2023-2024学年四川省成都市高三年级下册二诊模拟考试文科数学试题（附答案）

Q

2023_2024学年四川省成都市高三下册二诊模拟考试文科数学试题

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合2=料/—3%<0},3=邻注百},则（）

O1

A.B.3C.(0,+oo)D.—.+GO

市°4p2

泗

2.已知z的共辗复数是z,且目=3+1—2i（i为虚数单位）,则复数Z的虚部为（）

32

A.B.C.-2D.-2i

622

3.下图是我国跨境电商在2016〜2022年的交易规模与增速统计图，则下列结论正确的是（

)

喙

2016〜2022年我国跨境电商交易规模、增速

O

教

2016年2017年2018年2019年2020年2021年2022年

。跨境电商交易规模（万亿元）一•-增速

A.这7年我国跨境电商交易规模的平均数为8.0万亿元

B.这7年我国跨境电商交易规模的增速越来越大

O

C.这7年我国跨境电商交易规模的极差为7.6万亿元

D.图中我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为13.8%

x-y+2>0,

4.设实数x,y满足约束条件2x—yWO,则z=x—2y的最小值为（）

2x+3j+6>0,

A.-8B.-6C.-4D.-2

o

6.已知q,b,。为直线，a,0,7平面，下列说法正确的是（）

A.若。_1_。，b_Lc,则。〃bB.若4，7,，，/，则0，，

C.若〃〃a,b〃a,则。〃bD.若。〃7,，〃/，则a〃/?

7.若正整数N除以正整数加后的余数为〃，则记为N=〃（modm），例

如10=2（mod4）.如图所示程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执

行该程序框图，则输出的〃等于（）

第7题图

A.20B.21C.22D.23

22

8.已知双曲线三-%=1的右焦点为尸g,0）,点、P,。在双曲线上，且关于原点。对

称.若PF上QF,且△PQ尸的面积为4,则双曲线的离心率为（）

9.某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是

边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）

正视图倒视田

俯视田

第9题图

A.2A/2B.273C.4D.276

10.已知函数/(x)满足/(x)+/(—x)=0,/(l+x)+/(l-x)=0,当xe(0,1)时，

/(x)=2-石，则/(log,s。”()

V5475/TV5

A.----B.-----C.V5D.—

555

11.已知抛物线C:r=8x与直线)；=左卜+2)(左>0)相交于出8两点，9为抛物线C的

焦点，若|E4|=2|E5|,则N8的中点的横坐标为()

5

A.-B.3C.5D.6

2

12.设a=log23,b=log34,c=logflb,则下列关系正确的是()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.0a>b

第H卷(非选择题，共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.平面向量a,B满足a+加=(3,-2),tz-S=(l,x),且a4=0,则x的值为.

14.已知直线/］：y=0,Z2:j=A/3X,圆C的圆心在第一象限，且与4，4都相切，则圆C

的一个方程为.(写出满足题意的任意一个即可)

15.已知三棱锥P-4SC的体积为空，各顶点均在以PC为直径的球面上，AC=2也,

3

48=2,BC=2,则该球的表面积为.

16.已知函数f(x)=2sin+^)|G〉0,0<0<四］,|=0,

=+且/（x）在［合,等］上单调，则0的最大值为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，

每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）针对我国老龄化问题日益突出，人社部将推出延迟退休方案.某机构

进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示.

支持保留不支持

50岁以下800040002000

50岁以上（含50岁）100020003000

（I）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取〃个人，己知从持“不支持”态度的人中

抽取了30人，求〃的值；

（II）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意

选取2人，求至少有1人年龄在50岁以下的概率.

18.（本小题满分12分）已知数列｛%｝的前〃项和为，，q=2,Sn=an+1-2.

（I）求数列｛%｝的通项公式；

（H）令b”=log2an,从①c”=bn-an,@cn=:，③%=（-1）"近三个条件中任选

吗T

一个，求数列｛c,｝的前〃项和7；.

