2024年高考数学押题预测模拟卷1（新高考九省联考题型）含答案

决胜2024年高考数学押题预测卷01

数学

（新高考九省联考题型）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己

的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知z=l+i,贝口+z（）

13,13,广31.r31.

AA.----1Bn.—+—zC.----1D.—+—1

55555555

2.已知向量0=（2,3）,B=（—l,x）,则“0+B）_L0—B）”是“x=2jP'的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知集合/=3叱<1}产叶=2X2},则（）

A.A<JB=BB.A<JB=AC.AC\B=BD.B）=R

4.从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能（）

A.每个面都是等边三角形

B.每个面都是直角三角形

C.有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形

D.有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形

5.已知函数/（尤）的定义域为R,y=/（x）+e'是偶函数，y=/（x）—3d是奇函数，则/（x）的最

小值为（）

A.eB.272C.273D.2e

6.已知反比例函数y=七（左w0）的图象是双曲线，其两条渐近线为春山和癖由，两条渐近线的夹角

X

为,，将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线y=±尤，由此可求得其离心率为也.已知函数

>=走彳+工的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线y=和.碌由，则该双曲线的离心率是（）

3x3

2A

A.V3B.2A/3C.—A/3D.—A/3

D。

7.已知2sincr—sin/7=g，2cos1—cos/7=1,贝ijcos(2a-2夕)=()

8.已知定义域为R的函数/（x）的导函数为/'（x）,若函数/（3x+l）和/'（x+2）均为偶函数，且

2023

/'⑵=一8,则工/'（。的值为（）

1=1

A.0B.8C.-8D.4

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/（无）=5足（5：+。）（0>0,0<。<兀）的最小正周期为71,且函数/（X）的图象关于直线

7T

x=--对称，则下列说法正确的是（）

12

A.函数/（x）的图象关于点,（）］对称

B.函数“X）在区间内单调递增

（7171）

c.函数/a）在区间-4,5内有恰有两个零点

7T

D.函数的图象向右平移二个单位长度可以得到函数g（x）=cos2x的图象

12

22_

10.已知A、B是椭圆土+工-=1的左、右顶点，尸是直线X=26上的动点（不在X轴上），

32

/产交椭圆于点M,BM与OP交于■点、N,则下列说法正确的是（）

A.kPA-kPB=-B.若点尸（2百,3&）,则以40河：5刀0.=5

C.历.西是常数D.点N在一个定圆上

11.已知四棱锥P-/BCD,底面是正方形，24，平面/8。。，AD=1,尸。与底面

N8C。所成角的正切值为在，点M为平面N8C。内一点，且/河=4/。（0</1<1）,点N为

2

平面P4B内一点，NC=M，下列说法正确的是（）

JT

A.存在2使得直线必与所成角为：

B.不存在彳使得平面尸48,平面PW

C.若彳=e,则以尸为球心，PW为半径的球面与四棱锥尸-N3C。各面的交线长为

2

V2+V6

---------------71

4

D.三棱锥N-/CD外接球体积最小值为施兀

6

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其60%分位数为

13.如图，“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形生成的.将等边三角形每条边三等

分，以每条边三等分的中间部分为边向外作正三角形，再将每条边的中间部分去掉，这称为“一

次分形”；再用同样的方法将所得图形中的每条线段重复上述操作，这称为“二次分形”；L.

依次进行“，次分形"（〃eN*）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.

若将边长为1的正三角形“，次分形”后所得分形图的长度不小于120,则〃的最小值是.

（参考数据：lg2〃0.3010,lg3a0.4771）

14.在平面直角坐标系xQy中，已知圆。+/=彳，若正方形的一边48为圆O的一条

弦，贝小。C|的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/（无）=ev（x2-ax-a）.

（1）若曲线V=/（x）在点（1J⑴）处的切线平行于x轴，求实数。的值；

（2）求函数"X）的单调区间.

16.生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件

的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件,

结果如1、•

跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四

中学生80604020

大学生30202010

假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.

