=304,；.214不是“和倍数”.

⑴判断357,441是否是“和倍数”？说明理由；

⑵三位数A是12的“和倍数”，a,b,c分别是数A其中一个数位上的数字，且a>b>c.在a,b,c中任选

两个组成两位数，其中最大的两位数记为尸(A),最小的两位数记为G(A),若A-：G(A)为整数,求出满

足条件的所有数4

【答案】⑴357不是15“和倍数”，441是9的“和倍数”；理由见解析

⑵数A可能为732或372或516或156

【分析】(1)根据题目中给出的“和倍数”定义进行判断即可；

(2)先根据三位数A是12的“和倍数”得出a+b+c=12,根据a>"c,"A)是最大的两位数，G(A)是最

小的两位数，得出尸(A)+G(A)=10a+2b+10c,"A)：G(A)=左(左为整数)，结合a+6+c=12得出

16

6=15-2左，根据已知条件得出1V丈6,从而得出6=3或6=5,然后进行分类讨论即可得出答案.

【详解】(1)解：：357+(3+5+7)=357+15=23……12,

，357不是15“和倍数”；

441+(4+4+1)=441+9=49,

•••441是9的“和倍数

(2)♦..三位数A是12的“和倍数”,

a+Z?+c=12,

*.*a>b>cf

...在a,b,。中任选两个组成两位数，其中最大的两位数尸（4）=10。+。，最小的两位数G（A）=10c+b,

/.F（A）+G（A）=10a+b+10c+b=Wa+2b+10c,

...为整数,

16

设/⑷+G（A）=左仪为整数），

16

.10（2+2/7+10（77

则n-----------=k,

16

整理得：5a+5c+b=8左，

木艮据a+〃+c=12得：a+c=12-b,

*.*a>b>c,

：.l2-b>b,解得次6,

...“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数，

a>b>。>0,

b>l,

l<b<6,

才巴々+。=12—/?代入5a+5。+/?=8左得：

5（12—3+》=8左，

整理得：b=15—2k,

V1<&<6,女为整数，

・・・万=3或〃=5,

当》=3时，a+c=12—3=9,

*/a>b>cX）,

a>3,0<c<3,

.,.a=7,b=3,c=2,或a=8,b=3,c=\,

要使三位数A是12的“和倍数”，数A必须是一个偶数，

当〃=7,b=3,。=2时，组成的三位数为732或372,

,/732+12=61,

，732是12的“和倍数”，

•/372+12=31,

372是12的“和倍数”；

当a=8,b=3,c=l时，组成的三位数为318或138,

318-12=26……6,

...318不是12的“和倍数”，

V1384-12=11……6,

...138不是12的“和倍数”;

当6=5时，a+c=12-5=7,

a>b>cX),

：.5VaV7,

.•.0=6,b=5,c=l,组成的三位数为516或156,

；516+12=43,

,516是12的“和倍数”,

V1564-12=13,

156是12的“和倍数”；

综上分析可知，数A可能为732或372或516或156.

【点睛】本题主要考查了新定义类问题，数的整除性，列代数式，利用数位上的数字特征和数据的整除性,

是解题的关键，分类讨论是解答本题的重要方法，本题有一定的难度.

24.在第一阶段质量监测的选择题中，我们发现在三边长分别为。，h,c(a<b<c)的三角形中，有

-Ja+\[b>y/c■

(1)推导该结论的一种思路可以用如下的框图表示，请填写其中的空格.

I________________________________________________________________________________________

(2)推导该结论的其他思路还有:

①利用〃+a==,再配方，

②利用Q+b>C,使用平方差公式，.……

③利用a+b>c,...

上述思路都不完整，请写出一种完整的推导思路.

【答案】(1)①a+h+,②a+b,③〉，@a+b>c,⑤[a+b>&

(2)见解析

【分析】(1)根据完全平方公式即可得出①；根据二次根式的性质，即可得出②；根据不等式的性质，即

可得出③；根据三角形三边之间的关系，即可得出④；根据不等式的性质即可得出⑤；

(2)根据题目所给思路，进行推理论证即可.

I=a+b,

••+\fb>y/ci+b，

根据三角形三边之间的关系可得：a+b>c,

••+y/b>Na+b>\/c9即+y[b>y[c;

2

(2)解：®a=

BP=〃+/?+2y[ab,

G<a<b<c,

**•l^fab>0，

贝!J4a+VF>Vc；

(g)Va+b>c,

a>c-b,

0<a<b<c,

\[a<4b<'Jc,贝!Iyja<y/b+&，

•••将（6）>（五+班'）（正-扬）左边除以&,右边除以扬+五得：y[a>y/c—yfb）

即4a+\[b>\[c;

a+b>c,

+2y[aba+b

---------->------->1,

••j>j，即+yfb>y/c；

【点睛】本题主要考查了二次根式，三角三边之间的关系，完全平方公式，平方差公式等，解题的关键是

熟练掌握相关内容，并灵活运用在代数推理中.

【新考法】利用数形结合解决计算问题

25.【阅读理解】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得

直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论.初中数学里的一些代数公式，很多

都可以借助几何图形进行直观推导和解释.例如：求1+2+3+4+…+〃的值（其中“是正整数）.如果采用数

形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观.现利用图形的性质来求

1+2+3+4+…+”的值，方案如下：如图1,斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1,2,3,

n个小圆圈排列组成的.而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+...+"的值.为求式子的值,

现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形.此时，组成平行四边形的小圆圈共有〃

行，每行有（W+1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为〃（〃+1）个，因此，组成一个三角形小

圆圈的个数为即1+2+3+4++

22

・--n112

———・

------3

------2

图3

【问题提出】求"+23+33++〃3的值(其中”是正整数).

【问题解决】为解决上述问题，我们借鉴已有的经验，采用由特殊到一般，归纳的研究方法，利用数形结

合法，借助图形进行推理获得结论.

探究1：如图2,F可以看成1个1X1的正方形的面积，即13=1X12=12

探究2：如图3,A表示1个1x1的正方形，其面积为：1x12=F；B表示1个2x2的正方形，其面积为：1x2?;

C,。分别表示1个1x2的长方形，其面积的和为：2x1x2=1x22;3,的面积和为

1X22+1X22=(1+1)X22=23,而恰好可以拼成一个。+2)义(1+2)的大正方形.由此可得:

13+23=(1+2)2=32.

(1)探究3：请你类比上述探究过程，借助图形探究：F+23+33==.(要求自己构造图形并写

出推证过程)

(2)【结论归纳】将上述探究过程发现的规律，推广到一般情况中去，通过归纳，我们便可以得到：

F+23+33+..+“3==(要求直接写出结论，不必写出推证过程)

(3)【结论应用】图4是由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多