19.（本小题满分12分）如图，△48C是正三角形，在等腰梯形斯中，AB//EF,

AF=EF=BE==AB,平面48C_L平面/8ERM,N分别是/RCE的中点，

2

CE=4.

（I）求证：〃平面48C；

(II)求三棱锥N-ZBC的体积.

20.(本小题满分12分)已知函数/(x)=Inx-af+x+inq(a>0).

(I)当a=l时，求/(x)的最大值；

(II)若\/xe[l,+oo),/(x)<0,求°的取值范围.

21.(本小题满分12分)已知椭圆0：提+£=19〉6〉0)经过点16,3：其右焦点为

Fgo).

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)椭圆。的右顶点为力,若点P,0在椭圆C上，且满足直线NP与/。的斜率之积为，,

求△4PQ面积的最大值.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第

一题计分.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(本小题满分10分)在平面直角坐标系xQy中，已知直

2

x=i+F

线/:x+y=1与曲线C:<,a为参数).以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴

it

y=i+〃

建立极坐标系.

(I)求曲线c的普通方程;

(II)在极坐标系中，射线机：。=a［0<a<g］与直线/和曲线C分别交于点/,B,若

|CM|=0—求a的值.

23.［选修4-5：不等式选讲］(本小题满分10分)已知存在x°wR,使得

鬲+4—卜0-2424成立，a>0,b>0.

(I)求a+26的取值范围;

(II)求/+〃的最小值.

文科数学答案

答案及解析

B=xx

1.C由题意可得，集合N=0cx<3}\\-\,所以Zu8={x|x〉0}.故选

C.

2.(2设2=%+同(%,歹cR).因为目=z+l-2i,所以

3

x2+y2=x+l,x=—,3

J/+)2=%_w+1_2i=(%+1)一(y+2)i解得12则z=2—2i,

y+2=0,

b=-20,2

所以复数z的虚部为-2.故选C.

3.D这7年我国跨境电商交易规模的平均数为

---------------------------------------------->8.0（万亿兀），故A错误；这7年我国跨境电商父

7

易规模的增速有升有降，故B错误；这7年我国跨境电商交易规模的极差为

12.1-5.5=6.6（万亿元），故C错误；我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为

13.1%+14.5%,,十丁江,.a.

------------------=13.8%,故D正确.故选D.

2

4.B作出可行域如图中阴影部分所示，z=x-2y可化简为歹=工工-^z,即斜率为'的平

222

X—y+2=0,[x=2,/、

行直线.由解得则力（2'4）・结合图形可知，当直线z=x—2y过点

4（2,4）时，z取最小值，zmin=2-2x4=-6.故选B.

5.B由己知，得sin2a=cos]]—2a]=1—2sin2—a]=g.故选B.

6.D可借助正方体进行判断.对于A选项，正方体中从同一顶点出发的三条棱两两垂直，故

A错误；对于B选项，选取正方体的上、下底面为a,，以及一个侧面为7,则a〃〃，故

B错误；对于C选项，选取正方体的上底面的对角线为a,b,下底面为则。〃6不成立,

故C错误；对于D选项，选取正方体的上、下底面为a,Y，任意作一个平面，平行于下底

面则有a〃，成立，故D正确.故选D.

7.C由已知中的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①

被3除余1,②被5除余2,且最小为两位数，所以输出的"=22.故选C.

8.C因为双曲线的右焦点为尸心,0）所以c=后.设其左焦点为4.因为P尸，09，

点尸，0关于原点。对称，所以|尸@=2|。刊=2后.由△PQ尸的面积为4,得

S=^\PF\-\QF\=4,则归外|0月=8.又归歼+|0歼=|尸0F=20,所以

||PF|-|2F||=2.又由双曲线的对称性可得|0日=|尸凰，则由双曲线的定义可得

||PF|-|P^||=2=2a,所以a=l,则离心率e=&=逐.故选C.

9.B如图，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥P-4SC,其中面积最大为

S^PBC=-X672^1X—=2A/3.故选B.