（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用

跑步软件一的概率；

（2）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人.记

X为这3人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求X的分布列和数学期望；

（3）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为占，x2,w，%，其方差为s；；

样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为必，%,为，”，其方差为学;不，

X3,%，%，%，为，”的方差为其.写出，S；，S；的大小关系.（结论不要求证明）

17.如图，在四棱锥P—N3C。中，上4,底面NBC。，ADHBC,AB1BC.点M在棱P8上,

PM=2MB,点N在棱尸。上，PA=AB=AD=-BC=2.

3

(1)若CN=2NP,。为PD的中点，求证：NQ〃平面P4B；

2PN

(2)若直线尸N与平面所成角的正弦值为求的值.

18.已知抛物线C：j2=2px(0＜。＜5)上一点"的纵坐标为3,点/到焦点距离为5.

(1)求抛物线。的方程；

(2)过点(1,0)作直线交C于A,8两点，过点A,8分别作C的切线4与6，4与6相交于点。，

过点A作直线4垂直于，过点3作直线乙垂直于，2，,3与’4相交于点E，4、4、4、,4分别与

X轴交于点尸、Q、R、S.记VDP。、AD4B、/BE、AERS的面积分别为H、邑、S3、

S’.若5^2=4s3s4,求直线AB的方程.

19.给定正整数N»3,已知项数为加且无重复项的数对序列A：（和必）,（%，％），…，（4,几）满

足如下三个性质：①不,》e{l,2,…,N},且为/%«=1,2,…,加）；②占+1=%«=1,2,…，加一1）；

③（夕国）与（见。）不同时在数对序列A中.

（1）当N=3,根=3时，写出所有满足罚=1的数对序列A；

（2）当N=6时，证明：加＜13；

（3）当N为奇数时，记加的最大值为T（N）,求T（N）.

决胜2024年高考数学押题预测卷01

数学

（新高考九省联考题型）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己

的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知z=l+i,贝贝+z()

【答案】A

【解析】由题意知：z=l+i,贝ij彳=1一i,

z1-i(l-i)(2-i)13.

所以：TT-"^=£一£1.故A项正确.

I+z2+1+55

故选：A.

2.已知向量0=(2,3),b=(-l,x),则“0+B)_L0—B)”是“X=2JT’的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由已知得，a+b=(l,3+x),a-b=(3,3-x),

若(a+B),则(a+B>(a-B)=O,即3+9—/=0，解得》=±2如，

所以“x=2&n“Q+矶，但“0+矶0-“x=2百”，

所以“0+司，0-司”是“x=26”的必要不充分条件，

故选：B.

X

-.A备人/=B=\y\y=2,x<2)

3.已知集合1।己2/,rrJ,则()

A.A<JB=BB.A<JB=AC.AC\B=BD.B^=R

【答案】A

【解析】由log2X<l,则log2x<log22,所以0<xW2,

所以/={x|log2x<l]={x[0<x<2\,又5={m=2，,x<2}=回0<><4},

所以/《3,则AQB=A.

故选：A.

4.从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能()

A.每个面都是等边三角形

B.每个面都是直角三角形

C.有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形

D.有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形

【答案】D

【解析】如图，

84cl每个面都是等边三角形，A不选；

N-DRG每个面都是直角三角形，B不选；

三个面直角三角形，一个面等边三角形，C不选，选D.

故选:D.

5.已知函数/(x)的定义域为R,y=〃x)+e，是偶函数，y=/(x)—3/是奇函数，则/(x)的最

小值为()

A.eB.272C.2V3D.2e

【答案】B

【解析】因为函数y=/(x)+e工为偶函数，则/(—x)+eT=/(x)+e"即/⑴―/(—x)=b—e工,

①又因为函数y=/(x)—3e'为奇函数，则/(-x)-3e』=-〃x)+3e)即

f(x)+f(-x)=3ex+3e-x,②

联立①②可得/(x)=e，+2eT,

由基本不等式可得/(%)=e、+2e_x>2Vex-2e-x=2后，

当且仅当e*=2er时，即当x=’ln2时，等号成立，

2

故函数/(x)的最小值为2啦.

故选：B.

6.已知反比例函数^=幺(左wO)的图象是双曲线，其两条渐近线为/轴和癖由，两条渐近线的夹角

X

JT

为Q,将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线y=±x,由此可求得其离心率为也.已知函数

y=+L的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线y和环由，则该双曲线的离心率是

3x3

()

24

A.百B.2A/3C.D.

【答案】c

【解析】在第一象限内，函数y=X3x+_L的图象位于上方，

3x3

由于y=和谕是渐近线，所以两条渐近线之间的夹角26=巴，故。=巴，

-336

不妨将双曲线y=^x+-绕其中心旋转逆时针旋转30。，则可得到其焦点在丁轴上的双曲线

3x

4-1=1,且两条渐近线之间的夹角2。=4，因此其中一条渐近线的倾斜角为四,

a2b233

因此，=百，进而可得6=£=/1+12[+=竿

故选：C.

7.已知2sina—sin/7=百，2cosa—cos/7=1,贝心。5(2。-2/?)=()

【答案】D

【解析】因为2sina—sin/?=JL2cosa—cos/?=l,

所以平方得，(2sina-sin/?)?-3,(2cos6Z-cos/?)2=1,

即4sin2a—4sinasin，+sin2/=3，4cos2a—4cosacos，+cos2,=1,

两式相加可得4—4sinasin/?—4cosacos/?+l=4,

即cos6ZC0SZ?+sinasin夕=一,

，4

故cos(a_/?)=；,

17

cos(2a-2/?)=2cos2(6Z-/7)-l=2x—-1=.

故选：D.

8.已知定义域为R的函数/(x)的导函数为/'(x),若函数/(3x+l)和/'(x+2)均为偶函数，且

2023

/'(2)=—8,贝|］三/'⑺的值为()

(=1

A.0B.8C.-8D.4

【答案】C

【解析】•••/(3x+1)为偶函数，二/(—3x+1)=f(3x+1),则f(-x+l)=/(x+1),两边求导得：

-f'(-x+Y)=f'(x+l),

则/'(x)关于点(1,0)成中心对称，又/'(x+2)为偶函数，.♦.心(-x+2)=r(x+2),即/'(x)关

于直线x=2成轴对称,

/⑴=0且f'(x)=f'^-x)=-f'(x-2),r(x+2)=--⑴，即得：

r(x+4)=—/(x+2)=/(x),

故尸(x)是周期函数,且一个周期为4,因广(3)=-广(1)=0,/(4)=r(0)=-/⑵=8,故

r(i)+r(2)+r(3)+r(4)=o,

20232024

于是X/'⑺=£/'⑺一八4)=506x0-8=-8.

!=11=1

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/0)=5亩(3+。)(0＞0,0＜。＜兀)的最小正周期为兀，且函数/(X)的图象关于直线

TT

X=--对称，则下列说法正确的是()

12

A.函数/(x)的图象关于点对称

B.函数“X)在区间［。,染］内单调递增

(7171A

c.函数/a)在区间-1,Q内有恰有两个零点

71

D.函数"X)的图象向右平移一个单位长度可以得到函数g(x)=cos2x的图象

12

【答案】AD

【解析】函数/(%)=sin(a＞x+。)(。＞0,0＜。＜兀)的最小正周期为兀，

2兀

则一二兀，得0=2,则/(x)=sin(2x+0),

CD

7T

又函数“X)的图象关于直线X=—-对称，

12

nt/•/兀、•/兀、1rt兀兀77r

贝If(---)=sm(——+0)=±।1,则——+0=—+kit.kGZ,

12662

2兀2兀

即°=§+kn,kGZ,又0＜°＜兀，贝|」夕二亍，

2兀

故/(x)=sin(2x+y),

A,当户争寸，/(y)=sin(2-y+y)=sin271=0,

则函数/(x)的图象关于点(笄,o］对称，A正确；

函数y=sinx在（、,称）单调递减，则函数/（x）在区间0,得内单调递减，B错误;

2兀2兀

C,由/(x)=sin(2x+—)=0,则2x+—=kjt,keZ,

即％=一2+皿，左£Z,又

32

TT

X=~,则有1个零点，C错误；

6

7?