2、,2

10.D因为/(x)满足/(x)+/(—x)=0,所以/(x)为奇函数.又因为

/(l+x)+/(l-x)=0,所以

/(x+2)=/[1+(1+x)]=-/[1-(1+x)]=-/(-x)=/(x),所以/(x)是周期为2的奇

函数.

又因为xe(0,1)时，f(x)=2*_E

所以/(log480)=/(2+log45)=/(log45)=/(log2«)=/侬26-2)

210g245

=-log2V5)=-2-+^5=—9+亚=R.故选D.

11.A如图，设N2的中点为G,抛物线C:r=8x的准线为/：x=—2,焦点为E(2,0),直

线了=左(》+2)(左＞0)过定点尸(―2,0),过点/,3分别作4〃，/于点”，BN工1于点、

N.^\F^\=2\FB\,得|2叫=2忸叫，所以点2为/p的中点.连接03,贝U

|。回=//训=但却，做点5的横坐标为1,则点/的横坐标为4,所以的中点G的横坐

标为士1=2.故选A.

22

12.A因为Q=log23>1,b=log34>1,

所以]=log32Xlog34<J°g32；log34]=1，所以a〉3〉l,

所以c=log“3<log.a=l,所以a>6>c.故选A.

13.±2百因为3+加=(3,—2),a-b=(1,x),所以£=[2,3^],加=[1,二又

因为Z%=0,所以2x1+士'x土'=0,解得x=±2&.

22

14.(%—6)+(>—1)2=1(答案不唯一)由题意可得，圆心C在直线y=上，圆C

的方程形如g—Ga］+(j-a)2=a2(a>0).

i-7TTAC

15.20兀由ZC=2j3,AB=2,BC=2,得NZ8C=e,所以2r=^-=4,得

3.27r

sin——

3

r=2。为△48C外接圆半径).又S3=LaB-BC.sinNABC=5则

VpABC=%.$=*=空,所以力=2,即点P到平面NBC的距离为2,所以外接

球球心。(尸。的中点)到平面45C的距离d=l,所以外接球半径尺2=川+^2=5,所以

S球二47iT?2=20兀.

16.5因为函数/(x)=2sin(©x+0),=所以一；。+0=加兀，meZ①.又

因为=+所以直线x=；是/(X)图象的对称轴,所以

:①+0=〃兀+、，nGZ由①②可得，0=(加+〃)、+：.又0<0<方.所以

0=则。=4〃+1,〃eZ.又/(x)在［看,事］上单调，/(x)的最小正周期为

27r717r1I

所以〈乌，即上〈上，解得。<6,故①的最大值为5.

918。6co

17.解：(I)参与调查的总人数为8000+4000+2000+1000+2000+3000=20000,其

中从持“不支持”态度的人数2000+3000=5000中抽取了30人，所以

30

«=20000x------=120.

5000

(II)由已知易得，抽取的5人中，50岁以下与50岁以上人数分别为2人(记为4,4),

3人(记为用,B2,53).

画树状图如下:

4

4

氏

用

由树状图可知，从这5人中任意选取2人，基本事件共10个,

其中，至少有1人年龄在50岁以下的事件有7个,

7

故所求概率为

10

18.解：(I)因为S,=%+「2,所以S“T=%—2G22).

将上述两式相减，得%+]=2%(«>2).

因为q=2,Sr=a2-2,即。]=%-2，所以g=4,所以4=2。],

所以an+l=2aneN*).

因为％=2力0,所以"^=2(〃eN*),

%

所以数列｛%｝是以2为首项，2为公比的等比数列，所以4=2".

n

(II)由⑴可知，bn=log2an=log22=n.

若选①：cn=bn-an=n-2",

则(=1.21+2・22+32+—+〃.2",

27；=l・22+2・23+…+(〃-1)2"+〃-2'T.

2_?n+1

将上述两式相减，得—7；=2+2?+23+…+2"2""=-----------n'2””,

1-2

所以7；=(及—1)2向+2.