D,函数/（x）的图象向右平移一个单位长度，

12

贝ij/（x—=sin[2（x-3）+年]=sin（2x+]）=cos2x=g（x），

D正确；

故选：AD

22_

10.已知A、3是椭圆：+]=l的左、右顶点，尸是直线X=26上的动点（不在X轴上），

/尸交椭圆于点“，BM与OP交于点、N,则下列说法正确的是（）

A.kPA-kPB=-B.若点尸（2百,3&）,则5\/0河：5刀0”=5

C.无•加是常数D.点N在一个定圆上

【答案】BCD

【解析】如下图所示：

对于A选项，设点尸（2月,s）（sw0）,易知点/卜百,0）、S（V3,0）,

ss1

所以，kp膛kpB=厂厂.厂s厂=^不是定值,A错；

273+73273-739

对于B选项，当点尸的坐标为（26,3拒），kpA=*=2,

则直线R4的方程为了=,1+百），即彳=等）—6，

=屈_万

联立x--y->l^可得>2—用=0,解得y=啦或y=0,即加=0，

2—+3/=6

（\2

1+46

日斤以_|力叫_

SZvfo”1

所以‘二T同一下KIB对;

\2

1+

对于C选项，设直线/尸的方程为x=W-百（徐0）,

x=ty-y[3可得（2t2+3）y2-4^3ty=0,解得y=0或”关g,

联立

lx1+3/=6

4打

则Et&一道=2®7

2产+32/+3

‘2&-3君

即点M

、-2/+3-

x=2百/

x=ty-^330

联立「可得3月，即点尸2万

x=2V3J=­

所以‘配而二七+穿^号等

—6，C对；

22

对于D选项，设点例（X。,匕），其中为wO,且三+修=1，则无：一3=—3jp

2

%%yl2

3需

2

222

n_t_3_3/，则左M=1左0尸,所以，kMA-kMB=—kOPkMB

OP~U3~2t~2MA333

则自P后”8=-1，所以，0P上BM,取线段。8的中点E,0,连接2VE,

由直角三角形的几何性质可知|A®|=；|。a=y-，

所以，点N在以线段。8的直径的圆上，D对.

故选：BCD.

11.已知四棱锥P—/BCD,底面N8C。是正方形，己4，平面/8。。，AD=1,尸C与底面

J?

48C。所成角的正切值为注，点刊为平面N8C。内一点，且/M=/M。(O</l<l),点N为

2

平面P48内一点，NC=4^，下列说法正确的是()

JT

A.存在2使得直线P2与所成角为：

6

B.不存在X使得平面尸48,平面尸团0

C.若％=也，则以尸为球心，PW为半径的球面与四棱锥尸-4BCD各面的交线长为

2

41+4^

--------71

4

D.三棱锥N-ZCZ)外接球体积最小值为施兀

6

【答案】BCD

【解析】由P/J_平面N3C。，底面N8C。是正方形，40=1,可得4C=0,

且NPC4是尸C与底面/BCD所成角，即tanN尸C4=£4=Y2,则尸/=1,

AC2

JT

同理N尸及4是PB与底面所成角，故NPA4=—,

4

71

由题意，4M在面N8C。内，故直线尸8与4M所成角不小于一，A错；

4

P/工平面48C。，BCu平面48C。，则P/L3C,又AB，BC,

PA^AB^A,尸4/Bu面P4B,则3c上面R43,

要平面尸平面PaW,M要在直线5。上，而/河=九4。(0<2<1),

显然不存在，B对；

由题设/舷=交4。=交，将侧面展开如下图，

22

球与侧面的交线是以P为圆心，逅为半径的圆与侧面展开图的交线，如下而港，

2

由tan/4PR=y^=tan/BPC=3，则//尸/=/8尸C,ZAPF+ZFPB=-,

2414

7TTT

所以NFPC=NBPC+NFPB=—,根据对称性有NEPC=NCPE,故NFPE=—,

42

所以后港长为Y®，

4

又球与底面NBC。交线是以A为圆心，也为半径的四分之一圆，故长度为叵，

24

综上，球面与四棱锥P-ABC。各面的交线长为县逅兀，C对；

4

由题设，三棱锥N-ACD外接球也是棱锥N-ABCD外接球，

又N为平面P48内一点，NC=5且尸4u面P48,则面尸48,面48C。，

BCLAB,面尸ASc面/BCD=AS,BCu面4BCD,故3C上面PA8,

易知N在面P48的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆（去掉与直线45的交点），

根据圆的对称性，不妨取下图示的四分之一圆弧，则N在该圆弧上，

当BN接近与面AB重合时NR4N趋向兀，

当3N_L面ABCD时ZBAN最小且为锐角，sinZBAN=丝=力，

ANyj5

BN]

而A/BN的外接圆半径”

2sin/B/NsinZBAN

正方形ABCD的外心为AD,BC交点0,且到面尸48的距离为;,

所以棱锥N-ABC。外接球半径尺=要使该球体体积最小，只需「最小，

仅当的Ng时"1，此时“卓故外接球最小体积为如亭=乎

7tD对.

故选：BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其60%分位数为

【解析】由图可知第一组的频率为0.04x5=0.2<0.6,前两组的频率之和为

0.04x5+0.1x5=0.7>0.6,则可知其60%分位数在［10,15）内，设为x,

则0.1x（x-10）=0.6-02,解得x=14.

故答案为：14

13.如图，“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形生成的.将等边三角形每条边三等

分，以每条边三等分的中间部分为边向外作正三角形，再将每条边的中间部分去掉，这称为“一

次分形”；再用同样的方法将所得图形中的每条线段重复上述操作，这称为“二次分形”；>■.

依次进行“"次分形"（〃eN*）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.

若将边长为1的正三角形“〃次分形”后所得分形图的长度不小于120,则〃的最小值是.

（参考数据：%2。0.3010,lg3。0.4771）

4

【解析】依题意可得“〃次分形”图的长度是“ii-l次分形”图的长度的

由“一次分形”图的长度为，x4x3=4,

3

4

所以“每次分形”图的长度可看成是首项为4,公比为§的等比数列，

所以“〃次分形”图的长度为4x

故4x图>120,即图>30,两边取对数得(〃—l)(21g2—lg3)Nl+lg3,

l+lg31+0.4771

所以〃。1L8,则〃212.8,

21g2-lg32x0.301-0.4771

又〃eN*，故〃的最小整数值是13.

故答案为：13.

14.在平面直角坐标系xQy中，已知圆。:/+/=%若正方形的一边4g为圆。的一条

弦，贝力。。|的最大值为.

【答案】272+2

JTJT

【解析】令NOA4=，e[0g)且Q8|=2,|3C|=4cos，，要使|0C|最大有cosNOBC=2+。，

如下图示，在△Q3C中+—2|oBHBacosNOBC,

jr

所以|0C|2=4+(4cos6)2—2X2X(4cos。)•cos(-+0)

=4+16cos2，+16sin，cos，=8(sin20+cos2(9)+12

=80sin(26+：)+12,

当且仅当6=£时|。。二=&忘+12=2V2V2+3=2(1+V2)，

o

所以|。。|的最大值为2a+2.

故答案为：2^2+2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数f(x)=e'(x2-ax-a).

(1)若曲线N=/(x)在点(1,/⑴)处的切线平行于x轴，求实数。的值；

(2)求函数/(x)的单调区间.

【答案】(1)1(2)答案见解析

【解析】⑴由题可得了'(尤)=/屋+(2-。"-24],

因为“X)在点(1,7(1))处的切线平行于无轴，所以/⑴=0,

即e(3-3a)=0,解得。=1,经检验a=1符合题意.

(2)因为/'(x)=e*[x2+(2-,

令/'(x)=0,得x=—2或、=。.