]_]_]_u]1

若选②:2

-4片-1-4n-l~(2n-l)(2n+l)-212场—12n+l

1__1n

22〃一12〃+1

若选③：g=(-1)"6=(-!)"♦R

当〃为偶数时，

22222+

Tn=(^l+2)+(J-3+4)+•••+-(n-l>f+n=l+2+---+n=

L」2

当〃为奇数时，［=&「%=妇$0—(〃+1)2=—安»

综上,

19.(I)证明：如图，取CF的中点。，连接。M,DN.

因为M,N分别是/尸，CE的中点，所以OM〃ZC,DN//EF.

又因为平面NBC,ZCu平面N2C,所以。河〃平面48c.

又因为跖〃48,所以DN〃AB,同理可得，DN〃平面N8C.

因为平面NVD,£)Nu平面NVD,DMCDN=D,

所以平面MND//平面ABC.

又因为MNu平面NVD,所以跖V〃平面48c.

(II)解：如图，取N8的中点。，连接。C,OE.

由己知可得，0A〃EF且0A=EF,

所以四边形。是平行四边形，所以。£〃4F且。£=4F.

因为△48C是正三角形，。是的中点，所以。CL4g.

又因为平面45C，平面N8EF,平面48CC平面48E尸=48,所以。C,平面N8E足

又OEu平面/2斯，所以OCJ_O£.

设AF=EF=EB==AB=a,则OC=百a,OE=a.

2

在Rt^COE中，由002+0^2=C£2,得心。)+。2=42,则a=2,

所以0C=2百，AF=EF=EB=LAB=2,则25=4,AM=-AF=1.

22

由题意易得，ZFAB=60°,

则点M到AB的距离h=AM-sin60°=—,即点M到平面ABC的距离为—.

22

又MN〃平面ABC,

所以八-ABC=VM-ABC=<S^ABC'=马义万义4义2也义与=2.

20.解：(I)当a=l时，/(x)=Inx-x2+x,/(x)=---2x+1=——----------,

XJC

当xe(0,1)时，/,(x)>0；当xw(l,+co)时，f'(x)<0,

所以/(X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，所以=/(1)=0.

(II)由/(x)=Inx-ax?+x+ina(a>0),得=L一2ax+l(a〉0),

X

易知/'(x)在(0,+8)上单调递减.

①由(D可知，当a=l时，/(x)<0,符合题意.

②当0<a<l时，/(1)=2(1-«)>0,=1<0,

所以存在时，使得/'(玉)=0,

故当时，/'(x)<0,/(x)单调递减，

所以=—+-+lna=0,不符题意，舍去.

\aJayaJa

③当a>l时，/(l)=2(l-«)<0,=1〉0,

所以存在％e',11使得/'(赴)=0，

故当XE[1,+8)时，/'(%)<0,/(X)单调递减，/(%)</(l)=ln(2-6Z+l.

令g(Q)=lna—〃+l(a>1),则/(〃)=!一1=^一-<0,故g(〃)在(1,+s)上单调递减,

所以g(〃)<g(l)=0,故/(x)<0,符合题意.

综上所述，〃的取值范围是11,+8).

c=也,

a=2,

31

21.解：(I)依题意，得v一+力=1，解得6=1,所以椭圆。的标准方程

cr4b

a1=b2+c2,c=V3,

2

为土+V=].

4

(II)易知直线4尸与40的斜率同号，所以直线尸0不垂直于x轴,

故可设=b+加，尸(石,凹)，2(X2,J2).

f2

Xa—

2

由＜4+''得(1+4k2)%2+8mkx+4m-4=0,

-Smk4加2-4

所以西+々=,A=16(4yl2+l-m2)>0,即4左2+1〉加2.

X1%2=K4F

由储户,七°=《，得-'%'一及W=

20Xj-2x2-220

消去X，y2W20(fo；1+m)(Ax2+m)=(x；-2)(x2-2),

22

即20kxlx2+20bn(石+x2)+20m=xrx2-2(^+x2)+4,

22

b,,cc,24m-4cc,-8mk一八4m-4--Sink.

所以20k2---------+20km---------+20m2=------—2--------+4