当a<-2时，随x的变化，f'(x),/(x)的变化情况如下表所示:

X(fa)a3,-2)-2(-2,+oo)

/'(x)+0—0+

fW单调递增/(«)单调递减/(-2)单调递增

所以/(x)在区间(-叱。)上单调递增，在区间(d-2)上单调递减，在区间(-2,+s)上单调递增.

当。=-2时，因为/'(x)=eX(x+2)2N0,当且仅当x=—2时，f\x)=0,

所以/(x)在区间(-叫+8)上单调递增.

当a〉-2时，随x的变化，f(x),“X)的变化情况如下表所示：

X(-CO,-2)-2(-2,a)a(a,+oo)

/⑶+0—0+

fM单调递增/(-2)单调递减/(«)单调递增

所以/(x)在区间-2)上单调递增,在区间(-2,a)上单调递减，在区间(a,+8)上单调递增.

综上所述，

当a<—2时，"X)的单调递增区间为(-甩。)和(-2,+功，单调递减区间为(a,-2)；

当。=-2时，/⑺的单调递增区间为(-8,+8),无单调递减区间；

当a〉-2时，“X)的单调递增区间为(-*-2)和(a,+◎,单调递减区间为(-2,0.

16.生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件

的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件,

结果如1、«

跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四

中学生80604020

大学生30202010

假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.

(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用

跑步软件一的概率；

(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人.记

X为这3人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为毛，*2，x3,%，其方差为｛；

样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为％,%,乃，居，其方差为官；不，

X1电，匕，%，％，为，乂的方差为S；.写出s；,sl，S；的大小关系.(结论不要求证明)

33

【答案】(1)右(2)分布列详见解析，E(X)=：(3)s：<s；<s；

20''4

【解析】（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，

QQ303

这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率为一义玄=二.

2008020

（2）因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为8x290=2,

80

所以X的所有可能取值为0,1,2,

p(x=o)=—=—尸(x=l)=C2c6=竺尸(X=2)=C2c6=

(JC；14'()C；28'1)C；28'

所以X的分布列为：

X012

5153

p

142828

51533

所以£(X)=0X3+1X」+2X」-=3.

v71428284

(2)si<s1<sl，证明如下：

80…60八40八。20〜

-------0.4.x------0.3.--------0.2.X-----0.1

1200o2003200A4200

=0.25,

4

所以2_(0.4-0.25)2+(0.3-0.25)2+(0.2-0.25)2+(0.1-0.25)21

瓦-480

303201201101

%=丽募/2=丽=了为=丽="居=而=「

%+%+%+乂1

1

128

数据：X1,%2，*3,*4，乂，％'%，，

对应的平均数为％+…+%+必+乃+…=1

84

所以

(0.4-0.25)2+(0.3-0.25『+(0.2-0.25『+(0.1-0.25)2

13

81280

所以s；<s；<s；.

17.如图，在四棱锥P—4SC。中，PAl^ABCD,AD!IBC,AB工BC.点、M在棱PB上,

2

PM=2MB,点N在棱尸。上，PA=AB=AD=-BC=2.

（1）若CN=2NP,。为PD的中点，求证：NQ〃平面R43；

2PN

（2）若直线P4与平面/VN所成角的正弦值为三，求证的值.

PN1

【答案】（1）证明见解析（2）—=-

【解析】（1）证明：过M作8。的平行线交尸。于H,连接

二黑=/=黑，又•:PM=2MBS=3：.HC=gpC,又CN=2NP,

广/5-zCz力LiCz33

NH=PN=HC,为。H的中点，又。为的中点，

:.NQ//HD,

2

又MH=^BC=2,又AD=2,AD/IBC,

ADUMH,且=

四边形MHDA是平行四边形，

:.HD!IMA,:.NQ//AM,

N0平面,/Mu平面P48,.,.皿//平面?48

（2）以A为坐标原点，AB,AD,NP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则/(0,0,0),0,|),尸(。，0,2).C(2,3,0),.•.而=(：,0,1),

AP=(0,0,2).PC=(2,3,-2),

二设